专题06 动点问题与路径最值（几何模型）（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题06 动点问题与路径最值（几何模型） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 将军饮马问题 题型02 瓜豆原理（主从联动）求动点轨迹与最值 题型03 隐形圆（定弦定角、定点定长）模型 题型04 费马点问题 模块三、综合实战演练 一、将军饮马问题的解题方法： 核心逻辑：轴对称化折线为直线，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”，将折线距离和/差最值，转化为直线段长度求解，关键是找准对称轴（动点所在定直线）。 1. 核心模型1：距离和最小（） 动点在定直线上，作其中一个定点（如）关于的对称点，连接，与的交点即为最值点，的长度即为最小值。 2. 核心模型2：距离差最大（） 动点在定直线上，连接两定点并延长交于，此为最值点，的长度即为最大值；若两定点在直线异侧，先作对称点再延长。 3. 拓展：多动点/多折线 折线有几段，就对定点进行多次对称，最终将所有折线转化为一条连续直线，与最后一条动点所在直线的交点即为最值点。 4. 特殊情况：含垂线段 若问题涉及“垂线段+折线”，优先用垂线段最短定垂线段部分，再结合轴对称化剩余折线为直线。 二、瓜豆原理问题的解题方法： 核心逻辑：主从点满足定点旋转+定比缩放，从点轨迹与主点轨迹形状一致，先定瓜豆三要素，再推从点轨迹，最终转化轨迹求最值。 1.定三要素：找准旋转中心、旋转角、缩放比（主点到从点的变换规则，无缩放则比为1，无旋转则角为0°）； 2.推从点轨迹：按三要素变换主点轨迹的关键点（如圆心/线段端点），得到从点轨迹（主点是圆则从点也是圆，主点是线则从点也是线），定轨迹具体位置/大小； 3.求最值：将从点的最值问题，转化为从点轨迹到定点/定直线的距离最值（圆用“圆心距±半径”，线用“垂线段最短”）。 三、隐形圆问题的解题方法： 核心逻辑：由几何条件判定隐形圆类型，定圆心和半径，将动点最值转化为圆上点的距离最值，关键是抓“定点定长、定弦定角”两大核心特征。 1.判类型，定圆要素 · 定点定长：动点到定点距离为定值→定点为圆心，定值为半径，直接画圆； · 定弦定角：动点对定线段（定弦）的视角为定角→由圆周角定理定圆心（定弦垂直平分线+定角推圆心角）、算半径，注意定角为直角时，定弦为直径。 2.转最值，用圆的性质 将动点到定点/定直线的最值，转化为圆心到定点/定直线的距离±半径（近则减、远则加）；定角问题需注意轨迹为圆弧时，剔除无效弧段。 3.验图形，结合题意取舍 验证动点轨迹与题干几何背景的匹配性，确定圆/弧的有效范围，避免漏解。 四、费马点问题的解题方法： 核心逻辑：旋转60°化折为直，将三角形内一点到三顶点的距离和，转化为直线段长度，仅适用于三角形各内角均＜120°的情况（若有角≥120°，该角顶点即为费马点）。 1.选边旋转：选三角形任意一边，将该边对应的一个小三角形绕其顶点旋转60°，构造等边三角形（让旋转后的线段与原线段相等，实现距离拼接）； 2.化折为直：连接旋转后得到的新点与原三角形的第三个顶点，此直线段即为距离和的最小值，其与旋转弧的交点就是费马点； 3.特殊判定：若三角形有内角≥120°，无需旋转，该钝角顶点就是到三顶点距离和最小的点（费马点）。 题型01 将军饮马问题 1．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 2．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 3．已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 4．等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 5．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长． 核心：利用轴对称化折线为直线，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求距离和/差最值，无最大值（射线/直线背景）。 1. 核心模型：一动点+两定点，求最小/最大，对称轴为动点所在定直线； 2. 解题步骤：① 作其中一个定点关于动点所在直线的对称点；② 连接对称点与另一定点，连线与定直线的交点即为最值点；③ 连线长度为最小值，两定点连线延长线与定直线交点为最大值点； 3. 关键：多动点需多次对称，折线有几段对称几次；含垂线段时直接用“垂线段最短”。 题型02 瓜豆原理（主从联动）求动点轨迹与最值 1．问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 2．【特例感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是___________． 3．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 4．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． (1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度； (2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； (3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 5．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 核心：主点动→从点动，旋转+缩放定轨迹，从点轨迹与主点轨迹为相似图形，最值转化为主从点到定点的距离运算。 1. 核心特征：从动点与主动点满足定点旋转+定比缩放（如绕旋转且，为主点，为从点）； 2. 解题步骤：① 找旋转中心、旋转角、缩放比（瓜豆三要素）；② 由主点轨迹（线/圆），按三要素得从点轨迹（同类型，圆则定圆心/半径，线则定方向/位置）；③ 结合轨迹求从点到定点/定直线的距离最值； 3. 关键：“无旋转则平移，无缩放则全等”，轨迹形状不变，仅位置/大小变化。 题型03 隐形圆（定弦定角、定点定长）模型 1．解答下列各题： (1)问题背景：如图1，在中，，求证：； (2)学以致用：如图2，在中，于点，，求证：； (3)拓展提高：如图3，在中，为中点，连接，点为射线上一动点，且，直接写出的最小值． 2．在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 3．如图，在中，，，点D是延长线上一点，点E在线段上，于点F，交于点G． (1)如图1．若，．求的度数：（用含的代数式表示）： (2)如图2，若，证明：； (3)如图3，若．H为的中点，，当的面积最大时，请直接写出此时的值． 4．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)如图②，连接，当时． ①求点M的坐标； ②连接，求与重叠部分的面积； (3)当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围． 5．（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______； （2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值： （3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 核心：由几何条件定隐形圆轨迹，将动点最值转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”，核心找圆心和半径。 1. 两大核心类型： - 定点定长：动点到定点距离为定值→轨迹为圆，定点为圆心，定值为半径； - 定弦定角：动点对定线段的视角为定角→轨迹为圆（阿氏圆/圆周角定理），定弦为圆的弦，定角定圆周角/圆心角； 2. 解题步骤：① 由条件判定隐形圆类型，求圆心和半径（定弦定角用圆周角定理找圆心，垂直平分线交点）；② 将动点最值转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”（圆心距±半径）； 3. 关键：定角为直角时，轨迹为以定弦为直径的圆；定角为钝角/锐角，轨迹为圆的一段弧（剔除无效部分）。 题型04 费马点问题 1．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 2．在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 3．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 4．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 5．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 核心：找三角形内到三顶点距离和最小的点（费马点），通过旋转60°化折为直，将转化为线段长，仅适用于各角<120°的三角形。 1. 核心特征：三角形三内角均小于120°，求内点使最小； 2. 解题步骤：① 选三角形任意一边（如），将绕点旋转60°得；② 连接，与旋转弧的交点即为费马点；③ 的长度即为的最小值； 3. 关键：旋转60°构造等边三角形（），实现，将三段折线转化为直线；若有内角≥120°，该角顶点即为费马点。 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 2．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 3．如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、． (1)如图1，求证：； (2)若正方形的边长为4， ①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值； ②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值． 4．如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点． (1)求证：； (2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长； (3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值． 5．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，． (1)若，求的长度； (2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，； (3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值． 6．如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转． (1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长； (2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：； (3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值． 7．【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 8．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=； （1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF； ①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围； (2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．    9．【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      10．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 11．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． (1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长； (2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD； (3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝　 ． 13．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 14．问题发现： （1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________． 问题探究： （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值． 问题拓展： （3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 动点问题与路径最值（几何模型） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 将军饮马问题 题型02 瓜豆原理（主从联动）求动点轨迹与最值 题型03 隐形圆（定弦定角、定点定长）模型 题型04 费马点问题 模块三、综合实战演练 一、将军饮马问题的解题方法： 核心逻辑：轴对称化折线为直线，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”，将折线距离和/差最值，转化为直线段长度求解，关键是找准对称轴（动点所在定直线）。 1. 核心模型1：距离和最小（） 动点在定直线上，作其中一个定点（如）关于的对称点，连接，与的交点即为最值点，的长度即为最小值。 2. 核心模型2：距离差最大（） 动点在定直线上，连接两定点并延长交于，此为最值点，的长度即为最大值；若两定点在直线异侧，先作对称点再延长。 3. 拓展：多动点/多折线 折线有几段，就对定点进行多次对称，最终将所有折线转化为一条连续直线，与最后一条动点所在直线的交点即为最值点。 4. 特殊情况：含垂线段 若问题涉及“垂线段+折线”，优先用垂线段最短定垂线段部分，再结合轴对称化剩余折线为直线。 二、瓜豆原理问题的解题方法： 核心逻辑：主从点满足定点旋转+定比缩放，从点轨迹与主点轨迹形状一致，先定瓜豆三要素，再推从点轨迹，最终转化轨迹求最值。 1.定三要素：找准旋转中心、旋转角、缩放比（主点到从点的变换规则，无缩放则比为1，无旋转则角为0°）； 2.推从点轨迹：按三要素变换主点轨迹的关键点（如圆心/线段端点），得到从点轨迹（主点是圆则从点也是圆，主点是线则从点也是线），定轨迹具体位置/大小； 3.求最值：将从点的最值问题，转化为从点轨迹到定点/定直线的距离最值（圆用“圆心距±半径”，线用“垂线段最短”）。 三、隐形圆问题的解题方法： 核心逻辑：由几何条件判定隐形圆类型，定圆心和半径，将动点最值转化为圆上点的距离最值，关键是抓“定点定长、定弦定角”两大核心特征。 1.判类型，定圆要素 · 定点定长：动点到定点距离为定值→定点为圆心，定值为半径，直接画圆； · 定弦定角：动点对定线段（定弦）的视角为定角→由圆周角定理定圆心（定弦垂直平分线+定角推圆心角）、算半径，注意定角为直角时，定弦为直径。 2.转最值，用圆的性质 将动点到定点/定直线的最值，转化为圆心到定点/定直线的距离±半径（近则减、远则加）；定角问题需注意轨迹为圆弧时，剔除无效弧段。 3.验图形，结合题意取舍 验证动点轨迹与题干几何背景的匹配性，确定圆/弧的有效范围，避免漏解。 四、费马点问题的解题方法： 核心逻辑：旋转60°化折为直，将三角形内一点到三顶点的距离和，转化为直线段长度，仅适用于三角形各内角均＜120°的情况（若有角≥120°，该角顶点即为费马点）。 1.选边旋转：选三角形任意一边，将该边对应的一个小三角形绕其顶点旋转60°，构造等边三角形（让旋转后的线段与原线段相等，实现距离拼接）； 2.化折为直：连接旋转后得到的新点与原三角形的第三个顶点，此直线段即为距离和的最小值，其与旋转弧的交点就是费马点； 3.特殊判定：若三角形有内角≥120°，无需旋转，该钝角顶点就是到三顶点距离和最小的点（费马点）。 题型01 将军饮马问题 1．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 2．如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为1，顶点称为格点，线段的端点均在格点上．按要求画图（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）． (1)在图中画出一个以为边的等腰钝角三角形，使点C在格点上． (2)图中的面积为________． (3)在（1）的基础上，在线段上找点P，在线段上找点Q，使最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)1.5 (3)作图见解析 【分析】本题重点考查了轴对称的性质，割补法求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在网格中，通过观察和尝试，找到一个格点C，使得，且为钝角即可； （2）利用割补法计算的面积，将放置在一个边长为3的正方形中，用正方形的面积减去周围三个直角三角形的面积以及一个小正方形的面积，即可得到的面积； （3）利用轴对称的性质求最短路径，要使最短，可以作点C关于线段的对称点，过作，根据垂线段最短，此时的长度即为最小值，从而确定点P，点Q． 【详解】（1）解：符合条件的点C有两个，如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于线段的对称点，则， ∴， 过作，此时，P，Q三点共线，有最小值，最小值为的长，此时P，点Q即为所求． 同理，当点C在线段右侧，作图如下， 3．已知一次函数的图象与反比例函数交于点和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查反比例函数待定系数法，一次函数的图像与性质，轴对称的最短路径问题等，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当三点共线时，的周长最小，先求出点的对称点，求出直线的解析式，再求解点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴； 将和代入得： ， 解得：， ∴； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴ ∴． 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， ∵设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，当时，， ∴． 4．等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】（1）①利用勾股定理即可求出的长； ②过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得，的长，从而可求出点的坐标； ③由且点位于第一象限内得，点的纵坐标为1，利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出点的坐标，从而可求的面积； （2）由得，则点在直线上运动，连接，作点关于直线的对称点，，可得当三点共线时，取得最小值，此时的周长取得最小值，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，过点作轴于点，通过证明得到点在直线上运动是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②过点作轴于点，如图， ∴，， 在等腰中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③∵，点位于第一象限内， ∴， ∴点的纵坐标为1， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴将代入得， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）②得，， ∴点在直线上运动， ∵连接，作点关于直线的对称点， ∴，， 则当三点共线时，取得最小值， 此时的周长取得最小值． 5．数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点、点分别在和上运动，当取最小值时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，则图形即为所求； （2）由（1）得四边形是菱形，根据菱形的性质和勾股定理可得的长度，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （3）作点关于的对称点，连接、，则，，此时，故当时，取最小值，通过三角形的面积可求出的长度，再运用勾股定理即可求出的长度，进而可得的长度． 【详解】（1）解：分别以点、为圆心，、为半径画弧，在右侧相交于点，连接、，如图： 由作图知，， ， ， 四边形是菱形，与关于直线对称． （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又四边形周长为， ，，，， ， ， 菱形的面积． （3）解：作点关于的对称点，连接、，则，， 此时， ， 当时，取最小值， 由（2）得，，， ， ， 解得， ， ． 核心：利用轴对称化折线为直线，结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求距离和/差最值，无最大值（射线/直线背景）。 1. 核心模型：一动点+两定点，求最小/最大，对称轴为动点所在定直线； 2. 解题步骤：① 作其中一个定点关于动点所在直线的对称点；② 连接对称点与另一定点，连线与定直线的交点即为最值点；③ 连线长度为最小值，两定点连线延长线与定直线交点为最大值点； 3. 关键：多动点需多次对称，折线有几段对称几次；含垂线段时直接用“垂线段最短”。 题型02 瓜豆原理（主从联动）求动点轨迹与最值 1．问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 2．【特例感知】 （1）如图1，和是等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，连接，，线段与的数量关系是___________； 【类比迁移】 （2）如图，将图中的绕着点顺时针旋转，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最大值是___________． 【答案】（1），见解析； （2）成立，见解析； （3）． 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用旋转性质可证得，再证明，即可得出结论； （3）过点作，使，连接，，，，先证得，得出，即点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，最大值为． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：如图2，∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴． ∴． （3）如图，过点作，使，连接，，，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为． 故答案为：． 3．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 4．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． (1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度； (2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； (3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到，，如图，过点作，交于，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）如图，过点作交延长线于，连接，可证，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，，由此即可求解； （3）由题意可知，由翻折可知，连接，如图①，由旋转可知，，在上取，连接，则，可证，则，，连接，得，则，当点在的延长线时取等号，如图②，过点作交于，此时有最大值，则，再证，则，即，由勾股定理得到，，则，所以，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，即垂直平分， ∴，则， 由旋转可知， ∴，则， ∴， ∴， 如图，过点作，交于，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：由（1）可知，，，， 如图，过点作交延长线于，连接， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题意可知， ∵， ∴， 由翻折可知， 连接，如图①， ∵点是线段中点， ∴为的中位线，则， 由旋转可知，， ∴，， 在上取，连接，则，，，， ∴， ∴，则， ∴， 连接， ∵点为线段中点， ∴，则， 由三角形三边可知， 当点在的延长线时取等号，如图②，过点作交于，此时有最大值，则， ∵， ∴， ∴，则，即， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ． 5．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______． （2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值． 【答案】（1）8；（2）最小值为米． 【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答． （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ，，， 作点关于的对称点，连接， 则， 连接，，， 则， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：； （2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米， ， ，即， ，， ， ， ， 米， 点在以点为圆心，半径为米的圆上运动， 作点关于的对称点，连接，，则， ， ， 连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点， ，， ， 在中，米， 米， 点与关于对称， ， ，， 四边形，四边形，四边形都是矩形， 米， 在中，，又， ， ， 在中，米， 米， ， 米， ， ， ， 在中，米， 米， 在矩形中，米，米， 点与关于对称， 米， 米， 在中，米， ， 即的最小值为米． 核心：主点动→从点动，旋转+缩放定轨迹，从点轨迹与主点轨迹为相似图形，最值转化为主从点到定点的距离运算。 1. 核心特征：从动点与主动点满足定点旋转+定比缩放（如绕旋转且，为主点，为从点）； 2. 解题步骤：① 找旋转中心、旋转角、缩放比（瓜豆三要素）；② 由主点轨迹（线/圆），按三要素得从点轨迹（同类型，圆则定圆心/半径，线则定方向/位置）；③ 结合轨迹求从点到定点/定直线的距离最值； 3. 关键：“无旋转则平移，无缩放则全等”，轨迹形状不变，仅位置/大小变化。 题型03 隐形圆（定弦定角、定点定长）模型 1．解答下列各题： (1)问题背景：如图1，在中，，求证：； (2)学以致用：如图2，在中，于点，，求证：； (3)拓展提高：如图3，在中，为中点，连接，点为射线上一动点，且，直接写出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题综合性较强，尤其是第三问较难，前两问主要考查相似的判定，第三问考查轨迹与最值，以及相似的性质与判定综合，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据两组对应角相等，得到，从而； （2）根据所给数据，围绕公共点B，得出，从而证明出，结合垂直条件推导出的，结合的性质，得出，从而得到，再结合“对顶角相等”的性质，得出，从而； （3）分别以和为对应边，构造，取、、的中点P、F、G，结合与为直角三角形的条件，得出，从而得出，且为定值，由此确定点N轨迹，再考虑点N与点E的关系，证出，结合，，得到，故确定点E轨迹为将点N轨迹绕点B顺时针旋转并放大两倍后的轨迹，最后结合三角形三边关系确定最小值的位置，利用勾股定理计算即可求出最小值为． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． （2）证明：，， ，， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 如图，设与交于点G， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点D作于点M，过点A在上方作且满足，分别取、、的中点P、F、G，连接、、、、、、，在下方取点Q，使得，且，连接、、、，过点Q作于点S， ，， ， ，， 点P、F、G分别为、、中点， ，，，， 与为直角三角形， ，， ，，，， ，， ，， ，，， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， 在中，， 解得， ， ， ， ，且， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， 解得， 在中，， ， 当且仅当点Q、C、E三点共线时，取得最小值为． 2．在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点的对应点分别为点． (1)如图，当点落在边上时，连接． ①求的值； ②若，求的长； (2)如图，若保持，点在上移动（可与点重合），试确定的长度范围． 【答案】(1)①；②的长为； (2)． 【分析】（1）①过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； ②连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可； （2）由（定值），将的运动转化为“圆上的动点”问题，根据当点在一条直线上时，最小求解，根据当点与点重合时，最大求解． 【详解】（1）①如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ②如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． （2）当点在上移动时，点在以点为圆心，的长为半径的圆弧上． 如图，当点在一条直线上时，最小． ∴． 如图，当点与点重合时，最大． ∵点关于直线对称， ∴． ∴． ∴的长度范围是． 3．如图，在中，，，点D是延长线上一点，点E在线段上，于点F，交于点G． (1)如图1．若，．求的度数：（用含的代数式表示）： (2)如图2，若，证明：； (3)如图3，若．H为的中点，，当的面积最大时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质以及定长定角的隐形圆等，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先得出，然后得出，即可根据进行等量代换进而得出； （2）先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，然后由勾股定理可知，即可根据进行等量代换并证得结论； （3）延长至点，使得，连接，先证明，即可得出的最大面积即是的最大面积，进而分析可知（定弦），（定角），以为弦，过作圆，圆心为，连接，可得当垂直平分时，的面积取最大值，再证明，设，则，，最后可得的值． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ； （2）证：如图：过作交延长线于点， 延长交于点， ， 设，， ， 由（1）知， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可知， ， ； （3）解：延长至点，使得，连接， H为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 的最大面积即是的最大面积， ， ， ， ， 可知（定弦），（定角）， 以为弦，过作圆，圆心为，连接， 可得当垂直平分时，的面积取最大值， 延长交于，与交于连接， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ． 4．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，M为线段上的动点，将沿直线对折，使O点落在处． (1)如图①，当时，求点的坐标； (2)如图②，连接，当时． ①求点M的坐标； ②连接，求与重叠部分的面积； (3)当点M在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，交于Q，过作于N，根据翻折证明是等边三角形，即可求解； （2）根据翻折性质和即可求出；②连接，交于Q，交于P，过Q作，交于D，作于E，设，根据勾股定理可求出，用待定系数法求出，的解析式，即可求出Q点坐标，从而求出答案； （3）连接，由对折可知，，利用三角形三边关系可得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于Q，过作于N， 由对折可得： ， ∴ ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：①∵， ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴； ②如图，连接，交于Q，交于P，过Q作，交于D，作于E， 由①得：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴设的函数解析式为， 则， ∴， ∴， 同理可得：的函数解析式为，的函数解析式为， ∴ ∴ 即， ∴ 即， 同理可得：， ∴， ∴与重叠部分面积为； （3）解：连接，由对折可知，，如图， ∵， 当A，，C重合时，取得最小值， 此时， ∴， ∴的取值范围是： 5．（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______； （2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值： （3）如图3，已知在四边形中，，，，E为边上一个动点，连接，过点D作，垂足为点F，在上截取．试问在四边形内是否存在点P，使得的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，见解析， 【分析】（1）根据垂线段最短可知，当时，线段的值最小，再根据等边三角形的边长为2，确定高，从而得出结论； （2）如图2中，作于H，在上截取，连接，，．首先证明是等边三角形，证明，可得，推出，再根据垂线段最短即可解决问题． （3）存在，如图3中，以为斜边在直线的下方作等腰直角，作于M，于N，连接，．证明点P的运动轨迹是，当点P在线段上时，的值最小，此时的面积最小． 【详解】解：（1）如图1中，根据垂线段最短可知，当时，线段的值最小， ∵是等边三角形，边长为2， ∴的高， ∴的最小值为． 故答案为：． （2）如图2中，作于H，在上截取，连接，，． ∵四边形是菱形，周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当E，P，Q′共线，且点Q′与C重合时， 的值最小，最小值． ∴的最小值为． （3）存在，理由如下： 如图3中，以为斜边在直线的下方作等腰直角， 作于M，于N，连接，． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是， 当点P在线段上时，的值最小，此时的面积最小， 此时， ∴的面积的最小值． 核心：由几何条件定隐形圆轨迹，将动点最值转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”，核心找圆心和半径。 1. 两大核心类型： - 定点定长：动点到定点距离为定值→轨迹为圆，定点为圆心，定值为半径； - 定弦定角：动点对定线段的视角为定角→轨迹为圆（阿氏圆/圆周角定理），定弦为圆的弦，定角定圆周角/圆心角； 2. 解题步骤：① 由条件判定隐形圆类型，求圆心和半径（定弦定角用圆周角定理找圆心，垂直平分线交点）；② 将动点最值转化为“圆上点到定点/定直线的距离最值”（圆心距±半径）； 3. 关键：定角为直角时，轨迹为以定弦为直径的圆；定角为钝角/锐角，轨迹为圆的一段弧（剔除无效部分）。 题型04 费马点问题 1．已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 2．在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】（1）过点作，交延长线于点，先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）猜想，证明：在取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据线段的和差、等量代换即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，从而可得，则当点共线时，的值最小，即的值最小，然后利用等边三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． （2）解：猜想，证明如下： 如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 3．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解， （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解， （3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到， 在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， （3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即：，解得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”． 如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． (1)【拓展应用】 如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到． ①若，则点与点之间的距离是______； ②当，，时，求的大小； (2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①3；②150°； (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质即可求出的值； ②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°， 则，， ∴为等边三角形， ； ②∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°， 又∵是等边三角形， ∴∠PAC+=60°， ∴∠BAP=， 在△ABP与中，， ∴△ABP≌（SAS）， ∴ ∴，， ， 又∵旋转，∴； （2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到， 则， 在中，， ， ， 又∵， ，， 过作⊥BC交BC的延长线于点D， 则， ， （30°所对的直角边等于斜边的一半）， ， ，为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 5．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点． (3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值． (4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值． 【答案】(1)150°； (2)见详解； (3)； (4)． 【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可； （2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可； （3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可； （4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可． 【详解】（1）解：连结PP′， ∵≌， ∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60° ∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°， ∴△APP′为等边三角形， ,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°， 在△P′PC中，PC=5， ， ∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°， ∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°， ∴∠APB=∠AP′C=150°， 故答案为150°； （2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′， ∵△APB≌△AB′P′， ∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵， ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∴点P在CB′上， ∴过的费马点． （3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′， ∴△APB≌△AP′B′， ∴AP′=AP，AB′=AB， ∵∠PAP′=∠BAB′=60°， ∴△APP′和△ABB′均为等边三角形， ∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°， ∵ ∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′， ∵，，， ∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC= ∴BB′=AB=2， ∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°， ∴在Rt△CBB′中，B′C= ∴最小=CB′=； （4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F， ∴△BCE≌△CE′B′， ∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′， ∵∠ECE′=∠BCB′=60°， ∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形， ∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°， ∵， ∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=2，∠ABC=90°， ∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥AF， ∴BF=，BF=， ∴AF=AB+BF=2+， ∴AB′=， ∴最小=AB′=． 核心：找三角形内到三顶点距离和最小的点（费马点），通过旋转60°化折为直，将转化为线段长，仅适用于各角<120°的三角形。 1. 核心特征：三角形三内角均小于120°，求内点使最小； 2. 解题步骤：① 选三角形任意一边（如），将绕点旋转60°得；② 连接，与旋转弧的交点即为费马点；③ 的长度即为的最小值； 3. 关键：旋转60°构造等边三角形（），实现，将三段折线转化为直线；若有内角≥120°，该角顶点即为费马点。 1．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标； (3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，． 【分析】（1）用待定系数法解题； （2）由已知点P的横坐标为，可得点P和点D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据平行四边形对边相等的性质，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线上运动，再利用轴对称的性质解决最短路径问题． 【详解】（1）解：∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 把点，，代入抛物线中得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图中，连接，， ∵，，， ， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 把点的坐标代入， 得到，，解得或， ∴或． （3）如图，过点作于，过点作于，过点作于，连接， 设，则， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是直线， 作点关于直线是对称点，连接交直线于， 连接，此时的值最小， 最小值． 2．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 3．如图，在正方形中，点E在直线右侧，且，以为边作正方形，射线与边交于点M，连接、． (1)如图1，求证：； (2)若正方形的边长为4， ①如图2，当G、C、M三点共线时，设与交于点N，求的值； ②如图3，取中点P，连接，求长度的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①，②当P、B、F三点共线时，PF有最大值为 【分析】（1）对角线是正方形的对称轴，即可得； （2）①当G、C、M三点共线时，根据，，进而即可求得的值； ②连接，证明，求出相似比，求出，当P、B、F三点共线时，即可求出最大值． 【详解】（1）如图1， ∵对角线是正方形的对称轴， ∴； （2）如图2， ①当G、C、M三点共线时， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ②如图3， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中， ， 当P、B、F三点共线时， PF有最大值：． 4．如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点． (1)求证：； (2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长； (3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的最大值． 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）证明垂直平分线段，推出，利用勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出； （3）在旋转过程中，，而且当点H在线段上时，可以取到最大值． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）； （2）解：∵为等边的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴； （3）解：如图，取的中点H，连接． ∵为等边的中线， ∴， 由（2）同理可得， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴， 在旋转过程中，， ∴而且当点H在线段上时，可以取到最大值， ∴的最大值． 5．如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，． (1)若，求的长度； (2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，； (3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可； （2）延长至，使，连接，，，先证明≌，从而证得≌，进一步命题得证； （3）取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，可证得≌，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果． 【详解】（1）解：在等腰中，，，， ，， 点为的中点， ， 在等腰中，，，， ， 在中，，，， ； （2）证明：如图， 延长至，使，连接，，， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，； （3）如图， 取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ，， ≌， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接并延长交于，当在点时，最大， 作于， 在中，，， ，， ， ． 即的最大值． 6．如图，在△ABC和△DEF中，，，，BC、EF交于点M，且点M为BC、EF的中点，将△DEF绕点M旋转． (1)如图1，当△DEF旋转至点A在FD延长线上时，若，，，求线段BF的长； (2)如图2，当△DEF旋转至点A在FD延长线上，求证：； (3)如图3，在△DEF旋转过程中，直线AD与直线CF交于点N，连接BN，P为BN的中点，连接AP，若，请直接写出线段AP的最大值． 【答案】(1)3. (2)见解析. (3)+. 【分析】（1）根据，过B作AF垂线，构造直角三角形，理由勾股定理求解； （2）连接CF，根据易知条件得△ABD≌△ACF，△BEM≌△CFM，再利用等腰直角三角形边的关系得到证明； （3）首先根据“手拉手”全等得到N点轨迹，根据“瓜豆原理”得到P点轨迹为圆弧，点与弧上一点最大距离为通过圆心的一条线段，利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：如图，过B作BH⊥AF于H， 在Rt△ABH中，tan∠BAH=， 设AH=x，则BH=，由勾股定理得：4x2+x2=AB2 又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC=·BC=3 ∴4x2+x2=9 解得：AH=x=，BH= ∵ ∴FH= 在Rt△BFH中，BF==3. （2） 如图，连接CF ∵M时BC中点，M是EM中点 ∴EM=MF，BM=CM ∵∠BME=∠CMF ∴△BEM≌△CFM ∴BE=CF，∠EBM=∠MCF ∴BE∥CF ∵B、E、D共线，A、D、F共线 ∴BD∥CF ∴∠AFC=∠BDA=90° ∵AB=AC，∠CAF+∠BAD=∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAF=∠BAD   ∴△ABD≌△CAF ∴CF=AD ∴CF=AD=BE ∴AF=AD+DF=BE+EF ∴AF=BE+EF. （3） 连接DM，AM，延长AD交CF于N ∵M是等腰直角三角形DEF和ABC斜边的中点 ∴△DMF，△AMC均为等腰直角三角形 ∴DM=MF，AM=CM，∠AMD=∠CMF ∴△ADM≌△CFM ∴∠MAD=∠MCF ∴∠AMC=∠CND=90° 故N点轨迹为以AC为直径圆（圆O，半径为）的一部分， ∵P为BN中点， 故P的轨迹是以BO中点O'为圆心的圆的一部分，半径为圆O半径的一半，即为 如图所示， 则AP的最大值位置为：连接AO'交圆O'于P'，P'为所求，最大值为AP'的长度 ∴AP'=AO'+O'P'=+=+=+. 7．【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 8．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=； （1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF； ①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围； (2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．    【答案】（1）①补图见解析；②；（2） 【分析】（1）①根据要求画出图形即可； ②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题； （2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长； 【详解】（1）①如图△DCF即为所求；    ②∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°， ∴AC＝＝AB＝4， ∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF， ∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF， ∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°， 设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x， ∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）． 即y＝2（x−2）2＋8， ∵2＞0， ∴x＝2时，y有最小值，最小值为8， 当x＝4时，y最大值＝16， ∴8≤EF2≤16． （2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．    由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形， ∴AE＝EG， ∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG， ∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长． 在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF， ∴FH＝AF＝，AH＝＝， 在Rt△DFH中，DF＝＝， ∴BE＋AE＋ED的最小值为． 9．【问题探究】 （1）如图 1，在 中， 为 的中点，连接 ，则 与 的位置关系是_____．     （2）如图 2，在 中， ， ， 是线段 上一动点(不与 、 重合)，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 和点 分别是边 的中点． 试探究 和 的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图 3，正方形 是一块蔬菜种植基地，边长为 3 千米，对角线 为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路 上确定一点 (不与点 重合)，连接 ，以线段 为斜边，在 右侧建等腰直角 区域( )，用来种植新品有机蔬菜，并在 处设立蔬菜仓库． 点和 点为基地的两个蔬菜打包装运点， 在 上且 ． 现要沿 修建蔬菜运输轨道，请确定运输轨道 的最小值． 并求出当 最小时，有机蔬菜种植区域的面积 (即 的面积)．      【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【分析】（1）根据全等三角形的判定得出，进一步根据，即可推出，即证； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，过作,交于点，利用相似性质得出，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）由题意知，在与中， ，（中点定义），， ， ， 又（平角定义）， ，即． 故答案为：． （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （3）取中点，连接，过作，交于， 由正方形可得 , ， , ， ， , 是等腰直角三角形， 从而确定出的运动轨迹即如下图： , ，即最小值等于最小值, 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为3千米，是中点， 在中，由勾股定理得千米, ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， 过作,交于点，如图， , , , 千米， 此时的面积为平方千米． 10．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意由勾股定理可得长度，作，交于，利用旋转及互余可证得（AAS），则得，，可求出，再由勾股定理可得的长度； （2）由旋转可知，为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得（AAS），则有，，由，可证，由，利用三角形内角和定理可得，作，交延长线于，连接，易知，为等腰直角三角形，可得，，，易得，可证四边形是平行四边形，即，利用可得证结论； （3）作，交于，将绕点逆时针旋转，证明（SAS），进而证得，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，易知当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图，作，交于，易知四边形是矩形，证得是等边三角形，求出，的高，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，，， ∴，则由勾股定理，可得：， 作，交于， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴（AAS）， ∴，， 则， 由勾股定理可得：； （2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴（AAS）， ∴，， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， 由三角形内角和定理可得：， 即：， ∴， 作，交延长线于，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴； （3）作，交于， ∵是等边三角形， ∴，，平分， 则， 将绕点逆时针旋转，则，， ∴， ∴（SAS）， ∴ ∴， 作点关于的对称点，连接，，由对称易知，， ∴ 当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图： 作，交于，则， ∴，， ∵，， ∴，，四边形是矩形， 则，，即， 由轴对称可知，， ∴是等边三角形，则：， ∵， ∴，， ∴，， 则由勾股定理可得：，， ∵，， 则为，之间的距离， ∴，即的高 ∴， ∴． 11．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，； (1)如图1，若，，连接，求的长； (2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：； (3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）解：由旋转性质及等边三角形性质可知，可证（SAS），得，由，可得，，根据，可得，从而通过可计算出结果； （2）延长，使，连接，，则，根据题意可知，为的中位线，即，类比（1）可证得（SAS），可得，即，由为的中点，可得，，从而可得，即可得结论； （3）由（1）知，，，，由，则，可得，由，得，作，可得，利用相似三角形得性质可列比例式，求得，，，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆，由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即取最大值，此时，，，进而可求得面积． 【详解】（1）解：由旋转性质可知，， ∵旋转角， ∴是等边三角形，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴（SAS）， ∴， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：延长，使，连接，，则， 即为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线，即， 旋转角，由旋转性质可知：， ∵为的中点， ∴，平分， ∴，，则， ∴为等边三角形， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴（SAS）， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ， ∴ ∴． （3）由（1）知，，，， ∵，则， ∴， 由，得， 作，则：， ∴，则，，， 即点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆， 由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即：取最大值，如图 此时，，， 则． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． (1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长； (2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD； (3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝　 ． 【答案】(1)4； (2)tan∠A′AD＝3或； (3) 【分析】（1）由四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4得CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°，当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4，则A′C，所以A′B＝4；（2）分两种情况，一是点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°，先证明点B、A′、D在同一条直线上，求得BD5，由sin∠ADB，cos∠ADB，求出A′E的长和ED的长，再求出AE的长，再由tan∠A′AD求出此时tan∠A′AD的值；二是点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°，先求出A′E的长和ED的长，再求出AE的长，再由tan∠A′AD求出此时tan∠A′AD的值； （3）在AD上截取DF，则，作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DGDH，连接FG、CG，则，由A′D＝AD可知H为AA′的中点，DH为△DAA′的中线，点G为△DAA′的重心，再证明△DFG∽△DAH，则∠FGD＝∠AHD＝90°，取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝ODDF，可知点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动，可由CG+OG≥OC推导出CG≥CP，则当CG＝CP时，CG的长最小，求出CP的长即可． 【详解】（1）解：（1）如图1，∵四边形ABCD矩形，AB＝3，AD＝4， ∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，∠C＝90°， 当A′落在线段BC上时，由旋转得A′D＝AD＝4， ∴A′C， ∴A′B＝BC﹣A′C＝4， ∴A′B的长为4． （2）（2）如图2，点B′与点C在直线BD的同侧，作A′E⊥AD于点E，则∠A′EA＝90°， 由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4， ∵∠BA′B'＝90°， ∴∠B′A′D+∠BA′B'＝180°， ∴点B、A′、D在同一条直线上， ∵∠A′ED＝∠BAD＝90°， ∴BD5， ∴sin∠ADB，cos∠ADB， ∴A′EA′D4，EDA′D4， ∴AE＝AD﹣ED＝4， ∴tan∠A′AD3； 如图3，点B′与点C在直线BD的异侧，作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，则∠E＝90°， 由旋转得∠B′A′D＝∠BAD＝90°，A′D＝AD＝4， ∵∠BA′B'＝90°， ∴∠B′A′D＝∠BA′B'， ∴A′D与A′B重合， ∴点B、A′、D在同一条直线上， ∵∠EDA′＝∠ADB， ∴sin∠EDA′＝sin∠ADB，cos∠EDA′＝cos∠ADB， ∴A′EA′D，EDA′D， ∴AE＝AD+ED＝4，   ∴tan∠A′AD， 综上所述，tan∠A′AD＝3或． （3）（3）如图4，在AD上截取DF，则， 作DH⊥AA′于点H，在DH上截取DGDH，连接FG、CG，则， ∵A′D＝AD， ∴H为AA′的中点， ∴DH为△DAA′的中线， ∴点G为△DAA′的重心， ∵，∠FDG＝∠ADH， ∴△DFG∽△DAH， ∴∠FGD＝∠AHD＝90°， 取DF的中点O，连接OC交⊙O于点P，连接OG，则OG＝OP＝ODDF， ∴点G在以点O为圆心、半径为的圆上运动， ∵CG+OG≥OC，即CG+OG≥CP+OP， ∴CGCP，∴CG≥CP， ∴当CG＝CP时，CG的长最小，   ∵OC， ∴CP＝OC﹣OP， ∴CG的最小值是， 故答案为：． 13．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过菱形性质证明，在中，利用勾股定理求出AE的长度，再中，可以得到，在等腰中，利用角度推导出，代入数值求解即可． （2）判断出点Ｈ的运动轨迹，从而知道点Ｎ的运动轨迹，根据三角形三边关系，即可得到AN的最大值． 【详解】（1）解：过点F作于点M，如下图： ∵四边形ABCD是菱形,且 ∴ ∵为菱形对角线 ∴, 又∵在的中垂线上 ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ 设：，则 ∵ 即： 解得： ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）连接AC,延长AE交BC于点M，则有,点H的运动轨迹是以点B为圆心，BH为半径的圆，因为点C为固定点，点Ｎ为CH的中点，所以点N的运动轨迹是以点M为圆心，NM为半径的圆，如下图： 此时：在在，,当 A、M、N三点共线时，AN最大 则：在中， ∵ ∴ ∴ 又∵M点是BC的中点，N是CH的中点 ∴ ∴ 14．问题发现： （1）正方形ABCD和正方形AEFG如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则＝___________． 问题探究： （2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在矩形的内部，∠BPC＝135°，求AP长的最小值． 问题拓展： （3）如图③，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，则对角线BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）AP的最小值为；（3）存在，BD的最大值为6+6 【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF，证△ADG∽△ACF，根据线段比例关系可求； （2）以BC为斜边作等腰直角三角形BOC，以O为圆心BO为半径画圆，则P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上，连接AO交弧BC于点P，此时AP最小，根据给出数据求值即可； （3）以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE，根据△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆，根据C点的轨迹求出CE最大值，即求出BD最大值． 【详解】解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF， 在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5， ∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4， ∴， 又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC， ∴∠DAG=∠CAF， ∴△DGA∽△CFA， ∴， 故答案为； （2）如图②，以BC为斜边作等腰直角三角形BOC， 以O为圆心BO为半径画圆，则∠BPC作为圆周角刚好是135°， ∴P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧BC上， 连接AO交弧BC于点P，此时AP最小， 作OE垂直AB延长线于点E， ∵△BOC为等腰直角三角形，BC=4， ∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°， ∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°， 又∵OE⊥AE， ∴△BEO为等腰直角三角形， ∴BE=OE=OB=×2=2， 又∵AB=3， ∴AE=AB+BE=3+2=5， ∴， ∵OP=OB=2， ∴AP=AO-OP=-2， 即AP的最小值为-2； （3）存在，如图3，以AB为斜边向下做等腰直角三角形AEB，连接CE， 则∠EAB=45°，， ∵AC=AD，∠ACD=90°， ∴DAC=45°，， ∴，∠DAB=∠CAE=45°， ∴△DAB∽△CAE， ∴， ∴BD=CE， ∴当CE最大时，BD取最大值， 以AB为斜边向上做等腰直角三角形AOB，以O为圆心OA为半径画圆， ∵∠AOB=90°，∠ACB=45°， ∴点C在优弧AB上， 由图知当C在OE延长线C'位置时C'E有最大值， 此时C'E=OE+OC'， ∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB为斜边的等腰直角三角形， ∴四边形AOBE为正方形， ∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3， ∴CE的最大值为6+3， ∵BD=CE， ∴BD的最大值为×（6+3）=6+6． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $