第十讲 计算(拓展提高奥数篇）20个考点讲练+能力提升练 共55题-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十讲 计算『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【20个考点讲练+能力提升练 共55题】 ［原卷版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 加减法的速算与巧算 2 考点讲练二 乘除法的速算与巧算 2 考点讲练三 小数的速算与巧算 2 考点讲练四 分数的速算与巧算 2 考点讲练五 四则混合运算的速算与巧算 2 考点讲练六 分数裂项 3 考点讲练七 繁分数 3 考点讲练八 循环小数 3 考点讲练九 乘方 3 考点讲练十 高斯取整 3 考点讲练十一 错中求解 4 考点讲练十二 等差数列 4 考点讲练十三 高斯求和 4 考点讲练十四 等比数列 4 考点讲练十五 简单的数字找规律 5 考点讲练十六 数表规律及计算 5 考点讲练十七 乘积的个位数 5 考点讲练十八 比较大小 6 考点讲练十九 估计与估算 6 考点讲练二十 定义新运算 6 能力提升 过关检测 6 考点讲练一 加减法的速算与巧算 【典例精讲】计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39＝( )。 【变式训练】计算：6672－3332＝( )。 考点讲练二 乘除法的速算与巧算 【典例精讲】计算：480÷9×（34×9）÷（34÷15）÷（15×30）＝( )。 【变式训练】计算：________。 考点讲练三 小数的速算与巧算 【典例精讲】计算。 （2.15＋5.17＋3.62）×（5.17＋2.15＋8.5）－（3.62＋2.15＋8.5＋5.17）×（2.15＋5.17） 【变式训练】计算：5.1×0.3＋5.2×0.3＋…＋5.8×0.3＋5.9×0.3＝( )。 考点讲练四 分数的速算与巧算 【典例精讲】＝( )。 【变式训练】计算：＝( )。 考点讲练五 四则混合运算的速算与巧算 【典例精讲】20132014×20142013－20132013×20142014＝( )。 【变式训练】如果数A增加2，则它与数B的积比A、B的积大60；如果数A不变，数B减少3，则它们的积比A、B的积小24，那么，如果数A增加2，数B减少3，则它们的积比A、B的积大多少？ 考点讲练六 分数裂项 【典例精讲】若，则的值为（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】将分数拆分成＋的形式，要求a和b是互不相同的自然数，则a和b的取值有（    ）种不同的情况。（a、b位置互换视为同一种情况） A．3 B．4 C．6 D．8 考点讲练七 繁分数 【典例精讲】计算：( )。 【变式训练】计算：＝( )。 考点讲练八 循环小数 【典例精讲】计算。 _____。 【变式训练】将化为小数后，小数部分的前2023个数字的和是（    ）。 A．7803 B．9100 C．9126 D．9127 考点讲练九 乘方 【典例精讲】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三个数的和为立方数，则这五个数的和最小是____。 【变式训练】我们把几个10相乘简写为10的几次方，例如10×10＝100＝102，10×10×10＝1000＝103，有了这个简便的表达方式，一些大数就可以按照这个方式写成简便写法了。例如，123000＝1.23×105，2021年末西双版纳州总人口数约为1130000，写成简便写法是( )。 考点讲练十 高斯取整 【典例精讲】纸上写着一列自然数1，2，…，1228，1229，1230。称如下过程为一次操作：将这列数中最左边的两个数划去，然后把这两个数的乘积写在数列的最右边。例如第一次操作后得到3，4，5，…，1228，1229，1230，2；而第二次操作后得到5，6，7，8，…，1228，1229，1230，2，12。重复操作直到剩下一个数，这个数末尾共有______个连续的0。 【变式训练】用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3]＝3，[π]＝3等等，则在，，，……， 中，有（    ）个不同的整数。 A．1000 B．850 C．800 D．751 E．以上都不对 考点讲练十一 错中求解 【典例精讲】小明在做一道一位小数乘一位小数的乘法时，把其中一个因数的十分位上的数字4误看成1，得出乘积是5.25；小乐却把这个因数的十分位上的数字误看成8，得出的乘积是7。正确的乘积是( )。 【变式训练】已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是________。 考点讲练十二 等差数列 【典例精讲】已知数列的通项公式为，其中为正整数，则（    ）。 A．存在正整数，使得 B．5不能整除 C． D．的个位数为3 【变式训练】以表示不超过x的最大整数，若要，则自然数的最小值是( )。 考点讲练十三 高斯求和 【典例精讲】190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是( )。 【变式训练】数学家高斯小时候在学习时发现一个有趣的数列：1，3，6，10，15，21，28，……，这个数列中的第20个数是( )。 考点讲练十四 等比数列 【典例精讲】。 【变式训练】可可有7罐一样的糖果，她从第一罐中取出2颗糖，第二罐中取出4颗糖，第三罐中取出6颗糖……第7罐中取出14颗糖。现在剩下的糖果数量与原来3罐糖果的数量相同。请问原来每罐糖果有几颗糖？ 考点讲练十五 简单的数字找规律 【典例精讲】有一颗棋子放在下图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2号位置；第二次跳两步，跳到4号位置；第三次跳三步。跳到7号位置……这样一直进行下去。那么，棋子可以跳到的位置是（    ）号。 ①1   ②2   ③4   ④7 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练】从1开始把自然数依次写下去，得到：12345678910111213141516…从第12个数字起，首次出现3个连排的1，那么从第（    ）个数字起将首次出现5个连排的2。 A．555 B．558 C．562 D．559 E．556 考点讲练十六 数表规律及计算 【典例精讲】非零自然数按照规律排成下表，第13行的第1个数是( )。 【变式训练】有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，它的构成规律是：前两个数分别是1，第3个数等于第1个与第2个数之和：；第4个数等于第2个与第3个数之和：；第5个数等于第3个与第4个数之和：；第6个数等于第4个与第5个数之和：…依次类推。这列数中的第2023个数被7除的余数是（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 E．2 考点讲练十七 乘积的个位数 【典例精讲】的计算结果的个位数是( )。 【变式训练】是一个很大的数，这个数最后几位都是0，这些连续的0共有______个。 考点讲练十八 比较大小 【典例精讲】分数，，，，中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． E． 【变式训练】请将4，5，6，7，8，9这六个数分别填入算式□□□×□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大，最大的结果是( )。 考点讲练十九 估计与估算 【典例精讲】一个整数“四舍五入”为以“万”为单位的数后是2017万，这个整数最大是________。 【变式训练】西安是中国四大古都之一，古称长安、镐京，是陕西省会、副省级市、丝绸之路起点城市、“一带一路”核心区，国家重要的科研、教育、工业基地。西安总面积10752平方公里，2017年末户籍人口905.68万。那么西安的平均人口密度为_____人/平方公里。（结果保留整数） 考点讲练二十 定义新运算 【典例精讲】下列集合不是群的是（    ）。 A．，乘法规定 B．全体整数中的运算为普通乘法 C．全体整数除以3的余数中的运算为普通加法 D．设非空集合，其上定义乘法“”如下： 【变式训练】规定：A〇B表示A，B中较大的数，A△B表示A，B中较小的数。则（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70）＝( )。 1．现规定“*”是一种新的运算，A*B＝3A﹣2B。那么7*6*5的值为（    ）。 A．17 B．5 C．210 D．18 2．当A＞B时，A@B=3A+2B，当A＜B时，A@B=2A+3B，若@2=7，则是（   ） A．2 B．1 C． D． 3．在0.,0.1,,-33.中,最大的数是(　　)． A．-33. B．0.1 C．0. D． 4．已知：，，且A，B都是自然数，则( )。 5．定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝________。 6．如果规定，那么的最后结果是( )。 7．我们学过＋、－、×、÷这四种运算。现在规定“*”是一种新的运算。 ，如：。那么( )。 8．若任意一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为中，那么可将这个三位数表示为，且满足，我们把三位数各数位上的数字的乘积叫做原数的积数，记为。重新排列一个三位数各位上的数字，可以得到一个最大的三位数和一个最小的三位数，此最大三位数与最小三位数之差叫做原数的差数，记为，例如：264的积数，差数。 (1)根据以上材料：( )；( )。 (2)如果有一个三位数，且满足，那么这个三位数是( )。 9．表示不超过的最大整数，如，，则______。 10．下列各题要写出主要计算过程。 （1）       （2） （3）       （4） （4）       （6） 11．＋＋＋＋＋ 12．列式计算，写出推导过程。 （1）      （2） （3）     （4） （5） 13．规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，已知6x＋x4＝5，x的值为多少？ 14．计算题。                   15．计算。       学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第十讲 计算『拓展提高奥数篇(小升初二轮复习)』 【20个考点讲练+能力提升练 共55题】 ［解析版］ 同学，你好！该份小升初数学奥数讲义，专为备战小升初的你量身打造，精准贴合小升初奥数高频考点与命题趋势。讲义精选历年名校小升初奥数真题，按计算、行程、几何、数论、应用题等模块分类训练，逐一拆解解题思路，帮你吃透各类奥数题型。 讲义搭配针对性能力提升检测题，由浅入深夯实基础、突破难点，既能巩固课本数学知识，又能拓展奥数思维，提升逻辑推理、解题应变能力。通过真题实战+专项检测，快速查漏补缺，掌握奥数解题技巧，轻松攻克小升初奥数难关，助力你在升学考试中脱颖而出，拿下理想成绩！ 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 加减法的速算与巧算 2 考点讲练二 乘除法的速算与巧算 2 考点讲练三 小数的速算与巧算 3 考点讲练四 分数的速算与巧算 4 考点讲练五 四则混合运算的速算与巧算 5 考点讲练六 分数裂项 7 考点讲练七 繁分数 8 考点讲练八 循环小数 9 考点讲练九 乘方 10 考点讲练十 高斯取整 11 考点讲练十一 错中求解 12 考点讲练十二 等差数列 13 考点讲练十三 高斯求和 15 考点讲练十四 等比数列 16 考点讲练十五 简单的数字找规律 17 考点讲练十六 数表规律及计算 19 考点讲练十七 乘积的个位数 20 考点讲练十八 比较大小 21 考点讲练十九 估计与估算 22 考点讲练二十 定义新运算 23 能力提升 过关检测 25 考点讲练一 加减法的速算与巧算 【典例精讲】计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39＝( )。 【答案】234 【思路引导】观察题目可得，三项为一组，共有13组：1＋2－3＝0，4＋5－6＝3，7＋8－9＝6，37＋38－39＝36，0＋3＋6＋…＋36，它可以看成首项为0，末项为36，公差为3，项数为13的一个等差数列，然后根据和＝（首项＋末项）×项数÷2代入数据计算即可。 【完整解答】1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋37＋38－39 ＝（1＋2－3）＋（4＋5－6）＋（7＋8－9）＋…＋（37＋38－39） ＝0＋3＋6＋…＋36 ＝（0＋36）×（39÷3）÷2 ＝36×13÷2 ＝468÷2 ＝234 【变式训练】计算：6672－3332＝( )。 【答案】334000 【思路引导】计算两个数的平方差，可利用平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）求解。 【完整解答】6672－3332 ＝（667＋333）×（667－333） ＝1000×334 ＝334000 考点讲练二 乘除法的速算与巧算 【典例精讲】计算：480÷9×（34×9）÷（34÷15）÷（15×30）＝( )。 【答案】16 【思路引导】观察算式结构，发现这个乘除混合运算中存在相同的数，所以考虑利用乘除法的运算性质调整运算顺序简化计算。 【完整解答】480÷9×（34×9）÷（34÷15）÷（15×30） ＝480÷9×34×9÷34×15÷15÷30 ＝480÷9×9×34÷34×15÷15÷30 ＝480÷30 ＝16 【变式训练】计算：________。 【答案】1 【思路引导】第一步：先计算所有小括号里的分数加、减法，其中结果是带分数的，改写为假分数； 第二步：将上一步得到的结果的分子和分母的各个因数，利用乘法交换律和乘法结合律，重新组合，构造成可以约分的形式， 即将中的41个3，分别与上一步加法计算出的各个分数分组相乘，各组再相乘，写在分子上， 将中的41个5，分别与上一步减法计算出的各个分数分组相乘，各组再相乘，写在分母上； 第三步：上一步各组中，分母72与3约分、分母120与5约分； 第四步：将上一步得出的结果，分子上与分母上相同的分数分别约分，得出最终结果。 据此计算。 【完整解答】 【考点剖析】解题关键：将带分数改写为假分数，然后分母72与3约分、分母120与5约分。 考点讲练三 小数的速算与巧算 【典例精讲】计算。 （2.15＋5.17＋3.62）×（5.17＋2.15＋8.5）－（3.62＋2.15＋8.5＋5.17）×（2.15＋5.17） 【答案】30.77 【思路引导】观察算式后发现有很多数据都是重复的，因此可以考虑设a＝2.15＋5.17＋3.62，b＝2.15＋5.17，因此原算式就可以写成：a（b＋8.5）－（a＋8.5）×b，然后利用乘法分配律将括号去掉，即可以写成：ab＋8.5a－ab－8.5b，继续化简可以转化为：8.5（a－b），据此即可进行简便计算快速计算出结果。 【完整解答】设a＝2.15＋5.17＋3.62，b＝2.15＋5.17， 原式＝a（b＋8.5）－（a＋8.5）×b ＝ab＋8.5a－ab－8.5b ＝8.5a－8.5b ＝8.5（a－b） ＝8.5（2.15＋5.17＋3.62－2.15－5.17） ＝8.5×3.62 ＝30.77 【变式训练】计算：5.1×0.3＋5.2×0.3＋…＋5.8×0.3＋5.9×0.3＝( )。 【答案】14.85 【思路引导】观察数据后发现可以利用乘法分配律将算式改写成（5.1＋5.2＋…＋5.8＋5.9）×0.3，然后再根据等差数列求和公式“和＝（首项＋末项）×项数÷2”即可计算出最终结果。 【完整解答】5.1×0.3＋5.2×0.3＋…＋5.8×0.3＋5.9×0.3 ＝（5.1＋5.2＋…＋5.8＋5.9）×0.3 ＝（5.1＋5.9）×9÷2×0.3 ＝11×9÷2×0.3 ＝99÷2×0.3 ＝49.5×0.3 ＝14.85 因此5.1×0.3＋5.2×0.3＋…＋5.8×0.3＋5.9×0.3＝14.85。 考点讲练四 分数的速算与巧算 【典例精讲】＝( )。 【答案】 【思路引导】观察数据后发现前三个数中后一个数是前一个数的一半，后五个数中也是后一个数是前一个数的一半，因此可以利用将这些加数进行拆分，然后即可进行简便计算。 【完整解答】 【变式训练】计算：＝( )。 【答案】 【思路引导】先算出括号里面的结果，然后即可发现规律进行约分，据此解答即可。 【完整解答】 因此 考点讲练五 四则混合运算的速算与巧算 【典例精讲】20132014×20142013－20132013×20142014＝( )。 【答案】10000 【思路引导】把第一个乘法算式中的20132014改写成：20132013＋1，第二个乘法算式中的20142014改写成：20142013＋1），原式即可变为：（20132013＋1）×20142013－20132013×（20142013＋1），再用乘法分配律去括号进行化简求值。 【完整解答】20132014×20142013－20132013×20142014 ＝（20132013＋1）×20142013－20132013×（20142013＋1） ＝20132013×20142013＋1×20142013－（20132013×20142013＋1×20132013） ＝20132013×20142013＋20142013－20132013×20142013－20132013 ＝20142013－20132013 ＝10000 【考点剖析】本题重点考查乘法分配律在多位数乘法中的应用，找到可以变成相同因数的数进行改写，注意去括号时根据括号前面的符号看去括号时是否需要变号。 【变式训练】如果数A增加2，则它与数B的积比A、B的积大60；如果数A不变，数B减少3，则它们的积比A、B的积小24，那么，如果数A增加2，数B减少3，则它们的积比A、B的积大多少？ 【答案】30 【思路引导】原来两个数的乘积为A×B＝AB，当A增加2与B相乘结果为（A＋2）×B＝AB＋2B，比原来积多了2B，多了60，则2B＝60；当A不变，数B减少3相乘结果为A×（B－3）＝AB－3A，比原来的积小了3A，小了24，则3A＝24；如果A增加2，B减少3相乘结果为（A＋2）×（B－3）＝AB＋2B－3A－2×3，比原来的积多了2B－3A－2×3＝60－24－6＝30。 【完整解答】（A＋2）×B－AB ＝AB＋2B－AB ＝2B 因此B为：60÷2＝30； AB －A×（B－3） ＝AB－（AB－3A） ＝AB－AB＋3A ＝3A 因此A为：24÷3＝8； （A＋2）×（B－3）－AB ＝ （8＋2）×（30－3）－8×30 ＝10×27－240 ＝270－240 ＝30 答：如果A增加2，B减少3，它们的积比A、B的积大30。 【考点剖析】本题重点考查学生用乘法分配律解决含字母乘法的计算能力，找到一个因数变化时积的变化与另一个因数之间的关系，推理求解。 考点讲练六 分数裂项 【典例精讲】若，则的值为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】将各分数拆分为两个单位分数之差，利用抵消法求和，据此即可解出这个方程求a。 【完整解答】 故答案为：C 【变式训练】将分数拆分成＋的形式，要求a和b是互不相同的自然数，则a和b的取值有（    ）种不同的情况。（a、b位置互换视为同一种情况） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】先把6分解质因数，即6＝2×3，设，只要满足，都是6的因数即可。 【完整解答】6＝2×3 6的因数有： （1＋1）×（1＋1）＝4个，即1，2，3，6 ，且，都是6的因数。 从4个因数中任意取2个，共有1和2，1和3，1和6，2和3，2和6，3和6共6种 其中1和2与3和6、1和3与2和6比值相同，拆出形式相同， 6－2＝4（种） 故答案选：B 【考点剖析】本题考查的知识点比较多，根据因数个数定理、分解质因数和排列组合知识解答即可。 考点讲练七 繁分数 【典例精讲】计算：( )。 【答案】2 【思路引导】先计算分子，根据除法的性质，除以两个数相当于除以两个数的乘积，即1÷2÷3＝1÷（2×3）＝1÷6＝，再计算出分子分母上其他的算式，再利用通分计算得出，最后利用分数与除法的关系以及除以一个分数相当于除以这个分数的倒数得出结果即可。 【完整解答】 ＝2 【变式训练】计算：＝( )。 【答案】 【思路引导】根据分数的裂项公式：，可以先求出分子；然后再通过计算、约分求出分母；最后用分子除以分母即可求出最终结果。 【完整解答】分子： 分母： 考点讲练八 循环小数 【典例精讲】计算。 _____。 【答案】 1 【思路引导】本题考查循环小数与分数的转换及分数乘法运算。先将循环小数转换为分数，再利用乘法约分简化计算，最后相加得出结果。 【完整解答】 【变式训练】将化为小数后，小数部分的前2023个数字的和是（    ）。 A．7803 B．9100 C．9126 D．9127 【答案】B 【思路引导】先将分数化为循环小数，找出循环节，再计算小数部分前2023个数字包含多少组循环节以及余下几个数字，最后求出这些数字的和。 【完整解答】，循环节是142857，即循环周期是6 循环节的组数和余下的数字个数： 2023÷6＝337（组）……1（个），则钱2023个数中有337组循环节和数字1。 一组循环节数字的和： 1＋4＋2＋8＋5＋7＝27 2023个数字的和： 337×27＋1 ＝9099＋1 ＝9100 所以小数部分的前2023个数字的和是9100。 故答案为：B 考点讲练九 乘方 【典例精讲】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三个数的和为立方数，则这五个数的和最小是____。 【答案】5625 【思路引导】这道题要理解几个核心概念：连续自然数的和、平方数、立方数，还要注意题目最后求解的是这五个数的和。 【完整解答】我们根据连续自然数的性质可以设5个连续自然数分别为n－2，n－1，n，n＋1，n＋2，其和为5n，令5n＝k2；中间三个数为n－1，n，n＋1，其和为3n，令3n＝m3，则有n＝，将m设为3a，则变形为27a3，故而n化简为9a3，代入到5n＝k2中得：45a3＝ k2，即3×3×5×a2×a＝ k2，要使等式成立，需要补为偶次方，所以a最小为5，此时，n＝9a3＝9×53＝1125，代入验算得：5n＝5625＝752，3n＝3375＝153，符合题意。 所以这5个数分别为1123、1124、1125、1126、1127，其和为5625，故这五个数的和最小为5625。 【考点剖析】平方数质因数指数为偶数，立方数质因数指数为3的倍数，这是分析数的结构的依据。 【变式训练】我们把几个10相乘简写为10的几次方，例如10×10＝100＝102，10×10×10＝1000＝103，有了这个简便的表达方式，一些大数就可以按照这个方式写成简便写法了。例如，123000＝1.23×105，2021年末西双版纳州总人口数约为1130000，写成简便写法是( )。 【答案】1.13×106 【思路引导】可以把一个大数写成一个数乘10的几次方的形式，即a×形式，其中a是一个大于等于1且小于10的数，n比原数的位数少1。如123000是一个六位数，写成1.23×105形式，据此解答。 【完整解答】1130000是一个七位数，所以1130000＝1.13×106。 因此2021年末西双版纳州总人口数约为1130000，写成简便写法是1.13×106。 考点讲练十 高斯取整 【典例精讲】纸上写着一列自然数1，2，…，1228，1229，1230。称如下过程为一次操作：将这列数中最左边的两个数划去，然后把这两个数的乘积写在数列的最右边。例如第一次操作后得到3，4，5，…，1228，1229，1230，2；而第二次操作后得到5，6，7，8，…，1228，1229，1230，2，12。重复操作直到剩下一个数，这个数末尾共有______个连续的0。 【答案】 305 【思路引导】每次将最左边的两数相乘放于末尾，则最后得到的那一个数，即为所有1到1230这1230个数的乘积，根据“二五造零”法，计算这1230个数中，含有5的因数个数，即为末尾0的个数。 【完整解答】 246＋49＋9＋1＝305 所以这个数的末尾共有305个连续的0。 【变式训练】用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3]＝3，[π]＝3等等，则在，，，……， 中，有（    ）个不同的整数。 A．1000 B．850 C．800 D．751 E．以上都不对 【答案】D 【思路引导】根据题意可知[x]表示不超过x的最大整数，因此可知：，，……； ，，……； ，，……； …… ，，；即从-的取值为0、1、2、……281，合计282个。 ，，，……；即从-的取值均不相同，合计1000－532＋1＝469（个）。 最后再相加即可确定一共有多少个。 【完整解答】，，……； ，，……； ，，……； …… ，，；即从-的取值为0、1、2、……281，合计282个。 ，，，……；即从-的取值均不相同，合计1000－532＋1＝469（个） 一共：282＋469＝751（个） 故答案为：D 考点讲练十一 错中求解 【典例精讲】小明在做一道一位小数乘一位小数的乘法时，把其中一个因数的十分位上的数字4误看成1，得出乘积是5.25；小乐却把这个因数的十分位上的数字误看成8，得出的乘积是7。正确的乘积是( )。 【答案】 6 【思路引导】小明把其中一个因数的十分位上的数字4误看成1，得出乘积是5.25；小乐把这个因数的十分位上的数字误看成8，得出的乘积是7。据此可知两次乘积的差为：7－5.25＝1.75；两次看错的这个因数相差：0.8－0.1＝0.7。因此可以求出另外一个因数为：1.75÷0.7＝2.5。再用小明算出来的乘积5.25除以2.5可以求出小明将这个因数错看成了：5.25÷2.5＝2.1，据此即可知道这个因数原本为2.4，因此再用2.5乘2.4即可求出正确的乘积。 【完整解答】另外一个因数为：（7－5.25）÷（0.8－0.1） ＝1.75÷0.7 ＝2.5 小明错看成的因数：5.25÷2.5＝2.1 正确的因数：2.4 2.5×2.4＝6 因此正确的乘积为6。 【变式训练】已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是________。 【答案】10 【思路引导】将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，据此可以求出这个数原来是：800÷200×4＝4×4＝16；若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则另外这个数原来是：30÷（1200÷200）＝30÷6＝5；最后再用800除以这两个被改动的数的乘积，据此即可求出被改动的数以外的7个数的乘积。 【完整解答】第一个数原来为：800÷200×4 ＝4×4 ＝16 第二个数原来为：30÷（1200÷200） ＝30÷6 ＝5 800÷（16×5） ＝800÷80 ＝10 因此这两个被改动的数以外的7个数的乘积是10。 考点讲练十二 等差数列 【典例精讲】已知数列的通项公式为，其中为正整数，则（    ）。 A．存在正整数，使得 B．5不能整除 C． D．的个位数为3 【答案】C 【思路引导】数列的性质，给定通项公式 （ 为正整数）。需逐项分析选项： 选项 A 要求存在 使得 ，但计算表明 对所有正整数 成立，故 A 错误。 选项 B 声称 5 不能整除 ，但当 为奇数时 可被 5 整除，2023 为奇数，故 B 错误。 选项 C 给出递推关系 ，经代数验证成立。 选项 D 声称 个位数为 3，根据个位数周期规律，当 时个位数为 3，2022 满足条件，故 D 正确。 【完整解答】A．，所以 对所有正整数 成立，不存在满足条件的 。此选项错误。 B．分析模 5 周期， 周期为 4： 时余 3， 时余 4， 时余 2， 时余 1； 周期为 4： 时余 2， 时余 4， 时余 3， 时余 1。 当 为奇数（即 或 ）时，。2023 为奇数，故 可被 5 整除。此选项错误。 C．由 ，得 ，。计算 ，与 相等，故递推关系成立。此选项正确。 D．分析个位数周期， 个位数周期为 4：3， 9， 7， 1； 个位数周期为 4：2， 4， 8， 6。 因此 个位数周期为 4： 时 5， 时 3， 时 5， 时 7。 2022 ÷ 4 ＝ 505  …… 2，余数为 2，故个位数为 3。此选项正确。 故答案为：CD 【变式训练】以表示不超过x的最大整数，若要，则自然数的最小值是( )。 【答案】253 【思路引导】先确定取整函数的规律，将求和式按取整结果分组，通过解不等式找到临界值，再计算剩余项数确定自然数的最小值。 【完整解答】根据题意，整函数的取值规律为： 当1 ≤≤ 14时，， [－5]＝ 0； 当15 ≤≤ 29时， ； 当30 ≤≤ 44时，； 以此类推，每15个数为一组，取整结果依次为0，1，2.…，其中第一组有14项，其余每组有15项。 当是15的倍数时，前14个分数取整都是0，从后面，令每15个分数的取整分别为 1、2、3、⋯、，所以可以得到： ＞2011 ＞2011 ＞2011 即：≤4022 通过代入整数值找到满足条件的最大； 当时，＜4022； 当时，＞4022， 故，当时， ，对应的和为： 剩余需要达到的和：2011−1816＝195      自然数的最小值是253。 【考点剖析】本题取整函数的规律较为复杂，需要观察到每项为一组，且每组的和有特定规律，需要对数字有一定的敏感度和计算能力。 考点讲练十三 高斯求和 【典例精讲】190表示成10个连续偶数的和，其中最大的偶数是( )。 【答案】28 【思路引导】连续10个偶数是公差为2的一个等差数列，最大数和最小数相差2×（10－1）＝18，设最小的数为x，则最大的数为（x＋18），已知10个连续偶数的和，根据等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2，把对应量代入公式解方程即可求解。 【完整解答】（10－1）×2＝18 设10个连续偶数中最小的数为x，则最大数为（x＋18） ［x＋（x＋18）］×10÷2＝190 ［2x＋18］×10÷2＝190 2x＋18＝190×2÷10 2x＋18＝38 2x＝20 x＝10 10＋18＝28 其中最大的偶数为28 【考点剖析】本题重点考查等差数列求和的应用，通过项数找到最大值与最小值的关系，结合方程思想求解。 【变式训练】数学家高斯小时候在学习时发现一个有趣的数列：1，3，6，10，15，21，28，……，这个数列中的第20个数是( )。 【答案】210 【思路引导】先看这个数列，第1个数是1，第2个数是1＋2＝3，第3个数是1＋2＋3＝6，第4个数是1＋2＋3＋4＝10，以此类推，得到的规律是这个数列的第几个数，就是从1连续加到这个“几”的和，因此这个数列中的第20个数就是1＋2＋3＋4＋……＋19＋20的和，根据等差数列求和公式“和＝（首项＋末项）×项数÷2”即可解决。 【完整解答】1＋2＋3＋4＋……＋19＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210 这个数列中的第20个数是210。 考点讲练十四 等比数列 【典例精讲】。 【答案】 【思路引导】这个算数是100个乘法算式相加的和，可以设这个算式为S100，再将算式两边同时乘3，再利用错位相减的方法用原来的等式减乘3之后得到的等式，得到﹣2S100＝。根据等比数列的求和公式＝（末项×公比－首项）÷（公比－1）。再将等式的两边同时除以（﹣2），除以一个负数，则要改变原来的符号，即改成，改成。最后再除以2。 【完整解答】设：S100＝（1） 将两边同时乘3，得 3S100＝（2） （2）－（1），得 ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ 两边同时除以（﹣2） S100＝ S100＝ S100＝ 则 【变式训练】可可有7罐一样的糖果，她从第一罐中取出2颗糖，第二罐中取出4颗糖，第三罐中取出6颗糖……第7罐中取出14颗糖。现在剩下的糖果数量与原来3罐糖果的数量相同。请问原来每罐糖果有几颗糖？ 【答案】14颗 【思路引导】根据题意可知，剩下的糖果数量与原来3罐糖果的数量相同，则从7罐中取出的糖果与（7－3）罐糖果的数量相同，用从7罐中取出的糖果除以（7－3），即等于原来每罐糖果的颗数，据此即可解答。 【完整解答】（2＋4＋6＋8＋10＋12＋14） ＝（2＋12）＋（4＋10）＋（6＋8）＋14 ＝14×4 ＝56（颗） 56÷4＝14（颗） 答：原来每罐糖果有14颗糖。 考点讲练十五 简单的数字找规律 【典例精讲】有一颗棋子放在下图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2号位置；第二次跳两步，跳到4号位置；第三次跳三步。跳到7号位置……这样一直进行下去。那么，棋子可以跳到的位置是（    ）号。 ①1   ②2   ③4   ④7 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】这是一道找规律的周期问题。棋子从1号位置开始，第n次跳n步，我们可以通过计算每次跳跃后的总步数，再对7取余来确定最终位置。 【完整解答】棋子的位置编号是1到7，共7个位置，所以我们用总步数对7取余来确定位置。 第 0 次（初始）：在 1 号位置； 第 1 次：跳 1 步，总步数1，位置：1＋1＝2号； 第 2 次：再跳 2 步，总步数1＋2＝3，位置：1＋3＝4号； 第 3 次：再跳 3 步，总步数1＋2＋3＝6，位置：1＋6＝7号； 第 4 次：再跳 4 步，总步数1＋2＋3＋4＝10，10÷7＝1余3，位置：1＋3＝4号； 第 5 次：再跳 5 步，总步数1＋2＋3＋4＋5＝15，15÷7＝2余1，位置：1＋1＝2号； 第 6 次：再跳 6 步，总步数1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21÷7＝3余0，位置：1＋0＝1号； 第 7 次：再跳 7 步，总步数21＋7＝28。28÷7＝4余0，位置：1＋0＝1号； 第 8 次：再跳 8 步，总步数28＋8＝36。36÷7＝5余1，位置：1＋1＝2号； 从上面的计算可以看出，棋子可以跳到的位置有：1 号、2 号、4 号、7 号 故答案选D 【考点剖析】当总步数是 7 的倍数时，棋子会回到 1 号位置，这是一个重要的周期节点。 【变式训练】从1开始把自然数依次写下去，得到：12345678910111213141516…从第12个数字起，首次出现3个连排的1，那么从第（    ）个数字起将首次出现5个连排的2。 A．555 B．558 C．562 D．559 E．556 【答案】E 【思路引导】要首次出现 5 个连续的 “2”，则需要写到 “222、223” ，我们只需要计算出写到 “221” 时一共用了多少个数字即可解决。 【完整解答】出现 5 个连续的 “2”，则需要写到 “222、223” ， 一位数（1-9）用到的数字个数：9×1＝9（个）； 两位数（10-99）用到的数字个数：（99－9）×2＝180（个）； 三位数（100-221）用到的数字个数：（221－99）×3＝366（个）； 共有：9＋180＋366＝555（个） 从数222开始写：222223，则会首次出现5个连排的2，即从555＋1＝556（个）数字起将有5个连排2。 故答案为：E 考点讲练十六 数表规律及计算 【典例精讲】非零自然数按照规律排成下表，第13行的第1个数是( )。 【答案】145 【思路引导】观察表格可以发现，每一行最后一个数都是行数的平方，且每行第1个数都是上一行最后一个数加1，据此先算出第12行最后一个数，再计算第13行第1个数即可。 【完整解答】第12行最后一个数：122＝12×12＝144 第13行第1个数：144＋1＝145 【变式训练】有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，它的构成规律是：前两个数分别是1，第3个数等于第1个与第2个数之和：；第4个数等于第2个与第3个数之和：；第5个数等于第3个与第4个数之和：；第6个数等于第4个与第5个数之和：…依次类推。这列数中的第2023个数被7除的余数是（    ）。 A．6 B．5 C．4 D．3 E．2 【答案】A 【思路引导】这道题是斐波那契数列的余数问题，直接算第 2023 个数太大了，我们可以先找余数的循环规律，用规律来算，就会简单很多。 【完整解答】我们把数列里的数一个个除以 7，看看余数是多少： 第 1 个数：1 ÷ 7 余 1； 第 2 个数：1 ÷ 7 余 1； 第 3 个数：2 ÷ 7 余 2； 第 4 个数：3 ÷ 7 余 3； 第 5 个数：5 ÷ 7 余 5； 第 6 个数：8 ÷ 7 余 1； 第 7 个数：13 ÷ 7 余 6； 第 8 个数：21 ÷ 7 余 0； 第 9 个数：34 ÷ 7 余 6； 第 10 个数：55 ÷ 7 余 6； 第 11 个数：89 ÷ 7 余 5； 第 12 个数：144 ÷ 7 余 4； 第 13 个数：233 ÷ 7 余 2； 第 14 个数：377 ÷ 7 余 6； 第 15 个数：610 ÷ 7 余 1； 第 16 个数：987 ÷ 7 余 0； 第 17 个数：1597 ÷ 7 余 1； 第 18 个数：2584 ÷ 7 余 1； 第 17、18 个数的余数又变成了 1、1，和最开始一样，说明余数开始循环了。 因此周期长度是：1，1，2，3，5，1，6，0，6，6，5，4，2，6，1，0 2023÷16＝126 …… 7 这说明第 2023 个数的余数，和循环里第 7 个余数是一样的，即余数为6。 故答案选A 【考点剖析】①当数列里的数越来越大时，先算它们除以某个数的余数，很可能会出现循环，用循环规律就能轻松解决。 ②一定要等开头的两个余数再次出现，才能确定完整的循环周期。 考点讲练十七 乘积的个位数 【典例精讲】的计算结果的个位数是( )。 【答案】4 【思路引导】找规律发现：1×2的结果的个位数字是2，3×4的结果的个位数字是2，5×6的结果的个位数字是0，7×8的结果的个位数字是6，9×10的结果的个位数字是0，每5个乘法算式结果的个位数字为一个周期循环。先求出一个周期的结果的个位数字，再看有多少个周期，还剩余几个单独的算式，据此即可求解。 【完整解答】1×2的结果的个位数字是2， 3×4的结果的个位数字是2， 5×6的结果的个位数字是0， 7×8的结果的个位数字是6， 9×10的结果的个位数字是0， 一个周期的结果的个位数字之和：2＋2＋0＋6＋0＝10 的计算结果的个位数为：0 2＋2＝4 因此的计算结果的个位数为：4 【变式训练】是一个很大的数，这个数最后几位都是0，这些连续的0共有______个。 【答案】503 【思路引导】乘积末尾0的个数取决于因数2和因数5的个数，由于因数2的个数明显多余因数5的个数，因此只要能确定因数5的个数，即可知道乘积末尾0的个数。依次用2021除以5、25、125、625即可确定因数5的个数。 【完整解答】2021÷5＝404……1，即5的倍数有404个； 2021÷25＝80……21，即5的倍数有80个； 2021÷125＝16……21，即5的倍数有16个； 2021÷625＝3……146，即5的倍数有3个； 404＋80＋16＋3 ＝484＋16＋3 ＝500＋3 ＝503 因此这些连续的0共有503个。 考点讲练十八 比较大小 【典例精讲】分数，，，，中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． E． 【答案】E 【思路引导】分数比较大小，可以把分母变为相同的或者把分子变为相同的再进行比较。已知题中分子转化为相同的更简便，分子的最小公倍数为：，根据分数的基本性质，；；；；；分子相同的分数中，分母越大分数越小，所以最大的分数是。 【完整解答】把这些分数的分子进行通分，根据分母的大小进行比较。 ；；；；； 分子相同的分数，分母越小分数越大，则最大的分数为 故答案为：E 【考点剖析】本题重点考查分数比较大小的方法，先根据已知分数判断转化为同分子或同分母分数。分数的分子相同，分母越大分数越小，反之分母越小分数越大；分数的分母相同，分子越大分数越大，反之分子越小分数越小。 【变式训练】请将4，5，6，7，8，9这六个数分别填入算式□□□×□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大，最大的结果是( )。 【答案】843500 【思路引导】因为要让三位数乘三位数的结果最大，所以首先要确定两个三位数的百位数字，需选择六个数中最大的两个数字，是8和9。 确定百位后，要让两个数的差尽可能小，所以接下来要将剩余数字中较大的搭配较小的百位，较小的搭配较大的百位，组成两个三位数的十位和个位。 最后通过乘法运算验证组合的合理性，可利用“两个数和一定时，差越小乘积越大”的原理来推导。 【完整解答】六个数字中，最大的两个是8和9，因为三位数的百位数字确定为8和9； 剩余数字为4、5、6、7，需分配给两个数的十位和个位。 可能的组合有：975×864＝842400 974×865＝842510 965×874＝843410 964×875＝843500 842400＜842510＜843410＜843500， 故符合题意算式为：964×875＝843500。 则最大的结果是843500。 考点讲练十九 估计与估算 【典例精讲】一个整数“四舍五入”为以“万”为单位的数后是2017万，这个整数最大是________。 【答案】 20174999 【思路引导】四舍五入到万位时，看千位上的数字：如果千位上的数字小于5，则舍去尾数；如果千位上的数字大于或等于5，则向万位进1。 四舍五入后是2017万（即20170000），说明原数在四舍五入前可能被进1或舍去。要找到最大整数，需确保四舍五入后仍为2017万，且原数尽可能大，因此千位上的数字必须小于5（最大为4），后面各位数字最大为9。 【完整解答】四舍五入后是2017万，即20170000。原数最大时，千位上的数字应小于5，且最大为4，千位及以下各位数字最大为9。则这个整数最大是20174999。 【变式训练】西安是中国四大古都之一，古称长安、镐京，是陕西省会、副省级市、丝绸之路起点城市、“一带一路”核心区，国家重要的科研、教育、工业基地。西安总面积10752平方公里，2017年末户籍人口905.68万。那么西安的平均人口密度为_____人/平方公里。（结果保留整数） 【答案】842 【思路引导】西安的平均人口密度＝西安户籍人口数量÷西安总面积，先将905.68万人改写成9056800人，然后除以西安总面积即可求解，结果保留整数，我们计算到十分位，然后根据十分位上的数据进行四舍五入。 【完整解答】905.68万＝9056800 9056800÷10752≈842（人/平方公里） 因此西安的平均人口密度842为人/平方公里。 考点讲练二十 定义新运算 【典例精讲】下列集合不是群的是（    ）。 A．，乘法规定 B．全体整数中的运算为普通乘法 C．全体整数除以3的余数中的运算为普通加法 D．设非空集合，其上定义乘法“”如下： 【答案】B 【思路引导】要判断一个集合是不是 “群”，要满足 4 个条件： ①集合里任意两个元素做运算，结果还在这个集合里（封闭性）。 ②运算满足结合律（比如 （a○b）○c ＝ a○（b○c））。 ③有一个 “单位元”，就是和任何元素运算都不改变它的那个元素（比如加法里的 0，乘法里的 1）。 ④每个元素都有 “逆元”，就是能找到一个元素和它运算后得到单位元（比如 3 的逆元是 － 3，因为 3＋（－3）＝0）。 我们就用这 4 条来挨个检查选项，找出不满足的那个。 【完整解答】A：G＝{g}，乘法规定 gg ＝ g 封闭性：g 和 g 运算还是 g，在集合里，满足。 结合律：只有一个元素，（g○g）○g ＝ g○g ＝ g，g○（g○g） ＝ g○g ＝ g，满足。 单位元：g 就是单位元，因为 g○g ＝ g，满足。 逆元：g 的逆元是 g，因为 g○g ＝ g（单位元），满足。 所以 A 是群。 B：G ＝ 全体整数，运算为普通乘法 封闭性：整数乘整数还是整数，满足。 结合律：满足。 单位元：1 是单位元，满足。 逆元：比如元素 2，找不到一个整数和它相乘等于 1（单位元），不满足。 所以 B不是群。 C：G ＝ 全体整数除以 3 的余数，运算为普通加法全体整数除以 3 的余数只有 0、1、2 这三个数。 封闭性：比如 1＋2＝3，3 除以 3 余 0，结果 0 在集合里；2＋2＝4，4 除以 3 余 1，结果 1 也在集合里，满足。 结合律：满足。 单位元：0 是单位元，因为任何数加 0 都不变，满足。 逆元：0 的逆元是 0；1 的逆元是 2（因为 1＋2＝3≡0）；2 的逆元是 1（因为 2＋1＝3≡0），满足。 所以 C 是群。 D：G＝{a，b}，运算表如下 ○ a b a a b b b a 封闭性：运算结果都是 a 或 b，在集合里，满足。 结合律：比如 （a○b）○b ＝ b○b ＝ a；a○（b○b） ＝ a○a ＝ a，满足。 单位元：a 是单位元（a○a＝a，a○b＝b；b○a＝b，b○b＝a），满足。 逆元：a 的逆元是 a（a○a＝a）；b 的逆元是 b（b○b＝a），满足。 所以 D 是群。 故答案为：B 【考点剖析】不要被 “乘法”“加法” 的名字迷惑，要看运算的实际定义；单位元和逆元都要在集合内部找。 【变式训练】规定：A〇B表示A，B中较大的数，A△B表示A，B中较小的数。则（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70）＝( )。 【答案】 2023 【思路引导】根据题意得，A〇B表示A和B中较大的数，A△B表示A和B中较小的数，根据这个规定和运算顺序，先计算括号内的表结果再相乘，据此即可求出最后答案。 【完整解答】（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70） ＝（25－8）×（53＋66） ＝17×119 ＝2023 1．现规定“*”是一种新的运算，A*B＝3A﹣2B。那么7*6*5的值为（    ）。 A．17 B．5 C．210 D．18 【答案】A 【思路引导】根据新的运算法则A*B＝3A－2B，先求出7*6，再计算下一步即可。 【完整解答】7*6 ＝3×7－2×6 ＝21－12 ＝9 9*5 ＝3×9－2×5 ＝27－10 ＝17 故答案为：A。 【考点剖析】解答此题的关键是根据规定的新的运算方法计算要求的式子的值。 2．当A＞B时，A@B=3A+2B，当A＜B时，A@B=2A+3B，若@2=7，则是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【完整解答】假设＞2， 3+4=7， 得=1，不符；所以＜2, 2+6=7, 得= 3．在0.,0.1,,-33.中,最大的数是(　　)． A．-33. B．0.1 C．0. D． 【答案】B 【完整解答】略 4．已知：，，且A，B都是自然数，则( )。 【答案】2017 【思路引导】，是异分母加法，异分母加法是先通分转化成同分母加法。 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘一个不为0 的数，则分数的大小不变。则，则，，代入数据即可得解。 【完整解答】根据分析，， 则 5．定义一种新运算“△”满足：8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，10△5＝10＋9＋8＋7＋6＝40，则2024△5＝________。 【答案】10110 【思路引导】根据已知的例子发现规律，a△b是从a开始的连续b个依次递减1的自然数相加的和；据此可知，2024△5是从2024开始的连续5个依次递减1的自然数相加的和，据此计算出得数即可。 【完整解答】2024△5＝2024＋2023＋2022＋2021＋2020＝10110 则2024△5＝10110。 6．如果规定，那么的最后结果是( )。 【答案】205 【思路引导】题目中的“*”实际上是定义了一种新的运算，只要把17和24分别代入a和b的位置并进行计算就行了。 【完整解答】由题意知︰a*b＝13×a－b＋8 则：17*24 ＝13×17－24＋8 ＝221－24＋8 ＝205 【考点剖析】此题定义一种新的运算，直接代入计算即可。 7．我们学过＋、－、×、÷这四种运算。现在规定“*”是一种新的运算。 ，如：。那么( )。 【答案】45 【思路引导】定义新运算的一般解题步骤： （1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。 （2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （3）求解。 【完整解答】 【考点剖析】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 8．若任意一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为中，那么可将这个三位数表示为，且满足，我们把三位数各数位上的数字的乘积叫做原数的积数，记为。重新排列一个三位数各位上的数字，可以得到一个最大的三位数和一个最小的三位数，此最大三位数与最小三位数之差叫做原数的差数，记为，例如：264的积数，差数。 (1)根据以上材料：( )；( )。 (2)如果有一个三位数，且满足，那么这个三位数是( )。 【答案】(1) 126 495 (2)405或450 【思路引导】（1）直接利用原数的差数的定义计算即可得出结论； （2）先根据原数的积数确定出或，再分两种情况，利用原数的差数为135建立方程求解，即可得出结论。 【完整解答】（1） （2）因为，所以， 所以或当 第一种情况：当时， ①当时， ，满足题意，三位数是405。 ②当时， 此时不是整数，不满足题意，舍去。 第二种情况：当时， ①当时， ，满足题意，三位数是450。 ②当时， 此时不是整数，不满足题意，舍去。 综上所述：满足条件的三位数为405或450。 【考点剖析】解这类题要先吃透新定义，再抓数字特征（如积为0则含0），分情况算完再验证，别漏了“数字是整数”的实际限制。 9．表示不超过的最大整数，如，，则______。 【答案】625 【思路引导】由题意可知，表示不超过的最大整数，即取的整数部分，根据取整的意义，计算算式中整数6和7的个数，再根据乘法的意义，将算式转化为乘法计算即可。 【完整解答】 6的个数：69－1＝68（个） 7的个数：99－69＋1＝31（个） ＝6×68＋7×31 ＝408＋217 ＝625 【考点剖析】本题的关键在于确定6.31＋0.01到6.31＋0.99整数部分的变化规律，准确划分整数部分为6和7的个数。 10．下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）      （4） （5）      （6） 【答案】（1）；（2）752；（3）100；（4）；（5）1001；（6） 【思路引导】（1）观察分数的分母，发现分母可以利用乘法的分配律可以将式子转化成，再利用平方差公式为：，则。最后分子分母进行化简，将好约分的约分。 （2）利用乘法的交换律将式子化简成，再利用乘法分配律计算。 （3）将小数转化为带分数，发现可以利用乘法的分配律。将括号里面的带分数转化成整数和分数相加，再同分母的分数相加再计算。 （4）对式子进行整理，发现可以转化成，将括号去掉后整数和整数相加，分数和分数相加。根据公式可以简便计算。 （5）同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。 （6）观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。 、、 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ 11．＋＋＋＋＋ 【答案】 【完整解答】原式＝2× ＝2× ＝2× ＝ 12．列式计算，写出推导过程。 （1）      （2） （3）    （4） （5） 【答案】（1）；（2） （3）；（4）11.7 （5） 【思路引导】（1）先分解带分数，再运用分数乘法分配律去括号，再进行简便运算；（2）经过数据分析，可用2减去一个分数表示每个分数，去括号后提取公因数2，再进行简便运算；（3）将分母的两个因数化为一个数减去1或者加上1，根据和差公式化简，进而简便计算得出答案；（4）提取公因数0.2，括号里面的小数相加，进而简便运算得出答案；（5）先计算分母相乘，提取公因数4，进而依次计算得出答案。 【完整解答】（1） （2） （3） ； （4） （5） 13．规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，已知6x＋x4＝5，x的值为多少？ 【答案】x＝ 【思路引导】根据题目中定义的新运算规则，将＝6，＝x代入，得6x＝；将＝x， ＝4代入，得x4＝。将这两个表达式代入6x＋x4＝5即可列出方程＋＝5，方程左边两个分数的分母相同，根据同分母分数加法法则，分母不变，分子相加，可得，根据等式的性质，等式两边同时乘3可得3x＋14＝15，再根据等式的性质，等式两边同时减去14，可得3x＝1，最后根据等式的性质，等式两边同时除以3可得到x＝ 【完整解答】6x＋x4＝5 解：＋＝5 ＋＝5 3x＋14＝15 3x＋14 －14＝15－14 3x＝1 3x÷3＝1÷3 x＝ 【考点剖析】本题是一道定义新运算问题，解题的关键是正确理解定义的运算符号的意义。 14．计算题。                   【答案】330；； ； 【思路引导】第1小题，分母部分利用完全平方公式：化简；分子部分观察数字规律，将66×22改写成33×44，再提取公因数进行简便运算； 第2小题，观察数字规律，将改写成，将改写成，将改写成，再根据乘法分配律的逆运算进行简便运算； 第3小题，，，……，可得规律： ，据此计算即可； 第4小题，根据及裂项消去法代入化简即可。 【完整解答】 15．计算。       【答案】100；2； 【思路引导】（1）先将除法转化为乘法，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。则将式子中的除法算式转化为乘法：。再观察式子的过程中发现第一个乘法和第二个乘法都是有1.25，则可以将这个式子利用在一道乘法算式中，其中一个因数乘几，要想使积不发生变化另外一个因数反而要除以几，则转化成，这样就可以利用乘法的分配律简便计算。 （2）按照分数的四则混合运算顺序，先算小括号里面的乘法，将1.96转化为分数计算，同时可以算出，将转化为假分数计算。最后根据运算顺序一步步的计算出结果。 （3）等差数列的求和：，将式子按照等差数列的方式转化。 再将其中的每个式子进行转化，例：。转化后的式子根据乘法的分配律转化为，则再根据，例：，则式子简便计算。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 学科网（北京）股份有限公司 $