精品解析：四川成都市石室中学2026届高三下学期第一次数学专项练习试题

石室中学高2026届高三下期第一次数学专项练习试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据对数函数的单调性及定义域求出集合，再根据交集的概念求解即可. 【详解】， ， 所以. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【详解】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 在复数范围内，方程的两个根为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的解可得方程的两根为，利用复数相等的定义求解即可. 【详解】由题知，，解得，所以两根为，化简为，所以，解得. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 5. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 6. 的展开式中，含有的项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得二项式的展开式的通项，结合题意，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为，其中， 所以展开式中的项为： ， 所以含有的项的系数为. 7. 已知函数，其中，3为的极大值点.若在内有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据可得函数的单调区间，再根据3为的极大值点可确定的值，然后由极小值点在区间内，可求的取值范围. 【详解】，由于，则， 所以由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 故是的极大值点，是的极小值点.所以， 若在内有最小值，只需且， 即，解得，所以的取值范围是. 8. 已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，即， 又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由， 代入椭圆： 中， 得化简可得： ，解得：， 又，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分数为 D. 各组数据的残差和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D. 【详解】对于A，由回归直线方程知：，所以y与x正相关，故A正确； 对于B，由表格数据及回归方程易知，故B正确； 对于C，，所以样本数据y的第60百分位数为，故C错误； 对于D，由回归直线方程知时对应的预测值分别为， 故对应残差分别为，显然残差之和为0，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. 的周长为12 D. ，，三点共线 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A项，抛物线的焦点为，准线为， 设，，则 由抛物线的定义得到， 因为为等边三角形，则， 即，即 化简得到， 解得或（舍去），所以， 所以直线的斜率为，故A错误； 对于B，根据对称性，取直线的斜率为，则直线方程为， 联立方程，得到， 解得（点）或（点） 由抛物线定义，，故B正确； 对于C项，由抛物线定义，所以等边的周长为，故C正确； 对于D项，根据对称性，取，则， 因为，， 所以且过原点O，故，，三点共线， 同理可得当时，，三点也共线，故D正确. 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，再结合化简可判断A，由，代入条件可判断B，将代入化简可判断C，由三角形面积公式结合一元二次函数可判断D. 【详解】已知，由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，. 将其代入中，得到，即. 因为，所以，那么. 根据两角和的正弦公式， 则，移项可得. 两边同时除以（因为，为三角形内角，，）， 得到，即，所以选项A正确. 由余弦定理，将其代入中， 可得. 化简可得， 进一步整理得，所以选项B正确. 由余弦定理， 将代入可得. 所以，即， 当且仅当时取等号， 又为三角形内角，，故等号不成立， 所以，选项C错误. 由，，可得. 根据余弦定理. 则. 三角形面积公式 . 将代入上式可得： . 当，即时，取得最大值，最大值为，所以选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 13. 已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 14. 采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则， 则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的对称中心； （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数进行化简，再根据正弦函数的对称中心性质求解. （2）先根据函数图象的变换规律求出的表达式，再根据三角函数的定义求出和的值，最后代入进行计算. 【小问1详解】 根据二倍角公式可得：， 即，根据正弦函数的对称中心性质可得： ， 解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 因为为角终边上的一点， 根据三角函数的定义可得：， 所以，， 又因为函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 由三角函数的图象变换性质可得， ， 又因为，， 所以， . 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)结合化简即可证明结论； (2)由（1）得 ，代入可得，利用错位相减即可得到数列的前项和. 【小问1详解】 由题意得（否则不满足题设条件），故， 因此， 故数列是等差数列. 【小问2详解】 由（1）得故 ， 两式相减得， 所以. 17. 在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面； （2）若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【小问1详解】 因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． 【小问2详解】 设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 18. 中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1.过轴正半轴上一点且斜率存在的直线交双曲线的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若为双曲线的右焦点，且，且，求直线的斜率的取值范围； （3）直线分别和双曲线的两条渐近线交于两点，且在直线上从上到下顺次排列.设为坐标原点，若，，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程求解，进而得到双曲线标准方程；（2）设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，因为直线交双曲线右支于两点，所以利用韦达定理得到两根之和与两根之积，同时结合判别式大于0、两根都大于0的条件列出不等式组，由，结合线段长度的坐标表示，得到与的关系，再根据，求解直线l的斜率的取值范围；（3）由 及三角形内角关系推出，由及垂直得，设直线，联立双曲线与渐近线，得与中点相同，从而 ，在直角中，由及渐近线垂直，得，结合长度关系得，直线的倾斜角为，可得. 【小问1详解】 设等轴双曲线C的标准方程为， 顶点为，渐近线方程为， 顶点到一条渐近线的距离， 解得，故所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设直线，，， 又，所以， ，且， 由题意知，解得， ， ， 由，则， 故， 即，又，解得， 又直线l的斜率，则， 故. 【小问3详解】 依题意作图如下： 由， 知.又，所以. 设直线，，， ，联立得， 即， 再将直线与直线及直线分别联立， 得，. 所以， 因此线段有相同的中点，故. 因为， 故由射影定理，有， 所以. 于是直线的斜率. 19. 已知函数. （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点，记直线的斜率为. （ⅰ）当时，求实数取值范围； （ⅱ）当时，证明：. （参考公式：，） 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）（ⅰ）设，分析的单调性，求出的范围；（ⅱ）将，参数化为圆上的点，代入得，利用三角恒等式得，构造分析单调性，证得，从而推出的取值范围. 【小问1详解】 设切点为，， 所以，所以， 所以函数在处的切线为， 将代入得，解得，. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，函数的图象与相交于两个不同点， 所以有两个不等实根， 则有两个不等实根， 设， 则 ∴当时，，当时， ∴在递减，递增， ，， ∴，∴ （ⅱ）设，，不妨设， 则，即， 令， 则， 是方程的两个根. 又∵. 欲证，只需证， 即证， 即证， 即证， 设， 则， ∴当时，；当时，； ∴在递减，递增， 设， 下面证明 ， 设，，则 故.∴在递增，∴， ∴，， 又∵在递减，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石室中学高2026届高三下期第一次数学专项练习试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在复数范围内，方程的两个根为和，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中，含有的项的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，其中，3为的极大值点.若在内有最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两个变量与对应关系如下表： 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 样本数据的第60百分数为 D. 各组数据的残差和为 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. 的周长为12 D. ，，三点共线 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积最大值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13. 已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 14. 采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的对称中心； （2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.设为角终边上的一点，求. 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面； （2）若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 18. 中心在原点，焦点在轴上的等轴双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为1.过轴正半轴上一点且斜率存在的直线交双曲线的右支于两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若为双曲线的右焦点，且，且，求直线的斜率的取值范围； （3）直线分别和双曲线的两条渐近线交于两点，且在直线上从上到下顺次排列.设为坐标原点，若，，求直线的斜率. 19. 已知函数. （1）若函数过原点的切线为，求实数的值； （2）若函数的图象与相交于两个不同点，记直线的斜率为. （ⅰ）当时，求实数取值范围； （ⅱ）当时，证明：. （参考公式：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $