2026年上海中考数学复习 简答第23题专题复习 (知识总结+考点精讲+课后巩固)

2026年上海中考复习 简答第23题专题复习 (知识总结+考点精讲+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握 圆的基本性质：垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理，能结合相似三角形进行综合证明。 · 熟练运用 相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（比例线段、面积比），解决圆中线段乘积、等积式问题。 · 理解 特殊四边形（矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定与性质，能在圆或三角形背景下证明特殊图形。 · 掌握 切线判定与性质，能证明直线与圆相切，并利用切线长定理、切割线定理进行线段计算。 · 会利用 相似三角形与圆幂定理（相交弦定理、切割线定理）建立比例关系，解决线段长度或比值问题。 · 提升 综合运用几何变换、方程思想、分类讨论解决圆中动态问题及存在性问题。 ✨ 核心聚焦：圆中相似模型、垂径定理与圆心角、四边形与相似的综合证明，精准突破第23题几何论证。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 一、圆的基本性质与相似三角形综合 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。常用于构造直角三角形、中点、相等线段。 · 圆心角、弧、弦关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；弦心距相等则弦相等。 · 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为90°（构造直角三角形）。 · 切线性质与判定：切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是切线；切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等）。 · 相似三角形在圆中的应用：常见模型——① 相交弦定理的推论（同弧所对圆周角相等→相似）；② 切割线定理（由相似导出比例式）；③ 弦切角定理（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）。 · 圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角。常与等腰梯形结合（题9）。 ☆ 二、特殊四边形与相似三角形 · 矩形：对角线相等，四个直角，常与垂直、勾股定理结合（题10）。 · 菱形：四边相等，对角线垂直平分且平分内角，面积=½·对角线积。常用等积法、垂直平分线性质（题13,15,19,22）。 · 正方形：兼具矩形与菱形性质，对角线相等且垂直，常通过旋转构造全等（题14）。 · 等腰梯形：两腰相等，底角相等，对角线相等，常通过平移腰或作高转化为三角形（题16,18,20）。 · 相似三角形的常见模型：A字型、8字型、一线三等角、母子型。在四边形中常与中点、角平分线、垂直条件结合，推导比例中项或等积式。 · 黄金分割：点E是线段AC的黄金分割点 ⇔ 或 （题18）。 ☆ 三、常用几何证明工具 · 比例中项与射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（）。 · 平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）所得对应线段成比例。 · 中点与中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半。 · 旋转与全等：遇等腰三角形或正方形常通过旋转构造全等，实现线段转移。 ☆ 知识模块速查表 模块 核心定理/性质 常见题型/方法 圆与相似 垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理 证明线段相等、平行、垂直；求线段长；证等积式（如AB²=BF·OB） 四边形与相似 矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质；相似基本模型 证菱形、矩形、正方形；证比例中项；黄金分割点 切线证明 过半径外端垂直半径是切线；圆心到直线距离等于半径 证直线与圆相切，常用连半径证垂直或利用角相等转化 圆幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理 由相似推导线段乘积关系，如AE·EC=BE·ED 黄金分割 黄金比≈0.618，与正五边形、相似三角形结合 判断点是否为黄金分割点，利用相似推导比例 核心考点 ·典例精讲 【题型1】圆与相似三角形（共9小题） 一．圆与相似三角形（共9小题） 1．如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）连接OC，OD，证明△OCE≌△ODF（SAS），得出OE＝OF，得到CD∥AB； （2）证明△BAF∽△BOA，得到，得出AB2＝BF•OB． 【解答】证明：（1）连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CE＝DF， ∴△OCE≌△ODF（SAS）， ∴OE＝OF， ∴， ∵∠EOF＝∠AOB， ∴△OEF∽△OAB， ∴EF∥AB， ∴CD∥AB； （2）∵△OCE≌△ODF， ∴∠COE＝∠DOF， ∵AB＝BD， ∴∠AOB＝∠DOF， ∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE， 连接AF， ∵OA＝OD， ∴△AOF≌△DOF（SAS）， ∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE， ∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF， ∴△OEC∽△FEA， ∴∠COE＝∠AFE， ∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE， ∴△BAF∽△BOA， ∴， ∴AB2＝BF•OB． 【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点． （1）证明：OP⊥EF； （2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形． 【答案】（1）（2）证明见解析部分． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明OE＝OF，PE＝PF，可得结论． （2）连接AC，设EF交OP于J，想办法证明PE＝PF＝PA＝PC，可得结论． 【解答】（1）证明：连接OP，EF，OE，OF，OB＝OD． ∵AE＝EB，CF＝FD，AB＝CD， ∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝DF， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°， ∵OB＝OD， ∴Rt△OEB≌Rt△OFD（HL）， ∴OE＝OF， ∵∠OEP＝∠OFP＝90°，OP＝OP， ∴Rt△OPE≌Rt△OPF（HL）， ∴PE＝PF， ∵OE＝OF， ∴OP⊥EF． （2）证明：连接AC，设EF交OP于J． ∵AB＝CD，AE＝EB，CF＝DF， ∴AE＝CF，BE＝DF， ∵PE＝PF， ∴PA＝PC， ∵PE＝PF，OE＝OF， ∴OP垂直平分线段EF， ∴EJ＝JF， ∵OP∥AF， ∴EP＝PA， ∴PC＝PF，PA＝PE， ∴四边形AFEC是平行四边形， ∵EA＝CF， ∴四边形AFEC是矩形． 【点评】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F． （1）求证：BD＝CD； （2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可； （2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可． 【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC， ∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC， ∴A在BC的垂直平分线上， ∵OB＝OA＝OC， ∴O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC， ∴BD＝CD； （2）如图2，连接OB， ∵AB2＝AO•AD， ∴， ∵∠BAO＝∠DAB， ∴△ABO∽△ADB， ∴∠OBA＝∠ADB， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∴∠OAB＝∠BDA， ∴AB＝BD， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB＝AC＝BD＝CD， ∴四边形ABDC是菱形． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． （2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则，推出，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接OA． ∵AB＝AC， ∴， ∴OA⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAO， ∴∠BAC＝2∠ABD． （2）解：如图2中，延长AO交BC于H． ①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠DBC＝2∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°， ∴8∠ABD＝180°， ∴∠C＝3∠ABD＝67.5°． ②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD， ∴∠C＝4∠ABD， ∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°， ∴10∠ABD＝180°， ∴∠BCD＝4∠ABD＝72°． ③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述，∠C的值为67.5°或72°． （3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E． 则， ∴，设OB＝OA＝4a，OH＝3a， ∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2， ∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2， ∴a2， ∴BH2＝7a2， ∴BH ∴BC＝2BH． 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5．已知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E，OC与BD交于点F，满足． （1）求证：OC⊥BD； （2）如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G，求证：四边形CEOG是菱形． 【答案】（1）证明：∵，∠CED＝∠AEB， ∴△CED∽△AEB， ∴，∠D＝∠B， ∴， ∴， ∴CD＝BO， ∵∠D＝∠B，∠CFD＝∠OFB， ∴△CFD≌△OFB（AAS）， ∴DF＝BF， ∴OC⊥BD； （2）证明：∵M是OB的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵∠EAO＝∠CAM， ∴△EAO∽△CAM， ∴∠AEO＝∠ACM， ∴OE∥CM， ∴， 由（1）知，△CFD≌△OFB， ∴CF＝OF， ∴FG＝EF， ∴四边形CEOG是平行四边形， ∵OC⊥EG， ∴四边形CEOG是菱形． 【分析】（1）先证明△CED∽△AEB，得到CD＝BO，继而可证明△CFD≌△OFB（AAS），再由垂径定理的推论即可证明； （2）先证明△EAO∽△CAM，则∠AEO＝∠ACM，故OE∥CM，那么得到，由（1）知，△CFD≌△OFB，则CF＝OF，那么FG＝EF，即可得到四边形CEOG是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明菱形． 【解答】（1）证明：∵，∠CED＝∠AEB， ∴△CED∽△AEB， ∴，∠D＝∠B， ∴， ∴， ∴CD＝BO， ∵∠D＝∠B，∠CFD＝∠OFB， ∴△CFD≌△OFB（AAS）， ∴DF＝BF， ∴OC⊥BD； （2）证明：∵M是OB的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵∠EAO＝∠CAM， ∴△EAO∽△CAM， ∴∠AEO＝∠ACM， ∴OE∥CM， ∴， 由（1）知，△CFD≌△OFB， ∴CF＝OF， ∴FG＝EF， ∴四边形CEOG是平行四边形， ∵OC⊥EG， ∴四边形CEOG是菱形． 【点评】本题考查了相交弦定理、菱形的判定，熟练掌握以上知识点是关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）连接OE，延长DO交BF于点H，可证明四边形DEFH是矩形，由AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF，得AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH，则（2）2+（10﹣AB）2＝AB2，求得AB＝6，则ODAB＝3，所以OE． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴ODAB＝3， ∴OE， ∴OE的长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC． （1）求EF的长； （2）求∠COE的正弦值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作OM⊥EF于M，如图，根据垂径定理得到EM＝FM，利用三角形中位线性质得到OMAC＝4，然后利用勾股定理计算出EM，从而得到EF的长； （2）利用CE＝OE＝5得到∠EOC＝∠OCE，在利用勾股定理计算出OC＝4，然后利用正弦的定义求出sin∠OCM，从而得到∠COE的正弦值． 【解答】解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM， ∵∠ACB＝90°， ∴OM∥AC， ∴OMAC8＝4， 在Rt△OEM中，EM3， ∴EF＝2EM＝6； （2）CMBC＝8， ∴CE＝8﹣3＝5， ∴CE＝OE， ∴∠EOC＝∠OCE， 在Rt△OCM中，OC4， ∴sin∠OCM， ∴∠COE的正弦值为． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形． 8．在⊙O中，点C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，且D是OC的中点． （1）求∠AOD的度数； （2）延长AO交⊙O于点E，联结EC，交AB于点F，如果AE＝8，求FB的长度． 【答案】（1）60°； （2）． 【分析】（1）根据垂径定理求出OC⊥AB，OD＝OCOC，再解直角三角形求解即可； （2）根据圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质求出∠ADO＝90°，，∠OAB＝30°，∠CEB＝30°，解直角三角形求解即可． 【解答】解：（1）如图，连接OA， ∵点C是弧AB的中点，且D是OC的中点， ∴OC⊥AB，OD＝OCOC， ∴ODOA， ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOD＝90°﹣30°＝60°； （2）如图，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠ADO＝90°，， ∵∠AOD＝60°， ∴∠OAB＝90°﹣60°＝30°，∠CEB∠AOD＝30°， ∴BEAE8＝4， 在Rt△BEF中，tan∠FEB， ∴FBBE． 【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理等知识，熟练运用垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 9．已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC＝BD． （1）求证：AD∥BC； （2）小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知AB＝10，AC＝BC＝13，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解答； （2）不正确，理由见解答； （3）． 【分析】（1）由圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系证明∠ABC＝∠BCD，由圆的内接四边形的性质证明∠BAD+∠BCD＝180°，从而证明∠BAD+∠ABC＝180°，根据平行线的判定定理证明AD∥BC； （2）由（1）知）∠ABC＝∠BCD，根据圆周角定理证明∠ABD＝∠ACD，从而证明∠DBC＝∠ACB，由圆心角、弧、弦的关系证明CD＝AB，进而由AD∥BC证明四边形ABCD不一定是等腰梯形； （3）连接OA、OB、OC，延长CO交AB于点E，证明CE是AB的垂直平分线，在Rt△ACE中利用勾股定理求出CE，设OA＝OC＝r，则OE＝CE﹣OC＝12﹣r，在Rt△AEO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC． （2）解：小明的说法不正确．理由如下： 由（1），∠ABC＝∠BCD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠DBC＝∠ACB， ∴CD＝AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形， ∴小明的说法不正确． （3）如图，连接OA、OB、OC，延长CO交AB于点E． ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴CE是AB的垂直平分线， ∴AEAB10＝5， 在Rt△ACE中利用勾股定理，得CE12， 设OA＝OC＝r，则OE＝CE﹣OC＝12﹣r， 在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE2+AE2＝OA2，即（12﹣r）2+52＝r2， 解得r． 【点评】本题考查圆周角定理、等腰梯形的判定和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，等腰梯形的定义，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定定理、圆的内接四边形的性质、勾股定理是解题的关键． 【题型2】四边形与相似（共11小题） 10．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 【答案】（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∴， ∴AD2＝DE•BA， ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE•DC； （2）连接AC，交BD于点O， ∵矩形ABCD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE， ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE， 在△ODA和△FEC中， ， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD． 【分析】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE•DC； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∴， ∴AD2＝DE•BA， ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE•DC； （2）连接AC，交BD于点O， ∵矩形ABCD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE， ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE， 在△ODA和△FEC中， ， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 11．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD． （1）求证：DE＝AF； （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE． 【答案】证明过程见解答． 【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题； （2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAC ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE； （2）∵△ACF≌△DAE， ∴∠AFC＝∠DEA， ∴∠AFB＝∠DEC， ∵∠ABC＝∠CDE， ∴△ABF∽△CDE， ∴， ∴AF•DE＝BF•CE， ∵AF＝DE， ∴AF2＝BF•CE． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键． 12．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB． 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； （2）CF•FQ＝AF•BQ． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）证明见解答过程． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CF＝BE， ∴CF﹣EF＝BE﹣EF， 即CE＝BF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE＝∠BAF； （2）∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF， ∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB， ∴， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC＝∠AQF， ∴∠AEF＝∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴∠BQF＝∠AFE， ∵∠B＝∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴， 即CF•FQ＝AF•BQ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠D＝∠B，证明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，则可得出结论． （2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B， ∵DF＝BE， ∴△CDF≌△CBE（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCE， ∵CD∥BH， ∴∠H＝∠DCF， ∴∠H＝∠BCE， ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH． （2）证明：∵BE2＝AB•AE， ∴， ∵CB∥DG， ∴△AEG∽△BEC， ∴， ∴， ∵BC＝AB， ∴AG＝BE， ∵△CDF≌△CBE， ∴DF＝BE， ∴AG＝DF． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 14．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF＝AE﹣BE； （2）连接BF，如果．求证：EF＝EP． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE＝AF，然后利用等线段代换可得到结论； （2）利用和AF＝BE得到，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4＝∠3，再证明∠4＝∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF＝EP． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA＝∠AFD＝90°， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△ABE和△DAF中 ， ∴△ABE≌△DAF， ∴BE＝AF， ∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE； （2）如图，∵， 而AF＝BE， ∴， ∴， ∴Rt△BEF∽Rt△DFA， ∴∠4＝∠3， 而∠1＝∠3， ∴∠4＝∠1， ∵∠5＝∠1， ∴∠4＝∠5， 即BE平分∠FBP， 而BE⊥EP， ∴EF＝EP． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 15．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形； （2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE＝18045°，易得∠ABE＝45°，可得∠ABC＝90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形． 【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBD， ∴∠CDE＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∵AD＝CD， ∴BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵BE＝BC ∴∠BCE＝∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE＝2：3， ∴∠CBE＝180°45°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝45°， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 16．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是下底BC延长线上一点，且CE＝AD． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）如果P是线段DE上的点，连接CP，AD•DE＝BC•PE，求证：CP∥AB． 【答案】（1）在等腰梯形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°． 又∵∠ABC＝∠BCD，∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE． ∵AD＝CE，AB＝CD， ∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形； （2）∵AD•DE＝BC•PE， ∴， ∵AD＝CE，DE＝BD， ∴， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC， ∴△CEP∽△CBD， ∴∠PCE＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ABC， ∴∠PCE＝∠ABC， ∴CP∥AB． 【分析】（1）利用平行线的性质得到∠A+∠ABC＝180°，进而得到∠A＝∠DCE，由等腰梯形的性质得到AB＝CD，证明△ABD≌△CDE，得到BD＝DE，即可证明结论； （2）根据AD•DE＝BC•PE结合AD＝CE，DE＝BD得到，由∠E＝∠DBC，证明△CEP∽△CBD，得到∠PCE＝∠BCD，根据∠BCD＝∠ABC，推出∠PCE＝∠ABC，即可证明结论． 【解答】证明：（1）在等腰梯形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°． 又∵∠ABC＝∠BCD，∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE． ∵AD＝CE，AB＝CD， ∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形； （2）∵AD•DE＝BC•PE， ∴， ∵AD＝CE，DE＝BD， ∴， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC， ∴△CEP∽△CBD， ∴∠PCE＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ABC， ∴∠PCE＝∠ABC， ∴CP∥AB． 【点评】本题主要考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，三角形相似． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边AB上的一点，联结CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E． （1）求证：△BDE∽△CBE； （2）如果AB＝BC，联结AE并延长，与边BC相交于点F．当点F是BC的中点时，求证：BD2＝AD•AB． 【答案】（1）证明过程见解析部分； （2）证明过程见解析部分． 【分析】（1）根据题意，得到∠CEB＝∠BED＝90°，∠ECB＝∠DBE，从而得以两三角形相似； （2）由题意得到△AED∽△ABE，得到对应边成比例，结合条件得到AE＝BD，从而证得结果． 【解答】证明：（1）∵BE⊥CD， ∴∠CEB＝∠BED＝90°， ∴∠ECD+∠CBE＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE+∠CBE＝90°， ∴∠ECB＝∠DBE， ∴△BDE∽△CBE； （2）如图2：联结AE并延长，与边BC相交于点F， BE⊥CD，F点是BC的中点， ∴CF＝EF， ∴∠ECF＝∠CEF， 由（1）知∠ECB＝∠DBE， ∵∠CEF＝∠AED， ∴∠AED＝∠ABE， ∵∠EAD＝∠BAE， ∴△AED∽△ABE， ∴， 又由（1）知△BDE∽△CBE， ∴， ∴， 设FB＝FC＝FE＝a， ∴AB＝2a，AFa，AE＝（1）a， ∵， ∴AE2＝AD•AB， ∴AD＝（3）a， ∴BD＝2a﹣（3）a＝（1）a， ∴AE＝BD， ∴BD2＝AD•AB． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，联结AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，∠ADB＝2∠DBC． （1）求证：△ADE∽△DBC； （2）求证：点E是线段AC的黄金分割点． 【答案】见解析． 【分析】（1）证明∠ADE＝∠DBC，∠AED＝∠DCB＝120°可得结论； （2）利用等边三角形的性质以及相似三角形的性质证明即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠CAB＝60°， ∵CD∥AB，DE∥BC， ∴∠DCB＝∠CAB＝60°，∠DEC＝∠ACB＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴DE＝DC， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵∠ADB＝2∠DBC， ∴∠ADE＝∠EDB＝∠DBC， ∵∠AED＝∠DCB＝120°， ∴△ADE∽△DBC； （2）∵△ADE∽△DBC， ∴， ∵△DEC，△ABC都是等边三角形， ∴DE＝EC＝DC，AC＝BC， ∴EC2＝AE•AC， ∴点E是线段AC的黄金分割点． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，黄金分割，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 19．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据菱形的性质和AAS可以证明△ABE和△ADF全等，即可得到BE＝DF，然后即可证明结论成立； （2）根据FG2＝AG•DG和相似三角形的判定和性质，可以得到∠GFD＝∠GAF，再根据（1）中△ABE≌△ADF，可以得到BE＝DF，AE＝AF，再根据∠AFD＝90°，可以得到∠ADF＝∠AEG，然后根据这两个角的正切值，可以证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠ADF，AB＝AD，BC＝DC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝DC﹣DF， ∴CE＝CF； （2）∵FG2＝AG•DG， ∴， ∵∠DGF＝∠FGA， ∴△DGF∽△FGA， ∴∠GFD＝∠GAF， 由（1）知：△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠AFD＝90°， ∴∠GAF+∠ADF＝90°，∠AFE+∠GFD＝90°， ∴∠ADF＝∠AFE， ∴∠ADF＝∠AEF， ∵tan∠ADF，tan∠AEF， ∴， ∴， 即． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，联结BD，∠BDC＝90°，点E在BC上，联结DE，使得∠EDC＝∠ECD，点F在边AB上，联结CF，分别交BD、ED于点G、H，且FH＝CH，联结DF． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）如果∠BDE＝∠DFC，求证：4EH•BE＝BG•BD． 【答案】（1）证明过程见解析部分； （2）证明过程见解析部分． 【分析】（1）根据题意，结合图形，得到E为BC中点，结合已知条件FH＝CH，得到EH是△CFB的中位线，从而证得到结论； （2）根据题意，先证得△BGC∽△FGD，再得到△BFG∽△CDG，从而得到△BFG∽△BDC，证得结论． 【解答】证明：（1）∵∠EDC＝∠ECD， ∴ED＝EC， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE+∠CDE＝90°， 即∠BDE+∠ECD＝90°， 又∵∠DBE+∠ECD＝90°， ∴∠BDE＝∠DBE， ∴DE＝BE， ∴BE＝EC＝ED， ∴E为BC中点， ∵FH＝CH， ∴H为FC中点， ∴EH是△CFB的中位线， ∴EH∥BF，， 即AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵ED＝EB， ∴四边形ABED为菱形； （2）∵∠BDE＝∠DBE，∠BDE＝∠DFC， ∴∠BDE＝∠DFC， 又∵∠DGF＝∠BGC， ∴△DFG∽△CBG， ∴， 即， ∵∠FGB＝∠DGC， ∴△BFG∽△CDG， ∴∠BFG＝∠GDC＝90°， ∵四边形ABED为菱形， ∴∠FBG＝∠CBD， ∵∠BFG＝∠BDC， ∴△BFG∽△BDC， ∴， ∴BF•BC＝BG•BD， ∵BF＝2EH，BC＝2BE， ∴4EH•BE＝BG•BD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，菱形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ⭐ 复习建议：强化圆中相似三角形的识别与证明，掌握垂径定理与勾股定理的计算，熟练运用特殊四边形的判定条件，关注黄金分割与正五边形的几何特征。 1．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由平行四边形的性质得到BOBD，由等量代换推出OEBD，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）根据等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD， ∵OE＝OB， ∴OE＝OD， ∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE， ∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°， ∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠CEO＝∠CDE， ∵OB＝OE， ∴∠DBE＝∠OEB， ∴∠DBE＝∠CDE， ∵∠BED＝∠DEC， ∴△BDE∽△DCE， ∴， ∴BD•CE＝CD•DE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． 2．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAF＝∠DAE，AE与BD交于点G． （1）求证：BE＝DF； （2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论； （2）利用得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF＝∠DBC＝∠BDC，最后证得BE＝GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠DAE， ∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF， 即：∠BAE＝∠DAF， ∴△BAE≌△DAF ∴BE＝DF； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴△ADG∽△EBG ∴ 又∵BE＝DF， ∴ ∴，又∠BDC＝∠GDF 故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC＝∠DGF ∴GF∥BC （同位角相等则两直线平行） ∴∠DGF＝∠DBC ∵BC＝CD ∴∠BDC＝∠DBC＝∠DGF ∴GF＝DF＝BE ∵GF∥BC，GF＝BE ∴四边形BEFG是平行四边形 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键． 3．如图，在△ABC中，，tanB＝2． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线BC上作出点D，使△DAC∽△ABC，点D、A、C的对应点分别是点A、B、C．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段BD的长． 【答案】（1） （2）BD＝1 【分析】（1）以点A为顶点，AC为一边，作∠DAC＝∠ABC，与CB延长线交于点D； （2）过点A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形三线合一得到BH＝HC，在Rt△ABH中，由，结合勾股定理列方程即可求得BH的长，再根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到DC的长，最后根据线段和差关系即可得解． 【解答】解：（1）如图所示，作∠DAC＝∠ABC，与CB延长线交于点D，即为所求； （2）如图所示，过点A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC， ∴BH＝HC， 设BH＝HC＝x， ∵， ∴AH＝2BH＝2x， ∵AH2+BH2＝AB2， 即， 解得x＝2或x＝﹣2（负值，舍去）， 即BH＝HC＝2， ∴BC＝BH+HC＝4， ∵△DAC∽△ABC， ∴， 即， 解得DC＝5， ∴BD＝DC﹣BC＝5﹣4＝1． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换，解直角三角形，正确地作出图形是解题的关键． 4．如图，已知四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAC＝90°，点E是四边形ABCD外一点，AE＝CE，联结ED并延长分别交AC、BC于点M、N． （1）求证：BN＝CN； （2）已知BC2＝2AB•NE，求证：∠ACB＝∠NEC． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程． 【分析】（1）由题意可得EN垂直平分AC，可得AN＝NC，AM＝MC，即可求解； （2）通过证明△CMN∽△ECN，可得∠NCM＝∠NEC，即可求解． 【解答】证明：（1）如图，连接NA， ∵AD＝CD，AE＝CE， ∴EN垂直平分AC， ∴AN＝NC，AM＝MC，∠CMN＝90°， ∴∠NAC＝∠ACN， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠BAN， ∴BN＝AN， ∴BN＝NC； （2）∵BN＝NC，AM＝MC， ∴AB＝2MN， ∵BC2＝2AB•NE， ∴（2CN）2＝2×2MN•NE， ∴CN2＝MN•NE， ∴， 又∵∠CNM＝∠CNE， ∴△CMN∽△ECN， ∴∠NCM＝∠NEC， 即∠ACB＝∠NEC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明三角形相似是解题的关键． 5．已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACN的度数． 【答案】（1）2cm； （2）120°． 【分析】（1）过点O作OD⊥MN，垂足为点D，由垂径定理，得MD＝ND，由，得到，根据OM＝4cm，利用勾股定理即可求解出OD，即可得出结果； （2）根据点M是的中点，得到OM⊥AB，根据，得到∠OMD＝30°，进而得到∠ACM＝60°，即可求出∠ACN的度数． 【解答】解：（1）过点O作OD⊥MN，垂足为点D，连接OM， ∴MD＝ND， ∴， 又∵OM＝4cm， ∴， 即圆心O到弦MN的距离为2cm； （2）由条件可知OM⊥AB． ∵， ∴∠OMD＝30°． ∴∠ACM＝60°． ∴∠ACN＝120°． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E． （1）当BC＝12时，求⊙O的半径长； （2）求的值． 【答案】（1）⊙O的半径长为4； （2）的值为． 【分析】（1）由⊙O与AB边相切于点E，得∠OEB＝90°，而∠B＝30°，OE＝OC，所以OB＝2OE＝2OC，由BC＝2OC+OC＝12，求得OC＝4，则⊙O的半径长为4； （2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE，由∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°，求得∠BOE＝∠C＝60°，则△COE是等边三角形，所以∠COD＝60°，求得∠DOE＝60°，则△EOD是等边三角形，所以∠OED＝60°，求得∠AED＝30°，则ADEDCD，所以． 【解答】解：（1）∵⊙O与AB边相切于点E， ∴AB⊥OE于点E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠B＝30°，OE＝OC， ∴OB＝2OE＝2OC， ∵OB+OC＝BC＝12， ∴2OC+OC＝12， ∴OC＝4， ∴⊙O的半径长为4． （2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE， ∵∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠BOE＝∠C＝90°﹣∠B＝60°， ∴△COE是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COD﹣∠BOE＝60°， ∴△EOD是等边三角形， ∴∠OED＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠OED﹣∠OEB＝30°， ∴ADED， ∵ED＝OD＝CD， ∴ADCD， ∴， ∴的值为． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 【答案】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， 而OH⊥AB， ∴OH＝OD， ∴AB是⊙O的切线； （2）． 【分析】（1）连接OD，连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AC，然后利用角平分线的性质得到OH＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD＝3，OC＝5，进而得到cosC，在Rt△OCA中，由cosC，即可求出sin∠OAC． 【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， 而OH⊥AB， ∴OH＝OD， ∴AB是⊙O的切线； （2）由（1）知OD⊥AC， 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2， ∴OD2+42＝（OD+2）2， ∴OD＝3， ∴OC＝5， ∴cosC， 在Rt△OCA中，cosC， ∴sin∠OAC． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解决问题的关键． 8．如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD． （1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线； （2）若FC＝15，AC＝9，求FD的长． 【答案】（1）见解答； （2）44． 【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可． 【解答】（1）证明：在△AOF和△EOF中， ， ∴△AOF≌△EOF（SAS）， ∴∠OAF＝∠OEF， ∵BC与⊙O相切， ∴OE⊥FC， ∴∠OAF＝∠OEF＝90°， 即OA⊥AF， ∵OA是⊙O的半径， ∴AF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，FC＝15，AC＝9， ∴AF12， ∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°， ∴△OEC∽△FAC， ∴， 设⊙O的半径为r，则， 解得r＝4， 在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝12，AO＝4， ∴OF4， ∴FD＝OF﹣OD＝44， 即FD的长为：44． 【点评】本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F． （1）求证：AB＝AF． （2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）239.0． 【分析】（1）证明∠AFB＝∠ABF＝72°，可得结论； （2）过点B作BH⊥OA于点H．解直角三角形求出OH，AB，可得结论． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，OD，OC，OB． ∵ABCDE是正五边形， ∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°， ∴∠BAC∠BOC＝36°，∠ABF∠AOD＝72°， ∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF； （2）解：过点B作BH⊥OA于点H．则BH＝OB•sin36°，OH＝OB•cos36°， ∴五边形ABCDE的面积＝5•AB•OH ＝52×OB2•sin30°•cos36° ＝5×102×0.59×0.81 ≈239.0． 【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD． （1）求AB的长； （2）如果，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）4； （2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由见解析． 【分析】（1）连接AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，得出AE⊥BC，BE＝DE．根据垂径定理可得BE＝DE＝4，利用勾股定理求出OE＝3，则AE＝8，再利用勾股定理即可求解； （2）根据正切函数的定义得tanC，可得CE＝6，则BC＝BE+CE＝10，过C作CH⊥AB于H，根据sin∠ABE可得，可求出CH＝49，即可得出答案． 【解答】解：（1）连接OD、AD、OB，连接AO并延长交BC于E点， ∵AB＝AD，OB＝OD， ∴AE⊥BC，BE＝DE． ∵BD＝8， ∴BE＝DE＝4， ∴OE3， ∴AE＝OA+OE＝8， ∴AB4； （2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由如下： ∵tanC，AE＝8， ∴CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10， 过C作CH⊥AB于H， ∵sin∠ABE， ∴， ∴CH＝49， ∴直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交． 【点评】本题考查解直角三角形，直线和圆的位置关系，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，掌握与圆有关的基础知识是解题的关键． 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海中考复习 简答第23题专题复习 (知识总结+考点精讲+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握 圆的基本性质：垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弦切角定理，能结合相似三角形进行综合证明。 · 熟练运用 相似三角形的判定（AA、SAS、SSS）与性质（比例线段、面积比），解决圆中线段乘积、等积式问题。 · 理解 特殊四边形（矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定与性质，能在圆或三角形背景下证明特殊图形。 · 掌握 切线判定与性质，能证明直线与圆相切，并利用切线长定理、切割线定理进行线段计算。 · 会利用 相似三角形与圆幂定理（相交弦定理、切割线定理）建立比例关系，解决线段长度或比值问题。 · 提升 综合运用几何变换、方程思想、分类讨论解决圆中动态问题及存在性问题。 ✨ 核心聚焦：圆中相似模型、垂径定理与圆心角、四边形与相似的综合证明，精准突破第23题几何论证。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 一、圆的基本性质与相似三角形综合 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。常用于构造直角三角形、中点、相等线段。 · 圆心角、弧、弦关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；弦心距相等则弦相等。 · 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为90°（构造直角三角形）。 · 切线性质与判定：切线垂直于过切点的半径；过半径外端且垂直于半径的直线是切线；切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等）。 · 相似三角形在圆中的应用：常见模型——① 相交弦定理的推论（同弧所对圆周角相等→相似）；② 切割线定理（由相似导出比例式）；③ 弦切角定理（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）。 · 圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角。常与等腰梯形结合（题9）。 ☆ 二、特殊四边形与相似三角形 · 矩形：对角线相等，四个直角，常与垂直、勾股定理结合（题10）。 · 菱形：四边相等，对角线垂直平分且平分内角，面积=½·对角线积。常用等积法、垂直平分线性质（题13,15,19,22）。 · 正方形：兼具矩形与菱形性质，对角线相等且垂直，常通过旋转构造全等（题14）。 · 等腰梯形：两腰相等，底角相等，对角线相等，常通过平移腰或作高转化为三角形（题16,18,20）。 · 相似三角形的常见模型：A字型、8字型、一线三等角、母子型。在四边形中常与中点、角平分线、垂直条件结合，推导比例中项或等积式。 · 黄金分割：点E是线段AC的黄金分割点 ⇔ 或 （题18）。 ☆ 三、常用几何证明工具 · 比例中项与射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（）。 · 平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）所得对应线段成比例。 · 中点与中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；直角三角形斜边中线等于斜边一半。 · 旋转与全等：遇等腰三角形或正方形常通过旋转构造全等，实现线段转移。 ☆ 知识模块速查表 模块 核心定理/性质 常见题型/方法 圆与相似 垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理 证明线段相等、平行、垂直；求线段长；证等积式（如AB²=BF·OB） 四边形与相似 矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质；相似基本模型 证菱形、矩形、正方形；证比例中项；黄金分割点 切线证明 过半径外端垂直半径是切线；圆心到直线距离等于半径 证直线与圆相切，常用连半径证垂直或利用角相等转化 圆幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理 由相似推导线段乘积关系，如AE·EC=BE·ED 黄金分割 黄金比≈0.618，与正五边形、相似三角形结合 判断点是否为黄金分割点，利用相似推导比例 核心考点 ·典例精讲 【题型1】圆与相似三角形（共9小题） 1．如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE＝DF． （1）求证：AB∥CD； （2）若AB＝BD，求证：AB2＝BF•OB． 2．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点． （1）证明：OP⊥EF； （2）连接AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为矩形． 3．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F． （1）求证：BD＝CD； （2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长． 5．已知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E，OC与BD交于点F，满足． （1）求证：OC⊥BD； （2）如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G，求证：四边形CEOG是菱形． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC． （1）求EF的长； （2）求∠COE的正弦值． 8．在⊙O中，点C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，且D是OC的中点． （1）求∠AOD的度数； （2）延长AO交⊙O于点E，联结EC，交AB于点F，如果AE＝8，求FB的长度． 9．已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC＝BD． （1）求证：AD∥BC； （2）小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知AB＝10，AC＝BC＝13，求⊙O的半径． 【题型2】四边形与相似（共11小题） 10．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 11．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD． （1）求证：DE＝AF； （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE． 12．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB． 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； （2）CF•FQ＝AF•BQ． 13．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证：△BEC∽△BCH； （2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF． 14．已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF＝AE﹣BE； （2）连接BF，如果．求证：EF＝EP． 15．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 16．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是下底BC延长线上一点，且CE＝AD． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）如果P是线段DE上的点，连接CP，AD•DE＝BC•PE，求证：CP∥AB． 17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边AB上的一点，联结CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E． （1）求证：△BDE∽△CBE； （2）如果AB＝BC，联结AE并延长，与边BC相交于点F．当点F是BC的中点时，求证：BD2＝AD•AB． 18．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，联结AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，∠ADB＝2∠DBC． （1）求证：△ADE∽△DBC； （2）求证：点E是线段AC的黄金分割点． 19．已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，联结BD，∠BDC＝90°，点E在BC上，联结DE，使得∠EDC＝∠ECD，点F在边AB上，联结CF，分别交BD、ED于点G、H，且FH＝CH，联结DF． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）如果∠BDE＝∠DFC，求证：4EH•BE＝BG•BD． 课后巩固 · 针对性练习 ⭐ 复习建议：强化圆中相似三角形的识别与证明，掌握垂径定理与勾股定理的计算，熟练运用特殊四边形的判定条件，关注黄金分割与正五边形的几何特征。 1．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE． 2．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAF＝∠DAE，AE与BD交于点G． （1）求证：BE＝DF； （2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形． 3．如图，在△ABC中，，tanB＝2． （1）试用无刻度直尺和圆规，在直线BC上作出点D，使△DAC∽△ABC，点D、A、C的对应点分别是点A、B、C．（不必写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求线段BD的长． 4．如图，已知四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAC＝90°，点E是四边形ABCD外一点，AE＝CE，联结ED并延长分别交AC、BC于点M、N． （1）求证：BN＝CN； （2）已知BC2＝2AB•NE，求证：∠ACB＝∠NEC． 5．已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O的半径为4cm，． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACN的度数． 6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E． （1）当BC＝12时，求⊙O的半径长； （2）求的值． 7．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 8．如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD＝∠EOD． （1）连接AF，求证：AF是⊙O的切线； （2）若FC＝15，AC＝9，求FD的长． 9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F． （1）求证：AB＝AF． （2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）． 10．如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD． （1）求AB的长； （2）如果，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $