精品解析：北京市清华大学附属中学朝阳学校2025-2026学年第二学期期中考试试卷高一数学

2025—2026学年第二学期期中考试试卷 高一数学 （清华附中朝阳学校望京学校）2026年4月 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共50分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为复数， 所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2. 在中，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得到，代入数值解出即可. 【详解】在中，由正弦定理得即，解得， 故选：A. 3. 某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积 【详解】解：由题意得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：A 4. 已知向量，，.若，，三点共线，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，， 若，，三点共线，则，解得. 5. 在中，，则的形状一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 6. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量运算法则计算即可. 【详解】因为为边上靠近的三等分点， 所以， 所以 , 因为为的中点， 所以， 所以. 7. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误； 对于C，若，过作平面，使得，则， 因为，，则，又，则，故C正确； 对于D，若，，则或或与相交，故D错误. 故选：C. 8. 为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB. 【详解】在中，， 所以，有，所以， 在中，， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，得 ， 所以，即两个基站A、B之间的距离为. 故选：D 9. 在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先转化向量不等式并化简，构造函数，利用一次函数的性质得出向量垂直关系，从而得出为直角三角形，满足必要性；再利用直角位置不固定得出充分性不成立． 【详解】，若，则， ，即， 对于任意恒成立，设，则需满足 时，；时，； 是一次函数，连续，即， ，即， 又， ， ，故，即，是直角三角形，满足必要性； 若为直角三角形，直角可能是或， 若或时，不满足对于任意恒成立，不满足充分性， “为直角三角形”是“对于任意，”的必要不充分条件，故B正确． 故选：B． 10. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得，，由线面垂直的判定与性质可得，进而可得点的轨迹为线段，找到的最大值即可得解. 【详解】取的中点，连接、、、，连接、、、、，如图： 因为正方体的棱长为2， 所以,，，平面，平面，平面， 所以，，， 所以，， 所以，， 由可得平面， 所以，所以点的轨迹为线段， 又, 所以面积的最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点的轨迹，属于中档题. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 设复数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的除法运算求解复数，即可求得模长. 【详解】解：复数z满足，则， 所以. 故答案为：. 12. 已知向量，向量，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，，得， 则. 13. 在中，，． （1）若，则________． （2）若有两解，则a的一个值可以为________． 【答案】 ①. 5 ②. 6（范围内的任意值均可） 【解析】 【分析】①利用余弦定理计算即可；②利用正弦定理，然后根据条件列出不等式，进而求解即可. 【详解】①根据余弦定理得. 所以. ②根据正弦定理得，. 要使得有两解，需满足：，即， 解得，所以的一个值可以是6. 14. 如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等积法求解即可. 【详解】设点C到平面的距离为， 因为， 所以， 因为正方体棱长为， 所以， 所以是等边三角形， 所以， 又因为， 代入体积公式得. 15. 如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，空①：由，求出，然后由即可求解；空②：，因为，从而可求解. 【详解】由题意以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，设，， 即，，， 空①：由，即，解得，则， 所以，所以； 空②：，因为，则， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 16. 如图，在正方体中，，点为直线上的动点，则下列四个命题： ①连接，总有平面； ②平面； ③动点到直线的距离的最小值是； ④设，则三棱锥的体积随着增大而增大. 其中正确的命题的序号是_________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用面面平行的性质推理判断①；利用线面垂直的判定推理判断②；利用线面平行结合等体积法计算判断③；利用等体积法计算判断④作答. 【详解】在正方体中，对角面是矩形，则平面，平面， 于是平面，同理平面，而平面， 则有平面平面，而平面，因此平面，①正确； 平面平面，则，而，平面， 则有平面，而平面，因此，同理， 平面，所以平面，②正确； 由①知，平面平面，由于与是异面直线，则点到直线的距离最小值等于点到平面的距离， 正方体棱长为1，则，由， 得，即，解得，③正确； 因为平面，平面，则平面， 因此点到平面的距离为定值，而的面积为定值， 于是三棱锥的体积为定值，④错误， 所以正确的命题的序号是①②③. 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用等体积法，求出三棱锥某个底面上的高即可. 三、解答题（共5个小题，共0分） 17. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边上的中点，求和线段的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系、三角形内角和及两角差的正弦公式计算可得，再利用正弦定理可得、，最后利用向量线性运算及模长与数量积关系计算即可得的长. 【小问1详解】 由，可得， 即，由余弦定理可得， 则，即，又，故； 【小问2详解】 由，则， 则， 由正弦定理， 可得，， 由点D是边上的中点，则， 故 ， 即. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选择条件②：，选条件③：. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理：边化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出答案； （2）①利用正弦定理可得为锐角或钝角；②利用基本不等式和三角形的性质可得存在且唯一确定；③利用正弦定理和余弦定理可得存在且唯一确定. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，， 又，所以，得到，又， 又，所以，得到，所以. 【小问2详解】 选条件①：，； 由（1）知，，根据正弦定理知， 所以存在或两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件； 选择条件②： 已知，，， 由余弦定理，可得， 又因为，所以， 展开可得， 移项化简得，解得， 此时，满足三角形三边关系，且存在且唯一确定， 根据三角形面积公式，可得， 选条件③：边上的高，； 如图所示，边上的高，在中，，即， 由（1）知，，根据余弦定理知，， 化简得，得(舍去)或，存在且唯一确定， 所以的面积为. 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 21. 如图，设是由个实数组成的n行n列的数表，其中表示位于第i行第j列的实数，且． 记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的，都有与为正交向量，则称为正交数表． （1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）； （2）当时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量； （3）求证：对任意，当时，不是正交数表． 【答案】（1）是正交数表，不是正交数表; （2）证明见解析; （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中新定义直接判断； （2）根据题意设出与，利用正交向量的定义计算即可证明； （3）从数表中选出三个不同的行向量，设为，假设为正交数表，则满足几个交换性质，设，则可分析出和中和的数量关系，再根据，继续分析和中和的数量，整合后可得正交数表的行列数必须是的倍数，由此可证得假设不成立. 【小问1详解】 对于，，是正交数表； 对于，，不是正交数表． 【小问2详解】 设,， 由与为正交向量，与为正交向量，得 且.其中,. 故不妨设,, 则, 即,所以与不是正交向量. 【小问3详解】 因为,所以的最小值为.因此我们可以从数表中选出三个不同的行向量，不妨设为. 若为正交数表，则有. 且若为正交数表，可得如下变换成立， 变换1：交换正交数表的任意两行，所得的新数表仍是正交数表； 变换2：交换正交数表的任意两列，所得的新数表仍是正交数表； 变换3：将正交数表的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表． 因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设， 由得，在中，和的数量相等，即有个和； 同样地，中也有有个和.现在考虑. 我们将乘积值的情况分成四类： ①,设数量为; ②,设数量为; ③,设数量为; ④,设数量为. 且. 根据中有个和，,同样根据中有个和，. 所以得，从而有. 故有，所以，即正交数表的行列数必须是的倍数. 所以时必不成立.命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中考试试卷 高一数学 （清华附中朝阳学校望京学校）2026年4月 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题5分，共50分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，若，则 （ ） A. B. C. D. 3. 某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，.若，，三点共线，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 在中，，则的形状一定为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，在中，为边上靠近的三等分点，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，“为直角三角形”是“对于任意，”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 设复数满足，则__________． 12. 已知向量，向量，则______． 13. 在中，，． （1）若，则________． （2）若有两解，则a的一个值可以为________． 14. 如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上． ①若，则__________； ②的取值范围是__________． 16. 如图，在正方体中，，点为直线上的动点，则下列四个命题： ①连接，总有平面； ②平面； ③动点到直线的距离的最小值是； ④设，则三棱锥的体积随着增大而增大. 其中正确的命题的序号是_________. 三、解答题（共5个小题，共0分） 17. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，点D是边上的中点，求和线段的长． 19. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 21. 如图，设是由个实数组成的n行n列的数表，其中表示位于第i行第j列的实数，且． 记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的，都有与为正交向量，则称为正交数表． （1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）； （2）当时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量； （3）求证：对任意，当时，不是正交数表． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $