【解答题专项】19立体几何（综合）-2026年陕西省职教单招《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 2026年陕西省职教单招 数学专项冲刺练习 解答题专项（十九）立体几何（综合） 1.如图所示，某几何体为半个圆柱和长方体组成的组合体（单位：cm)求： 2 (1)该几何体的体积： (2)该几何体的表面积 2.如图，在棱长为a的正方体ABCD一AB,CD,中，截去三棱锥A,一ABD,求剩余的几何 体AB,CD,一DBC的表面积. 3.如图，己知长方体ABCD-A,B,C,D,用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，这两部 分都还是棱柱吗？说明理由 试卷第1页，共3页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 4.一个正四棱锥S-ABCD的高SO和底面边长都是4，如图所示，求它的表面积. 5.在古代数学《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳 马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD.在下列6个三角形中： △PAB,△PAC,△PAD,△PBC,△PBD,△PDC,哪些是直角三角形？ 6.如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的边长为2. D (I)求证：BD⊥AD: (2)求点A到BC的距离. 试卷第1页，共3页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 7.如图所示，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD,PD=2,平面PBC与底面ABCD所 成的角为45°，M为PC的中点. (I)求DM的长度； (2)求证：平面BDM⊥平面PBC. 8.已知三棱锥D-ABC,AB=AC=1,AD=2,∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E,F 分别是BC,DE的中点，如图所示 (1)求证AF⊥BC; (2)求线段AF的长 9.如图所示，己知正方体ABCD-A,B,CD1; (1)在正方体的表面中，哪些平面与直线AB平行？ (2)B,D是否平行于平面ABCD?为什么？ 试卷第1页，共3页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 10.如图，己知正方体ABCD-A,B,CD. (1)请列出3条与平面AB,CD,平行的直线（不必作说明）： (2)请列出3条与EC,垂直的直线（不必作说明）. 11.已知正方体ABCD-A,B,CD,中，P、Q分别为对角线BD、CD的中点. (I)求证：PQ/平面AD,DA; (2)若E是DC中点，求证：平面PQE⊥平面ABCD. 12.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD,PA=AD,E为PD的中点，AB/1CD且 AB=CD,AB⊥AD.求证： (I)AE⊥平面PCD; (2)AE/平面PBC 试卷第1页，共3页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 13.如图，己知矩形ABCD,MA⊥平面ABCD,若AB=MA=1,AD=√5. (I)求异面直线MB与CD所成的角的大小； (2)证明：CD⊥平面MAD; 14.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD, SA=SD=2,AB=3. D (1)求S4A与BC所成角的余弦值； (2)求证：AB⊥SD 15.已知直三棱柱ABC-A,B,C的所有棱长都相等，D,E分别是棱AB,AC,的中点， (I)求证：DE/1平面BCC,B (2)求DE和平面ABC所成角的正切值 试卷第1页，共3页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 16.如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MAL平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且 AB=NB=1,AD=MA=2. (1)求证：NC∥平面MAD: (2)求棱锥M-VAD的体积. 17.如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，A4⊥底面ABC,AB=BC=1,∠ABC=90°，D为AC 的中点. (1)证明：BD⊥平面ACC,A; (2)若直线BA与平面ACC,A,所成的角为30°，求三棱柱ABC-A,B,C,的体积. 18.如图，在四棱锥S-ABCD的底面为正方形，O为AC与BD的交点，S0⊥底面ABCD, (I)若E,F分别为SA,SC的中点，求证：EF/1平面ABCD: (②)若AB=SA=4求四棱锥S-ABCD的体积. 试卷第1页，共3页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 19.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，侧棱AA⊥底面ABC,A,C⊥AB, 4B =4C=44=1. C (I)求证：AB⊥AC; (2)求三棱锥C-A4B的体积 20.在正三棱柱ABC-A,B,C,中，底面边长为2，侧棱长为√5，D是AC的中点 (1)求三棱锥A-ABC的体积： (2)求证：直线B,C/1平面ABD; 试卷第1页，共3页 2026年陕西省职教单招 数学 专项冲刺练习 解答题专项（十九）立体几何（综合） 1．如图所示，某几何体为半个圆柱和长方体组成的组合体（单位：）.求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据柱体体积公式求解；（2）根据柱体表面积公式求解. 【详解】（1）该几何体的体积. （2）该几何体的表面积. 2．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积． 【答案】a2 【分析】结合正方体的性质，根据表面积的定义即可求解. 【详解】解：由正方体的性质可知是边长为a的等边三角形， 所以的面积a2， 表面积S＝＝a2＋＋3a2＝a2． 3．如图，已知长方体，用平面把这个长方体分成两部分后，这两部分都还是棱柱吗？说明理由. 【答案】都还是棱柱，理由见解析 【解析】根据棱柱的定义判断即可. 【详解】在几何体中，侧棱、、、平行且相等，几何体为棱柱；在几何体中，侧棱、、平行且相等，几何体为棱柱.因此，几何体和几何体都是棱柱. 4．已知正四棱锥的棱长都是4，求它的高和斜高及表面积． 【答案】高为，斜高为，表面积为 【分析】正四棱锥的棱与高和斜高的关系求解，表面积公式求解即可. 【详解】 如图所示，为的中点，平面， 因为，点为的中点.所以. 因为是四棱锥的侧面上的斜高，且. 所以. 因为是四棱锥的高. 所以在中，. 所以. 5．在古代数学《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马．如图所示，已知四棱锥为阳马，平面．在下列6个三角形中：，哪些是直角三角形？ 【答案】． 【分析】由题意可得平面，平面，平面，利用线面垂直推导线线垂直，结合勾股定理即可判断. 【详解】∵平面，平面， ∴，，， ∴为直角三角形， ∵平面，平面， ∴，又，平面，且， ∴平面，又∵平面， ∴，∴是直角三角形， ∵平面，平面， ∴，又，平面，且， ∴平面，又∵平面， ∴，∴是直角三角形， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴不是直角三角形. 综上，共有5个直角三角形，分别为：． 6．如图，已知正方体的边长为2．    (1)求证：； (2)求点到的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）由正方体的性质可证得,，从而证得与平面内两条相交直线分别垂直，由线面垂直可知线线垂直. （2）连接，可证得，从而知道的长即为点到的距离. 【详解】（1）证明：∵几何体为正方体， ∴平面． ∵平面，∴． ∵四边形为正方形，∴． ∵，平面，平面，∴平面． ∵平面，∴． （2）解：连接．∵几何体为正方体，∴平面． ∵平面，∴， ∴的长即为点到的距离．，∴点到的距离为．    7．如图所示，底面为矩形，平面，平面与底面所成的角为为的中点. (1)求的长度； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直，进而得到二面角的平面角即可求解. （2）运用三线合一，及线面垂直的性质与判定，及面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为底面是矩形，可得， 又因为平面，平面.所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以. 所以为平面与平面所成角的平面角， 所以.由，可得. 因为是的中点.所以 （2）由为的中点，且为等腰直角三角形.可得. 由（1）可知. 所以平面.因为平面.所以. 因为，平面.所以平面. 因为平面.所以平面平面. 8．已知三棱锥，，，，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示. (1)求证； (2)求线段AF的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先由线线垂直证明线面垂直平面AED，再证明即可. （2）由AF是直角斜边上的中线即可求解. 【详解】（1）连接AE， 因为，所以，， 因为DA垂直于平面ABC内两条相交直线，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，点E是BC的中点，所以， 因为BC垂直于平面AED内两条相交直线，所以平面AED， 因为平面AED，所以. （2）因为，，所以， 因为点E是BC的中点， 所以， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 所以， 点F是DE的中点，，即AF是直角斜边上的中线，. 9．如图所示，已知正方体；    (1)在正方体的表面中，哪些平面与直线AB平行？ (2)是否平行于平面ABCD？为什么？ 【答案】(1)平面和平面(2)平行，理由见解析 【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理分析. （2）在平面内找到与直线平行的直线，即可得证. 【详解】（1）∵直线直线， 而直线平面，且直线平面.∴直线平面. 且直线平面，且直线平面.∴直线平面. 故与直线平行的平面有：平面和平面. （2）连接，如图所示.    ∵和都是平面ABCD的垂线，且，∴是平行四边形，即. ∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.即得证. 10．如图，已知正方体． (1)请列出3条与平面平行的直线（不必作说明）； (2)请列出3条与垂直的直线（不必作说明）． 【答案】(1)直线、直线、直线(2)直线、直线、直线 【分析】利用正方体的结构特征，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】（1）解：由图可知：与平面平行的直线有：直线、直线、直线. （2）由图可知：与垂直的直线有：直线、直线、直线. 11．已知正方体中，、分别为对角线、的中点．    (1)求证：平面； (2)若是中点，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解.(2)证明见详解. 【分析】（1）取DC的中点E，根据题意可得，，由线面平行的判断定理可得QE//平面，再由面面平行的判定定理，可得答案. （2）根据题可得平面ABCD，又，则QE⊥平面ABCD，由面面垂直的判定定理，即可得出答案. 【详解】（1）证明：取DC的中点E,因为P、Q分别为对角线BD、的中点， 所以，AD， 平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又QE∩PE=E，所以平面PEQ//平面， 又PQ平面PEQ，所以平面. （2）证明：因为几何体是正方体， 所以⊥平面ABCD，又，所以QE⊥平面ABCD， 因为QE平面PQE，所以平面PQE⊥平面ABCD. 12．如图，四棱锥中，面ABCD，，E为PD的中点，且.求证： (1)平面PCD； (2)平面PBC. 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理依次证得平面PAD，，从而结合三线合一即可得证； （2）构造平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1），E为PD的中点，， 又平面ABCD，平面ABCD，， 又，平面PAD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAD，， 又， 又，平面PCD，平面PCD，平面PCD. （2）取PC的中点F，连接EF、FB在中，E、F分别为PD、PC中点， 且， 又且，且，四边形为平行四边形，， 又平面PBC，平面PBC，平面PBC. 13．如图，已知矩形，平面，若，． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)证明：平面； 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用直线平行找到异面直线与所成的角，再利用三边关系判断三角形，进而求出角的大小； （2）因为矩形，得到，再利用平面得到，根据线面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）矩形，，异面直线与所成的角为， ，平面，平面，， 是等腰直角三角形，即异面直线与所成的角为. （2）平面，平面，， 又，平面，平面，，平面. 14．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，． (1)求SA与BC所成角的余弦值； (2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见详解 【分析】（1）将异面直线转化为相交直线，利用余弦定理即可求解. （2）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质定理可证明线线垂直. 【详解】（1）在正方形ABCD中，，为SA与BC所成角 在中，，则， （2）平面平面ABCD，平面平面， 在正方形ABCD中，，平面SAD，又平面SAD，． 15．已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点， (1)求证：平面 (2)求和平面所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的判定，面面平行的判定定理即可求解. （2）先找出是和平面所成角，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为分别是棱的中点，所以，因为平面，不在平面内，所以平面，因为平面，不在平面内，所以平面， 又，在平面内，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）在直三棱柱中，平面． 由（1）知，所以平面，所以是和平面所成角． 设直三棱柱棱长为2，则，则， 即和平面所成角的正切值为. 16．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且，． (1)求证：平面MAD； (2)求棱锥M−NAD的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证线面平行关键找到平面外的一条直线与平面内直线平行，可先在MA上取一中点H，然后根据条件，验证四边形NCDH是平行四边形，可得，即可得证. （2）根据线面垂直的判定，先验证AD⊥平面MABN，然后以平面NAM为底，AD为高根据椎体体积公式即可求解. 【详解】（1） 证明：取MA中点H，连接NH，DH，∵MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴， 又∵，．∴， ∴四边形NBAH为平行四边形，∴，， 又∵四边形ABCD为矩形，∴，，∴，， ∴四边形NCDH为平行四边形，∴，且，平面MAD， ∴平面MAD. （2）∵四边形ABCD为矩形，∴，又∵MA⊥平面ABCD，且平面， ∴，又∵，且平面，平面， ∴平面，故以平面NAM为底，AD为高， ∴，又，∴. 17．如图，在三棱柱中，底面，D为的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见详解(2) 【分析】（1）由线线垂直即可证明线面垂直. （2）先找到线面角，再由线面角求解的长度，再由三棱柱的体积公式求解即可. 【详解】（1）∵底面ABC，平面ABC，∴， ∵，D为AC的中点，∴， 又，平面，∴平面. （2）连接， 由平面知，直线与平面所成的角为，即， 在中，由，可得，在中，，可得，从而在中，， . 18．如图，在四棱锥的底面为正方形，O为与的交点，底面． (1)若E，F分别为，的中点，求证：平面； (2)若求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）由四棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）因为分别为的中点.所以. 因为不在平面内，在平面内.所以平面. （2）因为底面是正方形.所以.得. 因为底面.平面.所以. 所以. 所以. 19．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面垂直得到，再结合，得到线面垂直，即可得证； （2）证明平面，再根据三棱锥的体积公式计算，即可求解. 【详解】（1）因为侧棱底面，且平面，所以， 又因为，平面，且， 所以平面，而平面，则. （2）因为侧棱底面，且平面，所以， 由（1）可知，，且平面，， 所以平面，又，， 即是矩形，所以，且，所以， 则三棱锥的体积为. 20．在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线平面； 【答案】(1)1(2)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥的体积公式代入求解； （2）由直线与平面平行的判定定理即可求解； 【详解】（1）∵正三棱柱底面边长为2，则是正三角形，且边长为2， ∴，又，面， ∴三棱锥的体积. （2） 连接交于O，连接,正三棱柱，∴O为的中点，D为的中点， ∴为的中位线，∴，又平面，平面， ∴直线平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $