综合测试卷（四）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是（   ） A．某人抽奖100次，一定能中奖10次 B．某人消费1000元，至少能中奖1次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖10次，可能1次也没中奖 2．已知一组数据的平均值为 8，这组数据共有4个.若其中一个数据本应为，却被误写成了8，则修正后这组数据的平均值为（    ）. A．7 B．8 C．9 D． 3．已知球的体积与其表面积的数值相等，则这个球的半径等于（   ）. A． B． C． D． 4．若一个柱体和一个椎体的底面积和高分别相等，则此柱体和椎体的体积之比为：（   ）. A． B． C． D． 5．已知圆的方程是，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 6．经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．若直线 与直线相交，则交点坐标为（    ）. A． B． C． D． 8．下列函数在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 9．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为______. 12．我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人为______. 13．函数在上是减函数，则实数的取值范围是________． 14．两条平行直线与之间的距离________. 15．经过两点，的直线方程为__________． 16．把三个半径为 1 厘米的铁球熔铸成一个底面半径为 1 厘米的圆柱，该圆柱的高为______厘米（结果保留 ）. 17．如图，陀螺可近似地看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体，若圆柱与圆锥的高之比为，且圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，则圆柱的侧面积为__________.    18．已知一组数据0，1，2，3，的平均数是2，则这组数据的方差是__________. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19．如图所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形，，，求圆柱的侧面积和体积．    20．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为2，求它的侧面积和表面积. 21．有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有.下面做投掷这两颗玩具的实验，用表示结果，其中x表示第一颗玩具地面出现的数字，y表示第二颗玩具底面出现的数字. (1)写出这一随机实验的样本空间，求所有样本点的个数； (2)求事件“底面出现点数之和大于3”的概率； (3)求事件“底面出现点数相同”的概率. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．设，求证：. 23．求证：无论m取何值，直线l：与圆C：一定有两个交点. 五、综合题（共10分） 24．已知指数函数在区间上的最大值与最小值的和为6. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．某网站举行购物抽奖活动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是（   ） A．某人抽奖100次，一定能中奖10次 B．某人消费1000元，至少能中奖1次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖10次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】根据随机事件的概率理解求解即可. 【详解】中奖的概率为10%，与抽的次数无关，不能保证一定中奖，也不能保证一定不中奖，只是有10%中奖的可能性. 故选：D. 2．已知一组数据的平均值为 8，这组数据共有4个.若其中一个数据本应为，却被误写成了8，则修正后这组数据的平均值为（    ）. A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】根据平均数公式求值即可. 【详解】已知一组数据的平均值为 8，这组数据共有4个， 所以这四个数的总数为， 因为其中一个数据本应为，却被误写成了8， 所以其余没错的三个数的和为， 所以修正后这组数据的平均值为， 故选：C. 3．已知球的体积与其表面积的数值相等，则这个球的半径等于（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合球的表面积公式和体积公式，即可求解. 【详解】因为球的体积与其表面积的数值相等， 所以，解得. 故选：A. 4．若一个柱体和一个椎体的底面积和高分别相等，则此柱体和椎体的体积之比为：（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合柱体及椎体的体积公式即可得解. 【详解】一个柱体和一个椎体的底面积和高分别相等， 设底面面积为，高为 则柱体和椎体的体积之比为， 所以柱体和椎体的体积之比为， 故选：. 5．已知圆的方程是，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二元二次方程与圆的方程的关系，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为圆的方程是， 所以，解得. 故选：C. 6．经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意可知直线的斜率为， 所以与其垂直的直线的斜率为2， 由点斜式可知所求直线方程为，即. 故选：B. 7．若直线 与直线相交，则交点坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两直线方程联立求解即可. 【详解】已知直线 与直线相交， 则，即， 解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 8．下列函数在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数单调性解答即可. 【详解】由一次函数性质可知，，所以在是增函数， 由对数函数单调性知，，所以在上是减函数， 由指数函数单调性可知，，所以在是增函数， 由二次函数单调性可知，对称轴为轴，开口向上，所以在是增函数， 故选：B. 9．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式要求被开方数大于等于零,可得再根据指数函数的单调性可得,即可求解. 【详解】根据题意,得即, 解得. 所求定义域为. 故选：D 10．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数函数和指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为，即，所以； 因为，，即； 所以. 故选：A. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求解. 【详解】令，则， ∴函数（且）的图像恒过定点 . 故答案为：. 12．我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人为______. 【答案】60 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】因为一、二、三年级的人数比为，所以一年级人数占总人数的比例为. 则抽取一年级的人数：. 故答案为：60. 13．函数在上是减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用复合函数单调性结论，只需在递增，且函数值恒为正即可，据此列不等式组可求解. 【详解】函数是由和复合而成， 由于对数函数在为减函数，要使原函数在上是减函数，则需在递增，且函数值恒为正， 而二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14．两条平行直线与之间的距离________. 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件求出参数的值，然后利用平行直线间的距离公式进行计算. 【详解】∵直线与平行, ∴，即，解得， ∴直线的方程为，即， ∴直线与之间的距离为. 故答案为：. 15．经过两点，的直线方程为__________． 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，再根据点斜式求解. 【详解】由题可得， 直线的斜率， 所以直线方程为，即为所求. 故答案为： 16．把三个半径为 1 厘米的铁球熔铸成一个底面半径为 1 厘米的圆柱，该圆柱的高为______厘米（结果保留 ）. 【答案】4 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及体积相等求解即可. 【详解】一个铁球体积立方厘米，三个铁球体积立方厘米. 根据圆柱体积公式，由，解得厘米. 故答案为：4. 17．如图，陀螺可近似地看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体，若圆柱与圆锥的高之比为，且圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，则圆柱的侧面积为__________.    【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的底面圆的半径和圆锥的高，即可求出圆柱的高，结合圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥和圆柱的底面圆半径为r，因为圆锥的侧面积是，圆锥的母线长是， 即，所以圆锥底面圆的半径为， 所以圆锥的高为，又圆柱与圆锥的高之比为， 所以圆柱的高为2，所以圆柱的侧面积为. 故答案为：. 18．已知一组数据0，1，2，3，的平均数是2，则这组数据的方差是__________. 【答案】. 【分析】根据平均数求出，再根据方差求解即可. 【详解】因为数据0，1，2，3，的平均数是2， 所以，解得. 方差为. 故答案为：. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19．如图所示，已知圆柱的侧面展开图是矩形，，，求圆柱的侧面积和体积．    【答案】侧面积为 ，体积为 【分析】根据题意求出，，结合圆柱侧面展开图的性质求出圆柱底面半径，代入侧面积公式及体积公式即可得解. 【详解】，，，， 设圆柱的底面半径， 又，， ， . 20．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为2，求它的侧面积和表面积. 【答案】侧面积为，表面积为 【分析】根据正三棱锥的侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正三棱锥的侧面都是等边三角形，则每个面都是等边三角形， 可得等边三角形的高为， ∴，. 21．有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有.下面做投掷这两颗玩具的实验，用表示结果，其中x表示第一颗玩具地面出现的数字，y表示第二颗玩具底面出现的数字. (1)写出这一随机实验的样本空间，求所有样本点的个数； (2)求事件“底面出现点数之和大于3”的概率； (3)求事件“底面出现点数相同”的概率. 【答案】(1)样本空间见详解；样本点的个数是16 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合样本空间的概念，即可列出所以样本点； （2）（3）根据题意，列出符合事件的所有情况，结合古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，这一随机实验的样本空间， 所有样本点的个数是16. （2）由题意，事件“底面出现点数之和大于3”包含，共13 个样本点， 故概率； （3）由题意，事件“底面出现点数相同”的包含的基本事件有，共4个， 故概率. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．设，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由已知得，由此能证明． 【详解】解：， ． 23．求证：无论m取何值，直线l：与圆C：一定有两个交点. 【答案】证明见详解 【分析】先求出直线恒过的定点，再由定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为直线为，所以有， 即直线恒过点， 又因为圆的圆心为，圆的半径为2， 所以定点与圆心的距离为， 所以可知定点在圆内， 又因为直线恒过定点， 所以可知直线与圆恒有两个交点. 五、综合题（共10分） 24．已知指数函数在区间上的最大值与最小值的和为6. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合指数函数的单调性列出方程即可得解. （）根据题意结合对数函数的单调性列出不等式组即可得解. 【详解】（1）指数函数在区间上为单调函数， 且在区间上的最大值与最小值的和为6， 则，解得或， 又因为且，所以. （2）由（1）知，不等式， 函数的底数，则函数在上为增函数， 所以，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $