【解答题专项】18数列的通项及求和-2026年陕西省职教单招《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

null 2026年陕西省职教单招 数学 专项冲刺练习 解答题专项（十八）数列的通项及求和 1．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式： （2）求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. （2）由（1）知，， 则. 2．已知数列中，，．证明：是等差数列； 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用构造等差数列递推来证明即可； （2）先用等差数列求和，再利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）因为，当时，根据，则，所以， 则由题意可得：， 即．所以是公差为2的等差数列． （2）由（1）知，所以． 由于， 所以． 3．已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为Sn． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以 4．已知等差数列的前n项和为，. （1）求的通项公式； （2）若，求前n项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知，所以. 5．已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列定义由前项和公式计算可得； （2）易知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果. 【详解】（1）设的公差为， 由可得，解得，所以. （2）由（1）可知，易知是公比为4的等比数列，得. 6．已知数列是公差为2的等差数列，且是与的等差中项. （1）求的通项公式； （2）求的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差中项的定义可得，再有等差数列的通项公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可求解. 【详解】（1），，又，. （2）原式. 7．记等差数列的前项和为，已知，且． （1）求和； （2）设，求数列前项和． 【答案】(1)；；(2)． 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， ． 8．已知数列. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【分析】（1）根据题中等式因式分解后化简，根据等差数列定义证明即可； （2）根据（1）中证明过程得到数列通项公式，得到数列通项公式，再裂项相消求和即可. 【详解】（1），因为，所以， 所以，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知，，所以， . 9．已知是公差为的等差数列，其前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题设有求、，写出的通项公式； （2）应用裂项相消法，求的前项和即可. 【详解】（1）由题意，，解得，∴. （2）由， ∴. 10．设是等差数列，,且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，且,求数列的前项和为. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式，即可求出结果； （2）由等差数列的前项和可得，所以，采用裂项相消法求和，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为,成等比数列, ,即,解得, . （2）由（1）知,,, , 11．已知数列的首项为1，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据递推关系得到数列的公比，代入等比数列通项公式得到通项结果； （2）利用等比数列前项和公式计算得到前项和. 【详解】（1）由可得，因此数列是首项、公比的等比数列，代入等比数列通项公式得： ； （2）已知是首项为1、公比为2的等比数列， 代入等比数列前项和公式，得： . 12．在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以； （2）因为，所以. 13．在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，求出的首项、公比即可作答. （2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答. 【详解】（1）由，等比数列是递增数列，得， 因此数列的公比，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得，，. 14．等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可； (2)利用裂项相消求和. 【详解】（1）因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，即，所以， 联立解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 15．求数列的前项和． 【答案】 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】因为，所以数列的前n项和为． 16．已知等差数列的前项和满足，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，，可得求出，可得的通项公式； （2）由（1）可得，从而可得，利用裂项相消求和法可得 【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，. 所以，化简得，解得， 所以， （2）由（1）可知，所以， 所以 17．在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以. 18．已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可. （2）利用错位相减法求解数列前项和即可. 【详解】（1）由，得，又，是以1为首项，3为公比的等比数列，，， （2）由（1）知，，则，① 得，② ①－②得，． 19．已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据的关系求的通项公式； （2）应用裂项相消法求的前项和. 【详解】（1）当时，，故； 当时，，故， 故，则，又满足，∴，. （2）由（1）可得：， 故. 20．已知数列的前项和为，且满足 （1）求，，的值，并猜想数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1），，，（2） 【分析】（1）算出即可猜想出数列的通项公式； （2）由（1），通过裂项求和法可得数列的前项和. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得，猜想； （2）由（1）得， 则数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $