秘籍02 轻松突破二项式定理的七大热点题型（抢分专练）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专题02 轻松突破二项式定理的七大热点题型 题型 考情分析 考向预测 1.求二项展开式特定项或项的系数 2025年上海卷 第4题考查求二项展开式特定项的系数 2024年天津卷 第11题考查求二项展开式的常数项 2024年全国甲卷 第13题考查二项展开式系数的最值 2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数的和 结合近年高考命题规律与新课标导向——“基础稳、交汇活、文化浓”，大概率以选择题或者填空题出现，难度基础或者中档，掌握公式，掌握通性通法，基础题遇到必拿分。 2.求两个二项式乘积展开式中特定项的系数 3.求三项展开式的特定项或特定项的系数 4.用赋值法求系数和 5.求系数最大（小）的项 6.杨辉三角问题 7.二项式定理的应用 题型1求二项展开式特定项或项的系数 3. 【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式展开式中的常数项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的展开式通项为， 令得，故展开式中的常数项为. 【变式1-1】（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【答案】A 【解析】展开式的通项公式为， 令，则， 当时，，， 当时，，，所以， 令，则，所以. 【变式1-2】（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 因为展开式中的系数比的系数小300，可得， 即，解得或， 又因为，所以. 故选：A. 题型2 求两个二项式乘积展开式中特定项的系数 【例2】（2026高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】， 其中含有的项分别是和， 这两项系数之和为，故选：C. 【变式2-1】（2026高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________． 【答案】5 【解析】由题意得， 则含的项为，所以含的项的系数为5． 故答案为：5. 【变式2-2】（2025高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（     ） A．26 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】展开式中按x的升幂排列的第3项，即展开式中含的项. 的2次项，1次项分别为； 的2次项，1次项为. 则的2次项为. 故选：B． 题型3 求三项展开式的特定项或特定项系数 【例3】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【解析】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 【变式3-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【解析】 根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60.故选：C. 题型4 用赋值法求系数和 【例4】（2026高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 【变式4-1】（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 题型5 求系数最大（小）的项 【例5】（2025高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【答案】C 【解析】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 【变式5-1】（2025高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【解析】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 题型6 杨辉三角问题 高频考点与固定套路 【例6】（2025高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【解析】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 【变式6-1】（2025高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误； 当时， ，选项C正确； 当时， ，选项D正确． 故选：ACD． 题型7 二项式定理的应用 【例7】（2025高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D. 【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】A 【解析】 故小数点后第二位的数字是0. 故选：A. 一、单选题 1. （2026高三下·吉林·月考）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解析】因为展开式的各项系数和为32， 所以令，有，得， 故， 因为展开式中含的项为，含的项为， 则展开式中的系数是. 2. （2026高三下·北京·月考）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．64 D． 【答案】A 【解析】设二项式的展开式中的通项为 ，， 令，可得，, 故选：A. 3. （2026·吉林·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 【答案】D 【解析】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 4. （2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】的展开式的通项公式为， 令，解得， . 故选：B. 5. （2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 6. （2026高三下·北京·月考）若.则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【解析】由， 令，可得， 令，可得， 所以. 二、多选题 7. （2026·河北衡水·模拟预测）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 【答案】BD 【解析】展开式共有7项，故A错误； 展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选:. 8. （2026高二上·河南驻马店·期末）已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所 有项的系数绝对值的和为，则（    ） A． B．二项式系数最大的项为 C．第6项的系数为448 D．所有奇数项的系数和为3281 【答案】BD 【解析】由题意可得，二项式系数之和为，解得， 对于A选项，因为所有项的系数绝对值的和为，所以，解得，故A错误； 对于B选项，当时，二项式系数最大的项是第项，，故B正确； 对于C选项，，故第6项的系数为，故C错误； 对于D选项，令，令，则，令，， 所以所有奇数项之和为， 将代入可得，所有奇数项的系数和为3281； 将代入可得，所有奇数项的系数和为3281，故D正确. 故选：BD. 9. （2026高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（    ） A． B．展开式中无常数项 C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式的各项系数之和是 【答案】ABC 【解析】由题意可知，则，故A正确； 设展开式的通项为， 显然无整数解，故B正确. 因为，所以由二项式系数的性质可知中间两项二项式系数最大， 即第4、5项二项式系数最大，分别为，故C正确； 令，则，故D错误； 故选：ABC. 10. （2025高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最 大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 11. （2026高三上·福建福州·开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256，则（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中的系数为16 【答案】AC 【解析】对于A，由二项式系数和的性质得中各二项式系数的和为， 而各二项式系数的和为256，则，解得，故A正确， 对于B，由已知得， 令，则展开式中各项系数的和为，故B错误， 对于C，由二项式定理得的通项为，且， 若展开式中存在常数项，则，解得，符合，故C正确， 对于D，令，解得，则的系数为，故D错误. 故选：AC 12. （2026高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（     ） A． B．的展开式中的系数为3 C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 【答案】BCD 【解析】二项式的展开式的第项为， 当时，即时，可得，解得，所以A错误； 可得二项式， 展开式中的系数为3，所以B正确； 各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确； 可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确； 故选：BCD. 13. （2026·辽宁朝阳·一模）若，，为常数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【解析】对于A，当时，令，可得为任意正整数，故A错误. 对于B，当时，，求解得，，， ，，，，可知，故B正确； 对于C，由题意，可知，令，则，所以或，故C错误； 对于D，由题意，可知，，即， 解得，又，，故D正确. 14. （2026高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中 展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【解析】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15. （2026高三上·浙江杭州·期末）展开式中项的系数为________. 【答案】 【解析】 因为 所以展开式中项的系数为. 故答案为： 16．（25-26高三下·江西·月考）若，且，则的值为______. 【答案】 【解析】由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等， 则，解得或0（舍去）. 17．（2026·广东·模拟）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________. 【答案】 【解析】因为在的展开式中，记项的系数为， 所以项的系数， 即， 由，可得， 即， 所以. 18.（2026高三下·天津·专题练习）已知多项式，则 ______． 【答案】 【解析】展开式的通项， 展开式的通项， 所以，，， 所以. 19.（2026高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系 数最大的项是______． 【答案】 【解析】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 20.（2026高三上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为， 则被除所得余式为____________ 【答案】 【解析】由被除之余式为，被除之余式为， 则可设， 且有，故， 则， 故被除所得余式为. 故答案为：. 21．（2026高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是 ___________. 【答案】7 【解析】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 22.（2026高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 【答案】5 【解析】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 轻松突破二项式定理的七大热点题型 题型 考情分析 考向预测 1.求二项展开式特定项或项的系数 2025年上海卷 第4题考查求二项展开式特定项的系数 2024年天津卷 第11题考查求二项展开式的常数项 2024年全国甲卷 第13题考查二项展开式系数的最值 2025年北京卷：第14题考查二项展开式系数的和 结合近年高考命题规律与新课标导向——“基础稳、交汇活、文化浓”，大概率以选择题或者填空题出现，难度基础或者中档，掌握公式，掌握通性通法，基础题遇到必拿分。 2.求两个二项式乘积展开式中特定项的系数 3.求三项展开式的特定项或特定项的系数 4.用赋值法求系数和 5.求系数最大（小）的项 6.杨辉三角问题 7.二项式定理的应用 题型1求二项展开式特定项或项的系数 3. 【例1】（安徽蚌埠市2026届高三下学期适应性考试数学试题）二项式展开式中的常数项是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【变式1-2】（25-26高三上·河北邯郸·期中）若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型2 求两个二项式乘积展开式中特定项的系数 【例2】（2026高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 【变式2-1】（2026高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________． 【变式2-2】（2025高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（     ） A．26 B． C．6 D． 题型3 求三项展开式的特定项或特定项系数 【例3】（2025·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【变式3-1】（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 题型4 用赋值法求系数和 【例4】（多选）（2026高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（     ） A． B． C． D． 题型5 求系数最大（小）的项 【例5】（2025高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【变式5-1】（2025高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 题型6 杨辉三角问题 高频考点与固定套路 【例6】（多选）（2025高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【变式6-1】(多选)（2025高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7 二项式定理的应用 【例7】（2025高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式7-2】（25-26高三上·山东菏泽·期末）数列中的项，若存在奇数，使得均不为偶数，则称数列为阶除序列． (1)数列为阶除序列，当，求出所有的； (2)已知，对任意的，恒有，求证：数列是5阶除序列． 一、单选题 1. （2026高三下·吉林·月考）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2. （2026高三下·北京·月考）二项式的展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．64 D． 3. （2026·吉林·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 4. （2026·河北邢台·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．4 B． C．1 D． 5. （2026高三·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6. （2026高三下·北京·月考）若.则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 二、多选题 7. （2026·河北衡水·模拟预测）关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有6项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式的第6项的系数为30 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 8. （2026高二上·河南驻马店·期末）已知的二项式展开式中，二项式系数和为256，所 有项的系数绝对值的和为，则（    ） A． B．二项式系数最大的项为 C．第6项的系数为448 D．所有奇数项的系数和为3281 9. （2026高二上·吉林长春·期末）已知的展开式的各二项式系数之和为128，则（    ） A． B．展开式中无常数项 C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式的各项系数之和是 10. （2025高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 11. （2026高三上·福建福州·开学考试）的展开式中，各二项式系数的和为256，则（    ） A． B．展开式中各项系数的和为 C．展开式中存在常数项 D．展开式中的系数为16 12. （2026高三上·浙江宁波·期末）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（     ） A． B．的展开式中的系数为3 C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 13. （2026·辽宁朝阳·一模）若，，为常数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 14. （2026高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中 展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 三、填空题 15. （2026高三上·浙江杭州·期末）展开式中项的系数为________. 16．（25-26高三下·江西·月考）若，且，则的值为______. 17．（2026·广东·模拟）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________. 18.（2026高三下·天津·专题练习）已知多项式，则 ______． 19.（2026高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系 数最大的项是______． 20.（2026高三上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为， 则被除所得余式为____________ 21．（2026高三上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是 ___________. 22.（2026高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $