专题三 突破计算题2 带电粒子在复合场中的运动-【创新大课堂】2026年高考二轮物理专题复习

突破计算题2　带电粒子在复合场中的运动 【备考要求】　1.会分析处理带电粒子在组合场中运动的问题.2.知道带电粒子在复合场中几种常见的运动，掌握运动所遵循的规律． (一)带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 进入电场时速度方向与电场有一定夹角 情景图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向变化，方向总指向圆心，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 类斜抛运动 vx＝v0sin θ，vy＝v0cos θ－t x＝v0sin θ·t，y＝v0cos θ·t－t2 　 2．常见运动及处理方法 [例1]　(2025·安徽省黄山市高三二模)如图所示，边长为L的正方形abcd区域内存在方向垂直该平面向外的匀强磁场，ad边与y轴重合，且坐标原点O位于ad边的中点．第三象限内存在方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E.带正电的粒子质量为m，电荷量为q，从第三象限内(包含坐标原点)的不同位置p沿x轴正方向以速度v0出发，都经过坐标原点O进入正方形abcd区域．若p位于O点时，粒子恰好从cd边中点垂直于cd边射出，不计粒子的重力，求： (1)磁感应强度大小； (2)带电粒子出发点p的坐标轨迹方程； (3)从bc边飞出磁场的粒子，其出发点p的x轴坐标范围． 解　(1)进入磁场时速度为v0的粒子为坐标原点出发，速度水平，恰好从cd边中点垂直于cd边射出，故圆周运动的半径为，由圆周运动半径公式r＝，根据洛伦兹力提供向心力qv0B＝m，得磁感应强度B＝； (2)设p点的坐标为(－x，－y)，粒子运动到坐标原点的时间为t，由运动学公式x＝v0t，y＝at2，Eq＝ma，联立后可得，出发点p的坐标轨迹方程y＝x2； (3)设从坐标原点O飞入磁场的粒子速度为v，方向与x轴正方向的夹角为α，则轨道半径为r，有r＝＝＝，即r cos α＝ 可知磁场中所有粒子的轨迹圆心都在dc边上．当粒子与ab边相切时，粒子打到bc边上的位置为飞出的上边缘．由如图的几何关系可知 r1＝L，＝L cos α，α＝60°，可知飞入磁场时的竖直分速度vy＝v0tan 60°＝v0 则出发点p的x轴坐标x1＝v0t＝v0＝， 粒子打在c点为飞出bc边的下边缘．打在c的粒子运动轨迹如图所示： 此时轨迹与c点相切． 由几何关系r sin α＋r＝L，r cos α＝，α＝37° 可知飞入磁场时的竖直分速度vy＝v0tan 37°＝ 则出发点p的x轴坐标x2＝v0t＝v0＝ 从bc边飞出磁场的粒子，其出发点p的x轴坐标范围是－≤x≤－ “5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 　 (二)带电粒子在叠加场中的运动 1．三种典型情况 (1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态．例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时． (2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直． (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m. 2．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件都是带电粒子在相互正交的电场和磁场组成的场中的运动平衡问题，所不同的是速度选择器中的电场是带电粒子进入前存在的，是外加的；磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件中的电场是粒子进入磁场后，在洛伦兹力作用下带电粒子打在两极板后才产生的． 3．分析 [例2]　(多选)(2025·广西卷·10)如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器(简称选择器).选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场．当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场(偏转磁场)，并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则(　　) A.M粒子质量为 B.刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C.调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D.调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为＋ 答案　AD 解析　对M粒子在加速电场中，根据动能定理有qU＝mMv ，在速度选择器中，根据平衡关系有：qv0MB1＝qE，解得mM＝ ，故A正确；进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知qv0NB1＞qE，所以v0N＞v0M，故B错误；M粒子在磁场中运动半径为r1，则根据洛伦兹力提供向心力qv0MB2＝mM ，解得M粒子在磁场中运动半径r1＝＝，N粒子在磁场中运动的半径为r2，则2r1－2r2cos θ＝d，解得r2＝，其中qvNB2＝mN，可得vN＝，N粒子在选择器中，根据动能定理－Edq＝mNv－mNv ，在加速电场中，根据动能定理Uq＝mNv ，解得mN＝，v0N＝，则要想使得粒子N沿轴线OO′通过选择器，则需满足qv0NB′1＝qE′，联立解得＝v0N＝，故C错误；若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为Δx＝2r1－2r3，其中r1＝＝，r3＝＝，可得Δx＝＋，故D正确． [例3]　(2025·四川师大附中高三三模)如图所示，长为R的轻绳拴着质量为m的带电小球，将小球从与悬点等高的A点静止释放，释放时轻绳恰好伸直．小球运动到D点时将轻绳烧断，之后小球沿水平方向进入虚线右侧的竖直平面内．在竖直虚线左侧存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E；在竖直虚线右侧存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小也为E，磁感应强度大小为B.在右侧电磁场区域中的竖直平面内有一半径为R的理想圆形屏蔽区(没有电场和磁场)，屏蔽区的圆心O与D点在同一水平线上，OD间的距离为2R，A、O、D三点在同一竖直面内．已知小球在电磁场区域恰好做匀速圆周运动，重力加速度为g，不计空气阻力及小球运动引起的电磁场变化．求： (1)小球所带电荷量q及电性； (2)小球到达D点时对绳子的拉力大小； (3)为使小球不能进入电磁场屏蔽区，磁感应强度B的最小值． 解　(1)小球在电磁场区域做匀速圆周运动，所受重力和电场力平衡，则电场力方向竖直向上，与电场方向相反，故小球带负电．由平衡条件有qE＝mg，解得q＝； (2)设小球经过D点时的速度大小为v，小球从A点运动到D点过程中，根据动能定理可得mgR＋qER＝mv2，解得v＝2 在D点，对小球，由牛顿第二定律有T－mg－Eq＝m，解得T＝6mg，根据牛顿第三定律，小球到达D点时对绳子的拉力大小为6mg； (3)设小球在电磁场区域中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律有qvB＝，解得r＝ 可知B越小，r越大，当小球运动轨迹恰好与电磁场屏蔽区边界相切时，r有最大值，则B有最小值，如图所示： 根据几何关系有(2R)2＋r2＝(r＋R)2，联立解得B＝. (三)“配速法”解决摆线问题 1．摆线 摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线． 当圆滚动的方向与圆心匀速移动的方向一致时，圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的一拱．每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长). 2．配速法 (1)若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，轨迹常为摆线．我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法． (2)配速法适用条件： ①在叠加场中； ②合力不为零． (3)规律： 把速度分解成两个速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力、或重力和静电力的合力)平衡，使粒子在这个方向上做匀速直线运动． ①初速度为零时，速度分解为两个等大、反向的速度； ②初速度不为零时，按矢量分解法则分解． (4)常见的“配速法”的应用 常见情况 处理方法 BG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1. BE摆线：初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1. BEG摆线：初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1. BGv摆线：初速度为v0，有重力 把初速度v0分解为速度v1和速度v2. [例4]　如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场(垂直纸面向里)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在场中运动，不计粒子所受重力．将该粒子在M点由静止释放，求粒子沿电场方向运动的最大距离ym和运动过程中的最大速率vm. 解　方法一：动能定理＋动量定理 带电粒子在运动中，只有静电力做功，其运动至最远时，静电力做功最多，此时速度最大，根据动能定理有 Eqym＝mv① 以电场方向为y轴，垂直电场方向为x轴，则粒子沿y方向上的速度产生x方向的洛伦兹力，即F洛x＝qBvy 取沿x方向运动一小段时间Δt，根据动量定理有 F洛xΔt＝qBvyΔt＝mΔvx 式中vyΔt表示粒子沿y轴方向运动的距离．因此，等式两边对粒子从M点到第一次最远的过程求和有 qBym＝mvm② 联立①②两式，解得vm＝，ym＝ 方法二：“配速法” 将粒子在M点由静止释放，其运动较为复杂，是因为洛伦兹力改变了运动的方向，带电粒子在磁场中做的最简单的运动是匀速圆周运动，我们就可以想方设法将其分解为匀速圆周运动． 粒子的初速度为零，可分解为水平向右的速度v和水平向左的速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力与静电力平衡，即Bqv＝Eq；因此，粒子的运动是水平向右速度为v的匀速直线运动和初速度水平向左、大小为v的逆时针匀速圆周运动的合运动，圆周运动的轨道半径 r＝＝ 所以ym＝2r＝，vm＝2v＝ 学科网（北京）股份有限公司 $