专题03 离散型随机变量与二项分布问题及其拓展运用8种重点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

专题03 离散型随机变量与二项分布问题及其拓展运用8种重点常考题型 题型一：独立重复试验判断及概率计算 题型二：利用二项分布确定概率 题型三：利用二项分布确定分布列 题型四：服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型五：二项分布的均值及其应用 题型六：二项分布的方差及其应用 题型七：建立二项分布模型解决实际问题 题型八：二项分布与其他章节融合 题型一：独立重复试验判断及概率计算 1.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为（  ） A． B． C． D． 2.（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（  ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 3.（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围为 ． 5.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率：_____． 6.A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率． 题型二：利用二项分布确定概率 7．设，且，那么（  ） A． B． C． D． 8.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（  ） A． B． C． D． 9.已知随机变量，则（  ） A． B． C． D． 10.（多选）若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（  ） A． B． C． D． 11.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则 ．    12.设随机变量，若，则p=___________ 13.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则 题型三：利用二项分布确定分布列 14．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立，若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 15.随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为，当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列． 16.某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 17.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 18.旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列． 题型四：服从二项分布的随机变量概率最大问题 19．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（  ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 20.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（  ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 21.为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 22.（多选）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（  ） A． B． C． D．的最大值为 23.（多选）若随机变量，记为恰好发生k次（）的概率，下列说法正确的有（  ） A． B． C． D．当或6时，取得最大值 24.某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大． 25.某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为____________- 26.2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 27.甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 题型五：二项分布的均值及其应用 28．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响，经过3局比赛，记甲的得分为X，则X的期望值为（  ） A． B． C． D． 29.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（  ） A． B．- C． D． 30.（多选）随机变量，且，则（  ） A． B． C． D． 31.已知随机变量，满足，若，则为___________ 32.有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 题型六：二项分布的方差及其应用 33．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量的方差（  ） A．2 B．1 C． D． 34.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则（  ） A． B．0.4 C． D． 35.已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（  ） A． B． C．2 D．4 36.甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（  ） A． B． C． D． 37.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（  ） A． B． C． D． 38.（多选）设随机变量，，若，则（  ） A． B． C． D． 39.小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则____________ 题型七：建立二项分布模型解决实际问题 40．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（  ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 41.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 42.甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 43.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 44.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 题型八：二项分布与其他章节融合 45．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 46.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望 (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系． 47.为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 48.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．    将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 49.某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人． (1)求直方图中x，y的值； (2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少； ②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望． 50.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 离散型随机变量与二项分布问题及其拓展运用8种重点常考题型 题型一：独立重复试验判断及概率计算 题型二：利用二项分布确定概率 题型三：利用二项分布确定分布列 题型四：服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型五：二项分布的均值及其应用 题型六：二项分布的方差及其应用 题型七：建立二项分布模型解决实际问题 题型八：二项分布与其他章节融合 题型一：独立重复试验判断及概率计算 1.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，求得事件A至少发生1次的对立事件为在4次独立重复试验中，事件A一次也没有发生，即可求解得到答案． 【详解】由题意，事件A在以试验中发生的概率为，事件A在一次试验中不发生的概率为， 因为事件A至少发生1次的概率是，它的对立事件是“在4次独立试验中，事件A一次也没有发生”， 所以由条件知，解得， 故选：B． 2.（多选）某城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从该城镇中任意选出5个家庭，则下列结论正确的是（  ） A．这5个家庭均拥有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为 D．这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】ACD 【分析】利用独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式逐项求解即可. 【详解】由题意得小汽车的普及率为. 对于A选项，这5个家庭均拥有小汽车的概率为，故A选项正确； 对于B选项，这5个家庭中，恰有3个家庭拥有小汽车的概率为， 故B选项不正确； 对于C选项，这5个家庭中，不超过2个家庭拥有小汽车的概率为，故C选项正确； 对于D选项，这5个家庭中，4个以上家庭（含4个家庭）拥有小汽车的概率为，故D选项正确. 故选：ACD 3.（多选）某比赛共进行局，每局比赛没有平局，2n局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则当时，最大 C．若，则当时，最小 D．若，则当时，最大 【答案】ABC 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率性质判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断B，C，D即可. 【解析】对于A，，，，故A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局， 所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜， 则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”， 与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件， 所以， 则 ， 即， 易得，则我们讨论的正负即可， 对于B，若，则，当时，， 即，则当时，最大，故B正确， 对于C，若，则，当时，， 即，则当时，最小，故C正确， 对于D，若，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 则当时，最大，故D错误. 故选：ABC 4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围为 ． 【答案】 【分析】得到不等式组，求出答案. 【详解】根据题意可知，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率， 即，解得． 故答案为： 5.某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率：_____． 【答案】 【分析】设A=“申请甲片区房源”，可得P(A)的值，利用独立重复试验的概率计算即可． 【详解】每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设A=“申请甲片区房源”，则P(A)=，恰有2人申请甲片区的概率为P== 故答案为： 6.A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率． 【答案】 【分析】首先列出以及所满足的条件，分类讨论m和n的取值，在不同的取值时，得到的可能取值，用独立重复实验的公式列出抛硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率即可. 【详解】设表示游戏终止时抛硬币的次数，设正面出现的次数为，反面出现的次数为.依据题意，则，且.可得：当，或时，； 当或时，，所以的取值为：5,7 . 故答案为：. 题型二：利用二项分布确定概率 7．设，且，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【解析】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C. 8.某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 9.已知随机变量，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【解析】由题意得 故选：D. 10.（多选）若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据二项分布中概率的计算公式，逐项验证即可。 【解析】由题意，根据二项分布中概率的计算公式，， 则，， ，， ， 因此，，． 故选：BD． 11.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则 ．    【答案】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 12.设随机变量，若，则p=___________ 【答案】 【分析】根据二项分布的分布列可得，可解问题. 【解析】根据随机变量， 且，可得. 故答案为： 13.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则 【答案】 【分析】记质点向右移动的次数为，据题意可得，服从二项分布.分别求得和时对应的的值，由此求得和，从而求得. 【解析】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故答案为： 题型三：利用二项分布确定分布列 14．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立，若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】由题意可得的取值依次为，，利用二项分布的概率公式可求分布列。 【解析】设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 15.随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为，当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列. 【详解】由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 16.某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为 0 1 2 3 4 【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解； （2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列. 【解析】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为. （2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 17.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【答案】(1)； (2)分布列见解析 【分析】（1）利用间接法求解； （2）判断X属于二项分布，并求出X的可能取值, 求出每个取值对应的概率，列表即可 【解析】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 18.旅游是人们为了休闲、商务或其他目的离开自己的常住地，前往其他地方进行的活动．甲、乙、丙三人计划去西安旅游，经过商议他们计划各自从秦始皇兵马俑、华清宫、大唐不夜城、华山、黄河壶口瀑布这五个景点中随机选择两个景点游玩． (1)求甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； (2)记他们选择去大唐不夜城游玩的人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析；. 【分析】（1）先求出甲、乙、丙从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法，再求其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法数，利用古典概型概率公式求结论； （2）先条件确定的可能取值，，结合二项分布分布列结论求的分布列，再根据二项分布期望公式求期望. 【解析】（1）甲、乙、丙分别从五个景点中随机选择两个景点游玩的所有选法有种选法， 其中甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的选法有种选法， 所以甲选择去华清宫游玩，且乙不去华山游玩的概率； （2）甲选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 同理可得乙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 丙选择去大唐不夜城游玩的的概率为， 由已知的可能取值有，，，， 且， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 题型四：服从二项分布的随机变量概率最大问题 19．若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（  ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【解析】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A. 20.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（  ）号格子的概率最大. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【解析】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C. 21.为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计， ，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【解析】已知， ，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 22.（多选）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（  ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】AC 【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，进而表达出，结合组合数的公式求解可得，再逐个选项判断即可. 【解析】对于A，若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局， 所以，故A正确； 对于B，若甲、乙比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局， 所以，故B错误； 对于C，若甲、乙比赛局甲获胜，则甲在局比赛中至少胜局， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 且， 又， 故， 所以递增，所以当时，取得最小值为，故D错误. 故选：AC 23.（多选）若随机变量，记为恰好发生k次（）的概率，下列说法正确的有（  ） A． B． C． D．当或6时，取得最大值 【答案】ABC 【分析】根据二项分布的概率公式，即可判断AB；根据概率公式，化简，再根据二项式定理，求得公式，利用赋值法，即可判断C；根据不等式且，即可判断D. 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，， 即，故B正确； 对于C，， ， ，两边求导数， ， 令，得， ，故C正确； 对于D，设最大，则，得， 即当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC 24.某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大． 【答案】8 【分析】本题为二项分布的典型问题，设出最可能命中的次数为m次，即命中m次的概率最大，列出不等式组，命中m次高于前一次且高于后一次，解不等式取整数即可. 【解析】∵ 射箭命中次数， ∴ ， 设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则 解得， ∵ ，∴. 故答案为：8. 25.某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为____________- 【答案】8 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【解析】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故答案为：8. 26.2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据古典概型的知识进行求解即可. （2）根据二项分布的概率公式列出不等式方程组，求出最值. 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 27.甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)；(2)①；②或或． 【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）①由条件可得，再结合独立重复试验概率公式及互斥事件概率加法公式求结论； ②根据条件，得到，再由为不等式组的解，即可求. 【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. （2）①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 题型五：二项分布的均值及其应用 28．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响，经过3局比赛，记甲的得分为X，则X的期望值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，进而利用二项分布求出的分布列及数学期望； 【详解】由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3， 则，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为，所以X的期望. 故选：C 29.一台仪器每启动一次都会随机地出现一个3位的二进制数，其中的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的二进制数为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则81次这样的独立重复试验的总得分的数学期望为（  ） A． B．- C． D． 【答案】 【分析】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其期望的性质可求. 【解析】根据题意一次试验成功的概率为， ∴次重复试验中成功次数服从二项分布， 故， 总得分， 故， 故选：. 30.（多选）随机变量，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意求出，再根据二项分布分别求出，和判断即可 【解析】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 31.已知随机变量，满足，若，则为___________ 【答案】2 【分析】根据二项分布的期望与方差公式求出随机变量的期望与差，再根据期望与方差的性质即可得解. 【解析】解：∵， ∴，． ∵，∴， ∴． 故答案为：2． 32.有一个翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算求解； （2）应用二项分布写出概率，再写出分布列，最后应用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 题型六：二项分布的方差及其应用 33．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷4次，记为“朝上的点数不大于3”出现的次数，则随机变量的方差（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解. 【解析】因为每次“朝上的点数不大于3”的概率，且连续抛掷4次， 可知，所以. 故选：B. 34.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则（  ） A． B．0.4 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：，且，从而可得值． 【详解】由题意可知： ∴，即, ∴ 故选：D. 35.已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】结合二项分布期望与方差公式、利用基本不等式运算求解. 【详解】，， ，，又，解得，即，，当且仅当，又，即当时取等， 故选：B. 36.甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解. 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 37.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，结合二项分布方差公式运算求解. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 38.（多选）设随机变量，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由概率的性质及二项分布概率公式有，求得，再应用二项分布期望、方差公式、概率公式判断各项正误. 【解析】由，则，可得， 所以，， . 故选：ABD 39.小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则____________ 【答案】18 【分析】设小明射中的次数为，得到，求得，结合，结合方差的性质，即可求得的值，得到答案. 【解析】设小明射中的次数为， 因为每次射击互不影响，且每次射中的概率均为，所以随机变量， 则，， 又因为射中一次得5分，没射中得0分，所以，则． 故答案为：18. 题型七：建立二项分布模型解决实际问题 40．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（  ） A． B．存在最大值 C． D．随着n的增大而增大 【答案】ACD 【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可. 【解析】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为： ， 有，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， ， 可得，故为递增数列，可知D选项正确，B错误. 故选：ACD 41.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲工厂有件，乙工厂有件，得到，，根据题意，列出方程，求得，即可求解； （2）由（1）知所以，且的可能取值为，取得相应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】（1）解：设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则，，，解得，即. （2）解：由（1）知所以， 随机变量的可能取值为，且， 可得，， ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 所以期望为. 42.甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解答过程】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 43.小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率． (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【详解】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线． 44.某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. (1)若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望，并求； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为（单位：元）. （i）请用表示； （ii）设备升级后，已知该企业现有控制系统中有5个元件，若增加2个元件，则单位时间内的利润是否提高. 【答案】(1)分布列见解析，，；(2)（i）；（ii）若，增加2个元件后利润提高；；若时，增加2个元件后利润没有提高. 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解； （2）（i）先写出升级改造后单位时间内产量的分布列，求出设备升级后单位时间内的利润，即为； （ii）分以下三种情况讨论：①原系统中至少有4个元件正常工作；②原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作；③原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，再对三种情况进行求和，得到，计算，与作比较，再根据判断即可. 【详解】（1）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为， 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以， 所以， ， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， （2）（i）升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 0 设备运行概率 所以升级改造后单位时间内产量的期望为， 所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量（单位：件） 利润（单位：元） 2 1 设备升级后单位时间内的利润为，即. （ii）若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有4个元件正常工作，其概率为； 第二类：原系统中恰好有3个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有2个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 ， 则， 所以当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率变大； 当时，，即增加2个元件设备正常工作的概率没有变大. 又因为， 所以当时，增加2个元件后利润提高；当时，增加2个元件后利润没有提高. 题型八：二项分布与其他章节融合 45．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”．    (1)估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望． (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1)； (2)分布列见解析；期望为； (3) 【分析】（1）根据频率和为1求解可得，再根据平均值的求法求解即可； （2）根据分层抽样性质可得抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，则可取0，1，2，进而可得分布列与数学期望； （3）由题意，再根据二项分布的公式求解最值即可. 【详解】（1）由，解得． （2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ，解得：，又，故时概率最大. 46.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望 (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）通过题目条件得到10场比赛甲、乙、丙获胜的概率，根据甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差的大小关系. 【解答过程】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为， 还需要进行6场比赛，甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，即，，， 所以， ，故. 47.为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取5人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】分布列见解析，，. 【解题思路】由题意，应用二项分布的概率求法求分布列，进而求期望和方差. 【解答过程】由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 48.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．    将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)． 【答案】(1)0.108.(2) 1.8，0.72. 【详解】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 可求出，，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值. （1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此 . . . （2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 49.某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人． (1)求直方图中x，y的值； (2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少； ②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)，；(2)① 30万元；②分布列见解析；期望为 【分析】 【详解】（1）因为， 故 由年薪在的毕业生人数比年薪在的毕业生人数多22人可得： ， 故· 解得， （2）①学院毕业生年薪在区间的人数比例为：， 故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率， 故随机变量， 故 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 的数学期望 50.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 【答案】(1)11.5；(2)平均值为9，方差为；(3)，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出再计算高一学生阅读时间的上四分位数； （2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果； （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据最大不等式节出的值； 【详解】（1）由频率分布直方图得： ，解得 频率分布直方图中，第一个小长方形面积为 第二个小长方形面积为 第三、四个小长方形面积为 第五个小长方形面积为 第六个小长方形面积为 前六个长方形面积和为0.8， 所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内， 设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得 （2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人 设这一组的平均值，方差 所以总体方差是，解得 （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题， 由频率分布直方图可知内的概率是， 由 得 解得 所以当最大时， 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $