第五讲 常考应用题（考向预测+知识梳理+26个考点讲练+能力提升练 共67题）-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第五讲 常考应用题『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+24个考点讲练+能力提升练 共63题】 ［原卷版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主主要知识点 2 预测二 ：重点难点 2 预测三：考察方向 3 预测四：预测难度 3 重点难点知识梳理 3 知识点一 复合应用题的解题方法及解题步骤 3 知识点二 一般复合应用题中常见的数量关系 3 知识点三 典型应用题 5 知识点四 分数应用题 6 考点分类真题汇编讲练 7 重难点考点一 “提问题”“填条件”问题 7 重难点考点二 间隔问题 8 重难点考点三 周期问题 9 重难点考点四 归一问题 9 重难点考点五 归总问题 9 重难点考点六 和差倍问题 10 重难点考点七 年龄问题 10 重难点考点八 经济问题 11 重难点考点九 行程问题 11 重难点考点十 工程问题 12 重难点考点十一 排列组合问题 12 重难点考点十二 用列举法解决问题 13 重难点考点十三 搭配问题 13 重难点考点十四 比赛问题 13 重难点考点十五 推理问题 13 重难点考点十六 集合问题 13 重难点考点十七 促销问题 14 重难点考点十八 盈亏问题 14 重难点考点十九 植树问题 14 重难点考点二十 分段计费问题 15 重难点考点二十一 找次品 15 重难点考点二十二 数与形 16 重难点考点二十三 鸽巣问题 16 重难点考点二十四 解决问题的策略 16 能力提升过关检测 17 预测一：主主要知识点 涵盖整数、小数、分数百分数应用题，行程问题、工程问题、按比分配问题、鸡兔同笼问题、利润折扣问题、几何图形周长面积体积应用题、归一归总问题；包含审题找等量关系、列式计算、解题步骤规范、结果检验等核心解题方法。 预测二 ：重点难点 重点是分数百分数应用题的数量关系分析、行程与工程问题的公式套用、按比分配实际解题、找准题目关键等量关系；难点是复杂分数百分数应用题的单位“1”判断、多步骤综合应用题的逻辑梳理、不同题型解题思路的灵活转换、隐含条件的挖掘与易错点规避。 预测三：考察方向 以解答题为主，少量结合填空、选择题考查，命题全部贴合生活实际场景；侧重考查审题能力、逻辑分析能力、解题方法运用与步骤书写规范性，注重知识综合运用，题型灵活多变，部分题目设置干扰条件考查解题判断力。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约80%，侧重基础题型的解题熟练度；难题集中在多步骤综合应用题、分数百分数与几何/行程结合题型，占比约20%，侧重逻辑思维与解题技巧，整体难度适中，突出解题思路与知识综合运用能力。 知识点一 复合应用题的解题方法及解题步骤 解题方法 解题步骤 分析法 就是从问题入手，逐步分析题目中已知条件 1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求问题； 2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么…最后算什么； 3.列式计算：列出算式，算出得数；4，检验作答：进行检验，写出答案。 综合法 就是从应用题的已知条件，逐步推向末知，直到求出解 分析综合法 就是将分析法，综合法结合起来交替使用的方法 知识点二 一般复合应用题中常见的数量关系 类型 数量关系 类型 数量关系 价钱问题 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 产量问题 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 行程问题 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 收支问题 收入-支出=结余 收入-结余=支出 支出+结余=收入 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 打折问题 现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价 知识点三 典型应用题 类型 特征 数量关系 关键点 平均数问题 已知几个不相等的同类数量以及份数，求每份数 总数量÷总份数=平均数 找准总数量和总份数 归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量 总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量 总数量÷单位量=单位量份数 确定不变的每份量 归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量 每份量×份数=总数量 确定不变的总数量 相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一段时间后在途中相遇 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 弄清物体运动的方向和时间等 追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在一段时间内追及前者 路程差÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=路程差 路程差÷追及时间=速度差 弄清物体运动的方向和时间等 水中行船 问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行和顺行中的作用不同 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 分清是顺水速度还是逆水速度 过桥问题 涉及车长、桥长等问题 路程=桥长+车长 路程÷速度=时间 分清路程是否包含车长 和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量 较大数=（和十差）÷2 较小数=（和一差）÷2 移多补少 和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 和÷（倍数+1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 差÷（倍数-1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终保持不变 盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，有余（盈）或不足 （亏），已知余或不足的数量，求物品的总数或份数 （盈数+亏数）÷两次分得的差=份数 找出两次分得的差与盈亏的总数 鸡兔同笼问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数=（总腿数-2×总头数）÷2 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 假设法、方程法 植树问题 不封闭 图形 两端都植树 棵数=段数+1 分清封闭还是不封闭，两端都植树还是都不植 两端都不植树 棵数=段数-1 封闭图形 在圆、正方形等边上植树 棵数=段数 说明：分数百分数应用题放在第10讲主讲；工程问题放在第11讲主讲；行程问题（相遇，追及，流水行船，火车过桥）放在第12讲主讲；列方程解应用题放在第8讲主讲，比和比例应用题放在第9讲主讲；经济问题放在第13讲主讲；本讲重点复习讲解平均数问题、归一归总问题、和差倍问题、盈亏问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、植树问题 知识点四 分数应用题 一、解决分数应用题的关键: 关键——找出“量”与“率”的对应. 要点——“标准量”，即单位“1”的寻找. 二、单位“1”的标志与线索: 1.明显标志：“占”、“是”、“比”、“相当于”这些词语后面的对象. 例：a是（占、相当于）b的几分之几，就把b看作单位“1”． 甲比乙多（少）几分之几，就把乙看作单位“1”. 2.隐含线索：题目没有明确给出比较对象，需要分析增加（减少）了谁的几分之几，一般是指增加（减少）了前面那种状态的几分之几，也就是说前面那种状态下的量就是单位“1”. 例：水结成冰后体积增加了几分之几，意思是增加了原来状态（水）的几分之几. 三、“率”的寻找方法：明示的“率”自不必说. 没有明确指出的“率”，一般可以画线段图，通过分析整体的组成来找出. 四、常用数量关系式和解题模式： 1.常用的数量关系式：在分数（百分数）应用题中存在着三个量，即标准量（单位“１”的量）、比较量（部分量）和分率（百分率）。 分数（百分数）应用题基本的数量关系式： 标准量（单位“１”的量）×分率（百分率）＝比较量（部分量） 比较量（部分量）÷标准量（单位“１”的量）＝分率（百分率） 比较量（部分量）÷分率（百分率）＝标准量（单位“１”的量） 2.解题模式：（1）量÷对应率＝单位“1” （2）分数即份数，设数法解决 （3）多对象多状态多维度，列表解决 五、分数应用题的基本类型及方法： 1.求一个数的几（或百）分之几是多少？ 解题方法：已知数×几（或百）分之几 2.已知一个数的几（或百）分之几是多少，求这个数. 解题方法：已知数÷几（或百）分之几 3.求甲数比乙数多（或少）几（或百）分之几。解题方法：两数之差÷乙数。 4.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1+几（或百）分之几） （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1一几（或百）分之几） 5.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1+几（或百）分之几）。 （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1一几（或百）分之几） 6. 求甲数是乙数的几分之几（百分之几） 解题方法：甲数÷乙数（求百分之几需转化为百分数） 六、单位“1”的转化及应用：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化；如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷＝，乙是甲的÷＝ 重难点考点一 “提问题”“填条件”问题 【典例精讲】（2025·云南昆明·小升初真题）科技馆推出“未来科技主题周”活动，下面是四个主题日参观人数的统计数据： ①人工智能日参观人数为480人。 ②航天探索日参观人数比人工智能日多。 ③绿色能源日参观人数与人工智能日的比是5∶6。 ④人工智能日参观人数比虚拟现实日少20%。 （1）根据以上信息，算式480×求的是：（    ）。 （2）想知道绿色能源日参观人数是多少人，需要用到的信息是（    ）（填序号）。 （3）请选择以上合适的信息，提出一个新问题并解答。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）根据线段图，小海列出了算式，他要解决的问题是( )。 重难点考点二 间隔问题 【典例精讲】（2024·辽宁沈阳·小升初真题）联欢会上，淘气按照3红、2黄、2绿的顺序用气球装饰教室，那么第26个气球是______色；前60个气球中，一共有________个红色的气球。 【变式训练】（2024·山东济南·小升初真题）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，…则第2024次输出的结果是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 重难点考点三 周期问题 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）学校外墙的电子屏上循环滚动播放“欢迎来到实验西校”字幕，播放到第2025个的字是( )字。 【变式训练】（2025·河北石家庄·小升初真题）节日的学校内挂起一盏盏小电灯，小龙看出每相邻两盏白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，且第一盏灯是白色的。小龙想，第75盏一定是( )色灯。 重难点考点四 归一问题 【典例精讲】（2024·山东济宁·小升初真题）亮亮一家从兖州自驾来水泊梁山游玩，兖州到梁山的路程120千米，亮亮爸爸的汽车油箱总容量是50升。出发时，他查看汽车的燃油表，发现已用去的汽油。 （1）爸爸的油箱还剩汽油多少升？ （2）如果亮亮爸爸车子的油耗大约是0.12升/千米，中途不加油，他能到梁山吗？（计算说明） （3）亮亮爸爸1.5小时行驶90千米，照这样的速度，剩下的30千米大约还需多少小时？ 【变式训练】（2024·福建宁德·小升初真题）小红借了一本150页的故事书，她3天看了45页。 （1）照这样的速度，预计几天能看完？ （2）如果只能借8天，从第4天起平均每天至少看多少页？ 重难点考点五 归总问题 【典例精讲】（2025·福建龙岩·小升初真题）一间教室用方砖铺地，如果用面积16平方分米的方砖，需要250块。如果改用面积25平方分米的方砖，需要多少块？ 【变式训练】（2025·江西南昌·小升初真题）小华读一本书，如果每天读30页，10天可以读完。如果每天读25页，需要几天读完？（请用两种不同的方法来解答） 重难点考点六 和差倍问题 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【变式训练】（2025·上海闵行·小升初真题）一箱苹果连箱共重52千克，一篮子草莓连篮子共重16千克，当苹果和草莓各卖掉一半后，剩下的苹果和草莓连箱和篮子共重35千克，则一只箱子和一个篮子共重多少千克？ 重难点考点七 年龄问题 【典例精讲】（2024·山东济南·小升初真题）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（    ）厘米。 （2）图中点A所表示的数是（    ），点B所表示的数是（    ）。 （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 【变式训练】（2024·湖北十堰·小升初真题）小明的爸爸对小明说，当我像你这么大的时候，你的爷爷37岁，当我像你爷爷那么大的时候，你比我现在小3岁，则今年爸爸________岁。 重难点考点八 经济问题 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【变式训练】（2025·江西吉安·小升初真题）2023年1月1日起，万安县启动“智慧停车服务收费”工作，服务定价如下： 路内、人行道停车位30分钟内免费，首小时2元，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，收费时段：7：30—19：30，全天13元封顶； 停车场1小时内免费，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，全天18元封顶，停车场实行24小时收费制，滚动叠加。 阅读上面材料，解答下列问题： (1)晚饭后，小文爸爸开车去超市买了一些生活用品，他在路内停车位的时间是18：55～19：30，此次应缴( )元停车费。 (2)上周六，小李一家去赣州游玩。上午8：30把车停在了高铁站收费停车场，然后乘坐高铁去赣州，当天晚上从赣州回来后8：20把车开出停车场，此次停车费是多少？ 重难点考点九 行程问题 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）小芳家到学校的路程是2000米。一天早上，她骑车去学校，6分钟骑了1250米，这时发现必须用3分钟赶到学校，否则会迟到，剩下的路程平均每分钟要骑多少米？ 【变式训练】（2025·重庆江北·小升初真题）一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米。 重难点考点十 工程问题 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）有一桶饮料，甲一人饮可以喝15天，若和乙同饮可以喝10天，则乙独饮可以喝( )天。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）一项工程，甲队独做6天完成，乙队独做9天完成。如果两队先合做3天，能完成这项工程的( )，剩下的由乙队独做，还需( )天才能完成。 重难点考点十一 排列组合问题 【典例精讲】（2024·安徽淮南·小升初真题）杨笑去食堂吃午餐，食堂里可供选择的素菜有：清炒土豆丝、油焖茄子、红烧豆角和麻婆豆腐；荤菜有：宫保鸡丁和水煮肉片；还提供了西红柿蛋汤。如果杨笑选择购买一荤一素一汤，他一共有多少种不同的买法？如果购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤，有多少种不同的买法？ 【变式训练】（2024·广东深圳·小升初真题）北京到香港高铁线全长约2240千米，2024年6月15日8时，京广铁路全线实现时速350千米高标运营。 （1）小亮量得地图上的京港高铁线长5.6厘米。这幅地图的比例尺是多少？ （2）高铁G79从北京出发，前往香港，全程共8个站点，单程一共需要设计多少种不同的车票？ （3）智慧老人、淘气分别从香港和北京两座城市乘不同的高铁同时相向出发，4小时后两车相遇，淘气乘的车每小时行350千米。两车相遇时淘气乘的车比智慧老人乘的车多行了560千米。问智慧老人乘的车每小时行多少千米？（不考虑停站时间） 重难点考点十二 用列举法解决问题 【典例精讲】（2024·河南郑州·小升初真题）数字2、7、6、0能组成( )个没有重复数字的两位数，其中组成的两位数中质数是( )，组成的( )的可能性大。（填“奇数”或“偶数”） 【变式训练】（2024·山西忻州·小升初真题）李大爷用24米长的栅栏围成一个长方形（或正方形）马圈，各边都是整米数，一共有几种围法？面积最大是多少？ 重难点考点十三 搭配问题 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试___________次才能配好全部的钥匙和锁。 【变式训练】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是( )个。 重难点考点十四 比赛问题 【典例精讲】（2024·甘肃白银·小升初真题）某学校有4个班级参加篮球比赛，每两个班级之间都进行一场比赛，一共要赛2场。( )（判断对错） 【变式训练】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）六（3）班10名同学进行乒乓球比赛，每2名同学之间都要进行一场比赛，则一共需要比赛____场。 重难点考点十五 推理问题 【典例精讲】（2024·河北衡水·小升初真题）四个同学的体重分别是38千克、42千克、41千克、39千克。已知小强比小红重但又比小军轻，小兰比小红轻。那么小强的体重是________千克。 【变式训练】（2024·重庆丰都·小升初真题）六年级3个班，每班选2人参加跳绳比赛，每次每班只能一人参赛；第一次参赛的是A、B、C；第二次参赛的是B、D、E；第三次参赛的是A、E、F。下面是同班选手的有（    ）。 A．B和F B．C和F C．B和E 重难点考点十六 集合问题 【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）50名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的有14人，数学得分95分以上的有21人，两科都不在95分以上的有22人，两科都在95分以上的有( )人。 【变式训练】（2024·湖南岳阳·小升初真题）某班有46人，会打排球的有28人，会打篮球的有30人，两种都不会的有2人，两种球都会的有( )人。 重难点考点十七 促销问题 【典例精讲】（2025·河南许昌·小升初真题）为了扩充图书种类，李老师准备为班级图书角购买一套原价1000元的图书。这套图书在A网可享“每满200元减80元”；在B网可享“折上折”，即先打七折，在此基础上再打九折。请你算一算，在哪里购书更优惠？ 【变式训练】．（2025·河北石家庄·小升初真题）王老师需要买50本笔记本，三家商店单价都是9元，甲商店打“八五折”销售，乙商店“买四送一”，丙商店“每满100元减20元”。王老师在（    ）商店买最划算。 A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样 重难点考点十八 盈亏问题 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【变式训练】（2025·江苏淮安·小升初真题）快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 重难点考点十九 植树问题 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）牧场上长满草，每天牧草都匀速生长，这片牧场的草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？ 【变式训练】（2024·四川绵阳·小升初真题）山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ 重难点考点二十 分段计费问题 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）2025年是抗战胜利80周年，张老师要在纪念活动之前完成以下工作。下面表述正确的有（    ）句。 ①做一个三角形的活动指引牌，已知其中两条边为4分米和8分米，第三条边一定大于4分米。 ②用6个圆心角是60°的扇形纸板，它们一定能拼成一个圆。 ③有1000元的活动资金买相同的纪念品，单价与数量之间成反比例关系。 ④在长15米的舞台正前方从头到尾每隔1米放一排盆栽，一共要放16盆。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（2025·湖北襄阳·小升初真题）从1980年到2000年，共有（    ）个闰年？（含1980年和2000年） A．6 B．7 C．8 D．9 重难点考点二十一 找次品 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【变式训练】（2025·河南郑州·小升初真题）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 重难点考点二十二 数与形 【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（    ）次能保证找到次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（2025·西藏·小升初真题）工人师傅在加工一批同一型号的零件时，不小心将1个不合格的零件（轻一些）混入了9个合格零件中。用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件。 重难点考点二十三 鸽巣问题 【典例精讲】（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 重难点考点二十四 解决问题的策略 【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）某班有40个同学，至少有( )名同学的生日是在同一个月。 【变式训练】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）把一些选票投进4个投票箱里（任何一个投票箱不能空），要保证总有一个投票箱至少有6张选票，那么这些选票至少有21张。( )（判断对错） 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而产量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的（    ）。 A．33.3% B．50% C．80% D．100% 【考点剖析】工作效率＝工作总量÷工作时间，求一个数多（少）百分之几的数是多少，用乘法。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（    ）位同学报了兴趣班。 A．47 B．57 C．67 D．37 3．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 4．（2025·河南郑州·小升初真题）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。如：1，3，6，10，…这些数叫做三角形数。那么，在整数45，456和1830中，是三角形数的有（    ）。 A．45和456 B．456和1830 C．45和1830 D．45、456和1830 5．（2025·山东青岛·小升初真题）选择合适的数，填在相应的括号里（每个数只能选一次）。 150  1  1.5  1350  50  15 小军是六年级的学生，体重( )千克，身高( )厘米，每天早上6：00起床，洗漱、收拾房间、吃饭用( )小时，然后去学校，学校离家( )米，他步行的速度是( )米/秒，走( )分钟到学校。 6．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）25个人住宿，住3人间和4人间（每个房间不能有空床位），有( )种不同的安排。 8．（2025·四川自贡·小升初真题）把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少要从中取出11只，才能保证取出一双颜色相同的袜子。( )（判断对错） 9．（2025·辽宁本溪·小升初真题）如果a＞b＞0，一项工作，甲用小时完成，乙用小时完成，则甲的效率比乙的效率高。( ) 10．（2025·浙江温州·小升初真题）若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( )（判断对错） 11．（2025·重庆江北·小升初真题）牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，这片牧场可供25头牛吃多少天？ 12．（2025·河南新乡·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 13．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 14．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 15．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第五讲 常考应用题『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+24个考点讲练+能力提升练 共63题】 ［解析版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主主要知识点 2 预测二 ：重点难点 2 预测三：考察方向 3 预测四：预测难度 3 重点难点知识梳理 3 知识点一 复合应用题的解题方法及解题步骤 3 知识点二 一般复合应用题中常见的数量关系 3 知识点三 典型应用题 5 知识点四 分数应用题 6 考点分类真题汇编讲练 7 重难点考点一 “提问题”“填条件”问题 7 重难点考点二 间隔问题 9 重难点考点三 周期问题 11 重难点考点四 归一问题 11 重难点考点五 归总问题 13 重难点考点六 和差倍问题 14 重难点考点七 年龄问题 15 重难点考点八 经济问题 16 重难点考点九 行程问题 18 重难点考点十 工程问题 19 重难点考点十一 排列组合问题 20 重难点考点十二 用列举法解决问题 22 重难点考点十三 搭配问题 23 重难点考点十四 比赛问题 24 重难点考点十五 推理问题 25 重难点考点十六 集合问题 25 重难点考点十七 促销问题 26 重难点考点十八 盈亏问题 27 重难点考点十九 植树问题 29 重难点考点二十 分段计费问题 30 重难点考点二十一 找次品 31 重难点考点二十二 数与形 33 重难点考点二十三 鸽巣问题 34 重难点考点二十四 解决问题的策略 35 能力提升过关检测 36 预测一：主主要知识点 涵盖整数、小数、分数百分数应用题，行程问题、工程问题、按比分配问题、鸡兔同笼问题、利润折扣问题、几何图形周长面积体积应用题、归一归总问题；包含审题找等量关系、列式计算、解题步骤规范、结果检验等核心解题方法。 预测二 ：重点难点 重点是分数百分数应用题的数量关系分析、行程与工程问题的公式套用、按比分配实际解题、找准题目关键等量关系；难点是复杂分数百分数应用题的单位“1”判断、多步骤综合应用题的逻辑梳理、不同题型解题思路的灵活转换、隐含条件的挖掘与易错点规避。 预测三：考察方向 以解答题为主，少量结合填空、选择题考查，命题全部贴合生活实际场景；侧重考查审题能力、逻辑分析能力、解题方法运用与步骤书写规范性，注重知识综合运用，题型灵活多变，部分题目设置干扰条件考查解题判断力。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约80%，侧重基础题型的解题熟练度；难题集中在多步骤综合应用题、分数百分数与几何/行程结合题型，占比约20%，侧重逻辑思维与解题技巧，整体难度适中，突出解题思路与知识综合运用能力。 知识点一 复合应用题的解题方法及解题步骤 解题方法 解题步骤 分析法 就是从问题入手，逐步分析题目中已知条件 1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求问题； 2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么…最后算什么； 3.列式计算：列出算式，算出得数；4，检验作答：进行检验，写出答案。 综合法 就是从应用题的已知条件，逐步推向末知，直到求出解 分析综合法 就是将分析法，综合法结合起来交替使用的方法 知识点二 一般复合应用题中常见的数量关系 类型 数量关系 类型 数量关系 价钱问题 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 产量问题 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 行程问题 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 收支问题 收入-支出=结余 收入-结余=支出 支出+结余=收入 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 打折问题 现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价 知识点三 典型应用题 类型 特征 数量关系 关键点 平均数问题 已知几个不相等的同类数量以及份数，求每份数 总数量÷总份数=平均数 找准总数量和总份数 归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量 总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量 总数量÷单位量=单位量份数 确定不变的每份量 归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量 每份量×份数=总数量 确定不变的总数量 相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一段时间后在途中相遇 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 弄清物体运动的方向和时间等 追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在一段时间内追及前者 路程差÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=路程差 路程差÷追及时间=速度差 弄清物体运动的方向和时间等 水中行船 问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行和顺行中的作用不同 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 分清是顺水速度还是逆水速度 过桥问题 涉及车长、桥长等问题 路程=桥长+车长 路程÷速度=时间 分清路程是否包含车长 和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量 较大数=（和十差）÷2 较小数=（和一差）÷2 移多补少 和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 和÷（倍数+1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 差÷（倍数-1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终保持不变 盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，有余（盈）或不足 （亏），已知余或不足的数量，求物品的总数或份数 （盈数+亏数）÷两次分得的差=份数 找出两次分得的差与盈亏的总数 鸡兔同笼问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数=（总腿数-2×总头数）÷2 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 假设法、方程法 植树问题 不封闭 图形 两端都植树 棵数=段数+1 分清封闭还是不封闭，两端都植树还是都不植 两端都不植树 棵数=段数-1 封闭图形 在圆、正方形等边上植树 棵数=段数 说明：分数百分数应用题放在第10讲主讲；工程问题放在第11讲主讲；行程问题（相遇，追及，流水行船，火车过桥）放在第12讲主讲；列方程解应用题放在第8讲主讲，比和比例应用题放在第9讲主讲；经济问题放在第13讲主讲；本讲重点复习讲解平均数问题、归一归总问题、和差倍问题、盈亏问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、植树问题 知识点四 分数应用题 一、解决分数应用题的关键: 关键——找出“量”与“率”的对应. 要点——“标准量”，即单位“1”的寻找. 二、单位“1”的标志与线索: 1.明显标志：“占”、“是”、“比”、“相当于”这些词语后面的对象. 例：a是（占、相当于）b的几分之几，就把b看作单位“1”． 甲比乙多（少）几分之几，就把乙看作单位“1”. 2.隐含线索：题目没有明确给出比较对象，需要分析增加（减少）了谁的几分之几，一般是指增加（减少）了前面那种状态的几分之几，也就是说前面那种状态下的量就是单位“1”. 例：水结成冰后体积增加了几分之几，意思是增加了原来状态（水）的几分之几. 三、“率”的寻找方法：明示的“率”自不必说. 没有明确指出的“率”，一般可以画线段图，通过分析整体的组成来找出. 四、常用数量关系式和解题模式： 1.常用的数量关系式：在分数（百分数）应用题中存在着三个量，即标准量（单位“１”的量）、比较量（部分量）和分率（百分率）。 分数（百分数）应用题基本的数量关系式： 标准量（单位“１”的量）×分率（百分率）＝比较量（部分量） 比较量（部分量）÷标准量（单位“１”的量）＝分率（百分率） 比较量（部分量）÷分率（百分率）＝标准量（单位“１”的量） 2.解题模式：（1）量÷对应率＝单位“1” （2）分数即份数，设数法解决 （3）多对象多状态多维度，列表解决 五、分数应用题的基本类型及方法： 1.求一个数的几（或百）分之几是多少？ 解题方法：已知数×几（或百）分之几 2.已知一个数的几（或百）分之几是多少，求这个数. 解题方法：已知数÷几（或百）分之几 3.求甲数比乙数多（或少）几（或百）分之几。解题方法：两数之差÷乙数。 4.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1+几（或百）分之几） （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1一几（或百）分之几） 5.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1+几（或百）分之几）。 （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1一几（或百）分之几） 6. 求甲数是乙数的几分之几（百分之几） 解题方法：甲数÷乙数（求百分之几需转化为百分数） 六、单位“1”的转化及应用：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化；如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷＝，乙是甲的÷＝ 重难点考点一 “提问题”“填条件”问题 【典例精讲】（2025·云南昆明·小升初真题）科技馆推出“未来科技主题周”活动，下面是四个主题日参观人数的统计数据： ①人工智能日参观人数为480人。 ②航天探索日参观人数比人工智能日多。 ③绿色能源日参观人数与人工智能日的比是5∶6。 ④人工智能日参观人数比虚拟现实日少20%。 （1）根据以上信息，算式480×求的是：（    ）。 （2）想知道绿色能源日参观人数是多少人，需要用到的信息是（    ）（填序号）。 （3）请选择以上合适的信息，提出一个新问题并解答。 【答案】（1）航天探索日参观人数比人工智能日多的人数； （2）①③； （3）航天探索日参观人数有多少人？576人（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据求一个数的几分之几是多少用乘法，480×表示480的是多少，根据题目给出的条件可知：480是参观人数，表示航天探索日参观人数比人工智能日多的分率，据此解答； （2）根据给出的条件，要求出绿色能源日的参观人数，可以根据人工智能日参观人数和绿色能源日参观人数与人工智能日的比解答； （3）可以选择①和②，提出问题：航天探索日参观人数有多少人？把人工智能参观人数看作单位“1”，则航天探索参观人数是人工智能参观人数的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式计算即可。 【完整解答】（1）480×＝96（人） 根据以上信息，算式480×求的是：航天探索日参观人数比人工智能日多的人数。 （2）想知道绿色能源日参观人数是多少人，需要用到的信息是①③。 480÷6×5 ＝80×5 ＝400（人） 绿色能源日参观人数是400人。 （3）选择条件①和②，提出问题：航天探索日参观人数有多少人？（条件和问题均不唯一） 480×（1＋） ＝480× ＝576（人） 答：航天探索日参观人数有576人。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）根据线段图，小海列出了算式，他要解决的问题是( )。 【答案】篮球队有多少人 【思路引导】由图可知：参加游泳队的有36人，把参加游泳队的人数看作单位“1”，参加足球队的人数是参加游泳队人数的，单位“1”已知，用36乘计算出参加足球队的人数； 再把参加足球队的人数看作单位“1”，参加篮球队的人数是参加足球队人数的，单位“1”已知，用参加足球队的人数乘，求出参加篮球队的人数。 【完整解答】表示游泳队的人数×＝足球队的人数 表示足球队的人数×＝篮球队的人数 所以，小海列出了算式，他要解决的问题是（篮球队有多少人）。 重难点考点二 间隔问题 【典例精讲】（2024·辽宁沈阳·小升初真题）联欢会上，淘气按照3红、2黄、2绿的顺序用气球装饰教室，那么第26个气球是______色；前60个气球中，一共有________个红色的气球。 【答案】 黄 27 【思路引导】根据题意，这组气球是按照“3红、2黄、2绿”的顺序排列，即一个循环周期有7个气球，用26除以7，计算出第26个气球有几组循环余几个气球，余数是几就是一个循环周期中的第几个气球的颜色； 用60除以7，求出一共有几组循环余几个气球，因为每组循环中红气球有3个，用3乘循环的组数，再加上余数中的红色气球的个数，即可求解。 【完整解答】3＋2＋2＝7（个） 26÷7＝3（组）……5（个） 余数是5，所以第26个气球是黄色； 60÷7＝8（组）……4（个） 余数是4，则余数中有3个红色气球。 红气球有： 3×8＋3 ＝24＋3 ＝27（个） 第26个气球是黄色；前60个气球中，一共有27个红色的气球。 【变式训练】（2024·山东济南·小升初真题）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，…则第2024次输出的结果是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【思路引导】把x＝16代入运算程序中计算，判断结果的奇偶性，再把结果作为输入值，以此类推得到一般性规律，即可得出结果。 【完整解答】把x＝16代入得：×16＝8，8是偶数； 把x＝8代入得：×8＝4，4是偶数； 把x＝4代入得：×4＝2，2是偶数； 把x＝2代入得：×2＝1，1是奇数； 把x＝1代入得：1＋3＝4，4是偶数； … 通过结果发现，结果按照4、2、1、4、2、1…的规律排列 （2024－1）÷3 ＝2023÷3 ＝674……1 则第2024次输出的结果是4。 故答案为：C 重难点考点三 周期问题 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）学校外墙的电子屏上循环滚动播放“欢迎来到实验西校”字幕，播放到第2025个的字是( )字。 【答案】欢 【思路引导】字幕“欢迎来到实验西校”共有8个字，循环滚动播放。要求第2025个字，即求2025除以8的余数，余数对应循环中的位置，余数是几，就是第几个数，没有余数，就是最后一个数，据此解答。 【完整解答】欢迎来到实验西校，一共有8个字。 2025÷8＝253……1，第2025个的字是欢。 学校外墙的电子屏上循环滚动播放“欢迎来到实验西校”字幕，播放到第2025个的字是欢。 【变式训练】（2025·河北石家庄·小升初真题）节日的学校内挂起一盏盏小电灯，小龙看出每相邻两盏白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯，且第一盏灯是白色的。小龙想，第75盏一定是( )色灯。 【答案】黄 【思路引导】彩灯是按白红黄绿白红黄绿⋯排列的，每组是4盏，求出75盏灯里面有几组，再看余数。如果没有余数是绿灯，余数是1是白灯，余数是2是红灯，余数是3是黄灯。 【完整解答】75÷4＝18（组）⋯⋯3（盏） 余数是3是黄灯。 重难点考点四 归一问题 【典例精讲】（2024·山东济宁·小升初真题）亮亮一家从兖州自驾来水泊梁山游玩，兖州到梁山的路程120千米，亮亮爸爸的汽车油箱总容量是50升。出发时，他查看汽车的燃油表，发现已用去的汽油。 （1）爸爸的油箱还剩汽油多少升？ （2）如果亮亮爸爸车子的油耗大约是0.12升/千米，中途不加油，他能到梁山吗？（计算说明） （3）亮亮爸爸1.5小时行驶90千米，照这样的速度，剩下的30千米大约还需多少小时？ 【答案】（1）20升； （2）能，理由见详解； （3）0.5小时 【思路引导】（1）把汽车油箱总容量看作单位“1”，已用去的汽油，则还剩（1－）的汽油。已知汽车油箱总容量是50升，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，列式：50×（1－）即可求出张叔叔的油箱还剩汽油多少升； （2）根据乘法的意义，用0.12乘120可以求出从甲地到乙地一共需要多少升汽油，再和（1）题所得的剩下的汽油升数进行比较即可； （3）速度＝路程÷时间，据此用90除以1.5即可求出驾车的速度，再根据路程÷速度＝时间，用30除以所得的速度，即可求出大约还需多少小时。 【完整解答】（1）50×（1－） ＝50× ＝20（升） 答：爸爸的油箱还剩汽油20升。 （2）0.12×120＝14.4（升） 20＞14.4 行驶剩余的路程需要14.4升，小于油箱所剩的20升油。 答：中途不加油，他能到梁山。 （3）30÷（90÷1.5） ＝30÷60 ＝0.5（小时） 答：剩下的30千米大约还需0.5小时。 【变式训练】（2024·福建宁德·小升初真题）小红借了一本150页的故事书，她3天看了45页。 （1）照这样的速度，预计几天能看完？ （2）如果只能借8天，从第4天起平均每天至少看多少页？ 【答案】（1）10天 （2）21页 【思路引导】（1）根据求平均数用除法计算，先求小红平均每天看的页数，再用除法计算150里有几个每天看的页数。 （2）由题意可知，剩下的页数只能看天，求平均数用除法计算，即用剩下的页数除以剩下的天数。 【完整解答】（1）150÷（45÷3） ＝150÷15 ＝10（天） 答：预计10天能看完。 （2）（150－45）÷（8－3） ＝105÷5 ＝21（页） 答：从第4天起平均每天至少看21页。 重难点考点五 归总问题 【典例精讲】（2025·福建龙岩·小升初真题）一间教室用方砖铺地，如果用面积16平方分米的方砖，需要250块。如果改用面积25平方分米的方砖，需要多少块？ 【答案】160块 【思路引导】教室地面的总面积是固定不变的，方砖面积与所需方砖的块数成反比例关系，即方砖面积越大，所需块数越少，且方砖面积 × 所需块数 = 教室地面总面积（一定）。先用原来每块方砖的面积乘方砖的块数算出教室的总面积，再看教室的总面积里包含多少个新方砖的面积，用除法即可得出需要新方砖的数量。 【完整解答】 （块） 答：需要160块。 【变式训练】（2025·江西南昌·小升初真题）小华读一本书，如果每天读30页，10天可以读完。如果每天读25页，需要几天读完？（请用两种不同的方法来解答） 【答案】12天 【思路引导】方法一：这本书的总页数不变，每天读的页数×需要读的天数＝这本书的总页数（一定），则每天读的页数和需要读的天数成反比例关系，现在每天读的页数×需要的天数＝原来每天读的页数×需要的天数，据此列比例解答； 方法二：先用原来每天读的页数乘需要的天数求出这本书的总页数，再除以现在每天读的页数，即可求得现在需要读的天数，据此解答。 【完整解答】方法一：解：设需要x天读完。 25x＝30×10 25x＝300 x＝300÷25 x＝12 答：需要12天读完。 方法二：30×10÷25 ＝300÷25 ＝12（天） 答：需要12天读完。 重难点考点六 和差倍问题 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【答案】1400平方米 【思路引导】由图可知：长方形的长是60米，宽是40米，根据长方形面积＝长×宽，求出种植区的总面积，即A、B两种蔬菜的面积和；又已知A的面积比B多400平方米，即两者的面积差，根据和差问题中求大数的公式：大数＝（和＋差）÷2，即A的面积＝（和＋差）÷2，代入数值，即可求出A蔬菜的种植面积。 【完整解答】60×40＝2400（平方米） （2400＋400）÷2 ＝2800÷2 ＝1400（平方米） 答：A蔬菜种植了1400平方米。 【变式训练】（2025·上海闵行·小升初真题）一箱苹果连箱共重52千克，一篮子草莓连篮子共重16千克，当苹果和草莓各卖掉一半后，剩下的苹果和草莓连箱和篮子共重35千克，则一只箱子和一个篮子共重多少千克？ 【答案】2千克 【思路引导】用一箱苹果连箱共重加上一篮子草莓连篮子共重减去剩下的苹果和草莓连箱和篮子共重，可求得半箱苹果和半篮子草莓的重量，乘2后为一箱苹果和一篮子草莓的重量，再用一箱苹果连箱共重加上一篮子草莓连篮子共重减去一箱苹果和一篮子草莓的重量，即可求得一只箱子和一个篮子共重多少千克。 【完整解答】52＋16＝68（千克） 68－35＝33（千克） 33×2＝66（千克） 68－66＝2（千克） 答：一只箱子和一个篮子共重2千克。 重难点考点七 年龄问题 【典例精讲】（2024·山东济南·小升初真题）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（    ）厘米。 （2）图中点A所表示的数是（    ），点B所表示的数是（    ）。 （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）5 （2）10；15 （3）75岁 【思路引导】（1）根据题意和图意可知，5～20相当于木棒AB长度的3倍，据此用除法求出木棒AB的长度。 （2）图中点A所表示的数等于5加上AB的长度，点B表示的数是20减去AB的长度。 （3）把A点看作小红的年龄，B点看作爷爷的年龄，那么AB的长度就是小红与爷爷的年龄差。 “若爷爷是小红现在年龄”看作B点移动到A点，“小红还要35年才出生”，则小红的年龄向左移动与AB相等的长度，因为还未出生，所以此时小红的年龄对应的数是﹣35； “若小红是爷爷现在的年龄”看作A点移动到B点，“爷爷已经130岁”，则此时爷爷的年龄向右移动与AB相等的长度，此时爷爷的年龄对应的数是130； 那么﹣35与130相差（130＋35），相当于AB长度的3倍，据此用除法求出AB的长度，也就是爷爷比小红大的年龄，再用130减去两人的年龄差，求出爷爷现在的年龄。 【完整解答】（1）三根木棒长是：20－5＝15（厘米） 木棒长为：15÷3＝5（厘米） 由此可得到木棒长为（5）厘米。 （2）5＋5＝10 20－5＝15 图中点A所表示的数是（10），点B所表示的数是（15）。 （3）爷爷比小红大： （130＋35）÷3 ＝165÷3 ＝55（岁）     爷爷的年龄： 130－55＝75（岁） 答：爷爷现在75岁。 【变式训练】（2024·湖北十堰·小升初真题）小明的爸爸对小明说，当我像你这么大的时候，你的爷爷37岁，当我像你爷爷那么大的时候，你比我现在小3岁，则今年爸爸________岁。 【答案】40 【思路引导】设小明今年x岁，当小明的爸爸x岁时，爷爷是37岁，所以爷爷与爸爸之间相差（37－x）岁；当爸爸像爷爷这么大时 ，年龄比现在增加了（37－x）岁；小明的年龄增加了（37－x）岁，为x＋（37－x）＝x＋37－x＝37岁，也就是说当爸爸像爷爷这么大时，小明的年龄为37岁，且比爸爸现在小3岁，所以爸爸今年的年龄为（37＋3）岁。 【完整解答】37＋3＝40（岁） 小明的爸爸对小明说，当我像你这么大的时候，你的爷爷37岁，当我像你爷爷那么大的时候，你比我现在小3岁，则今年爸爸（40）岁。 重难点考点八 经济问题 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【思路引导】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【完整解答】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 【变式训练】（2025·江西吉安·小升初真题）2023年1月1日起，万安县启动“智慧停车服务收费”工作，服务定价如下： 路内、人行道停车位30分钟内免费，首小时2元，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，收费时段：7：30—19：30，全天13元封顶； 停车场1小时内免费，1小时后1元/小时，不足1小时按1小时收费，全天18元封顶，停车场实行24小时收费制，滚动叠加。 阅读上面材料，解答下列问题： (1)晚饭后，小文爸爸开车去超市买了一些生活用品，他在路内停车位的时间是18：55～19：30，此次应缴( )元停车费。 (2)上周六，小李一家去赣州游玩。上午8：30把车停在了高铁站收费停车场，然后乘坐高铁去赣州，当天晚上从赣州回来后8：20把车开出停车场，此次停车费是多少？ 【答案】(1)2元 (2)11元 【思路引导】解答这道题的关键是算出小文爸爸和小李停车的总时长，然后按照路内停车位和停车场收费标准求出应缴的费用。 （1）小文爸爸在路内停车位的时间是18：55～19：30，用19时30分－18时55分＝35分，分析这个停车时间所属的收费区间，确定具体费用。 （2）小李在停车场停车的时间是上午8：30至晚上8：20，将晚上8：20化为24时记时法是20：20。用20时20分－8时30分＝11时50分，分析这个停车时间所属的收费区间，确定具体费用。 【完整解答】（1）19时30分－18时55分＝35分，35分大于30分小于1小时，按首小时2元收费。 所以小文爸爸应缴2元停车费。 （2）20时20分－8时30分＝11时50分，不足1小时按1小时收费。 所以11时50分按12小时收费。 因停车场1小时内免费，1小时后1元/小时。 （元） 答：小李此次的停车费是11元。 重难点考点九 行程问题 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）小芳家到学校的路程是2000米。一天早上，她骑车去学校，6分钟骑了1250米，这时发现必须用3分钟赶到学校，否则会迟到，剩下的路程平均每分钟要骑多少米？ 【答案】250米 【思路引导】先从总路程里减去已经骑行的路程，算出还剩下多少米需要走；速度＝路程÷时间，用剩下的路程除以规定要用的3分钟时间，就能得到剩下路程里平均每分钟要骑行的距离。 【完整解答】（2000－1250）÷3 ＝750÷3 ＝250（米） 答：剩下的路程平均每分钟要骑250米。 【变式训练】（2025·重庆江北·小升初真题）一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米。 【答案】 【思路引导】设原速度为v千米/时，6小时可以行完，所以总距离为6v千米,后一半路程为3v千米，时间为2.5小时，速度为（v＋12）千米/时，根据速度乘时间等于一半路程即列出方程即可。 【完整解答】解：设原来的速度为v千米/时。后一半路程为6v÷2＝3v（千米），一半路程所用时间6÷2－0.5＝3－0.5＝2.5（小时） （千米） 那么A、B两城相距千米。 重难点考点十 工程问题 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）有一桶饮料，甲一人饮可以喝15天，若和乙同饮可以喝10天，则乙独饮可以喝( )天。 【答案】30 【思路引导】将一桶饮料的量，看作1，已知：甲一人饮可以喝15天，则甲一天能喝的量＝1÷15；若和乙同饮可以喝10天，则甲乙一天能喝的量之和＝1÷10；根据乙一天能喝的量＝甲乙一天能喝的量之和－甲一天能喝的量，计算出乙一天能喝的量，再用一桶饮料的总量1÷乙一天能喝的量＝乙独饮可以喝几天，据此列式计算。 【完整解答】 ＝1×30 ＝30（天） 所以有一桶饮料，甲一人饮可以喝15天，若和乙同饮可以喝10天，则乙独饮可以喝30天。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）一项工程，甲队独做6天完成，乙队独做9天完成。如果两队先合做3天，能完成这项工程的( )，剩下的由乙队独做，还需( )天才能完成。 【答案】 //1.5 【思路引导】将这项工程的工作量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作量÷工作时间”先分别计算甲队和乙队的工作效率；然后将甲队和乙队的工作效率求和求出合作效率；再根据“合作工作量＝合作效率×合作时间”计算出合作3天能完成的工作量； 根据“剩余工作量＝1－合作工作量”计算出剩余工作量；再根据“乙队工作时间＝剩余工作量÷乙队工作效率”计算出还需要的天数； 据此解答。 【完整解答】1÷6＝ 1÷9＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（天） 如果两队先合做3天，能完成这项工程的，剩下的由乙队独做，还需天才能完成。 重难点考点十一 排列组合问题 【典例精讲】（2024·安徽淮南·小升初真题）杨笑去食堂吃午餐，食堂里可供选择的素菜有：清炒土豆丝、油焖茄子、红烧豆角和麻婆豆腐；荤菜有：宫保鸡丁和水煮肉片；还提供了西红柿蛋汤。如果杨笑选择购买一荤一素一汤，他一共有多少种不同的买法？如果购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤，有多少种不同的买法？ 【答案】 8种；12种 【思路引导】荤菜有2种选择，素菜有4种选择，汤只有1种选择，选择一荤一素一汤则应该是素菜的选择数目乘荤菜的选择数目再乘汤的选择数目。 购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤。4种不同的素菜，每两个一组，有6种不同的选择，即应该是素菜的选择数目乘荤菜的选择数目再乘汤的选择数目。 【完整解答】2×4×1＝8（种） 2×6×1＝12（种） 答：如果杨笑选择购买一荤一素一汤，他一共有18种不同的买法；如果购买两个不同的素菜、一个荤菜和一个汤，有12种不同的买法。 【变式训练】（2024·广东深圳·小升初真题）北京到香港高铁线全长约2240千米，2024年6月15日8时，京广铁路全线实现时速350千米高标运营。 （1）小亮量得地图上的京港高铁线长5.6厘米。这幅地图的比例尺是多少？ （2）高铁G79从北京出发，前往香港，全程共8个站点，单程一共需要设计多少种不同的车票？ （3）智慧老人、淘气分别从香港和北京两座城市乘不同的高铁同时相向出发，4小时后两车相遇，淘气乘的车每小时行350千米。两车相遇时淘气乘的车比智慧老人乘的车多行了560千米。问智慧老人乘的车每小时行多少千米？（不考虑停站时间） 【答案】（1）1∶40000000；（2）28种；（3）210千米 【思路引导】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把数据代入计算即可； （2）从北京出发，前往香港，全程共8个站点，每两个站点间需要一种车票。从第1站出发，可到其余7站，有7种；从第2站出发（已和第1站算过），可到其余6站，有6种；依此类推，从第7站出发，可到第8站，有1种。将这些情况数相加即得单程车票种数，即单程一共需要设计（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）种不同的车票； （3）根据路程÷时间＝速度，560÷4＝140（千米），求出淘气乘的车每小时比智慧老人乘的车多行了140千米，再用淘气乘的车每小时行的千米数减140千米，即可求出智慧老人乘的车每小时行多少千米。 【完整解答】（1）2240千米＝224000000厘米 5.6∶224000000＝1∶40000000 答：这幅地图的比例尺是1∶40000000。 （2）7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程一共需要设计28种不同的车票。 （3）350－560÷4 ＝350－140 ＝210（千米） 答：智慧老人乘的车每小时行210千米。 重难点考点十二 用列举法解决问题 【典例精讲】（2024·河南郑州·小升初真题）数字2、7、6、0能组成( )个没有重复数字的两位数，其中组成的两位数中质数是( )，组成的( )的可能性大。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 9 67 偶数 【思路引导】先列举出所有用2、7、6、0组成的不同两位数，数出个数，并从中找出质数、偶数、奇数；比较偶数与奇数的个数，个数多的，组成的可能性就大。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【完整解答】数字2、7、6、0能组成的两位数有：27、26、20、72、76、70、62、67、60，共9个； 其中质数是：67； 偶数是：26、20、72、76、70、62、60，共7个； 奇数是：27、67，共2个； 7＞2，偶数的数量多，所以组成偶数的可能性大。 数字2、7、6、0能组成（9）个没有重复数字的两位数，其中组成的两位数中质数是（67），组成的（偶数）的可能性大。 【变式训练】（2024·山西忻州·小升初真题）李大爷用24米长的栅栏围成一个长方形（或正方形）马圈，各边都是整米数，一共有几种围法？面积最大是多少？ 【答案】6种；36平方米 【思路引导】本题可先根据长方形（正方形）周长公式求出长与宽的和，再列举出所有可能的长和宽的组合，最后根据面积公式求出不同组合下的面积并找出最大值。 【完整解答】24÷2＝12（米） 12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6 11×1＝11（平方米） 10×2＝20（平方米） 9×3＝27（平方米） 8×4＝32（平方米） 7×5＝35（平方米） 6×6＝36（平方米） 答：一共有6种围法，面积最大是36平方米。 重难点考点十三 搭配问题 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。最多要试___________次才能配好全部的钥匙和锁。 【答案】6 【思路引导】假设每次试钥匙都试到最后一次才成功，第1把锁最多要试3次（剩下1把钥匙不用试），第2把锁最多要试2次，第3把锁最多要试1次，第4把锁不用试直接开锁成功，最后所有次数相加求和，据此解答。 【完整解答】3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（次） 所以，最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁。 【变式训练】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）把数字1，2，3，6，7分别写在五张卡片上，从中任取2张卡片拼成两位数，写6的卡片也可以当9用。在这些两位数中，质数的个数是( )个。 【答案】13 【思路引导】因为个位数是2、6的两位数都是合数，所以只要考虑个位数字是1、3、7，9的数即可，然后分四种情况写出符合要求的所有的质数，据此解答。 【完整解答】当个位是1时：31、61、71共有3个； 当个位是3时：13、23、73共有3个； 当个位是7时：17、37、67、97共有4个； 个位上是9时：19，29，79，共3个。 3＋3＋4＋3＝13（个） 则质数的个数是13个。 重难点考点十四 比赛问题 【典例精讲】（2024·甘肃白银·小升初真题）某学校有4个班级参加篮球比赛，每两个班级之间都进行一场比赛，一共要赛2场。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两两之间比赛，每个班就要打4－1＝3场比赛，一共要打4×3＝12场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次。 【完整解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（场） 即一共要赛6场，所以原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）六（3）班10名同学进行乒乓球比赛，每2名同学之间都要进行一场比赛，则一共需要比赛____场。 【答案】45 【思路引导】本题考查单循环赛的比赛场数计算。每两名同学之间进行一场比赛，属于组合问题。第一个同学和剩下9名同学进行比赛，共9场比赛，第二个同学已经和第一个同学比过了，再进行比赛要和剩下的8名同学进行比赛，第三名同学已经和第一、第二名比过再比就是要和剩下的7名同学进行比赛，以此类推就可以列式解答。 【完整解答】（场） 则一共需要比赛45场。 重难点考点十五 推理问题 【典例精讲】（2024·河北衡水·小升初真题）四个同学的体重分别是38千克、42千克、41千克、39千克。已知小强比小红重但又比小军轻，小兰比小红轻。那么小强的体重是________千克。 【答案】41 【思路引导】根据题意，小强比小红重，但又比小军轻，说明小军的体重＞小强的体重＞小红的体重；小兰比小红轻，则他们四人的体重是：小军体重＞小强体重＞小红体重＞小兰体重，即42千克＞41千克＞39千克＞38千克，所以小强的体重是41千克，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，四个同学的体重分别是38千克、42千克、41千克、39千克。已知小强比小红重但又比小军轻，小兰比小红轻。那么小强的体重是41千克。 【变式训练】（2024·重庆丰都·小升初真题）六年级3个班，每班选2人参加跳绳比赛，每次每班只能一人参赛；第一次参赛的是A、B、C；第二次参赛的是B、D、E；第三次参赛的是A、E、F。下面是同班选手的有（    ）。 A．B和F B．C和F C．B和E 【答案】A 【思路引导】通过分析每个人在不同次比赛中的参赛情况，找出不可能同班的组合，从而确定同班的选手。 【完整解答】第一次参赛的是A、B、C，第二次参赛的是B、D、E，这表明B与A、C、D、E都不同班，所以B只能和F同班。 第一次参赛的是A、B、C，第三次参赛的是A、E、F，这说明 A与B、C、E、F都不同班，那么A只能和D同班。 由于A和D同班，B和F同班，所以剩下的C就只能和E同班。 故答案为：A 重难点考点十六 集合问题 【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）50名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的有14人，数学得分95分以上的有21人，两科都不在95分以上的有22人，两科都在95分以上的有( )人。 【答案】7 【思路引导】先用50减去22求出至少一门在95分以上的人数，然后用语文得分95分以上的人数加上数学得分95分以上的人数，再减去至少一门在95分以上的人数即可解答。 【完整解答】50－22＝28（人） 14＋21－28 ＝35－28 ＝7（人） 所以两科都在95分以上的有7人。 【变式训练】（2024·湖南岳阳·小升初真题）某班有46人，会打排球的有28人，会打篮球的有30人，两种都不会的有2人，两种球都会的有( )人。 【答案】14 【思路引导】先求出至少会打一种球的人数，再求出会打篮球的和会打排球的一共的人数，最后求出既会打篮球又会打排球的人数． 【完整解答】46－2＝44（人） 28＋30＝58（人） 58－44＝14（人） 两种球都会的有14人。 重难点考点十七 促销问题 【典例精讲】（2025·河南许昌·小升初真题）为了扩充图书种类，李老师准备为班级图书角购买一套原价1000元的图书。这套图书在A网可享“每满200元减80元”；在B网可享“折上折”，即先打七折，在此基础上再打九折。请你算一算，在哪里购书更优惠？ 【答案】A网划算 【思路引导】对于A网的“每满200减80”：先确定原价1000里包含几个200（这是满减的次数），再用“满减次数×每次减的金额”得到总减免额，最后用原价减去总减免额得到最终价；对于B网的“折上折（先七折再九折）”：折上折需要分步计算折扣，先按第一个折扣（七折）算出第一次优惠后的价格，再用这个价格乘第二个折扣（九折）得到最终价。把两个网站的最终价格对比大小，价格更低的网站就是更优惠的选择。 【完整解答】A网： （元） B网： （元） 答：在A网购书更优惠。 【变式训练】．（2025·河北石家庄·小升初真题）王老师需要买50本笔记本，三家商店单价都是9元，甲商店打“八五折”销售，乙商店“买四送一”，丙商店“每满100元减20元”。王老师在（    ）商店买最划算。 A．甲 B．乙 C．丙 D．都一样 【答案】B 【思路引导】计算出三家商店需要的钱，甲商店的总价＝数量×单价×折扣，乙商店买四送一，相当于买50－10本，所以乙商店总价＝数量×单价，丙商店“每满100元减20元”，先计算出原本需要花的价钱：数量×单价，有4个100就减去4×20，再进行比较找出最便宜的一家即可，注意八五折表示现价是原价的85%。 【完整解答】甲商店：50×9×0.85＝382.5（元） 乙商店：（50－10）×9 ＝40×9 ＝360（元） 丙商店：50×9＝450（元） 450－20×4 ＝450－80 ＝370（元） 360＜370＜382.5 因此乙商店买最划算。 故答案为：B 重难点考点十八 盈亏问题 【典例精讲】（2025·安徽合肥·小升初真题）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛。一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张。张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的6张；80元/张的4张 【思路引导】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价＝单价×数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价＝620”代入数值列出方程并求解。 【完整解答】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 10－6＝4（张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 【变式训练】（2025·江苏淮安·小升初真题）快递公司为客户运送500只玻璃杯。为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱。如果快递公司共得运费87元，请问快递公司至少损坏（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【思路引导】本题可通过假设法，先算出全部不损坏时的运费，再对比实际运费，结合损坏一只玻璃杯少得的费用，进而求出损坏的玻璃杯数量。 【完整解答】 假设500只玻璃杯都没损坏，可得运费：（元） 实际运费是87元，少得的运费：（元） 每损坏1只，不仅拿不到0.2元运费，还要赔偿0.8元，总共损失：（元） 损坏的玻璃杯数量：（只） 故答案为：D 重难点考点十九 植树问题 【典例精讲】（2025·重庆江北·小升初真题）牧场上长满草，每天牧草都匀速生长，这片牧场的草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？ 【答案】5天 【思路引导】分析题目，先假设每头牛一天的吃草量为1份，用乘法求出10头牛20天的吃草量及15头牛10天的吃草量；再用10头牛20天的吃草量减去15头牛10天的吃草量即可得到（20－10）天的新长草量，再用除法求出1天的新长草量；再用10头牛20天的吃草量减去20天的新长草量即可得到草原的原草量；最后用草原的原有草量除以25头牛每天的吃草量减去每天的新长草量的差，据此解答即可。 【完整解答】假设每头牛一天的吃草量为1份， 1×10×20 ＝10×20 ＝200（份） 1×15×10 ＝15×10 ＝150（份） （200－150）÷（20－10） ＝50÷10 ＝5（份） 200－5×20 ＝200－100 ＝100（份） 1×25＝25（份） 100÷（25－5） ＝100÷20 ＝5（天） 答：这片牧场可供25头牛吃5天。 【变式训练】（2024·四川绵阳·小升初真题）山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ 【答案】1.2小时 【思路引导】根据牛吃草问题，设每台每小时抽水1份，那么每小时泉水流入池中的水量就是（1×6－2×2）÷（6－2）＝0.5份，再计算池塘中原有的水量（1－0.5）×6，由于每小时泉水流入池中的水量相当于0.5台的抽水量，所以求出3份里面有几个（3－0.5），即可得解。 【完整解答】（1×6－2×2）÷（6－2） ＝2÷4 ＝0.5（份） （1－0.5）×6 ＝0.5×6 ＝3（份） 3÷（3－0.5） ＝3÷2.5 ＝1.2（小时） 答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要1.2小时恰好把池塘中的水抽完。 重难点考点二十 分段计费问题 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）2025年是抗战胜利80周年，张老师要在纪念活动之前完成以下工作。下面表述正确的有（    ）句。 ①做一个三角形的活动指引牌，已知其中两条边为4分米和8分米，第三条边一定大于4分米。 ②用6个圆心角是60°的扇形纸板，它们一定能拼成一个圆。 ③有1000元的活动资金买相同的纪念品，单价与数量之间成反比例关系。 ④在长15米的舞台正前方从头到尾每隔1米放一排盆栽，一共要放16盆。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断； ②用扇形拼圆时，不仅要求扇形的圆心角之和为 360°，还要求这些扇形的半径相等； ③反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量； ④植树问题的相关知识“在直线上两端都植树时，棵数＝间隔数＋1”。 【完整解答】①三角形其中两条边为4分米和8分米，则两边之差为8－4＝4分米，两边之和为8＋4＝12分米。所以第三边的取值范围是4＜第三边＜12 ，即第三条边一定大于4分米，该表述正确。 ②虽然6个圆心角是60°的扇形，圆心角之和为 6×60°＝360°，但题干中未提及这些扇形的半径是否相等。如果半径不相等，就不能拼成一个圆，该表述错误。 ③已知活动资金为1000元，则总价一定；买相同的纪念品，则单价也一定；所以单价与数量不成比例关系，该表述错误。 ④舞台长15米，每隔1米放一排盆栽，则间隔数为15÷1＝15（个），盆栽数为15＋1＝16（盆），该表述正确。 所以表述正确的是①④，有2句。 故答案为：B 【变式训练】（2025·湖北襄阳·小升初真题）从1980年到2000年，共有（    ）个闰年？（含1980年和2000年） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年。据此判断1980和2000都是闰年，中间每4年就有一个闰年，求从1980年到2000年，共有多少个闰年，相当于植树问题中两端都栽的情况，则棵数=间隔数＋1；先求出从1980年到2000年中间有多少个4年，再加上1即可。 【完整解答】1980÷4＝495，2000÷400＝5 1980年和2000年都是闰年。 （2000－1980）÷4＋1 ＝20÷4＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 共有6个闰年。 故答案为：A 重难点考点二十一 找次品 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【答案】45.8元 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。 【完整解答】 ＝6÷ ＝6×500000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8＋1.4×（30－3） ＝8＋1.4×27 ＝8＋37.8 ＝45.8（元） 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 【变式训练】（2025·河南郑州·小升初真题）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了一下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费。小明家十月份64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】121千瓦时 【思路引导】首先计算用电100千瓦时的费用为0.52×100＝52元。小明家电费64.6元超过52元，说明用电量超过100千瓦时。设用电量为x千瓦时，超过部分为（x－100）千瓦时，总电费由两部分组成：前100千瓦时的52元和超过部分的0.6（x－100）元。据此列方程求解。 【完整解答】解：设小明家十月份用电x千瓦时。 0.52×100＋0.6（x－100）＝64.6 52＋0.6x－60＝64.6 0.6x－8＝64.6 0.6x－8＋8＝64.6＋8 0.6x＝72.6 0.6x÷0.6＝72.6÷0.6 x＝121 答：用电121千瓦时。 重难点考点二十二 数与形 【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（    ）次能保证找到次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】把8个零件分成3个，3个，2个三份，第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，第二次再称量剩余2个即可找出；若天平秤不平衡，第二次从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品，据此即可解答。 【完整解答】把8个零件分成3个，3个，2个三份， 第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，第二次把剩余2个分别放在天平秤两端，较高端的零件即为次品； 若天平秤不平衡，第二次从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品。 所以用天平称至少2次能保证找到次品。 故答案为：B 【变式训练】（2025·西藏·小升初真题）工人师傅在加工一批同一型号的零件时，不小心将1个不合格的零件（轻一些）混入了9个合格零件中。用天平称，至少称( )次能保证找出这个不合格的零件。 【答案】3 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【完整解答】1＋9＝10（个） 把10个零件分成三组（3，3，4），把含有3个的两组分别放在天平两端﹑若天平平衡，则轻的在剩下的一组里，把剩下的一组分为两组（2，2），分别放在天平两端，轻的一端当中含有不合格的零件，再分成两组（1，1）放在天平两端，找出轻的一个即为不合格的零件； 若天平不平衡，把轻的一组分成（1，1，1），任选其中两个称量，若天平平衡，则剩余一个就是不合格的零件；若天平不平衡，则轻的一端所放的就是不合格的零件。 所以至少称3次能保证找出这个不合格的零件。 重难点考点二十三 鸽巣问题 【典例精讲】（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【答案】 40 4n 【思路引导】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【完整解答】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【完整解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 重难点考点二十四 解决问题的策略 【典例精讲】（2025·江西吉安·小升初真题）某班有40个同学，至少有( )名同学的生日是在同一个月。 【答案】4 【思路引导】如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。（2）当n能被m整除时，k＝个物体。题中有40个同学，一年有12个月，用40÷12＝3（名）……4（名），也就是说平均每个月有3个同学生日，剩余的4个同学分别分配到不同的月份即可。 【完整解答】40÷12＝3（名）……4（名） 3＋1＝4（名） 至少有4名同学的生日是在同一个月。 【变式训练】（2025·甘肃庆阳·小升初真题）把一些选票投进4个投票箱里（任何一个投票箱不能空），要保证总有一个投票箱至少有6张选票，那么这些选票至少有21张。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】考虑最不利情况：每个投票箱先平均放入5张选票，此时再投入1张选票，无论放入哪个箱子，该箱子至少有6张选票，据此得出总选票的至少数量。 【完整解答】4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（张） 那么这些选票至少有21张。 原题说法正确。 故答案为：√ 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而产量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的（    ）。 A．33.3% B．50% C．80% D．100% 【答案】B 【思路引导】革新前的工作效率是革新后的百分之几，用革新前的工作效率÷革新后的工作效率×100%。工作效率＝工作总量÷工作时间，设革新前的工作总量是a，工作时间是b，则革新后的工作总量是a（1＋60%），革新后的时间是b（1－20%），分别表示出革新前后的工作效率，再列式计算即可。 【完整解答】设革新前的工作总量是a，工作时间是b，则革新后的工作总量是a（1＋60%），革新后的时间是b（1－20%）， 革新前的工作效率：； 革新后的工作效率： ＝50% 所以生产一批零件，革新技术后，时间少用20%，而总量却增长60%，革新前的工作效率是革新后的50%。 故答案为：B 【考点剖析】工作效率＝工作总量÷工作时间，求一个数多（少）百分之几的数是多少，用乘法。 2．（2025·四川绵阳·小升初真题）红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（    ）位同学报了兴趣班。 A．47 B．57 C．67 D．37 【答案】A 【思路引导】先计算报合唱兴趣班和美术兴趣班的人数总和，再减去同时报两个兴趣班的重复人数，得到实际报兴趣班的总人数。 【完整解答】25＋32－10＝47（位） 因此，三一班至少有47位同学报了兴趣班。 故答案为：A 3．（2025·湖北武汉·小升初真题）如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 【答案】C 【思路引导】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【完整解答】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 4．（2025·河南郑州·小升初真题）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。如：1，3，6，10，…这些数叫做三角形数。那么，在整数45，456和1830中，是三角形数的有（    ）。 A．45和456 B．456和1830 C．45和1830 D．45、456和1830 【答案】C 【思路引导】观察图形，第一个图形有1个三角形数，第二个图形有3＝1＋2个三角形数，第三个图形有6＝1＋2＋3个三角形数，第四个图形有10＝1＋2＋3＋4个三角形数，由此可知，第n个图形的三角形数是1＋2＋……＋n＝n（n＋1）÷2，由此代入数值求得n的整数解。 【完整解答】n（n＋1）÷2＝45 n（n＋1）＝90 n＝9 符合题意 n（n＋1）÷2＝456 n（n＋1）＝912 n无整数解，不符合题意。 n（n＋1）÷2＝1830 n（n＋1）＝3660 n＝60 符合题意 45，456和1830中是三角形数的有45和1830。 故答案为：C 【考点剖析】观察图形，找到三角形数的规律：第n个图形的三角形数是1＋2＋……＋n＝n（n＋1）÷2，是解题关键。 5．（2025·山东青岛·小升初真题）选择合适的数，填在相应的括号里（每个数只能选一次）。 150  1  1.5  1350  50  15 小军是六年级的学生，体重( )千克，身高( )厘米，每天早上6：00起床，洗漱、收拾房间、吃饭用( )小时，然后去学校，学校离家( )米，他步行的速度是( )米/秒，走( )分钟到学校。 【答案】 50 150 1 1350 1.5 15 【思路引导】根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．根据生活经验、对长度和质量单位大小的认识和数据的大小，根据计量单位应选择合适的数据，据此解答即可． 【完整解答】小军是六年级的学生，体重50千克，身高150厘米，每天早上6：00起床，洗漱、收拾房间、吃饭用1小时，然后去学校，学校离家1350米，他步行的速度是1.5米/秒，走15分钟到学校。 6．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 【答案】 802 【思路引导】确定总路程与实际跑步路程，乌龟跑完全程1000米，兔子落后10米，求出兔子实际跑的距离，根据兔子速度是乌龟的5倍，求出在兔子跑步的时间内，乌龟跑的路程与兔子跑的路程之间的关系，乌龟一直在跑，其总路程由兔子跑步时乌龟跑的路程和“兔子睡觉时乌龟跑的路程两部分组成，用乌龟的总路程减去兔子跑步期间乌龟跑的路程，即为兔子睡觉期间乌龟跑的路程。 【完整解答】1000－10＝990（米） 因为兔子速度是乌龟速度的5倍，所以在相同时间内，令乌龟速度是1份，兔子速度是5份。 1×时间∶5×时间 ＝1∶5 ＝ 乌龟跑的路程是兔子的，兔子跑步期间乌龟跑的路程：990÷5＝198（米）。 1000−198＝802（米） 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）25个人住宿，住3人间和4人间（每个房间不能有空床位），有( )种不同的安排。 【答案】2 【思路引导】通过列举4人间的数量，判断余下的人数是否是3的倍数，若是3的倍数符合安排条件，否则不符合。 【完整解答】第①种安排：如果4人间有1间： 25－4×1 ＝25－4 ＝21（人） 21÷3＝7（间） 所以可以安排4人间1间，3人间7间，符合题意 第②种安排：如果4人间有2间： 25－4×2 ＝25－8 ＝17（人） 17不是3的倍数，所以4人间不可能是2间，不符合题意。 第③种安排：如果4人间有3间： 25－4×3 ＝25－12 ＝13（人） 13不是3的倍数，所以4人间不可能是3间，不符合题意。 第④种安排：如果4人间有4间： 25－4×4 ＝25－16 ＝9（人） 9÷3＝3（间） 所以可以安排4人间4间，3人间3间，符合题意 第⑤种安排：如果4人间有5间： 25－4×5 ＝25－20 ＝5（人） 5不是3的倍数，所以4人间不可能是5间，不符合题意。 如果4人间有6间以上，床位都有空余，所以4人间是6间以上都是不符合题意的。 综上只有“4人间1间，3人间7间”和“4人间4间，3人间3间”共有2种不同的安排。 8．（2025·四川自贡·小升初真题）把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少要从中取出11只，才能保证取出一双颜色相同的袜子。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据鸽巢原理，考虑最不利情况：前4次各取不同颜色的袜子各1只。此时再取1只，无论颜色如何，必然与之前某颜色重复，据此分析。 【完整解答】最不利情况下，取出4只袜子各颜色不同（红、黄、蓝、绿各1只）。此时再取1只，无论颜色为何，必与已取的某颜色重复。因此至少需取出4＋1＝5（只）。题目中“至少取11只”的说法错误。 故答案为：× 9．（2025·辽宁本溪·小升初真题）如果a＞b＞0，一项工作，甲用小时完成，乙用小时完成，则甲的效率比乙的效率高。( ) 【答案】√ 【思路引导】假设工作总量为1，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲和乙的工作效率，再比较即可。 【完整解答】设工作总量为1。 甲的效率： 1÷ ＝1×a ＝a 乙的效率： 1÷ ＝1×b ＝b 由于a＞b＞0，因此a＞b，甲的效率比乙的效率高，故原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2025·浙江温州·小升初真题）若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】根据“13只母鸡13天下13个蛋”，先求出13只母鸡平均每天下蛋的数量：（个）。 再求每只母鸡每天下蛋的数量：（个）。 通过计算100只母鸡100天应下的蛋数（），并与100个蛋进行比较，判断说法是否正确。 【完整解答】13只母鸡平均每天下蛋的数量：（个） 每只母鸡每天下蛋的数量：（个） 100只母鸡100天下蛋的数量：（个） ≠ 100，因此“100只母鸡100天下100个蛋”的说法是错误的。 【考点剖析】解决这类“归一问题”，核心是先求出“单一量”，再根据单一量计算总量，避免直接按“数量与时间同步放大”的错误直觉判断。本题的陷阱正是忽略了“单只母鸡的产蛋效率”，直接用“数量对应”代替了实际的效率计算。 11．（2025·重庆江北·小升初真题）牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，这片牧场可供25头牛吃多少天？ 【答案】5天 【思路引导】假设每头牛每天吃1份草，通过两种不同吃法消耗的总草量差与时间差，求出草的生长速度，进而求出原有草量。最后计算25头牛吃的天数时，需考虑到每天新生的草需要一部分牛去吃，剩下的牛吃原有的草。 【完整解答】假设每头牛每天吃1份草。 10头牛20天吃草的总份数：（份） 15头牛10天吃草的总份数：（份） 草每天生长的份数： （份） 牧场原有的草份数： （份） 可供25头牛吃的天数： （天） 答：这片牧场可供25头牛吃5天。 【考点剖析】本题是牛吃草问题，解题的关键在于求出草每天生长的数量和牧场原有的草量。 12．（2025·河南新乡·小升初真题）甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】454千米 【思路引导】先根据“1小时＝60分钟”把48分钟转化为0.8小时，甲车的行驶时间为（5.3－0.8）小时，再根据“路程＝速度×时间”求出相遇时甲车行驶的路程和乙车行驶的路程，最后相加求出总路程。 【完整解答】1小时＝60分钟 48÷60＝0.8（小时） 42×（5.3－0.8）＋50×5.3 ＝42×4.5＋50×5.3 ＝189＋265 ＝454（千米） 答：A、B两地相距454千米。 13．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 【答案】252千米 【思路引导】把甲、乙两地的总路程看作3份，其中高速公路占2份、普通公路占1份，设1份路程为x千米，总路程就是3x千米；A车从甲地出发，在高速公路上行驶了（2x－40）千米，速度是80千米/时，所以A车行驶时间为（2x－40）÷80；B车从乙地出发，先走完1份普通公路x千米（速度70千米/时），再在高速公路上行驶40千米（速度100千米/时），所以B车行驶时间为x÷70 ＋ 40÷100；因为两车同时出发、相遇时行驶时间相等，所以可以列出等式（2x－40）÷80＝x÷70 ＋ 40÷100，解方程求出x的值后，再算3x求出总路程。 【完整解答】解：设1份路程为x千米，总路程就是3x千米。 （2x－40）÷80＝x÷70＋40÷100 ＝＋ ×560＝×560＋×560 （2x－40）×7＝8x＋224 14x－280＝8x＋224 14x－280＋280－8x＝8x＋224＋280－8x 6x＝504 6x÷6＝504÷6 x＝84 3×84＝252（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是252千米。 14．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【思路引导】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【完整解答】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 15．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 【答案】12千米；8千米/时 【思路引导】某人从A村到B村，再返回A村，共用时间2＋＝（小时），去时的下坡路＋来时的下坡路＝全程，去时的上坡路＋来时的上坡路＝全程，即20千米。所以上坡和下坡各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，根据按比分配，算出上坡时间为×＝（小时），根据路程÷时间＝速度，用为20除以算出上坡速度。再根据上、下坡速度的关系，求出下坡的速度。假设都是下坡的路程，那么从A村到B村的2小时应该行驶16乘2千米。与实际的20千米相减，算出相差的千米数。再除以相差的速度（16－8），求得从A到C所用时间。最后根据速度×时间＝路程，算出A、C之间的路程。 【完整解答】2＋＝（小时） × ＝× ＝（小时） 20÷＝8（千米/时） 8×2＝16（千米/时） 假设都是下坡的路程。 （16×2－20）÷（16－8） ＝（32－20）÷8 ＝12÷8 ＝（小时） 8×＝12（千米） 答：求A、C之间的路程是12千米。自行车上坡时的速度是8千米/时。 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $