专题02勾股定理（期中复习讲义，5重难题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

专题02 勾股定理 （期中复习讲义，5重难题型+过关检测） 题型1 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 2 题型2 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 4 题型3 勾股定理与分类讨论问题（期中难点，冲刺高分） 8 题型4 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 9 题型5 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 13 1. 熟记勾股定理及逆定理的内容，明确其适用条件，能准确区分定理与逆定理的用途（定理求边，逆定理判直角）； 2. 能熟练运用勾股定理，已知直角三角形的两条边，求第三条边；能利用逆定理，根据三边长判断三角形是否为直角三角形； 3. 掌握常见的勾股数，能快速运用勾股数判断直角三角形，简化计算； 4. 能解决基础的勾股定理应用问题（如简单测量、已知两边求第三边），确保步骤规范、计算准确。03 期中知识•梳理 知识点1：勾股定理的定义 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则可表示为： 关键说明：1. 勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形（锐角、钝角三角形）不适用；2. 对应关系：直角边对应、，斜边对应（斜边是直角三角形中最长的边，故且）；3. 变形公式：、、，可用于已知两边求第三边。 知识点2：勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 如果一个三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。 补充要点：1. 逆定理的核心是“由边判角”，无需测量角度，通过边长关系即可判定直角三角形；2. 若三边长满足，则为钝角三角形（最长边对钝角）；若，则为锐角三角形（最长边对锐角）；3. 常用勾股数：能构成直角三角形的三边长（正整数），如3、4、5；5、12、13；6、8、10等，可快速判断直角三角形。 知识点3：勾股定理的常见应用场景 1. 已知直角三角形两边，求第三边（基础应用）； 2. 折叠问题：利用折叠的轴对称性，转化线段长度，结合勾股定理列方程求解； 3. 实际问题：将实际场景（如航海、测量、梯子滑动、折叠矩形等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解； 4. 分类讨论问题：当直角三角形的边（直角边、斜边）不确定时，需分情况讨论，避免漏解； 5. 几何综合与最值问题：结合三角形、矩形、菱形等几何图形，利用勾股定理结合轴对称、垂线段最短等性质求解最值或综合证明。 易错点梳理 1. 忽略勾股定理的适用条件，将其用于非直角三角形； 2. 混淆直角边与斜边，尤其是在已知两边求第三边时，未判断最长边，盲目代入公式； 3. 折叠问题中，未利用“折叠前后对应边相等、对应角相等”的性质，无法转化线段长度； 4. 分类讨论问题中，遗漏某一种情况（如直角边不确定、图形位置不确定），导致漏解； 5. 实际问题中，无法将场景转化为直角三角形模型，或忽略单位统一。 04 期中题型•汇总 题型1 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 解题核心 核心是利用折叠的轴对称性：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折叠线是对应点连线的垂直平分线，由此转化线段长度，将未知线段用未知数表示，再结合勾股定理列方程求解（方程思想是关键）。 易错提醒：折叠后，注意区分重合的线段和角，避免线段长度混淆；设未知数时，优先设较短的未知线段，简化计算。 【典例1】．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【变式1】．如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【变式2】．综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【变式3】．如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【变式4】．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【变式5】．综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 题型2 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 解题核心 核心是“建模思想”：将实际问题中的场景（如航海、测量、梯子滑动、隧道通行等）转化为直角三角形模型，找出直角边、斜边对应的实际线段，再运用勾股定理求解，注意单位统一和实际问题的合理性（如长度不能为负）。 关键：准确识别实际场景中的直角关系，将分散的线段转化为直角三角形的边，避免混淆实际距离与直角边、斜边的对应关系。 【典例2】．如图，某物流公司仓库内有一座高的货架，货架顶部安装了一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？ 【变式1】．风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【变式2】．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【变式3】．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【变式4】．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【变式5】．如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西方向，且与货轮M相距．同时，在货轮M南偏东方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A与客轮B的距离． 【变式6】．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【变式7】．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式8】．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【变式9】．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【变式10】．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 题型3 勾股定理与分类讨论问题（期中难点，冲刺高分） 解题核心 核心是“分类讨论思想”：当直角三角形的边的身份不确定（如未明确哪条边是斜边、哪条边是直角边），或图形的位置不确定时，需分情况讨论所有可能的情况，逐一计算，避免漏解。 常见分类场景：1. 已知直角三角形的两边，求第三边（未明确两边是直角边还是一斜一直）；2. 三角形的某条边为高，位置不确定；3. 动点问题中，直角顶点不确定。 【典例3】．如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 【变式1】．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【变式2】．如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了_____________s时，是直角三角形． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 题型4 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 解题核心 核心是“综合运用几何性质+勾股定理”：结合全等三角形、等腰三角形、矩形、菱形等几何图形的性质，转化线段长度、角度关系，构造直角三角形，再运用勾股定理完成证明或计算，重点考查图形转化能力和综合解题思维。 关键：找到图形中的直角关系，通过几何性质（如全等三角形对应边相等、矩形的四个角为直角）将未知线段转化为直角三角形的边，再运用勾股定理。 【典例4】．如图1，在中，，，点，分别在，上，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，点在上，连接交于点，若，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【变式1】．定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形． (1)【初步思考】如图2，在中，，，D、E为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是________． (2)【实践应用】如图3，在矩形中，，．点E在边上，点F在边上，若与是关于的互补三角形，试求的长． 【变式2】．已知，点为等边的边延长线上一点，连接，点为线段上一点，，连接交于点，平分． (1)如图，，， ①求的度数； ②求的长． (2)如图，点是上一点，交于点，，求证：． 【变式3】．已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． (1)请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． (2)深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． (3)结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 【变式4】．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接（或将绕点逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】受到上面的启发，请你证明下列命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【变式5】．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 题型5 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 解题核心 核心是“转化思想+最值性质”：结合“垂线段最短”“轴对称性质”（将军饮马问题），将最值问题转化为“线段长度的最值”，再通过构造直角三角形，运用勾股定理求解最值，重点考查转化能力和最值思维。 常见最值场景：1. 求直线外一点到直线的最短距离（垂线段最短，结合勾股定理计算）；2. 将军饮马型最值（对称点转化，再用勾股定理求线段长度）；3. 动点到定点的距离最值。 【典例5】．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【变式1】．如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时，________． 【变式2】．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱外侧下底面的点A处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． (1)任务一：点P是的中点且在圆柱外侧，蚂蚁想吃点P处的食物，则它沿圆柱外侧面爬行的最短路程是______． (2)任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在外底部A处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点A相对的点M处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点B处（此时A、B两点重合），小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． (3)任务三：小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点E为的中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并在线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点F处，请你帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程，并写出解答过程． 【变式3】．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【变式4】．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【变式5】．【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【变式6】．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【变式7】．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式8】．阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 05 过关•检测 1．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．下列几组数中，为勾股数的是（    ） A．4，5，6 B．12，16，20 C．，24，26 D．2.4，4.5，5.1 3．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前有（    ） A． B． C． D． 4．在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：，，，其中，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 6．如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为2．面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 9．已知的、和的对边分别是，和，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 12．如图，在四边形中，，，，，，则该四边形的面积是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为，，且各边都与坐标轴平行．一只瓢虫从点A出发以1个单位长度／秒的速度沿循环爬行，则第2027秒瓢虫的位置坐标及其与原点O的距离分别为（    ） A．； B．； C．；2 D．； 14．已知，在中，，，边上的高，则边的长为______． 15．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，点在轴正半轴上，，则点的坐标为______________． 17．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 18．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 20．如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 21．如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 22．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 23．长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 24．如图，在中，，，，．求的长． 25．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 26．已知：和都是等腰三角形，，，，连接． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，点为的中点，的平分线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段． 27．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在网格中画出长为的线段． (2)在网格中画出一个腰长为、面积为的等腰． 28．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长． (2)如图2，若物体上升到达的高度时， ①求的长． ②滑块水平向左滑动到的距离． 29．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 30．【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… (1)请你继续完成上述推导． (2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 31．【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 (1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 32．问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 （期中复习讲义，5重难题型+过关检测） 题型1 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 2 题型2 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 15 题型3 勾股定理与分类讨论问题（期中难点，冲刺高分） 27 题型4 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 32 题型5 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 45 1. 熟记勾股定理及逆定理的内容，明确其适用条件，能准确区分定理与逆定理的用途（定理求边，逆定理判直角）； 2. 能熟练运用勾股定理，已知直角三角形的两条边，求第三条边；能利用逆定理，根据三边长判断三角形是否为直角三角形； 3. 掌握常见的勾股数，能快速运用勾股数判断直角三角形，简化计算； 4. 能解决基础的勾股定理应用问题（如简单测量、已知两边求第三边），确保步骤规范、计算准确。03 期中知识•梳理 知识点1：勾股定理的定义 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，则可表示为： 关键说明：1. 勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形（锐角、钝角三角形）不适用；2. 对应关系：直角边对应、，斜边对应（斜边是直角三角形中最长的边，故且）；3. 变形公式：、、，可用于已知两边求第三边。 知识点2：勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 如果一个三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。 补充要点：1. 逆定理的核心是“由边判角”，无需测量角度，通过边长关系即可判定直角三角形；2. 若三边长满足，则为钝角三角形（最长边对钝角）；若，则为锐角三角形（最长边对锐角）；3. 常用勾股数：能构成直角三角形的三边长（正整数），如3、4、5；5、12、13；6、8、10等，可快速判断直角三角形。 知识点3：勾股定理的常见应用场景 1. 已知直角三角形两边，求第三边（基础应用）； 2. 折叠问题：利用折叠的轴对称性，转化线段长度，结合勾股定理列方程求解； 3. 实际问题：将实际场景（如航海、测量、梯子滑动、折叠矩形等）转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解； 4. 分类讨论问题：当直角三角形的边（直角边、斜边）不确定时，需分情况讨论，避免漏解； 5. 几何综合与最值问题：结合三角形、矩形、菱形等几何图形，利用勾股定理结合轴对称、垂线段最短等性质求解最值或综合证明。 易错点梳理 1. 忽略勾股定理的适用条件，将其用于非直角三角形； 2. 混淆直角边与斜边，尤其是在已知两边求第三边时，未判断最长边，盲目代入公式； 3. 折叠问题中，未利用“折叠前后对应边相等、对应角相等”的性质，无法转化线段长度； 4. 分类讨论问题中，遗漏某一种情况（如直角边不确定、图形位置不确定），导致漏解； 5. 实际问题中，无法将场景转化为直角三角形模型，或忽略单位统一。 04 期中题型•汇总 题型1 勾股定理与折叠问题（期中高频中档题，必练） 解题核心 核心是利用折叠的轴对称性：折叠前后，对应边相等、对应角相等，折叠线是对应点连线的垂直平分线，由此转化线段长度，将未知线段用未知数表示，再结合勾股定理列方程求解（方程思想是关键）。 易错提醒：折叠后，注意区分重合的线段和角，避免线段长度混淆；设未知数时，优先设较短的未知线段，简化计算。 【典例1】．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 【变式1】．如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②的最大值为． 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，垂线段最短的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 【变式2】．综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求得的长，根据折叠性质得到即可求解； （2）分为当时和当时两种情况，利用折叠性质和勾股定理，以及等腰三角形的判定分别求解即可； （3）取的中点，连接，证明得到，则，可得当T、H、B三点共线时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，在Rt中，， 即 解得 ∵折叠 的长度为3.2 ； （2）解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当时， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； ②如答图3，当时，则 由折叠可知，， ， 设，则， 在Rt中，， ， 解得， ， 综上所述：的长度为2或5 ； （3）解：如答图4，取的中点，连接， 由折叠可知，， ， ， 分别是的中点， ， 又， ， ， ∴当T、H、B三点共线时，有最小值， 最小值． 的最小值为． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式3】．如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①由长方形得到，，，则，根据翻折，得到，即可得； ②，则，，在中，，代入解方程得，过作于，根据求出，再证明得到； （2）点E在线段或线段延长线分情况讨论，过点作于点M，延长交于点N，则，，，设，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， ∵将沿着翻折，B点的对应点为， ∴，， ∴，即， ∴； ②解：设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，则， 过作于， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 当点E在线段上时，过点作于点M，延长交于点N，如图： ∴四边形是矩形， ∴，，， 根据翻折的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 当点E在射线的延长线上时， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 综上可得的值为． 【变式4】．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式5】．综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 题型2 勾股定理与实际问题（期中解答题重点，难点） 解题核心 核心是“建模思想”：将实际问题中的场景（如航海、测量、梯子滑动、隧道通行等）转化为直角三角形模型，找出直角边、斜边对应的实际线段，再运用勾股定理求解，注意单位统一和实际问题的合理性（如长度不能为负）。 关键：准确识别实际场景中的直角关系，将分散的线段转化为直角三角形的边，避免混淆实际距离与直角边、斜边的对应关系。 【典例2】．如图，某物流公司仓库内有一座高的货架，货架顶部安装了一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？ 【答案】叉车向货架方向行驶米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 【详解】解：过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 叉车向货架方向行驶米后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【变式1】．风筝起源于中国，又名“纸鸢”，深受人们喜爱．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析 【分析】根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，，． 在中，， ． （2）解：不能成功．假设能上升12m，如图，延长至点，连接，则， ． 在中，． ． ，余线仅剩7.5m， ， ∴不能上升12m，即不能成功． 【变式2】．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 【变式3】．如图，有一棵大树被大风吹折，折断处与地面的距离，折断处与折断后树的顶端的距离．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离． 【答案】的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟记在直角三角形中两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题关键． 先对运用勾股定理求解，再由线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：的距离为． 【变式4】．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【答案】水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【分析】设尺，则尺，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 由题意得，尺，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【变式5】．如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西方向，且与货轮M相距．同时，在货轮M南偏东方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A与客轮B的距离． 【答案】 【分析】先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得，，． 在中，， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 【变式6】．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴, ∴， ∴． （2）解：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 【变式7】．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 【变式8】．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【变式9】．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)求台风中心从点移到点的距离的长？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)的长为 (2)市受到台风影响的时间持续小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在直角中，． 答：的长为． （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、， 由题意可知，台风在段时，对市有影响． 在直角中，， 同理，， ∴， ∴影响持续的时间为． 答：市受到台风影响的时间持续小时． 【变式10】．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； (2)在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； (3)借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3)①；② 【分析】（1）连接，过点作交于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，设千米，则千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造，，垂足分别为、，其中，，，，，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点，根据勾股定理求出，得出点、、三点共线时，的长就是代数式的最小值，借助勾股定理求出的长即可求解； ②构造与，其中，，，且，过点作交于点，连接，根据勾股定理得出，借助三角形的三边关系得出当点、、三点共线时，的长就是代数式的最大值，借助勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， 则四边形是矩形， 故千米，（千米）， 在中，（千米）． （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为千米． （3）解：①如图，，，垂足分别为、，其中，，，，， 作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，过点作的延长线，交于点， 则四边形是矩形，，； ∵点、点关于对称， 故是的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最小值，即为求的最小值． 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长； 即此时的长就是代数式的最小值． 在中，，， 故， 故代数式的最小值为． ②如图，作与，其中，，，且， 过点作交于点，连接， 则四边形是矩形，，，； 在中，， 在中，， 则； 故求代数式的最大值，即为求的最大值． 在中，； 如图，当点、、三点共线时，的值最大，最大值为的长； 即此时的长就是代数式的最大值． 在中，， 故代数式的最大值为． 【点睛】解题的关键是根据代数式的几何意义，构造直角三角形，将代数为转换为几何求最值问题，借助将军饮马几何模型和三角形三边关系进行求解． 题型3 勾股定理与分类讨论问题（期中难点，冲刺高分） 解题核心 核心是“分类讨论思想”：当直角三角形的边的身份不确定（如未明确哪条边是斜边、哪条边是直角边），或图形的位置不确定时，需分情况讨论所有可能的情况，逐一计算，避免漏解。 常见分类场景：1. 已知直角三角形的两边，求第三边（未明确两边是直角边还是一斜一直）；2. 三角形的某条边为高，位置不确定；3. 动点问题中，直角顶点不确定。 【典例3】．如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从B到C运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为_________ 【答案】，或4.8 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理， 30度角所对的直角边是斜边的一半，分三种情况讨论，当时，则，，当时，，再分别列出方程求解即可 【详解】解：①如图（1），当时，则，， ∵ ∴ 解得：； ②如图（2），当时， ∵， ∴， ∴ 若则， 解得，， ③当时， ∵ ∴， ∴， 若时，则； 故答案为 ，或4.8 【变式1】．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 【变式2】．如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了_____________s时，是直角三角形． 【答案】2或 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ， ，， 当点运动到与点重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ， 又， ， ， ， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当运动2秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：2或． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，为轴上一动点，若是等腰三角形，则所有满足条件的点的坐标为_____． 【答案】，，或 【分析】设，根据勾股定理求出的长，再分为腰和为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：设， 点、的坐标分别为，， 当为等腰三角形的腰时， 若，则； 若，即，解得或， 或； 当为底时，，解得， 综上所述，点的坐标为：，，或 题型4 勾股定理与几何综合题（期中冲刺题，拔高） 解题核心 核心是“综合运用几何性质+勾股定理”：结合全等三角形、等腰三角形、矩形、菱形等几何图形的性质，转化线段长度、角度关系，构造直角三角形，再运用勾股定理完成证明或计算，重点考查图形转化能力和综合解题思维。 关键：找到图形中的直角关系，通过几何性质（如全等三角形对应边相等、矩形的四个角为直角）将未知线段转化为直角三角形的边，再运用勾股定理。 【典例4】．如图1，在中，，，点，分别在，上，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，点在上，连接交于点，若，求证； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，设，，由三角形外角的定义得出，由已知条件得出，再由三角形内角和定理得出，进而根据等角对等边得出． （2）先证明，再证明，由全等三角形的性质得出． （3）过点D作于点M，过点F作于点N，结合（1）（2）证明，由全等三角形的性质得出，，再由等腰直角三角形的判定和性质得出，利用勾股定理求出，设，则，，再由勾股定理建立关于x的方程，求出x，最后再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：过点D作于点M，过点F作于点N， ∵， ∴，，， ∴，， 由（2）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 在中，， 即 解得， ∴，， ∴． 【变式1】．定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，，且，则与是关于的互补三角形． (1)【初步思考】如图2，在中，，，D、E为外两点，，，为等边三角形．则关于的互补三角形是________． (2)【实践应用】如图3，在矩形中，，．点E在边上，点F在边上，若与是关于的互补三角形，试求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题目所给的定义即可判断， 因为为互补三角形，所以都为等腰三角形，通过勾股定理算出的长度，则也可知，再设为则为，之后再用勾股定理即可算出的长． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，且为等腰三角形， ， ，且有公共底边， 与为互补三角形． （2）和为互补三角形， 和都为等腰三角形， ． 在中， ， ， 设长为，则 在中， ， 即， 解得． 【变式2】．已知，点为等边的边延长线上一点，连接，点为线段上一点，，连接交于点，平分． (1)如图，，， ①求的度数； ②求的长． (2)如图，点是上一点，交于点，，求证：． 【答案】(1)①；② (2)详见解析 【分析】（1）①利用等边三角形的性质、三角形内角和定理，先求出的度数，再结合角平分线的定义与三角形内角和，推导的度数．②通过作辅助线构造直角三角形，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出线段长度，再结合等腰直角三角形的性质与等边三角形的边长关系，求出的长． （2）通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质、等边三角形的性质证明三角形全等，再结合已知线段和差关系，再次证明三角形全等，从而推导出． 【详解】（1）解：①为等边三角形， ，． ∵点在延长线上， ． 在中，， ． ∵平分，， ， ． ②如图，过点作于，则． 在中，， ． ， ． ． 在中，， 为等腰直角三角形， ． ． 为等边三角形， ． （2）解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵平分，， ． 又，即， ， ∴在与中，，即． ， ， ，即． 在和中， ， ， ． ，且， ． ． ． ， （两直线平行，内错角相等）． 在和中， ， ， ． 【变式3】．已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． (1)请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． (2)深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． (3)结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变，见解析 (3)①，；②8，10 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后得，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式； （2）将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）①首先根据勾股定理求出，然后求出①，然后利用得到②，然后联立求解即可； ②同①的方法求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 将绕A顺时针旋转后得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：关系式仍然成立． 证明：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，； ②∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，． 【变式4】．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接（或将绕点逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【解决问题】受到上面的启发，请你证明下列命题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)．见解析 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，连接，得到，，根据，得到，再根据三角形的三边关系即可得出结论； （2）求出，根据勾股定理得到，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示． 则， ，． ， ． 在中，，即． （2）解：．证明如下： ， ， 由（1）知，， ，即， 在中，，即． 【变式5】．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 (1)请借助图2补全勾股定理的验证过程． (2)如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ (3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ； （3）解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 题型5 勾股定理与最值问题（期中难点，高频拓展） 解题核心 核心是“转化思想+最值性质”：结合“垂线段最短”“轴对称性质”（将军饮马问题），将最值问题转化为“线段长度的最值”，再通过构造直角三角形，运用勾股定理求解最值，重点考查转化能力和最值思维。 常见最值场景：1. 求直线外一点到直线的最短距离（垂线段最短，结合勾股定理计算）；2. 将军饮马型最值（对称点转化，再用勾股定理求线段长度）；3. 动点到定点的距离最值。 【典例5】．如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作， 则有， ， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， 垂线段最短， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 的最小值是． 【变式1】．如图，在等边中，点、在边上，并且满足，连接、，点为上一动点，连接、．若，则在点从运动到的过程中，最短时，________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，最短路径问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，构造对称点是解题的关键. 作点Q关于的对称点，连接，则交于点N，证明是等边三角形，当重合时，最小，此时在中求得最小. 【详解】解：作点Q关于的对称点，连接，则交于点N， 在等边中，， ， ， ，， 由轴对称的性质，得，， ， ， ， ， ，即， ， 是等边三角形， ， ， 当，即P，Q两点重合时，取得最小值， 此时，， 在中，， 当时，最小， ， ， 在中，， . 故答案为：. 【变式2】．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱外侧下底面的点A处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． (1)任务一：点P是的中点且在圆柱外侧，蚂蚁想吃点P处的食物，则它沿圆柱外侧面爬行的最短路程是______． (2)任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在外底部A处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点A相对的点M处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点B处（此时A、B两点重合），小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． (3)任务三：小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点E为的中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并在线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点F处，请你帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程，并写出解答过程． 【答案】(1) (2)小星的猜想对，理由见解析； (3)蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】（1）根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； （2）连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 依题意，， ∴； （2）解：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴， 依题意，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 即平分； （3）解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，在中，， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 【变式3】．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 【变式4】．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 【变式5】．【思考与尝试】 在勾股定理的学习中，老师留了一道思考题：如何求平面直角坐标系中两点之间的距离？ 【合作与交流】 坪坪和山山进行了合作讨论学习． 首先，坪坪在坐标系中任意点出了点和点．山山若有所思：勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形，如何构造直角三角形呢？ 坪坪灵机一动：过点向轴作垂线、过点向轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点，这样就形成了一个直角三角形！ 山山想到：，坪坪高兴地说道：就是这样，所以AB的长度是…… (1)已知，，根据坪坪和山山的思考过程，_____． (2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式，数学老师大为赞扬，随后又布置了一道思考题：求解的最小值？ 坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式，觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…… 而山山持有不同的思路，他觉得这个式子跟勾股定理相关，于是他构建了一个数学模型：两点在直线同侧，分别过点作，为线段上一动点，连接．已知，设．这个问题转化为了如何求的值最小． 请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题．       (3)求出代数式的最小值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，利用点的坐标的特征和勾股定理解答即可； （2）构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； （3）在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A向x轴作垂线、过点B向y轴作垂线，垂足分别为和，直线和相交于点Q，这样就形成了一个直角三角形，如图， 则，， ∴． 故答案为：5； （2）解：构建了一个数学模型：A、E两点在直线同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设，则，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴当取得最小值时，的最小值的最小值． 作点E关于直线的对称点，连接，交于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， 则，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：在平面直角坐标系中找出点，，，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图， 则，，，， ∴，， ∴代数式的最小值的最小值， 作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，则此时取得最小值，最小值为，过点作，交的延长线于点H，如图， ∴ 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，关于x轴对称的点的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式6】．著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 【变式7】．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【变式8】．阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 05 过关•检测 1．如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求正方形对角线的长，再根据点的位置进行判断． 【详解】解：由题意知，正方形对角线为：， ∵点在数轴负半轴， ∴点表示． 2．下列几组数中，为勾股数的是（    ） A．4，5，6 B．12，16，20 C．，24，26 D．2.4，4.5，5.1 【答案】B 【详解】、，不是勾股数． 、，是勾股数． 、勾股数不能为负数． 、勾股数不能为小数． 3．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴这棵树在折断前的高度． 4．在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项利用“等面积法”判断能否证明勾股定理即可． 【详解】解：选项A、梯形面积可以表示为，同时梯形面积还可以表示为三个直角三角形面积和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理； 选项B、大正方形面积为，同时大正方形面积还可以表示为4个直角三角形面积与中间小正方形面积总和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理； 选项C、该图形的面积分割整理后，得到的是完全平方公式，无法推导出，不能证明勾股定理； 选项D、大正方形面积为，同时大正方形面积还可以表示为4个直角三角形面积与中间边长为的正方形面积总和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理， 故选：C． 5．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：，，，其中，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【答案】C 【分析】根据题目给出的勾股数公式，结合且，是互质的奇数的条件，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：首先验证公式满足： ，， 又 ，公式符合勾股数要求，接下来逐项验证： 选项A： 取，，满足，且都是互质的奇数， 计算得，，， 因此可以由公式得出； 选项B： 取，，满足条件， 计算得，，， 因此可以由公式得出； 选项C： 假设存在符合条件的，，若，则，即， 两个奇数的平方和等于，枚举得，，没有两个正奇数满足该等式，因此不存在符合条件的，， 故不能由公式得出； 选项D： 取，，满足条件， 计算得，，， 因此可以由公式得出． 6．如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，是的垂直平分线，可得，即可求出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由作图过程可知，是的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵恰好垂直于边， ∴． 7．如图，正方形的边长为2．面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律探索、勾股定理以及积的乘方，理解正方形和等腰直角三角形的面积变化规律，并根据规律计算第2023个正方形的面积． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的， ， ， ， ，…… ， ． 8．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 9．已知的、和的对边分别是，和，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】结合三角形内角和定理，勾股定理逆定理以及三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：①∵ ，三角形内角和为， ∴ ， ∴ 是直角三角形；故①符合要求； ②∵ ，设， ∵ ，即， ∴ 是直角三角形；故②符合要求； ③∵ ，， ∴ ，解得，， 无法得到有内角为， ∴ 不一定是直角三角形；故③不符合要求； ④∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形；故④符合要求； ⑤∵ ，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， ∴不能判定是直角三角形，故⑤不符合要求； 综上，能独立判定是直角三角形的条件共3个． 10．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果． 【详解】解：A．∵ ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，不符合要求； B．∵，三角形内角和为， 设，，， ∴， 解得：， ∴最大角， ∴不能判定为直角三角形，符合要求； C．∵， 设，，， ∴， ， ∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； D．∵，， ∴，得， ∴能判定是直角三角形，不符合要求． 11．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 12．如图，在四边形中，，，，，，则该四边形的面积是（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形的性质求出的长度，然后根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，再利用的面积减去的面积得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形， 且， ∴ ． 13．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为，，且各边都与坐标轴平行．一只瓢虫从点A出发以1个单位长度／秒的速度沿循环爬行，则第2027秒瓢虫的位置坐标及其与原点O的距离分别为（    ） A．； B．； C．；2 D．； 【答案】D 【分析】根据点B、D的坐标得出A、C的坐标，从而求出矩形的周长，利用总路程除以周长得到余数，确定瓢虫的位置，最后利用勾股定理求出该点到原点的距离． 【详解】解：∵长方形的顶点，D的坐标分别为，，且各边都与坐标轴平行， ，， ，，，， ∴长方形的周长为， ∵瓢虫的速度为1个单位长度/秒， ∴瓢虫爬行一周需要10秒， ， ∴第2027秒时，瓢虫爬了202周，且继续前进7个单位长度， ∵从点A出发，沿的路径，， ∴第2027秒瓢虫所在位置为点D，坐标为， ∴该点与原点O的距离为． 14．已知，在中，，，边上的高，则边的长为______． 【答案】10或2 【分析】分两种情况讨论：高在内部和高在外部，利用勾股定理分别求出，的长度，再计算的长即可． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴ ， ①当高在内部时， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 此时； ②当高在外部时， 同理可得，， 此时． 综上，的长为2或10． 15．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距________海里． 【答案】15 【详解】解：由题意可得：（海里），（海里），， （海里）． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，点在轴正半轴上，，则点的坐标为______________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用勾股定理得到的长，根据列方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ， 点、， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， 或， 解得或， 点在轴正半轴上， ， 点的坐标为． 17．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 18．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 【答案】5 【分析】连接，延长、交于点F，当点A、C、E三点共线时，最小，即为的长度，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：连接，延长、交于点F， ∵，， ∴， 当点A、C、E三点共线时，最小，即最小， ∴的最小值为： 19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 20．如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证明是的垂直平分线，得到，根据等边三角形的性质得，再结合，，得的最小值是，最后根据勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵在等边中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点P，E分别为上的动点， ∴， 当点与点重合，三点共线时，则有最小值， ∵，， ∴． ∴的最小值为． 21．如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 22．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 【答案】 【分析】推导出，得到，继而推导出，根据勾股定理求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 【答案】或 【分析】分两种情况①当点E在线段上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案．②当点E在线段的延长线上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， 分以下两种情况讨论： ①当点E在线段上时， ， ， 由折叠可知：， 设，则， ， 解得， 点； ②当点E在线段的延长线上时， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点． 故答案为：或． 24．如图，在中，，，，．求的长． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 25．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理求出、的长，利用求解即可． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ． 26．已知：和都是等腰三角形，，，，连接． (1)如图1，求证； (2)如图2，若，点为的中点，的平分线交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用证明，利用全等三角形的性质即可得出． （2）由全等三角形的性质得出，，，，分别证明和是等边三角形，再由含30度直角三角形的性质以及勾股定理得出，再证明为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，，，， ∴是等边三角形， 又∵点为的中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：等于线段的倍的四条线段分别为，，，． 27．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在网格中画出长为的线段． (2)在网格中画出一个腰长为、面积为的等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理，找到直角边分别为和的直角三角形，其斜边长为，以此画出线段． （2）先根据勾股定理确定腰长为的线段（直角边为和），再结合等腰三角形面积公式，确定底边长或高，画出满足条件的等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， 在中，； （2）解：如图，即为所求， ， ． 28．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长． (2)如图2，若物体上升到达的高度时， ①求的长． ②滑块水平向左滑动到的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）①由已知得，由（1）知，即可求出，再根据即可求解； ②在中，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：①∵物体上升到达的高度， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴； ②在中，，， ∴， ∵， ∴， 即滑块水平向左滑动到的距离为． 29．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 30．【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… (1)请你继续完成上述推导． (2)【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，得出，再根据三角形面积公式求出结果即可； （2）假设, ,，代入表达式，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点D， 设,则， ∴， ， ， ， 解得， ∴， ∴ ． （2）解：假设, ,，代入得： ． 31．【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 (1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选择一个公式代入计算即可； （2）作于，设，则，然后分别在和中，表示出，建立方程求解出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）同（2）的方法解答即可． 【详解】（1）解：选择海伦公式： ， ∴ ； 选择秦九韶公式： ； （2）解：如图，作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得， ∴， ∴． 32．问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积不会变化，面积的最小值为平方米 (3)存在，四边形的周长的最小值为米 【分析】（1）根据三线合一得到，，当时，的值最小，由等面积法即可求解； （2）根据题意，是等腰直角三角形，证明，得到，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，可算出（平方米），如图所示，过点E作于点K，设米，米，得到，则最小即可，点重合，点重合，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴，， ∴在中，， 为上一动点，连接， ∴当时，的值最小， ∵， ∴； （2）解：四边形的面积不会变化，面积为16平方米，理由如下， 如图所示，连接， ∵已知中，，，为中点， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不会发生变化， ∵， ∴四边形的面积为； （3）解：存在，四边形的周长的最小值为米，理由如下， ∵米，，， ∴四边形是等腰梯形，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则米， 在中，米，， ∴米，米， ∵米， 同理，米，米 ∴米， ∴（平方米）， ∵四边形的面积为平方米， ∴（平方米）， 如图所示，过点E作于点K，设米，米， ∴，则， ∴米，米， ∴（平方米），（平方米）， ∴， 化简得，， ∴米，则米， ∴当值最小时，四边形的周长存在最小值， 把绕点逆时针旋转，得到，作点关于射线的对称点，交于点，连接，如图所示， 由旋转可得，， ∵， ∴共线，米， ∵米， ∴米， ∵， 当共线时，取得最小值，最小值为的长，即米， ∴四边形的周长的最小值为（米）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $