运算律——奥数专项训练（专项练习）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

运算律 奥数专项训练 数学四年级下册 （人教版） 一、知识核心梳理（奥数必备基础） 在常规教学中，运算律主要用于简化计算。而在奥数视角下，运算律是“代数思维”的启蒙，核心考点从“正向套用”转向“逆向构造”与“灵活变形”： 1.加法与乘法的交换律、结合律（高阶凑整）： 基准数法：当一组数接近某个整数（如100, 1000）时，以该整数为基准，利用“多加要减，少加要补”的思想进行巧算。 分组配对：在长串加减法中，寻找能凑成整十、整百的数对，改变运算顺序。 2.乘法分配律及其逆运算（核心重难点）： 基本模型： 隐含“1”的情况：如 ，需识别第二个37背后隐含的×1，即99×37+1×37。 拆分法：将接近整十、整百的数拆分为 提取公因数的高级应用：在多项式中寻找公共部分，甚至需要变形后才能提取（如 ）。 3.减法与除法的性质（去括号变号）： 连续减去两个数：a - b - c = a - (b+c)。奥数常考“带着符号搬家”，即a - b + c = a + c - b。 连续除以两个数：。常用于除数相乘能凑整的情况。 4.等差数列求和（运算律的延伸）： 利用加法交换律和结合律推导出的高斯求和公式：。这是奥数计算中的常客。 二、奥数例题精讲（分题型突破） 题型一：乘法分配律的逆用与变形（高频考点） 例题1：计算 思路解析： 1.第一小题：观察发现两项都有37。第二项 37 可以看作 。利用乘法分配律逆运算提取公因数37。 2.第二小题：没有直接的加减连接，不能直接用分配律。但观察到 125 喜欢找 8，25 喜欢找 4。而 32 恰好可以拆分为。利用乘法结合律重新分组。 解答过程： 变式练习1： 计算 题型二：复杂提取公因数（思维拓展） 例题2： 思路解析： 表面看，24和12不同，65和70不同，似乎无法使用分配律。 但仔细观察， 解答过程： 结论：当公因数不明显时，尝试通过倍数关系拆分其中一个因数，构造公共部分。 变式练习2： 计算 题型三：等差数列求和（高斯求和） 例题3：计算 以及 思路解析： 这是典型的等差数列求和。 公式： 难点在于确定项数。 项数公式： 解答过程： 结论：掌握项数计算公式是解决此类问题的关键，切忌直接数数。 变式练习3： 计算 题型四：除法性质与带符号搬家（易错难点） 例题4：计算 思路解析： 1.连除：连续除以两个数，等于除以这两个数的积。这是经典凑整。 2.连减：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。便于口算。 解答过程： 进阶陷阱题： 计算 注意：这里不能加括号变成 因为运算顺序是从左到右，且中间是乘号不是除号。 正确解法： 错误解法： 警示：只有连续除法或连续乘法才能随意结合，乘除混合需谨慎，或使用“带着符号搬家”：。 变式练习4： 计算 三、奥数易错点警示 1.乘法分配律的漏项错误： 错误： 纠正：括号里的每一项都要乘。应为 2.“隐含1”的忽略： 错误： 或无法下手。 纠正：单独出现的数，视为乘以1 3.去括号变号问题： 错误：。 纠正：括号前是减号，去掉括号后，括号内各项要变号。 4.除法结合律的误用： 错误： 纠正：仅当连续除法时成立。乘除混合时，建议转化为分数形式或严格从左往右计算，或利用交换律 5.等差数列项数计算错误： 错误：项数 = 末项 - 首项。 纠正：项数 = (末项 - 首项) 。切记“植树问题”原理，两端都算要加1。 四、奥数专项提升练习 （一）选择题 1．下面的算式中正确的是（    ）。 A．（4×2）×（25×3）＝4×25×5 B．575÷25＝（575÷5）÷（25÷5） C．25×28＝（25×4）×（28×4） D．500÷（100÷5）＝500÷100÷5 2．计算630÷18时，下面算法正确的是（    ）。 A．630×2×9 B．630÷9×2 C．630×9÷2 D．630÷9÷2 3．下列问题中蕴含的运算律与其他三项不同的是（    ）。 A．25×12＝？ B．计算长方形的周长 C．求小正方体的个数 D．求足球和篮球的总价 4．29×18＋29×82＝29×（18＋82）＝2900，运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．都不正确 5．下列算式中，与“5×4＋20×4＋600×4”的结果相等的是（    ）。 A．642×5 B．624×5 C．652×4 D．625×4 6．下面是小慧在探究124×35的思考过程，其中表达一致的有（    ）。 ①124×30＋124×5        ② ③124×5×7                ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．明明在计算4×（△＋○）时，看成了4×△＋○。结果比原来小了12，如果用图将12表示的含义圈出来正确的是（    ）。 A． B． C． D． 8．聪明的高斯快速地计算出了1＋2＋3＋…＋98＋99＋100的和是5050。你能快速地计算出100＋99＋98＋…＋3＋2＋1的和是多少吗？你计算出的结果是（    ）。 A．1265 B．2525 C．5050 D．10100 （二）填空题 9．1＋2( )。 10．12×（4＋10）＝12×4＋12×10，这是运用了( )。 11．若a×b＝24，则a×（b×10）＝( )；360÷a÷b＝( )。 12．用a、b、c代表三个数，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）表示的运算律是______。 13．在里填运算符号，在里填合适的数。 600×7＝60×        960÷3÷8＝960÷（3）     240÷28×7＝240÷（÷） 14．（a×b）×c＝a×（b×c）表示的运算定律是____________________，乘法分配律用字母表示是____________________。 15．小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大( )。 16．请将等式补充完整，并说明运用了哪种运算律。 (1)23×98＋23×2＝23×（98＋______），运用了( )律。 (2)（11×8）×125＝11×（______×______），运用了( )律。 （三）判断题 17．71×99＝71×100－1。( ) 18．▲＋（●＋b）＝（▲＋●）＋b。( ) 19．计算647－98用简便方法计算是647－100＋2。( ) 20．687－22－53－125＝687－（22＋53＋125）＝487。( ) 21．计算（125＋25）×8＝125×8＋25×8运用了乘法结合律。( ) 22．惠民超市购进了235袋大米，每袋重42千克，这些大米一共重9780千克。( ) （四）解答题 23．小宇在计算（25＋a）×8时，漏掉了括号，算成了25＋a×8，那么正确结果与错误结果相差多少？ 24．海海在计算（200－25）×时，漏看了小括号，算出的结果是100。这道题的正确结果应该是多少？ 25．某区要举行“红色经典阅读”活动，计划用网络直播的方式在两个会场同时进行。这两个会场能坐下吗？请你根据下面的信息判断。 26．小宇和小恒分别从桥的两端同时出发，相向而行。小宇步行，每分走55m；小恒骑自行车，每分行145m。14分后两人相遇，这座桥长多少米？ 27．中国传统书画擅长将书法和绘画结合，且自古就有“书画同源”的说法。如下图，涂色部分为绘画作品，空白部分为书法作品。书法作品的面积是多少？ 28．乐乐和园园同时从自己家出发去学校，经过8分钟后两人同时到达学校。乐乐从家去学校比园园从家去学校多走多少米？从乐乐家经过学校到园园家一共要走多少米？ 29．从下面的6张卡片中选出几张，按要求写出算式并计算。 (1)选出3张卡片，组成一个连加算式，使计算简便。 (2)选出4张卡片，组成一个连减算式，使计算简便。 30．计算837×6，聪聪列出了下面这样的竖式。 (1)4842算的是什么？ (2)180算的是什么？ (3)请解释为什么用这样的方法也能算出正确答案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月19日小学数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C C D C B C 1．B 【分析】根据乘法交换律，商不变的规律，乘法结合律，以及含有小括号的先算括号里的，分析四个选项，找出正确即可。 【详解】A．（4×2）×（25×3） ＝4×2×25×3 ＝（4×25）×（2×3） ＝100×6 ＝600 4×25×5 ＝100×5 ＝500 600与500不相等，（4×2）×（25×3）＝4×25×5算式不正确。 B． 575÷25，被除数和除数同时除以5，商不变。（575÷5）÷（25÷5）所以，575÷25＝（575÷5）÷（25÷5），计算正确。 C．25×28 ＝25×（4×7） ＝25×4×7 ＝100×7 ＝700 （25×4）×（28×4） ＝100×112 ＝11200 700与11200不相等，所以25×28＝（25×4）×（28×4）算式不正确。 D．500÷（100÷5） ＝500÷20 ＝25 500÷100÷5 ＝5÷5 ＝1 25与1不相等，所以500÷（100÷5）＝500÷100÷5的计算不正确。 2．D 【分析】根据除法的性质，一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积，即630÷9÷2＝630÷18，据此解答即可。 【详解】630÷18＝630÷（2×9）＝630÷2÷9 计算630÷18时，算法正确的是630÷9÷2。 3．C 【分析】选项A中是乘法竖式计算的过程，先算2×25，又算10×25，相当于把12拆成10和2，利用了乘法分配律；选项B中，长方形的周长＝（长＋宽）×2，即（5＋3）×2，也是利用乘法分配律；选项C中，求小正方体的个数，题目中的长方体是由小正方体拼成的，一行有4个，一层有3行，一共有5层，求个数就是用4×3×5，直接计算即可；选项D中，足球的总价＝足球的数量×足球的单价，篮球的总价＝篮球的数量×篮球的单价，总共的价格＝足球的总价＋篮球的总价，即56×22＋44×22，也就是（56＋44）×22，利用乘法分配律。只有选项C没有利用乘法分配律。 【详解】A．根据竖式的过程，25×12＝25×（10＋2），利用乘法分配律； B．周长＝（长＋宽）×2，也就是（5＋3）×2＝5×2＋3×2，利用乘法分配律； C．由图可知，小正方体的个数是4×3×5，直接计算即可； D．足球和篮球都是买22个，求总价，可以用（56＋44）×22＝56×22＋44×22，利用乘法分配律 故答案为：C 4．C 【分析】两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律；乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另一个数相乘，积不变的乘法运算方法；乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此选择即可。 【详解】计算29×18＋29×82时，根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式改写成29×（18＋82），最后按运算顺序计算即可。 运用了乘法分配律。 5．D 【分析】观察原式，三个乘法算式中有相同的因数4，可运用乘法分配律，将相同因数4提取出来，即5×4＋20×4＋600×4＝（5＋20＋600）×4，先算括号内的加法，再算括号外的乘法。 【详解】5×4＋20×4＋600×4 ＝（5＋20＋600）×4 ＝625×4 因此，与“5×4＋20×4＋600×4”的结果相等的是625×4。 6．C 【分析】①35＝30＋5，所以，124×35＝124×（30＋5）再利用乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c 124×（30＋5）＝124×30＋124×5。 ②求长124宽35的长方形的面积，我们可以将宽35拆为30和5再把两个小长方形面积求和即可。大长方形的面积＝124×30＋124×5，利用乘法分配律。 ③乘法结合律a×b×c＝a×（b×c），35＝5×7，所以124×35＝124×（5×7）＝124×5×7。 ④将124×35进行竖式计算，利用乘法分配律原理。 【详解】①124×（30＋5）＝124×30＋124×5 ②大长方形的面积等于两个小长方形面积的和＝124×30＋124×5 ③124×35＝124×（5×7）＝124×5×7 ④ ①②④表达均一致。 故答案为：C 7．B 【分析】根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，计算4×（△＋○）＝4×△＋4×○，表示4个△加4个○的和，4×△＋○表示4个△加1个○，那么4×（△＋○）比4×△＋○多了3个○，也就是结果比原来小了12，据此判断。 【详解】根据分析得出： 结果比原来小了12，如果用图将12表示的含义圈出来正确的是。 8．C 【分析】根据题意，因为100＋99＋98＋＋3＋2＋1与1＋2＋3＋＋100包含相同的加数（从1到100的所有整数），只是顺序不同。根据加法交换律，改变加数的顺序不影响和。已知1＋2＋3＋＋100的和是5050，所以100＋99＋98＋＋1的和也应是5050。以此答题即可。 【详解】根据分析： 100＋99＋98＋…＋3＋2＋1＝5050 故答案为：C 9．500 【分析】根据题意，仔细观察题目可知，1＋99＝100，2＋98＝100，3＋97＝100，4＋96＝100，5＋95＝100，再把5个100相加，，列式计算即可。 【详解】根据分析： 1＋2＋3＋4＋5＋95＋96＋97＋98＋99 ＝（1＋99）＋（2＋98）＋（3＋97）＋（4＋96）＋（5＋95） ＝100＋100＋100＋100＋100 ＝500 即1＋2＋3＋4＋5＋95＋96＋97＋98＋99＝500。 10．乘法分配律 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘， 可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此填空即可。 【详解】12×（4＋10） ＝12×4＋12×10 ＝48＋120 ＝168 12×（4＋10）＝12×4＋12×10，这是运用了乘法分配律。 11． 240 15 【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的若干倍（0除外），得到的积就等于原来的积的若干倍；除法的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积；据此解答。 【详解】根据分析： 24×10＝240，则a×（b×10）＝240； 360÷a÷b ＝360÷（a×b） ＝360÷24 ＝15 所以360÷a÷b＝15。 12． 加法结合律 【分析】根据加法结合律的意义：三个数相加，可以先把前两个数相加再加第三个数，或者先把后两个数相加再加第一个数，它们的和不变。 【详解】（a＋b）＋c表示先计算a与b的和，再加c；a＋（b＋c）表示先计算b与c的和，再加a；改变了运算顺序但是和不变，所以表示的运算律是加法结合律。 13．70；×；8；28；7 【分析】根据积的变化规律：一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，积不变。 根据除法的运算性质：a÷b÷c＝ a÷（b×c），a÷b×c＝a÷（b÷c）。据此作答。 【详解】600×7＝（60×10）×7＝60×（7×10）＝60×70； 960÷3÷8＝960÷（3×8）； 240÷28×7＝240÷（28÷7）。 14． 乘法结合律 （a＋b）×c＝a×c＋b×c 【分析】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为：（a×b）×c＝a×（b×c）。乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘再相加，用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或a×（b＋c）＝a×b＋a×c。 【详解】（a×b）×c＝a×（b×c）表示的运算定律是乘法结合律，乘法分配律用字母表示是（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 15．2999 【分析】36×2999表示36个2999，37×2999表示37个2999，37个2999比36个2999多1个2999，也就是得到的结果比正确结果大2999；乘法分配律逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c。 【详解】37×2999－36×2999 ＝（37－36）×2999 ＝2999 小鹏用计算器计算36×2999时，不小心把36输成了37，得到的结果是110963，请问得到的这个结果比正确的结果大2999。 16．(1) 2 乘法分配 (2) 8 125 乘法结合 【分析】（1）观察两个乘法算式，可以看到两个算式中都有乘数23，根据乘法分配律，a×b＋a×c＝a×（b＋c），转化为23×（98＋2）计算。 （2）因为8×125＝1000，乘积是整千数，能够简便计算，所以运用乘法结合律，先算8×125，再乘11。 【详解】（1）23×98＋23×2＝23×（98＋2），运用了乘法分配律。 （2）（11×8）×125＝11×（8×125），运用了乘法结合律。 17．× 【分析】根据乘法分配律，两个数的差与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相减。因此，71×99应转化为71×（100－1）＝71×100－71，据此解答。 【详解】71×99 ＝71×（100－1） ＝71×100－71×1 71×100−1≠71×100－71×1 所以71×99≠71×100－1。 故答案为：× 18．√ 【分析】根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。据此做出判断即可。 【详解】根据加法结合律，对于任意三个数▲、●、b，有：。举例验证：设▲＝2，●＝3，b＝4，左边：，右边：，两边结果相等，等式成立。 故答案为：√ 19．√ 【分析】减法的性质是指从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第二个数，再减去第一个数。在简算647－98时，先将98看作为100－2，再根据减法的性质a－（b－c）＝a－b＋c进行判断。 【详解】647－98 ＝647－（100－2） ＝647－100＋2 故答案为：√ 20．√ 【分析】根据减法的运算性质，一个数连续减去几个数，等于这个数减去这几个数的和。因此，与 的结果应相等。计算两边结果均为487，故等式正确。 【详解】计算左边：，，； 计算括号内：， 计算右边：。 两边结果相等，均为487，故等式成立。 故答案为：√ 21．× 【分析】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者是先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个加数，然后把乘得的积相加，用字母表示为（a＋b）×c＝a×c＋b×c。 通过观察，算式（125＋25）×8＝125×8＋25×8中的两个数字分别与括号外的8相乘，然后求和，因此运用了乘法分配律。 【详解】（125＋25）×8 ＝125×8＋25×8 ＝1000＋200 ＝1200 计算（125＋25）×8＝125×8＋25×8运用了乘法分配律，所以原题说法错误。 故答案为：× 22．× 【分析】本题需要验证235袋大米，每袋重42千克，总重量是否为9780千克。根据乘法的意义，总重量＝袋数×每袋的重量，即235×42。通过计算可判断结果是否正确。 【详解】235×42 ＝235×（40＋2） ＝235×40＋235×2 ＝9400＋470 ＝9870（千克） 计算得到的总重量为9870千克，与题目中的9780千克不符。 故答案为：× 23．175 【分析】原式根据乘法分配律可以写成，与错误的算式相减，可消去变量a的影响得到固定值。据此解答。 【详解】 答：正确结果与错误结果相差175。 24．700 【分析】因为在计算（200－25）×□时，漏看了小括号，所以海海计算错的算式是200－25×□＝100，由此可知 有减法和乘法，先算乘法，再算减法，所以200减去一个数等于100，那么25×□的结果是100，由此即可求出□是100÷25＝4，之后再把4代入原来的式子即可。 【详解】200－100＝100 100÷25＝4 （200－25）×4 答：这道题的正确结果应该是700。 【点睛】通过反求求得括号里面的得数，再把得数填进去，用正确的运算顺序算出答案。 25．能坐下 【分析】先用每排的人数乘排数分别求出第一个会场和第二个会场可以坐的总人数，再每所学校参加活动的人数乘全区的小学数求出参加活动的总人数，最后两组数据比较大小，若第一个会场和第二个会场可以坐的总人数大于等于参加活动的总人数，则这两个会场能坐下；否则不能坐下。据此解答。 【详解】   （人） （人） 答：这两个会场能坐下。 26．2800米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出两人行走的路程，再将两个路程相加，求出这座桥的总长度。 【详解】 （米） 答：这座桥长2800米。 27．6000平方厘米 【分析】将书法作品部分分成如图所示的两个长方形，根据长方形面积=长×宽，列出算式，利用乘法分配律将算式变成进行简便运算。 【详解】 （平方厘米） 答：书法作品的面积是6000平方厘米。 28．40m；1000m 【分析】根据速度×时间=路程，可求出乐乐和园园从自己家出发到学校所走的路程，然后用乐乐从家去学校的路程减去园园从家去学校的路程，即可求出乐乐从家去学校比园园从家去学校多走的路程；用乐乐从家去学校的路程加上园园从家去学校的路程，即可求出从乐乐家经过学校到园园家一共要走的路程。 【详解】 （米） （米） 答：乐乐从家去学校比园园从家去学校多走40m，从乐乐家经过学校到园园家一共要走1000m。 29．(1) 347＋158＋53＝558（答案不唯一） (2) 158－58－53－37＝10（答案不唯一） 【分析】（1）先找出哪两个数的和是整百、整十数，再与其他数组成连加算式，计算时根据加法交换律进行简算； （2）先找出哪两个数的和或差是整百、整十数，再与其他数组成连减算式，计算时根据减法的性质进行简算。 【详解】（1） （答案不唯一） （2） （答案不唯一） 30．(1)4842算的是837×6中百位和个位部分的积，即807×6的结果。 (2)180算的是30×6的结果。 (3)因为运用了乘法分配律，将837拆分为800＋30＋7，分别与6相乘后再相加，所以能算出正确答案。 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。把837拆成807＋30，分别和6相乘，再把两个积相加。 【详解】（1）答：4842是807×6的计算结果。聪聪先计算了807×6＝4842，也就是用百位的8和个位的7组成的数807去乘6，得到了这一步的结果。 （2）答：180是30×6的计算结果。30是837中十位上的3代表的数值（3个十），30×6＝180，这一步计算的是十位上的数与6相乘的结果。 （3）答：因为运用了乘法分配律，将837拆分为800＋30＋7，分别与6相乘后再相加，所以能算出正确答案。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $