第33讲 尺规作图 讲义 2026年中考数学一轮专题复习（福建）

第33讲 尺规作图 ◎2022年版课标要求 ①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线； ②会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形(2022年版课标将“会利用基本作图作三角形”调整为“能用尺规作图”)； ③在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法． ◎备考策略 在复习过程中的熟练掌握线段、角、角平分线、垂直平分线和平行线的基本尺规作图。 ◎链接教材 人教：七上P126～P128，八上P35～P42，P48～49，P62～P63；华师：八上P85～P92； 北师：七上P111～P113，七下P55～P57，P105～P107，P124～P127，八下P25～P27. ◎讲安排 建议1讲 ◎教学过程 　考 点　　基本的尺规作图 重点 1.作一条线段等于已知线段 作法及图示 (1)作射线OP； (2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段 2.作一个角等于已知角 作法及图示 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； (2)画一条射线O'A，以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A于点M； (3)以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，与前弧相交于点N； (4)过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角 例1 (2025成都模拟)如图，在△ABC中，M是AB的中点.按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BM于点D，交BC于点E；②以点M为圆心，BD长为半径画弧，交MA于点F；③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线MG，交AC于点N.下列结论不一定成立的是(　D　) A.∠AMN＝∠B B.∠MNC＋∠C＝180° C.AN＝CN D.AB＝2MN 变式1 如图，点A，B分别在∠MON的两条边OM，ON上.尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC∥OM，并在BC上截取BD＝OA.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图(答案不唯一).　 3.作已知角的平分线 作法及图示 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点N，交OB于点M； (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点P； (3)作射线OP，OP即为所求作的角平分线 例2 (2025资阳)如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是(　C　) A.30° B.45° C.60° D.75° 变式2 如图，在△ABC中，AB＞AC.尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图.　 4.作线段的垂直平分线 作法及图示 (1)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点； (2)作直线MN，MN即为所求作的垂直平分线 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于(　A　) A.21 B.24 C.27 D.30 变式3 如图，已知△ABC.尺规作图：在BC上作点D，使得DA＝DC，连接AD.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图.　 5.过一点作已知直线的垂线 a.点在直线上(图中点P) 作法及图示 (1)以点P为圆心，任意长为半径在点P两侧作弧，交直线于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点M； (3)连接MP，直线MP即为所求作的垂线 b.点在直线外(图中点P) 作法及图示 (1)在直线另一侧取点M； (2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线于A，B两点； (3)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M同侧的点N处； (4)连接PN，直线PN即为所求作的垂线 例4 如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为(　B　) A.4 B.9 C.2 D.10 变式4－1 如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D； ②分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E； ③作射线BE交AC于点F. 若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为　　. 变式4－2 如图，已知直线l和l外一点A.尺规作图：作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，不写作法，保留作图痕迹) 解：等腰直角三角形ABC如图所示.(答案不唯一)　 1.观察图中尺规作图的痕迹，下列结论正确的是(　D　) A.BD平分∠ABC　　 B.AD＝CD C.AB＝CB D.BD⊥AC 2.(2025内江)按如下步骤作四边形ABCD： (1)画∠EAF； (2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D； (3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C； (4)连接BC，DC，BD. 若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　D　) A.64° B.66° C.68° D.70° 3.(2025眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10.按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，AD于E，F两点； ②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P； ③作射线AP交BC于点G， 则CG的长为(　A　) A.4 B.5 C.6 D.8 4.(2025湖南省卷)如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是　3　. 5.(2025南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则OE的长是　　. 6.(2025陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，点P即为所求.　 7.(2025成都模拟)如图，在▱ABCD中，在AD上截取AF＝AB，分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点E.若AB＝5，BF＝6，则AE的长为　8　. 8.(2025广安)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；③画射线AF交BC于点E.若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为　12　. 9.(2025青岛)已知：如图，D是∠AOB内部一点.求作：等腰三角形COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D. 解：如图，等腰三角形COE即为所求作.　 10.(2025达州)开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP. 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角尺作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线. 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是　SSS　； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，②　全等三角形的对应角相等　； 对丙同学的作法陷入了沉思. 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证. 已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB. 证明：∵∠AED＝∠AOB， ∴ED∥OB. ∴∠EPO＝∠BOP. ∵EP＝EO， ∴∠EPO＝∠EOP. ∴∠BOP＝∠EOP. ∴OP平分∠AOB. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第33讲 尺规作图 ◎2022年版课标要求 ①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线； ②会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形(2022年版课标将“会利用基本作图作三角形”调整为“能用尺规作图”)； ③在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法． ◎备考策略 在复习过程中的熟练掌握线段、角、角平分线、垂直平分线和平行线的基本尺规作图。 ◎链接教材 人教：七上P126～P128，八上P35～P42，P48～49，P62～P63；华师：八上P85～P92； 北师：七上P111～P113，七下P55～P57，P105～P107，P124～P127，八下P25～P27. ◎讲安排 建议1讲 ◎教学过程 　考 点　　基本的尺规作图 重点 1.作一条线段等于已知线段 作法及图示 (1)作射线OP； (2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段 2.作一个角等于已知角 作法及图示 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q； (2)画一条射线O'A，以点O'为圆心，OP的长为半径作弧，交O'A于点M； (3)以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，与前弧相交于点N； (4)过点N作射线O'B，∠AO'B即为所求作的角 例1 (2025成都模拟)如图，在△ABC中，M是AB的中点.按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BM于点D，交BC于点E；②以点M为圆心，BD长为半径画弧，交MA于点F；③以点F为圆心，DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线MG，交AC于点N.下列结论不一定成立的是( ) A.∠AMN＝∠B B.∠MNC＋∠C＝180° C.AN＝CN D.AB＝2MN 变式1 如图，点A，B分别在∠MON的两条边OM，ON上.尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC∥OM，并在BC上截取BD＝OA.(不写作法，保留作图痕迹) 　 3.作已知角的平分线 作法及图示 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点N，交OB于点M； (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点P； (3)作射线OP，OP即为所求作的角平分线 例2 (2025资阳)如图，在射线BA，BC上，分别截取BM，BN，使BM＝BN；再分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点D，作射线BD；过点D作DE∥BC交BA于点E.若∠BDE＝30°，则∠AED的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 变式2 如图，在△ABC中，AB＞AC.尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE.(不写作法，保留作图痕迹) 　 4.作线段的垂直平分线 作法及图示 (1)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点； (2)作直线MN，MN即为所求作的垂直平分线 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，直线EF交BC于点D，则△ACD的周长等于( ) A.21 B.24 C.27 D.30 变式3 如图，已知△ABC.尺规作图：在BC上作点D，使得DA＝DC，连接AD.(不写作法，保留作图痕迹) 　 5.过一点作已知直线的垂线 a.点在直线上(图中点P) 作法及图示 (1)以点P为圆心，任意长为半径在点P两侧作弧，交直线于A，B两点； (2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点M； (3)连接MP，直线MP即为所求作的垂线 b.点在直线外(图中点P) 作法及图示 (1)在直线另一侧取点M； (2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线于A，B两点； (3)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M同侧的点N处； (4)连接PN，直线PN即为所求作的垂线 例4 如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F.若BF＝5，则CF的长为( ) A.4 B.9 C.2 D.10 变式4－1 如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D； ②分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点E； ③作射线BE交AC于点F. 若AB＝AC＝5，DF＝1，则BC的长为 . 变式4－2 如图，已知直线l和l外一点A.尺规作图：作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，不写作法，保留作图痕迹) 　 1.观察图中尺规作图的痕迹，下列结论正确的是( ) A.BD平分∠ABC　　 B.AD＝CD C.AB＝CB D.BD⊥AC 2.(2025内江)按如下步骤作四边形ABCD： (1)画∠EAF； (2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D； (3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C； (4)连接BC，DC，BD. 若∠A＝40°，则∠BDC的度数是( ) A.64° B.66° C.68° D.70° 3.(2025眉山)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10.按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，AD于E，F两点； ②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P； ③作射线AP交BC于点G， 则CG的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.(2025湖南省卷)如图，在△ABC中，BC＝6，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是 . 5.(2025南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC＝1，则OE的长是 . 6.(2025陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB.(不写作法，保留作图痕迹) 　 7.(2025成都模拟)如图，在▱ABCD中，在AD上截取AF＝AB，分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点E.若AB＝5，BF＝6，则AE的长为 . 8.(2025广安)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；③画射线AF交BC于点E.若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 . 9.(2025青岛)已知：如图，D是∠AOB内部一点.求作：等腰三角形COE，使点C，E分别在射线OA，OB上，且底边CE经过点D. 　 10.(2025达州)开启作角平分线的智慧之窗 问题：作∠AOB的平分线OP. 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角尺作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上，即得OP为∠AOB的平分线. 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS，ASA或HL，② ； 对丙同学的作法陷入了沉思. 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证. 已知∠AED＝∠AOB，EP＝EO，求证：OP平分∠AOB. 学科网（北京）股份有限公司 $