题号猜题05 湖南长沙中考数学11+13 代数运算与方程（填空题）（湖南长沙专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题05 湖南长沙中考数学11+13 代数运算与方程（填空题） 考点1 因式分解 1．因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 2．（2025·湖南长沙·二模）因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 3．（2025·湖南长沙·二模）已知，，则的值为__________． 【答案】18 【分析】提公因式法因式分解后，利用整体代入计算，即可得到结果. 【详解】解：∵，， ∴. 4．因式分解：________． 【答案】 【分析】先运用完全平方公式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 5．（2025·湖南长沙·二模）因式分解：______． 【答案】 【分析】观察多项式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 考点2解分式方程 1．（2026·湖南邵阳·二模）分式方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验即可得到结果． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 2．（2026·湖南常德·一模）方程的解为__________. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，先把方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原方程的解． 故答案为：． 3．（2026·湖南长沙·二模）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为一元一次方程，解一元一次方程后，检验所得根是否使分式分母不为零，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得 去括号得 移项，合并同类项得 系数化为得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 4．（2025·湖南株洲·一模）方程的解为______． 【答案】3 【详解】解： 分式两边同时乘以得： 移项，合并同类项：， 经检验当时，， 则分式方程的解为． 5．（2025·湖南长沙·二模）方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，将分式方程转化为一元一次方程是解本题的关键． 解分式方程需去分母转化为整式方程，求解后检验根是否使分母为零． 【详解】解： 解得， 检验：当时，分母，， 故是原方程的解． 故答案为：． 考点3分式有意义的条件 1.（2025·湖南长沙·二模）函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴， ∴， ∴自变量x的取值范围是． 2．（2025·湖南长沙·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义时分母不为零得到，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）分式的值为0时，的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：令分子， 解得或， 又分母，即， 所以， 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）若分式有意义，则应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：由分式有意义的条件，分母， 解得． 故答案为：． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）若分式无意义，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：4． 考点4二次根式有意义的条件（被开方数 ≥ 0） 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】/ 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不为0． 【详解】解：有意义， ，且， ， 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式即可求解． 【详解】解：要使代数式有意义，必须满足，解得， ∴实数的取值范围是． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，根据分式有意义的条件可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：代数式有意义， 且， 且． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数， 因此得， 解得：． 5．（2026·湖南·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据二次根式以及分式有意义的情况进行求解不等式即可． 【详解】解：该函数含二次根式、以及分式， 故需同时满足且， 解得． 考点5解一元二次方程 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）方程的解是______． 【答案】， 【分析】对等式两边直接开平方，得到两个一元一次方程，分别求解这两个方程即可得到原方程的解． 【详解】解：开方得：， 即或， 解得：，. 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 3．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得， 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）一元二次方程的解是_____． 【答案】， 【分析】通过因式分解法求解一元二次方程即可．本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 或 ， 解得，． 故答案为 ，． 考点6一元二次方程根与系数的关系（韦达定理、判别式 Δ） 1．（2026·湖南株洲·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则有，，根据根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ． 2．（2026·湖南长沙·月考）设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】9 【分析】由题意得，，，代入即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，，， ∴， ∴． 3．（2025·湖南衡阳·期中）已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，先利用根的定义求出的值，再结合根与系数的关系得到的值，最后通过整体代入计算出结果． 【详解】解：是方程的根， 将代入方程得， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， ． 4．（2025·湖南衡阳·自主招生）已知分别为的两根，，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到①，由得到②，求出，再由两根之积即可求出答案． 【详解】解：∵分别为的两根， ∴①， ∵， ∴②， 由①②解得， ∴ 5．（2025·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再代入根与系数的关系公式计算即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，根据根与系数的关系可知，， 在方程中，，， 则， 故答案为：，． 考点7列代数式（实际情境列式） 1．（2026·湖南娄底·一模）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 【答案】8106 【分析】通过观察前三个图案中正三角形的个数，发现后一个图案比前一个图案多4个正三角形，从而归纳出第n个图案中正三角形个数为，最后将代入计算即可． 【详解】解：第1个图案中正三角形的个数为， 第2个图案中正三角形的个数为， 第3个图案中正三角形的个数为， 依次类推， 第个图案中正三角形的个数为， 因此，第2026个图案中正三角形的个数为． 2．（2026·湖南常德·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有个三角形，……，按照此规律排列下去，第______个图形有个三角形． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探究，根据已有图形概括出相应的规律是解题的关键． 观察已有图形，可以得到第n个图有个三角形，令，即可求解． 【详解】解：根据图形可知，第1个图有个三角形， 第2个图有个三角形， 第3个图有个三角形， 则第n个图有个三角形， 令，解得， 第个图有个三角形． 故答案为：． 3．（2026·湖南衡阳·月考）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有正六边形地面瓷砖__________块． 【答案】/ 【分析】本题考查观察、归纳的能力．通过观察，前三个图案中正六边形地面瓷砖数量分别为：7，12，17，所以会发现后面的图案比它前面的图案多5块，可得第n个图案有块正六边形地面瓷砖． 【详解】解：∵第1个图案中正六边形地面瓷砖有7块，而， 第2个图案中正六边形地面瓷砖有12块，而， 第3个图案中正六边形地面瓷砖有17块，而， …… ∴第n个图案中有正六边形地面瓷砖块． 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·专题练习）如图，用4根同样的小棒可以摆1个正方形，7根同样的小棒可以摆2个正方形，根同样的小棒可以摆3个正方形，那么摆个正方形需要同样的小棒______根． 【答案】 【分析】本题考查探索规律，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，，，因此可得摆n个正方形需要的小棒的个数为，据此解答即可 【详解】解：摆1个正方形需要小棒的个数为， 摆2个正方形需要小棒的个数为， 摆3个正方形需要小棒的个数为， 摆n个正方形需要小棒的个数为． 故答案为：． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第70个图形中黑色棋子的个数为______． 【答案】211 【分析】本题考查图形的变化规律，列代数式，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现：第一个图形有4个黑色棋子，， 第二个图形有7个黑色棋子，， 第三个图形有10个黑色棋子，， …， 第个图形有个黑色棋子， 那么第70个图形有个黑色棋子， 故答案为：211． 1．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可求解． 【详解】解：原式． 2．因式分解：________． 【答案】 【分析】根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 3．方程的解为______． 【答案】 【分析】解分式方程的步骤为：（1）去分母；（2）求出整式方程的解；（3）检验；（4）得出结论，按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解． 4．方程的解是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母，去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解一元一次方程后，对所得根进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 5．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】运用整体思想求解，将代入原方程可得对应关系式，再对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入方程， 可得：， 整理得， 因此． 6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得：． 7．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为_________． 【答案】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是0， ∴， 解得：． 8．一元二次方程的两根分别为，则_____ 【答案】 2 【分析】本题先利用一元二次方程根的定义，对所求代数式进行降次，再利用根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∴， ∵是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 将代入得， 原式． 9．如图，第1个图形由4枚棋子摆成，第2个图形由9枚棋子摆成，第3个图形由14枚棋子摆成，…，按照此规律，由199枚棋子摆成的是第______个图形． 【答案】40 【分析】从图形中可以发现规律，第n个图形需棋子的个数是，再假设第n个图形的棋子数为199，列方程即可解得． 【详解】解：第1个图形需棋子的个数是， 第2个图形需棋子的个数是， 第3个图形需棋子的个数是， ， 第n个图形需棋子的个数是， 设第199枚棋子摆成的是第n个图形， 根据题意得，， 解得：， ∴由199枚棋子摆成的是第40个图形． 10．我们知道，，，，…因此关于x的方程的解是________． 【答案】 【分析】根据题目给出的裂项规律，将方程左边提取公因式后裂项相消，化为一元一次方程即可求解． 【详解】解：， 提取公因式得： ， 根据题中给出的规律裂项变形得： ， 裂项相消后整理得：， 系数化为1得：． 11．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 即， 解得． 12．函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 【答案】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得， 解不等式得， 解不等式得， 取两个解集的公共部分，得． 13．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 14．对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 【答案】 【分析】根据新定义列出分式方程，按照分式方程的解法求解并检验即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 去分母，得 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 15．分解因式： ____________． 【答案】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式进行分解． 【详解】原式 ． 16．因式分解：________． 【答案】 【分析】观察原式，可将原式变形为平方差的形式，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题05 湖南长沙中考数学11+13 代数运算与方程（填空题） 考点1 因式分解 1．因式分解：___________． 2．（2025·湖南长沙·二模）因式分解：______． 3．（2025·湖南长沙·二模）已知，，则的值为__________． 4．因式分解：________． 5．（2025·湖南长沙·二模）因式分解：______． 考点2解分式方程 1．（2026·湖南邵阳·二模）分式方程的解为__________． 2．（2026·湖南常德·一模）方程的解为__________. 3．（2026·湖南长沙·二模）分式方程的解为______． 4．（2025·湖南株洲·一模）方程的解为______． 5．（2025·湖南长沙·二模）方程的解为________． 考点3分式有意义的条件 1.（2025·湖南长沙·二模）函数中，自变量x的取值范围是___________． 2．（2025·湖南长沙·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）分式的值为0时，的值是_____． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）若分式有意义，则应满足的条件是_____． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）若分式无意义，则的值为_____． 考点4二次根式有意义的条件（被开方数 ≥ 0） 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若有意义，则x的取值范围是_____． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）使代数式有意义的的取值范围是______． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 5．（2026·湖南·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是______． 考点5解一元二次方程 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）方程的解是______． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）将方程配方成的形式，则______． 3．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）一元二次方程的解是_________． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）一元二次方程的解是_____． 考点6一元二次方程根与系数的关系（韦达定理、判别式 Δ） 1．（2026·湖南株洲·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为________． 2．（2026·湖南长沙·月考）设a，b是一元二次方程的两个根，则________． 3．（2025·湖南衡阳·期中）已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 4．（2025·湖南衡阳·自主招生）已知分别为的两根，，则a的值为________． 5．（2025·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___． 考点7列代数式（实际情境列式） 1．（2026·湖南娄底·一模）如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形按此规律，第2026个图案中有___________个正三角形． 2．（2026·湖南常德·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有个三角形，……，按照此规律排列下去，第______个图形有个三角形． 3．（2026·湖南衡阳·月考）用黑白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干图案，则第n个图案中有正六边形地面瓷砖__________块． 4．（2025·湖南长沙·专题练习）如图，用4根同样的小棒可以摆1个正方形，7根同样的小棒可以摆2个正方形，根同样的小棒可以摆3个正方形，那么摆个正方形需要同样的小棒______根． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第70个图形中黑色棋子的个数为______． 1．分解因式：______． 2．因式分解：________． 3．方程的解为______． 4．方程的解是_____． 5．若m是方程的一个根，则代数式的值为______． 6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 7．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为_________． 8．一元二次方程的两根分别为，则_____ 9．如图，第1个图形由4枚棋子摆成，第2个图形由9枚棋子摆成，第3个图形由14枚棋子摆成，…，按照此规律，由199枚棋子摆成的是第______个图形． 10．我们知道，，，，…因此关于x的方程的解是________． 11．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12．函数 的自变量 x的取值范围是_________________ 13．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 14．对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 15．分解因式： ____________． 16．因式分解：________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $