福建省泉州第一中学2025-2026学年高三下学期数学适应性训练（3.27）

泉州一中2026届高三数学适应性训练2026..3.27 本试卷共 19 题，满分 150 分，共 4 页．考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5．已知，则（    ） A．5 B． C．-5 D． 6．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 7．设复数满足，则以下错误的是（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9．已知一组数据，，，，的平均数为5，方差为2，则该组数据的（   ） A．极差可能为1 B．众数可能为5 C．中位数可能为5 D．第百分位数可能为3 10．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 11．如图，已知正方体的棱长为是侧面内的一个动点（含边界），分别是的中点，设，则下列说法正确的有（    ） A．若点在平面内，则 B．当取得最小值时， C．若，则的取值范围是 D．若点在三棱锥的外接球面上，则的取值范围是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．的展开式中的系数为___________. 13．函数在区间上的极值点构成的集合为 ． 14．已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数. （1）直线过点且与曲线相切，求直线方程； （2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 16．（本小题满分15分） 如图，直三棱柱中，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 已知. (1)当时，求函数的的极值； (2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由； (3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）假定存在，求出曲线关于原点对称的曲线方程，再利用两个函数相等求解. （3）求出，探讨二次函数的零点并确定的单调性，再利用零点存在性定义推理判断. 18．（本小题满分17分） 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场湘超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛. (1)在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值； (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率； (3)现定义：，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出k的值. 19．（本小题满分17分） 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 泉州一中2026届高三数学适应性训练2026..3.27 本试卷共 19 题，满分 150 分，共 4 页．考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【详解】依题意，，即，或， 解得或或，则中元素的个数为3． 2．函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误.故选：B. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，取，满足，而，A错； 对于B，取，满足，而，B错； 对于C，D，将原不等式移项变形得： ， 构造函数 ，由解析式可知在定义域上单调递增， 原不等式等价于 ，则， 则，， 即，，故C错，D对. 4．在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 5．已知，则（    ） A．5 B． C．-5 D． 【答案】D 【详解】已知，可变形为. 因为，，所以. 左边， 即.右边， 即. 所以. 可得：. 即.所以，也就是. 故选：D. 6．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解． 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图，因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以，即的最小值为． 7．设复数满足，则以下错误的是（   ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】D 【分析】设，利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆，从而可得复平面内该点轨迹方程；借助椭圆方程与距离公式计算可得A；利用纯虚数定义，结合椭圆方程计算可得B；利用复数性质，结合椭圆方程计算可得C；由题意可得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则可利用椭圆方程计算出椭圆上的点到的距离的最小值，再减去半径即可得解. 【详解】设，则， 即有， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，由，，则椭圆方程为； 对A：，故A正确； 对B：，要使得为纯虚数， 则且，则，解得， 有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，，即有， 解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为： ，则的最小值为，故D错误. 8．甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的1个黑球和2个红球.现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作，重复进行次操作后，甲盒子中恰有0个黑球，1个黑球，2个黑球分别记为事件，，，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】初始时，甲盒有1黑2红，乙盒有1黑2红. 选项A：一次操作后，甲盒恰有1黑球（事件）的情况： 从甲取红且从乙取红，或从甲取黑且从乙取黑. 甲取红的概率为，乙取红的概率为；甲取黑的概率为，乙取黑的概率为. 故，A正确. 选项B：表示“第二次操作后甲盒有1黑球的前提下， 第一次操作后甲盒有0黑球”的概率. 第一次操作后甲盒有0黑球（）：甲取黑、乙取红，概率. 第二次操作后甲盒有1黑球（）的情况：若发生，甲盒0黑3红，乙盒2黑1红， 此时从甲取红、乙取黑的概率为，故. 若发生，甲盒1黑2红，乙盒1黑2红，此时（同）. 若发生，甲盒2黑1红，乙盒0黑3红，此时（甲取黑、乙取红的概率为）. 由全概率公式：. 由条件概率公式：，B错误. 选项C：表示“第一次操作后甲盒有0黑球，或第二次操作后甲盒有1黑球”的概率. 由概率的加法公式：. 其中. 代入得：，C正确. 选项D：递推关系：. 整理为：.初始值，故. 因此，即，D正确.故选：B． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9．已知一组数据，，，，的平均数为5，方差为2，则该组数据的（   ） A．极差可能为1 B．众数可能为5 C．中位数可能为5 D．第百分位数可能为3 【答案】BC 【分析】对于BC：举例说明即可. 令，，对于A：假设极差为1，可得，，进而分析判断；对于D：根据百分位数可得，进而可得，，，结合基本不等式分析判断即可. 【详解】对于选项BC：例如满足平均数为5，方差为2， 且众数、中位数均为5，符合题意，故BC正确； 令，， 不妨设， 则，且，， 对于选项A：假设极差为1，即，则，， 可得，这与相矛盾， 假设不成立，所以极差不可能为1，故A错误； 对于选项D：因为，则第分位数为， 则，可得，，， 因为，，， 当且仅当时，等号成立， 则，可得， 即，这与相矛盾， 假设不成立，所以第分位数不可能为3，故D错误. 10．在中，角的对边分别为，且，则（    ） A． B．当时， C．当时，面积的最大值为1 D．当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由，得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 11．如图，已知正方体的棱长为是侧面内的一个动点（含边界），分别是的中点，设，则下列说法正确的有（    ） A．若点在平面内，则 B．当取得最小值时， C．若，则的取值范围是 D．若点在三棱锥的外接球面上，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】利用空间向量的坐标运算来判断A，利用空间向量的数量积运算来判断B，利用空间两点间距离公式可求得动点的轨迹方程，通过方程来求范围，从而可判断C,利用长方体的外接球来判断三棱锥外接球的球心，然后借助球的方程来求参数范围，即可判断D. 【详解】 我们如图建立空间直角坐标系，设，为轴，为轴，为轴， 由正方体的棱长为2，可得各点坐标： ，，，， 对于A， 由，则点（）， 可设平面的法向量为， 由于，， 则，令，则， 则，由点在平面内，则， 即，则 ，故A正确； 对于B，由，， ， 当时，取到最小值，不是，故B错误； 对于C，由，代入点，， 可得， 平方得：， 再平方得： 所以的轨迹是椭圆，因为，所以， 则，即，故C正确； 对于D，取的中点分别为，由分别是的中点，可知长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于长方体的外接球球心为，且则外接球半径为， 所以三棱锥的外接球方程为： ， 将点代入外接球方程，展开整理： 因为左边（），因此右边满足： 解不等式得：， 解不等式得：或， 结合，可得的范围为，故D错误. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 13．函数在区间上的极值点构成的集合为 ． 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或，因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个. 14．已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为________． 【答案】6 【分析】由题意得到随机变量的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8， 其概率为，， 所以期望 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数. （1）直线过点且与曲线相切，求直线方程； （2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； （2）根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，结合裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为，则，………………………………1分 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即，………………………………1分 代入点可得，解得，………………………………1分 所以直线方程为.………………………………1分 【小问2详解】 由（1）可知：，则， 由题意可知：的圆心为，半径，………………………………1分 因为与外切，则，………………………………1分 可得，且，………………………………1分 整理可得，即，………………………………1分 可知数列是以首项，公差的等差数列，………………………………1分 则，即，………………………………1分 则，………………………………1分 所以.…………………………2分 16．（本小题满分15分） 如图，直三棱柱中，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，证明，通过线面垂直的判定定理证明面，由线面垂直的性质定理得到，再由得到平面，从而得以证明. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可. 【详解】（1）不妨设，则，， 所以，所以，………………………………1分 因为棱柱为直三棱柱， 所以平面，平面，所以，………………………………1分 又，所以平面，………………………………1分 因为，所以，………………………………1分 因为四边形为正方形，所以，又，所以平面，……………1分 因为平面，所以.………………………………1分 （2）设为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，， 设分别为面的法向量，则，即， 取，则，所以，………………………………3分 设分别为平面的法向量，则， 即，取，则， 则，………………………………3分 所以，………………………………2分 所以平面与平面夹角的余弦值为.………………………………1分 17．（本小题满分15分） 已知. (1)当时，求函数的的极值； (2)设，是否存在，使得曲线与关于原点对称？若存在，求；若不存在，说明理由； (3)证明：对任意，存在，使得有两个不同的零点. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）假定存在，求出曲线关于原点对称的曲线方程，再利用两个函数相等求解. （3）求出，探讨二次函数的零点并确定的单调性，再利用零点存在性定义推理判断. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，………………………1分 求导得，………………………………1分 令得， 列表………………………………1分 得有极大值，………………………………1分 无极小值；………………………………没写扣1分 （2）若存在，则，， 曲线，………………………………1分 又曲线关于原点对称的函数为，………………………………1分 依题意，，整理得，………………………………1分 所以.………………………………1分 （3）函数的定义域为， 求导得，………………………………1分 令，依题意，，…………………………1分 方程在上有唯零点，当时，，； 当时，，，函数在上递增，在上递减，…………………1分 对任意，存在使得，则，………………………………1分 而，对任意， 取，， 由在上递增，得，………………………………1分 又当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，………………………1分 则对任意，任意，使得有两个不同的零点， 所以对任意，存在，使得有两个不同的零点.………………………………1分 18．（本小题满分17分） 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场湘超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛. (1)在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值； (2)用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率； (3)现定义：，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出k的值. 【答案】(1)3(2)(3) 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场湘超联赛的人数，用频率估计概率，由于样本总量远大于抽样个数，可以近似认为X服从二项分布，根据期望值公式运算即可得出结论； （2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，分别求出男性和女性的观看概率，利用离散型随机变量的概率分别求出“恰有2人观看”包含的3种情况的概率即可. （3）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； 【详解】（1）由题意得，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场湘超联赛，在200名女性居民中，有100人观看了这场湘超联赛，所以样本中，观看了这场湘超联赛的频率为.………………………………2分 用频率估计概率，在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，X服从二项分布， 即，………………………………1分 故期望值.………………………………1分 （2）分层抽样中，男性抽 人，女性抽 2 人，………………………………1分 男性观看概率：，女性观看概率：，………………………………1分 “恰有2人观看”包含3种情况： 男性 2 人、女性 0 人： ，…………………………1分 男性 1 人、女性 1 人：，…………………………1分 男性 0 人、女性 2 人：，………………………1分 所以，恰有2人观看了这场湘超联赛的概率：.………………………………1分 （3）因为………………………………1分 ………………………………1分 所以.………………………………1分 因为………………………………1分 ………………………………1分 所以.………………………………1分 所以.………………………………1分 19．（本小题满分17分） 双曲线，射线和射线分别与交于点和点． （1）求双曲线的离心率； （2）作射线（异于与分别交于点，记的面积为． ①求证：； ②若，且，记，证明：． 【小问1详解】 双曲线，-----------1分 双曲线离心率.-----------3分 【小问2详解】 ① 证明：由题意将与双曲线联立，，化简得，， ，同理将与双曲线联立，，同理可得， -----------5分 -----------6分 同理 ，，．-----------8分 ② 由（1）可知，当时，且，--------10分 直线方程为：，且， 则到的距离， ，--------13分 令，则， 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递增， ，，--------15分 又因为时，， ． 从而可证．--------17分 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $