第七讲 平面图形（考向预测+知识梳理+25个考点讲练+能力提升练 共65题）-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第七讲 平面图形『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+25个考点讲练+能力提升练 共65题】 ［解析版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要考点讲练 2 预测二：重点难点 3 预测三：考察方向 3 预测四：预测难度 3 重点难点知识梳理 3 知识梳理一 线和角的认识 3 知识梳理二 三角形的认识与测量 4 知识梳理三 四边形的认识与测量 4 知识梳理四 圆的认识 4 知识梳理五 圆的周长和面积 4 知识梳理六 组合图形的面积 5 知识梳理七 三角形的认识与测量 5 知识梳理八 四边形的认识与测量 5 考点分类真题汇编讲练 6 考点讲练一 平面图形的认识及分类 6 考点讲练二 直线、射线、线段 7 考点讲练三 平行与垂直的特征、性质 8 考点讲练四 角的计算 10 考点讲练五 长方形的周长 11 考点讲练六 正方形的周长 12 考点讲练七 长方形的面积 13 考点讲练八 正方形的面积 14 考点讲练九 平行四边形的认识与面积计算 15 考点讲练十 梯形的的认识与面积计算 17 考点讲练十一 三角形的内角和 20 考点讲练十二 多边形的内角和 21 考点讲练十三 三角形的周长 22 考点讲练十四 三角形的面积 23 考点讲练十五 圆的周长及应用 25 考点讲练十六 圆的面积及应用 26 考点讲练十七 圆环的面积 28 考点讲练十八 方中圆和圆中方的面积问题 29 考点讲练十九 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 31 考点讲练二十 弧、圆心角、扇形的认识 32 考点讲练二十一 扇形的周长和面积 35 考点讲练二十二 画圆及扇形 36 考点讲练二十三 含多边形的组合图形的面积 38 考点讲练二十四 利用平移巧算周长与面积 40 考点讲练二十五 求组合图形中阴影部分的面积 41 能力提升过关检测 43 预测一：主要考点讲练 涵盖长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本平面图形的特征与性质；周长与面积的概念理解及计算公式；扇形的认识及弧、圆心角的概念；组合图形的面积计算；图形的平移、旋转、轴对称等变换方式；利用平面图形知识解决实际生活中的规划、设计、测量问题。 预测二：重点难点 重点是熟记各类平面图形的周长、面积公式，能熟练进行公式变形与直接计算；难点是组合图形的面积拆解与转化（如割补法、和差法）、圆与扇形面积的灵活应用、图形变换后的位置与大小判断、以及结合实际场景（如铺地砖、围篱笆）的综合应用。 预测三：考察方向 以填空、选择、计算和操作题为主，常结合生活实物、几何直观图、图案设计等场景考查；侧重图形特征的灵活运用、面积计算的准确性、动手操作与空间想象能力，注重考查转化思想和解题策略的多样性。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约90%，侧重基础图形面积计算、周长公式的直接应用、简单图形变换；难题占比约10%，通常为组合图形面积计算、图形变换综合题、以及结合几何知识的实际应用压轴题，侧重解题思路的转化与空间想象能力，整体难度适中，强调基础扎实与方法灵活。 知识梳理一 线和角的认识 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识梳理二 三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 知识梳理三 四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 知识梳理四 圆的认识 1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。  2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。 知识梳理五 圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识梳理六 组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识梳理七 三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识梳理八 四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 考点讲练一 平面图形的认识及分类 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）图中一共有( )个平行四边形。 【答案】9 【思路引导】通过观察可知，大平行四边形被分成4个小平行四边形；由1个小平行四边形组成的平行四边形有4个，由2个小平行四边形组成的平行四边形有4个，由4个小平行四边形组成的平行四边形有1个。据此解答。 【完整解答】4＋4＋1＝9（个） 根据分析可知，图中一共有9个平行四边形。 【变式训练】（2024·浙江温州·小升初真题）小学阶段学了很多有密切联系的知识，如图中的M、N可能是（    ）。 ①M是平行四边形，N是长方形。 ②M是分数，N是真分数。 ③M是等腰三角形，N是等边三角形。 ④M是奇数，N是质数。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①② 【答案】A 【思路引导】①两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。 ②把整体平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示；分子比分母小的分数叫真分数。 ③等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形：三条边都相等的三角形。 ④整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【完整解答】①根据长方形是特殊的平行四边形，可知M是平行四边形，N是长方形说法正确。 ②根据分数分为真分数和假分数，所以M是分数，N是真分数说法正确。 ③根据等边三角形是特殊的等腰三角形，所以M是等腰三角形，N是等边三角形说法正确。 ④1是奇数，但不是质数，9、25是奇数，但9、25是合数，所以M是奇数，N是质数的说法错误。 图中的M、N可能是①②③。 故答案为：A 考点讲练二 直线、射线、线段 【典例精讲】图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 8 6 【思路引导】根据题意，根据直线、射线和线段的特点：线段有两个端点，有限长，可以测量；图中有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条线段。射线有一个端点，无限长；A、B、C、D四点向左向右各有1条射线，共8条射线。直线无端点，无限长；图中A、B、C、D四点共线，所以有1条直线。进行解答即可。 【完整解答】根据分析可知： 图中有1条直线，8条射线，6条线段。 【变式训练】下面说法中，正确的有（    ）。 ①一条直线长度是一条射线的2倍。 ②圆柱的体积一定，底面积与高成反比例。 ③∶和6∶4可以组成比例。 A．①和② B．①和③ C．②和③ 【答案】C 【思路引导】①直线：没有端点，两端都可以无限延长，不可度量长度； 射线：1个端点，一端可以无限延长，不可度量长度。 ②判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 ③表示两个比相等的式子叫做比例；根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组成比例。 【完整解答】①直线和射线无法比较长短，原题说法错误； ②圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），乘积一定，则底面积与高成反比例，原题说法正确； ③∶＝÷＝×3＝ 6∶4＝6÷4＝ 比值相等，所以∶和6∶4可以组成比例，原题说法正确； 综上所述，正确的有②和③。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查直线、射线的认识，正、反比例的意义及辨识方法，比例的意义及求比值。 考点讲练三 平行与垂直的特征、性质 【典例精讲】（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】①最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，0既不是正数也不是负数，以此判断正误。 ②在同一个平面内，两条直线不是相交就是平行，以此判断正误。 ③若a＋1＝b（a、b为自然数），则a与b互质，互为质数的两个数最大公因数为1，最小公倍数为ab，以此判断正误。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，以此判断正误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的，以此判断正误。 【完整解答】①最大的负整数是﹣1，①正确。 ②同一平面内，两条直线不是相交就是平行，②错误。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），a与b互质，所以它们的最小公倍数是ab，③正确。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，④错误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的（因为太阳光线的角度是固定的），⑤错误。 描述错误的有3个。 故答案为：B 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）下面各句描述中，你认为正确的是（    ）。 A．甲比乙多，也就是甲是乙的 B．同一平面内两条直线的位置关系分为垂直和平行两类 C．同一款商品“买2送1”和“打对折”的优惠力度一样 D．正方体的体积和表面积成正比例关系 【答案】A 【思路引导】A．甲比乙多，把乙看作单位“1”，则甲为，再根据：求一个数是另一个数的几分之几用除法，列式：求出甲是乙的几分之几判断即可。 B．同一平面内两条直线的位置关系分为相交和平行两类，垂直只是相交的一种特殊情况，据此判断即可； C．“买2送1”含义：花2件的价钱购买到3件商品，在每件商品是原价的2÷3×100%≈0.67×100%＝67%，“打对折”的含义是按照原价的50%出售。 D．正比例：两种相关联的量，比值一定，则这两个量成正比例关系。正方体的体积，正方体的表面积，则∶＝∶＝∶6＝，其中a是变量，则不是定值，进而做出判断。 【完整解答】A．甲比乙多，也就是甲是乙的，说法正确； B．同一平面内两条直线的位置关系分为相交和平行两类，原说法错误； C．同一款商品“买2送1”相当于打“六七折”，和“打对折”的优惠力度不一样，原说法错误； D．正方体的体积和它表面积的比值是一个变量，所以正方体的体积和表面积不成正比例关系，原说法错误。 故答案为：A 考点讲练四 角的计算 【典例精讲】（2025·重庆綦江·小升初真题）晚上9：30时，钟面上的时针和分针形成的角是（    ）。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．不能确定 【答案】A 【思路引导】钟面一圈为360°，被平均分成12个大格，因此每个大格的角度为：360°÷12＝30°。30分时分针指向“6”。时针每小时走1个大格，即每分钟走30°÷60＝0.5°。9点时，时针指向“9”，此时所形成的夹角是直角，即90°。到9：30时，时针又走了30分钟，因此时针从“9”向“10”转动的角度为：30×0.5°＝15°，因此，夹角为：90°＋15°＝105°。锐角是大于0°且小于90°；直角是等于90°；钝角是大于90°且小于180°。因为105°大于90°且小于180°，所以是钝角。 【完整解答】360°÷12＝30° 30°÷60＝0.5° 9点时，时针指向“9”，此时所形成的夹角是90°。 30×0.5°＝15° 90°＋15°＝105° 钝角是大于90°且小于180°。 90°＜105°＜180° 所以钟面上的时针和分针形成的角是钝角。 故答案为：A 【变式训练】（2024·湖北武汉·小升初真题）如图，长方形折起一个角，已知∠1＝100°，则∠2＝（    ）。 A．40° B．50° C．60° D．30° 【答案】B 【思路引导】如下图所示，长方形折起一个角，则∠3＝∠4。已知∠1＝100°，因为∠1＋∠3＋∠4＝180°，则∠3＝（180°－100°）÷2＝40°。折起来的部分是一个直角三角形，则∠2＝180°－90°－∠3，据此解答。 【完整解答】180°－100°＝80° 80°÷2＝40° 180°－40°－90°＝50° 则∠2＝50° 故答案为：B 考点讲练五 长方形的周长 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图（单位：厘米），其中一个圆的周长是( )厘米；长方形的周长是( )厘米。 【答案】 9.42 21 【思路引导】由图可知，圆的半径为1.5厘米，根据圆的周长公式C＝2πr即可求出圆的周长； 观察发现长方形的长相当于5个半径的长，即1.5×5＝7.5厘米、宽相当于2个半径的长，即1.5×2＝3厘米，再根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”即可计算出长方形的周长。 【完整解答】2×3.14×1.5 ＝6.28×1.5 ＝9.42（厘米） 1.5×5＝7.5（厘米） 1.5×2＝3（厘米） （7.5＋3）×2 ＝10.5×2 ＝21（厘米） 所以一个圆的周长是9.42厘米，长方形的周长是21厘米。 【变式训练】（2025·四川绵阳·小升初真题）一个长为66厘米，宽为22厘米的长方形纸片上，剪下一个最大的正方形，剩下的长方形的周长是( )厘米。 【答案】132 【思路引导】长方形上剪下的最大正方形的边长等于宽，一个长为66厘米，宽为22厘米的长方形纸片上，剪下的最大正方形的边长为22厘米，剩下图形的长为66－22＝44（厘米），宽为22厘米，长方形的周长＝（长＋宽）×2，把数据代入计算即可解答。 【完整解答】（66－22＋22）×2 ＝66×2 ＝132（厘米） 所以，剩下的长方形的周长是132厘米。 考点讲练六 正方形的周长 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）下列说法中不正确的选项是（    ）。 A．两个合数也有可能互质。 B．如果，则和的最大公因数是4。 C．一个数的最大因数等于它的最小倍数。 D．正方形的边长是质数，它的周长一定是合数。 【答案】B 【思路引导】若两个数除了1这个公因数外没有其它公因数，则这两个数互质。最大公因数指两个或多个整数共有因数中最大的一个。一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，则一个数的最大因数等于它的最小倍数。质数是除了1和它本身外没有其它因数的数，合数是除了1和它本身外还有其它因数的数。正方形周长＝边长×4。据此解答。 【完整解答】A．两个合数4和9，只有公因数1，则4和9互质。两个合数4和8，除了有公因数1之外，还有公因数2和4，则4和8不互质，所以两个合数也有可能互质。可得选项A说法正确。 B．如果，则＝4×，4和是的因数，可知和的最大公因数是。可得选项B说法错误。 C．一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，则一个数的最大因数等于它的最小倍数。可得选项C说法正确。 D．正方形周长＝边长×4，边长是质数时，周长除了有边长这个因数外，还有4这个因数，则长方形周长一定是合数。可得选项D说法正确。 所以选项B中的说法是错误的。 故答案为：B 【变式训练】（2025·河南焦作·小升初真题）用一根铁丝围成一个圆，半径正好是5分米，如果把这根铁丝改围成一个正方形，它的边长是( )分米。 【答案】7.85// 【思路引导】根据C＝πd求出圆的周长，也就是铁丝长度，再根据a＝C÷4求出正方形的边长，据此解答。 【完整解答】3.14×（5×2）÷4 ＝3.14×10÷4 ＝7.85（分米） 故它的边长是7.85分米。 考点讲练七 长方形的面积 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【答案】1400平方米 【思路引导】由图可知：长方形的长是60米，宽是40米，根据长方形面积＝长×宽，求出种植区的总面积，即A、B两种蔬菜的面积和；又已知A的面积比B多400平方米，即两者的面积差，根据和差问题中求大数的公式：大数＝（和＋差）÷2，即A的面积＝（和＋差）÷2，代入数值，即可求出A蔬菜的种植面积。 【完整解答】60×40＝2400（平方米） （2400＋400）÷2 ＝2800÷2 ＝1400（平方米） 答：A蔬菜种植了1400平方米。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）将下面的长方形框架拉成平行四边形，面积（    ）（填“变大”“变小”或“不变”），请说明判断理由（可用语言表述、画图……等方式）。 【答案】变小；理由见详解 【思路引导】长方形的面积＝长×宽；平行四边形的面积＝底×高。把长方形框架拉成平行四边形，底的长度不变，相当于平行四边形的底不变；而平行四边形的高相比长方形的宽变短了。由公式可知，底不变，高变短，面积就会变小。据此解答。 【完整解答】长方形框架拉成平行四边形，面积变小。 理由：长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高。把长方形框架拉成平行四边形，长方形的长的长度不变，相当于平行四边形的底不变；而平行四边形的高相比长方形的宽变短了，那么由公式可知，底不变，高比宽短，平行四边形的面积就比长方形的面积小，所以长方形框架拉成平行四边形，面积变小（图示如下）。 考点讲练八 正方形的面积 【典例精讲】在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】以正方形的边长为直径的圆是正方形里面最大的圆，假设出正方形的边长，根据“”和“”分别求出圆和正方形的面积，最后求出圆的面积除以正方形面积的商。 【完整解答】假设正方形的边长为1。 圆的面积： ＝ ＝ ＝ 正方形的面积：1×1＝1 ÷1＝ 这个圆的面积是正方形面积的。 【变式训练】（2025·福建宁德·小升初真题）如下图是由16个大小相等的小正方形组成的大正方形，大正方形的周长是32cm，涂色部分的面积是( )。 【答案】40 【思路引导】正方形周长＝边长×4，用32÷4，求出大正方形的边长；再用大正方形边长÷4，求出小正方形边长；涂色部分面积＝大正方形面积－4个底等于小正方形的边长，高等于3个小正方形边长的和的三角形面积，根据正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【完整解答】大正方形边长：32÷4＝8（cm） 小正方形边长：8÷4＝2（cm） 8×8－2×（2×3）÷2×4 ＝8×8－2×6÷2×4 ＝64－12÷2×4 ＝64－6×4 ＝64－24 ＝40（cm2） 涂色部分的面积是40cm2。 考点讲练九 平行四边形的认识与面积计算 【典例精讲】（2025·河南许昌·小升初真题）下图中每个小方格的边长表示1厘米，请你看清要求再完成下列题目。 （1）在上面的方格图中依次描出点A（3，5）、B（1，2）、C（3，2），连接AB、AC、BC，得到一个三角形，这个三角形的面积是（    ）平方厘米。 （2）将三角形绕C点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）在方格图中分别画一个面积为12平方厘米的等腰梯形和面积为8平方厘米的平行四边形。 【答案】（1）图见详解；3； （2）图见详解 （3）图见详解 【思路引导】（1）用数对表示位置，第一个数字表示列，第二个数字表示行。先确定三角形的底和高，再根据三角形面积公式计算。点A（3，5）、B（1，2）、C（3，2），BC的长度为3－1＝2厘米，AC的高度为5－2＝3厘米，三角形面积＝底×高÷2，用BC的长度乘AC的高度再除以2即可。 （2）根据旋转的性质，绕C点顺时针旋转90°，确定A、B点旋转后的位置，再连接各点。 （3）等腰梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积＝底×高，据此设计图形。据此解答 【完整解答】（1）2×3÷2＝3（平方厘米），所以这个三角形的面积是3平方厘米。 （2）绕C点顺时针旋转90°后，点A（3，5）旋转后的坐标为（6，2），点B（1，2）旋转后的坐标为（3，4），连接C（3，2）、（6，2）、（3，4）即可得到旋转后的图形。 （3）等腰梯形：设计上底4厘米，下底8厘米，高2厘米。验证：（4＋8）×2÷2＝12×2÷2＝24÷2＝12（平方厘米），在方格图中，先画下底8厘米（占8个方格的边长），再画上底4厘米（居中，与下底平行），然后连接上下底的端点，确保两腰长度相等。 平行四边形：设计底4厘米，高2厘米。验证：4×2＝8（平方厘米），在方格图中，画底4厘米，再画高2厘米（垂直于底），最后连接对边，确保对边平行且相等。 【变式训练】（2025·重庆梁平·小升初真题）一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是( )厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 【答案】 9 4 【思路引导】三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知三角形面积为36平方厘米，高是8厘米，把数据代入计算即可得出三角形的底。当平行四边形与三角形等底等积时，三角形的高是平行四边形高的2倍，所以用三角形的高除以2即可得出平行四边形的高。 【完整解答】36×2÷8＝9（厘米） 8÷2＝4（厘米） 一个三角形的底是9厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是4厘米。 考点讲练十 梯形的的认识与面积计算 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）下面正方形格的边长表示1厘米。 (1)画出按放大后的图形。 (2)先填空，再画出旋转后的图形。绕O点按（    ）方向旋转（    ）后，能与拼成一个长方形。 (3)如果、点不动，点移动到( )时，会变成一个等腰三角形。 (4)梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】(1)见详解 (2)逆；90；画图见详解 (3)（1，9） (4)14 【思路引导】（1）图形放大：按2∶1放大即各对应边长变为原来的2倍，形状不变。所有点坐标可通过网格直接读取。 （2）图形旋转：绕定点旋转时，旋转中心到各顶点距离不变，旋转角度决定图形位置；长方形的判定：四个角为直角且对边平行相等。观察△OAB与△OCD的位置关系，通过直角特征判断旋转方向与角度。 （3）等腰三角形判定：两边相等的三角形是等腰三角形。 （4）梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。直接读取梯形EFGH的上底、下底和高的格数，代入梯形面积公式计算即可。 【完整解答】（1）从图中可知，先确定△OAB各顶点坐标，点O（4，7）；点A（7，7）；点B（7，9），按2∶1放大，各顶点横、纵坐标与O点的差值乘2，即各对应边长变为原来的2倍： 新A点（10，7），新B点（10，11）。 在网格中连接O（4，7）、新A（10，7）、新B（10，11），即为放大后的三角形。如下图： （2）△OAB绕O点逆时针旋转90°后，OB与OC重合，AB与OD、OA与CD平行且相等，即可与△OCD 拼成一个长方形。 逆时针90°后点位的变化：A（7，7）→（4，10），B（7，9）→（2，10），连接O（4，7）、（4，10）、（2，10）。作图如下： （3）点（1，9）到O的长度等于OB的长度，满足OA＝OB，△OAB就是等腰三角形。 因此，如果、点不动，点移动到（1，9）时，会变成一个等腰三角形。（答案不唯一） （4）（3＋4）×4÷2 ＝7×4÷2 ＝28÷2 ＝14（平方厘米） 所以，梯形的面积是14平方厘米。 【变式训练】（2024·浙江宁波·小升初真题）如图长方形ABCD中，AB＝20厘米，AD＝6厘米。有一个点P沿着AB边从点A向点B移动。 ①当点P运动到点E时，∠A的度数是∠1的2倍，那么AE＝________厘米。 ②当点P运动到F点时，形成的△FAD的面积是24平方厘米。则AF＝________cm。 ③当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则梯形BCDG的面积是________cm2。 【答案】 6 8 75 【思路引导】①当点P运动到点E时，根据题意可知，∠A＝90°，则∠1＝90°÷2＝45°；三角形AED为等腰三角形，据此求出AE的长度。 ②当点P运动到F点时；根据三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，三角形AFD中，底是AF，高是AD，据此求出AF的长度。 ③当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则AG占AB的，用AB的长度×，即可求出AG的长度，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此解答。 【完整解答】①当点P运动到点E时，∠A＝90°。 ∠1＝90°÷2＝45° 三角形AED为当等腰三角形，AD＝AE＝6厘米。 当点P运动到点E时，∠A的度数是∠1的2倍，那么AE＝6厘米。 ②24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（厘米） 当点P运动到F点时，形成的△FAD的面积是24平方厘米。则AF＝8厘米； ③20× ＝20× ＝15（厘米） （20－15＋20）×6÷2 ＝（5＋20）×6÷2 ＝25×6÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则梯形BCDG的面积是75平方厘米。 考点讲练十一 三角形的内角和 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）在一个三角形中，三个内角度数的比是2∶3∶5，则最大的一个内角是( )°。 【答案】90 【思路引导】已知三角形的内角和是180°，三个内角度数的比是2∶3∶5，共2＋3＋5＝10份，用内角和180°除以总份数求出每份的度数，再用每份的度数乘5即可求出最大的内角度数。 【完整解答】2＋3＋5＝10 180°÷10×5 ＝18°×5 ＝90° 所以最大的一个内角是90°。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）小清同学拿到一块漂亮的三角板模块，经过测量，他发现三个内角之比为2∶3∶4，相信聪明的你一定判断出了该三角形的形状，那就是______。 【答案】 锐角三角形 【思路引导】首先明确三角形内角和为180°，题目给出三个内角之比为，需要先通过比例分配的方法求出每个内角的具体度数，再根据锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（有一个角为90°）、钝角三角形（有一个角大于90°）的定义，判断三角形的形状。    【完整解答】2＋3＋4＝9 三个角分别为40°、60°、80°，均小于90°，因此该三角形是锐角三角形。 考点讲练十二 多边形的内角和 【典例精讲】（2024·甘肃兰州·小升初真题）下面运用了“转化”的数学思想的是（    ）。 ①求内角和 ②求面积 ③求体积 ④小数乘法 A．①②③ B．①③④ C．①②③④ 【答案】C 【思路引导】①根据求多边形内角和的方法，通过“转化”把多边形分成若干个三角形，三角形的内角和是180°，由三角形的内角和即可求出多边形的内角和。 ②根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均若干份，沿半径剪开再拼成一个近似长方形，虽然形状变了但是面积不变，根据长方形的面积公式推出出圆的面积公式。 ③根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱剪拼成一个近似长方体，虽然形状变了，但是体积不变，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 ④根据小数乘法的计算法则，先按照整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点。据此解答。 【完整解答】由分析得： ①求多边形的内角和运用了“转化”的思想； ②圆面积公式的推导运用了“转化”的思想； ③圆柱体积公式的推导运用了“转化”的思想； ④小数乘法的计算过程运用了“转化”的思想。 故答案为：C 【变式训练】（2024·河北保定·小升初真题）如图中，沿虚线剪下长方形的一个角，剩余部分图形的内角和是360°。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】观察图形，当沿着长方形的虚线剪去一个角后，剩余部分的图形是一个四边形；根据多边形的内角和公式180°×（n－2）（其中n表示多边形的边数）计算出四边形的内角和。 【完整解答】180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 因此题干中的结果是正确的。 故答案为：√ 考点讲练十三 三角形的周长 40．（2025·四川凉山·小升初真题）等腰三角形的两边长分别是4cm和2cm，则这个三角形的周长是（    ）。 A．10cm B．8cm C．6cm D．10cm或8cm 【答案】A 【思路引导】根据等腰三角形的性质，当腰长是2cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2＋2＝4cm不满足三角形的三边关系；当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，4＋2＝6cm＞4cm，能构成三角形，据此求出三角形的周长即可。 【完整解答】根据等腰三角形的性质得，三角形的腰长是4cm，底是2cm。 4＋4＋2 ＝8＋2 ＝10（cm） 故答案为：A 【变式训练】（2025·江苏淮安·小升初真题）如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 (1)∠1＝________°，∠2＝________°。 (2)通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是________三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。 (3)如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝________°。 【答案】(1) 30 60 (2) 等边 15 (3)240 【思路引导】（1）根据图形折叠，可知最后剪下来的是等边三角形，等边三角形的每个内角都是60度，即∠2＝60°，根据折叠性质即可求出∠1＝60°÷2＝30°； （2）根据等边三角形的性质可知，三边相等，都等于正方形边长，根据封闭图形一周的长度即为周长，据此即可求出三角形的周长； （3）根据等边三角形的性质可知三个内角都是60°，而四边形的内角和是360°，据此即可求出∠3和∠4的度数和。据此解答。 【完整解答】（1）∠2＝60°。∠1＝60°÷2＝30° 所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5×3＝15（厘米） 通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是等边三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是15厘米。 （3）∠3＋∠4＝360°－60°－60°＝240° 即剩下的四边形中，∠3＋∠4＝240°。 考点讲练十四 三角形的面积 【典例精讲】（2025·河南商丘·小升初真题）梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据两个平行线之间的距离相等，且在梯形ABCD中，即三角形ADE和三角形ABE的高相等，三角形的面积是三角形面积的2倍，则，根据三角形的面积＝底×高×可以得出这两个三角形的底相等，即AD＝4。 EC＝5，则BC＝BE＋EC＝7，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高×，列出方程，得出梯形的高是。则三角形DEC的面积＝EC×高×，代入数据计算即可。 【完整解答】根据题意假设高为h。 因为， 即 则 因为，则 三角形DEC的面积 故答案为：A 【变式训练】（2025·四川绵阳·小升初真题）一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，直角三角形的面积为( )平方厘米。 【答案】30 【思路引导】三角形的面积＝底×高÷2。根据题意分析，这是个直角三角形，那么短的两条边就是直角边，两条直角边互为三角形的底和高。根据三角形的面积公式即可解答。 【完整解答】5×12÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 所以直角三角形的面积是30平方厘米。 考点讲练十五 圆的周长及应用 【典例精讲】（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，把一个圆平均分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。已知长方形的长是6.28dm，原来这个圆的面积是( )dm2。 【答案】12.56 【思路引导】由题意可知，长方形的长等于原来圆的周长的一半，所以圆的周长＝长方形的长×2，根据圆的周长C＝2πr，推出r＝C÷2π，进而根据圆的面积S＝πr2，求出圆的面积，据此解答。 【完整解答】圆的周长：6.28×2＝12.56（dm） 圆的半径：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（dm） 圆的面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm²） 原来这个圆的面积是12.56dm²。 【变式训练】（2025·广东湛江·小升初真题）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等，即C＝h。根据圆的周长公式C＝2r，进而得出圆柱的底面半径与高的比。 【完整解答】由一个圆柱的侧面展开图是正方形，可得出：C＝h； r∶h＝ r∶C＝ r∶2r＝（r÷r）∶（2r÷r）＝1∶2 所以这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2。 故答案为：D 考点讲练十六 圆的面积及应用 【典例精讲】（2025·广西梧州·小升初真题）下列图形中，空白部分与阴影部分的周长和面积都相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】图A阴影部分与空白部分面积都等于圆面积的一半，周长为圆周长的一半加上同一条曲线的长度； 图B、图D空白部分与阴影部分都分别为两个三角形，三角形面积＝底×高÷2，若等底等高，面积一定相等，三角形周长等于三边长度之和，据此判断； 图C阴影部分为一个扇形，面积等于圆面积除以4，扇形的半径等于正方形的边长，可假设正方形边长为，根据，再除以4表示阴影部分面积，空白部分面积等于正方形面积减去阴影部分面积，周长都是两条边长加上同样的弧的长度。 【完整解答】图中阴影部分与空白部分面积都为圆面积的一半，周长为圆周长的一半加上同一条曲线的长度，所以周长和面积都相等； 图中阴影部分和空白部分为两个三角形，两个三角形高相等，题目中没有说明与是否相等，所以不确定面积是否相等，周长不相等； 假设图中正方形边长为，图中阴影部分面积等于，空白部分面积等于，面积不相等，周长都为，也就是,周长相等； 图中空白部分与阴影部分为两个三角形，底不相等，高相等，面积不相等，周长也不相等。 【变式训练】（2025·湖南邵阳·小升初真题）下面每个小方格的边长都是1厘米。 （1）把图形1绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形，旋转后，A点的位置用数对表示是（    ）。 （2）按1∶2的比画出图形2缩小后的图形，缩小后图形的面积是原来的（    ）。 （3）在图形3中画出一个最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）图见详解；（3，5） （2）图见详解； （3）图见详解；12.56 【思路引导】（1）根据旋转的特征，将图形①绕B点顺时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形；用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行； （2）图形②按1：2缩小，则原来图形②的长、宽都要除以2，则是缩小后长方形的长、宽，据此画出缩小后的图形。根据长方形的面积＝长×宽，分别求出缩小前后长方形的面积，再用缩小后长方形的面积除以原来长方形的面积即可； （3）图形③是边长4厘米的正方形，在图形③中画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长；连接正方形的两条对角线，交于一点，以此交点为圆心，以正方形边长的一半为圆的半径，即可画出这个圆。根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出所画圆的面积。 【完整解答】 （1）旋转后如上图，A点的位置用数对表示是（3，5）。 （2）缩小后长方形的长：4÷2＝2（厘米） 缩小后长方形的宽：2÷2＝1（厘米） 缩小后长方形的长是2厘米、宽是1厘米，如上图。 （2×1）÷（4×2） ＝2÷8 ＝ 缩小后图形的面积是原来的。 （3）在图形③中画一个最大的圆，如上图。 3.14×（4÷2）2 ＝ 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 这个圆的面积是12.56平方厘米。 考点讲练十七 圆环的面积 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【答案】12.56平方米；15.7平方米 【思路引导】2秒后波纹为一个半径为（1×2＝2）米的圆的面积，根据圆的面积＝即可求出2秒后波纹的面积； 一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹为半径为（1×3＝3）米的圆，第二个波纹为半径为（1×2）米的圆，用第一个波纹产生的圆的面积减去第二个波纹产生的圆的面积即可求出产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米。 【完整解答】3.14×（1×2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×（1×3）2－3.14×（1×2）2 ＝3.14×32－3.14×22 ＝3.14×9－3.14×4 ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方米） 答：2秒后波纹的面积是12.56平方米；产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大15.7平方米。 【变式训练】（2025·广东湛江·小升初真题）一台圆柱体扫地机器人底面直径6dm，一座美术馆大厅柱子直径14dm，这台机器人绕着柱子清扫一圈，则机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是28.26dm2。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】机器人绕柱子清扫一圈，走过的路径是一个圆的周长，把圆柱体底面看作是一个内圆，机器人绕柱子一圈看作是一个外圆，则扫地机器人扫过的面积看作是圆环面积。 圆柱体底面直径是14dm，则半径（内圆半径）为14÷2＝7dm，扫地机器人底面直径6dm，所以外圆的直径为14＋6＝20dm，即半径（外圆半径）为20÷2＝10dm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d为直径），圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（R为外圆半径，r为内圆半径），把数据代入计算后再判断即可。 【完整解答】14÷2＝7（dm） 14＋6＝20（dm） 20÷2＝10（dm） 3.14×20＝62.8（dm） 3.14×（102－72） ＝3.14×（100－49） ＝3.14×51 ＝160.14（dm2） 机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是160.14dm2，原说法错误。 故答案为：× 考点讲练十八 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【答案】（1）相等；原因见详解 （2）①； 【思路引导】（1）图①：两个半圆的面积和等于直径是2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出阴影部分面积。 图②：四个空白面积加起来是一个直径2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米的圆的面积，据此求出阴影部分面积。 图③：三个空白面积加起来就是直径2分米的圆的面积，阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积，据此求出阴影部分面积，再进行比较，即可解答。 （2）选择图①（选法不唯一），用阴影部分的面积÷正方形面积，即可解答。 【完整解答】（1）图①： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图②： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图③： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 0.86＝0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 答：阴影部分的面积相等，因为计算的阴影部分的面积结果相同。 （2）0.86÷（2×2） ＝0.86÷4 ＝ 我选择第①图，计算出阴影面积占正方形面积的。（选择的图答案不唯一） 【变式训练】（2025·河南焦作·小升初真题）在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8cm2，那么这个圆的面积是( )cm2。 【答案】6.28 【思路引导】在正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。已知正方形的面积为8cm2，根据正方形面积公式S＝a2（a为边长），可得（2r）2＝8，即4r2＝8，两边同时除以4，解得r2＝2。根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），将r2＝2代入计算即可。 【完整解答】解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。 （2r）2＝8 4r2＝8 r2＝8÷4 r2＝2 3.14×2＝6.28（cm2） 圆的面积是6.28cm2。 考点讲练十九 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【典例精讲】（2025·广东湛江·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】2.86cm2 【思路引导】由图可知，直角梯形的上底为2cm，下底为4cm，高是圆的半径，为2cm，梯形内的空白部分是圆；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝πr2，代入数值求出直角梯形的面积和圆的面积，用直角梯形的面积减去圆的面积，即可求出阴影部分的面积。 【完整解答】（2＋4）×2÷2 ＝6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 3.14×22× ＝12.56× ＝3.14（cm2） 6－3.14＝2.86（cm2） 图中阴影部分的面积是2.86cm2。 【变式训练】（2025·江西上饶·小升初真题）小军喜欢剪纸，他在边长为8cm的正方形纸片上剪了个造型，如图，阴影部分的周长是（    ）。 A．16π＋4 B．16（π＋2） C．8（π＋4） 【答案】C 【思路引导】根据图示，阴影部分的周长等于直径是8厘米的圆的周长，外加正方形的周长组成。 【完整解答】直径是8厘米的圆的周长为：πd＝8π 正方形的周长为：84 阴影部分的周长为：8π＋84＝8（π＋4） 故答案选：C。 考点讲练二十 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（2025·吉林长春·小升初真题）已知：线段AB＝40cm。 （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以3厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以5厘米/秒运动，问经过几秒后P、Q相遇？ （2）几秒钟后，P、Q相距16cm？ （3）如图2，AO＝PO＝8厘米，∠POB＝40°，点P绕着点O以20度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点Q沿直线AB，自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度。 【答案】（1）5秒 （2）3秒或7秒 （3）12厘米/秒或厘米/秒 【思路引导】（1）先用点P的速度加上点Q的速度，算出两个点的速度和。再根据路程÷速度和＝时间，算出两点相遇时间。 （2）P、Q相距16厘米存在两种情况。第一种是两点没相遇，差16厘米。这时两点已经走的路程是（40－16）厘米。第二种是两点相遇之后，又继续走了16厘米。这时两点已经走的路程是（40＋16）厘米。最后根据路程÷速度和＝时间，算出时间。 （3）根据题意，点P，Q只能在线段AB上相遇。用40°除以20°和（180°＋40°）除以20°算出点P落在AB上的时间。也就是Q在线段AB上运动的时间。而点Q两次走的路程分别是（40－2×8）和40。最后根据路程÷时间＝速度。算出点Q两种情况的速度即可。 【完整解答】（1）40÷（3＋5） ＝40÷8 ＝5（秒） 答：经过5秒后P、Q相遇。 （2）（40－16）÷（3＋5） ＝24÷8 ＝3（秒） （40＋16）÷（3＋5） ＝56÷8 ＝7（秒） 答：3秒或7秒后，P、Q两点相距16厘米。 （3）点P，Q只能在线段AB上相遇 一、点P旋转到线段AB上的时间为40°÷20°＝2（秒） （40－8×2） ＝（40－16）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米/秒） 二、点P旋转到线段AB上的时间为 （40°＋180°）÷20° ＝220°÷20° ＝11（秒） 40÷11（厘米/秒） 答：点Q的速度为12厘米/秒或厘米/秒。 【变式训练】（2025·重庆綦江·小升初真题）长10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），总共要用多少纸？ 【答案】122.8平方厘米 【思路引导】如图所示，下图为捆成捆后的截面图，由图可知，需要的纸张是个长方形。其长为三段等弧长再加3个圆的直径，宽为圆柱的长。每段弧所对应的圆心角是360°－（60°＋2×90°）＝360°－（60°＋180°）＝360°－240°＝120°，那么这段弧的长度是圆的周长的，因为，所以三段弧长就是一个圆的周长，据此先求出长方形的长，再求出纸张的面积即可解答。 【完整解答】（2×3＋3.14×2）×10 ＝（6＋6.28）×10 ＝12.28×10 ＝122.8（平方厘米） 答：总共要用122.8平方厘米的纸。 考点讲练二十一 扇形的周长和面积 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图中的正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300m2。草坪的面积是（    ）m2。 A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】看图可知，正方形的边长＝圆的半径，根据正方形面积＝边长×边长，可知这个正方形的面积＝半径的平方，草坪的面积是圆面积的，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积×＝草坪的面积，列式计算即可。 【完整解答】π×300×＝225π（平方米） 草坪的面积是225π平方米。 故答案为：B 【变式训练】（2025·四川遂宁·小升初真题）如图所示，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。 【答案】40.26 【思路引导】连接BD，AE，则阴影部分的面积＝三角形ABD的面积＋扇形EBD的面积－三角形EBD的面积，所以根据等底等高的三角形的面积相等，得出三角形ABD的面积等于三角形ABE的面积，扇形EBD的面积即为半径为6的圆面积的，进而根据三角形的面积公式与圆的面积公式解决问题。 【完整解答】如图连接BD，AE， 因为三角形ABD与三角形AEB等底等高，所以三角形ABD的面积是： 10×6÷2 ＝60÷2 ＝30 三角形BED的面积是： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18 扇形EBD的面积是： ×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝28.26 阴影部分的面积： 30＋28.26－18 ＝58.26－18 ＝40.26 阴影部分的面积是40.26。 考点讲练二十二 画圆及扇形 【典例精讲】（2025·北京丰台·小升初真题）（1）三角形ABC，顶点C的位置是（1，5）。先画出三角形ABC，再画出把它按2∶1放大后的三角A'B'C'。 （2）以B'为圆心，在三角形A'B'C'内，画出一个最大的扇形。 （3）如果每个小方格的边长表示1厘米，画出的扇形面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）14.13 【思路引导】（1）根据数对表示的位置先列后行，找点描线；三角形按2∶1放大，即将这个三角形的底和高同时扩大2倍； （2）三角形是等腰直角三角形，扇形的圆心角是45°，以边A'B'为扇形的半径画图即可； （3）45°的圆心角是360°的，利用圆的面积＝，求出半径为6厘米圆的面积，再乘即可。 【完整解答】（1）（2）如图： （2）45°÷360°＝ 3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝14.13（平方厘米） 即画出的扇形面积是14.13平方厘米。 【变式训练】（2025·湖北武汉·小升初真题）①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在这个圆上。 【答案】见详解 【思路引导】①根据图形旋转的性质，以点A为旋转中心，将三角形ABC的各边按逆时针方向旋转90°。先确定点B、C绕点A逆时针旋转90°后的位置，再连接各点得到旋转后的图形。 ②根据图形放大的性质，将三角形ABC的各边长度扩大到原来的2倍。AB的长度原来占3格，放大后的长度占6格，AC的长度原来占2格，放大后的长度占4格。先确定点B、C放大后的位置，再连接各点得到放大后的图形 ③观察可知D、E、F和G连接后是一个正方形，以正方形对角线的交点为圆心，以正方形对角线的一半为半径画一个圆即可。 【完整解答】根据分析，作图如下： 考点讲练二十三 含多边形的组合图形的面积 60．（2024·河南郑州·小升初真题）如图所示，两个正方形重叠摆放后，这两个阴影部分的周长和是80厘米，它们的面积相差80平方厘米，那么这两个正方形面积和是（    ）平方厘米。 A．160 B．208 C．200 D．216 【答案】B 【思路引导】根据题意：可设大正方形的边长为a厘米，小正方形的边长为b厘米，根据题意可得：4a＋4b＝80，可得出a＋b＝20，即a和b的和为20，且根据面积a2－b2＝80，可得到两个正方形的面积的个位上的数相等，据此可列举得出答案。 【完整解答】解：设大正方形的边长为a厘米，小正方形的边长为b厘米，根据题意可得： 4a＋4b＝80 a＋b＝80÷4＝20，即a＝20－b，则满足条件的整数数组有：19和1、18和2、17和3、16和4、15和5、14和6、13和7、12和8、11和9。又因为a2－b2＝80，则边长的平方的个位数相同，可得到17和3、16和4、15和5、14和6、12和8、11和9符合。 依次计算：17和3、16和4、15和5、14和6的面积相差过大，只有12和8，即面积差： 12×12－8×8 ＝144－64 ＝80（平方厘米） 即大正方形边长是12厘米，小正方形边长是8厘米。面积之和为： 12×12＋8×8 ＝144＋64 ＝208（平方厘米）。 故答案为：B 【变式训练】（2024·福建泉州·小升初真题）如图，已知空白部分的面积是28cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】20 【思路引导】 如图：，两个空白三角形高相等，可以把两个空白三角形合并为一个底是14cm，面积是28cm2的三角形，可知三角形的高＝面积×2÷底，据此求出三角形的高，同理把三个阴影部分合并成一个底是10cm的三角形，高与空白三角形的高相等，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【完整解答】28×2÷14 ＝56÷14 ＝4（cm） 10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（cm2） 阴影部分的面积是20 cm2。 考点讲练二十四 利用平移巧算周长与面积 【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）求图中阴影部分的面积。 【答案】32.5 【思路引导】 通过分割平移，连接AE将阴影部分①移动到位置②，则阴影部分面积①和③的和可以转化②和③的和即为梯形ABED的面积即可。 【完整解答】 即阴影图形面积为32.5。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）计算阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 【答案】24平方厘米 【思路引导】观察图形，可将右侧的阴影部分割补到左侧，这样阴影部分组成的图形就是一个梯形。因为半圆的半径为4厘米，所以梯形的高为4厘米，梯形的上底为8－4＝4厘米，下底为8厘米。根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把数据代入计算即可。 【完整解答】将右侧的阴影部分割补到左侧，阴影部分组成的图形就是一个梯形。 8－4＝4（厘米） （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 阴影部分的面积是24平方厘米。 考点讲练二十五 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（2025·江西南昌·小升初真题）如图，这个正方形的边长为6厘米，则这个涂了阴影的叶片图形的面积是( )平方厘米。 【答案】20.52 【思路引导】 如图所示，连接正方形的对角线，阴影部分被平均分成两部分，每部分阴影部分的面积等于以6厘米为半径圆面积的减去等腰直角三角形的面积，最后乘2求出整个阴影部分的面积，据此解答。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝20.52（平方厘米） 所以，这个涂了阴影的叶片图形的面积是20.52平方厘米。 【变式训练】（2025·河北石家庄·小升初真题）两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 【答案】32 【思路引导】先将原图拼在一起的两个正方形补全成一个大长方形，如下图： 求阴影部分的面积就是用大长方形的面积减去①②③的3个空白三角形面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【完整解答】大长方形的面积： 三角形①的面积： 三角形②的面积： 三角形③的面积： 阴影部分的面积： 阴影部分的面积32。 1．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，阴影的一段边缘是半径为6厘米的圆弧，阴影部分的面积等于（    ）平方厘米。（取π＝3.14，精确至0.01平方厘米） A．36.46 B．48 C．20.6 D．40.26 【答案】D 【思路引导】如图，阴影部分的面积＝大三角形的面积－右下角小空白的面积。大三角形的两条直角边分别是（10＋6）厘米和6厘米。三角形的面积＝底×高÷2，代入计算即可。小空白的面积＝正方形的面积－圆的面积。正方形的边长6厘米，圆的半径6厘米。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入计算即可。 【完整解答】6×6－×3.14×62 ＝36－×3.14×36 ＝36－3.14××36 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） （10＋6）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） 48－7.74＝40.26（平方厘米） 2．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 【答案】C 【思路引导】圆柱侧面展开为正方形，说明圆柱的高等于底面周长。底面周长公式为C＝πd，因此高h＝πd，进而推导底面直径与高的比。 【完整解答】一个圆柱的侧面展开后是正方形，则πd＝h。 d∶h＝d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π 这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 3．要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．12.56 B．16 C．20 【答案】B 【思路引导】要剪出面积为12.56平方厘米的圆形纸片，所需最小正方形的边长等于该圆形的直径。先根据圆的面积公式求出圆的半径，再计算圆的直径，也就是正方形的边长，最后根据正方形的面积公式计算出正方形的面积。 【完整解答】已知圆的面积为12.56平方厘米 r2＝12.56÷3.14＝4（平方厘米） r＝2厘米 圆的直径：2×2＝4（厘米） 正方形面积：4×4＝16（平方厘米） 4．（2025·湖南长沙·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【思路引导】设原三角形的面积是S，折叠后重合部分的面积是x。折叠后的多边形面积＝原三角形面积－重合部分面积，即S－x。已知多边形的面积是原三角形面积的，因此S－x＝S，可以推出x＝S－S＝S。图2中阴影部分的面积＝多边形面积－重合部分面积，即S－x。代入x＝S，得阴影面积是S－S＝S。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用15除以即可求出原三角形的面积，据此解答。 【完整解答】15÷[－（1－）] ＝15÷[－] ＝15÷ ＝15× ＝27（平方厘米） 原三角形的面积是27平方厘米。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查图形折叠的性质和分数除法的应用。明确折叠后重合部分的面积是原三角形面积与折叠后多边形的面积差，是解题的关键。 5．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 【答案】 45 锐角 等边 【思路引导】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠C＝60°，AB＝BC，等腰三角形的两个底角相等，所以∠C＝∠A＝60°，三角形的另一个角就是180°减去60°，再减去60°等于60°；三个角均小于90°的三角形是锐角三角形；用180°减去75°和60°得到∠1的度数，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。 【完整解答】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠1＝180°－60°－75° ＝120°－75° ＝45° ∠1＝45°，三角形ABC按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）一张长方形纸，长是8分米，宽是5分米，剪去一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是________分米。 【答案】16 【思路引导】原长方形长8分米、宽5分米，剪去最大正方形的边长为5分米（等于原长方形的宽），则剩下小长方形的长为5分米，宽为（8－5）分米。根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算出小长方形的周长。 【完整解答】8－5＝3（分米） （5＋3）×2 ＝8×2 ＝16（分米） 7．（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 【答案】3.6// 【思路引导】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相等，平行四边形高＝面积÷底。 【完整解答】平行四边形面积＝三角形面积＝21.6cm²，平行四边形底＝三角形的底＝6cm，则平行四边形高为： 21.6÷6＝3.6（cm） 8．（2025·四川绵阳·小升初真题）两个面积相等的三角形，一定是等底等高的。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据“三角形面积＝底×高÷2”可知两个三角形面积相等，说明它们的底与高的乘积相等，但底和高的大小关系不确定，可能一个底大高小，另一个底小高大，因此不一定有相等的底和高。 【完整解答】两个三角形的面积相等，只能说明底与高的乘积相等，但底和高不一定相等。 例如，一个三角形的底是4厘米，高是3厘米。 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 另一个三角形的底是6厘米，高是2厘米。 6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 它们的面积相等，但底和高不相等。因此，原题说法错误。 故答案为：× 9．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。一个三角形中至少有两个锐角。已知最小角为46°，则其余两个角均不小于46°。计算最大角的最小可能值：当其余两个角均为46°时，求出第三个角的度数，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此判断。 【完整解答】设三角形的最小角为46°。根据三角形内角和为180°，其余两个角的和为134°。由于最小角为46°，其余两个角均不小于46°。因此，最大角的最大可能值为当其中一个角取最小值46°时，另一个角为134°－46°＝88°。88°＜90°，所以最大角小于90°。最小角46°＞0°，且所有角均小于90°，因此这个三角形一定是锐角三角形。 原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，求阴影部分的面积。 【答案】10.26平方厘米 【思路引导】 图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分通过割补，使其变成规则图形。如图所示：，阴影部分的面积＝扇形的面积－三角形的面积。由图可知，扇形是一个直角扇形，半径为6厘米，即扇形的面积是半径为6厘米的圆面积的，三角形的底和高都是6厘米，据此根据圆的面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2计算即可解答。 【完整解答】3.14×62×－6×6÷2 ＝3.14×36×－6×6÷2 ＝113.04×－36÷2 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 【答案】18.24平方厘米 【思路引导】要计算阴影部分的面积，我们可以通过图形的割补与组合，将阴影部分转化为“半圆面积 ＋ 扇形面积 － 三角形面积”来求解。 【完整解答】半圆的面积为： 扇形的面积为： 三角形的面积为： 阴影部分面积为： 25.12＋25.12－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 所以阴影面积为18.24平方厘米。 【考点剖析】本题要先理清楚阴影部分可以由哪几个图形通过组合而成。 12．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径都为，小圆半径都为，且。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作简要说明） 【答案】问号的油漆用得多 【思路引导】由图可知，句号的涂色部分是大圆挖去小圆，面积用大圆面积减去小圆面积；逗号的涂色部分是大圆的一半，面积用大圆面积除以2；问号的涂色部分是大圆的环形（大圆减小圆）加上一个小圆，面积用的环形面积加上小圆面积。根据圆的面积公式S＝πr2，结合题目中R＝2r的条件，将半径代入分别求出三个标点的涂色面积，最后对比三个面积的大小，即可判断出哪个标点用的油漆更多。 【完整解答】句号的面积：π（R2－r2） ＝π[（2r）2－r2）] ＝π[4r2－r2] ＝π×3r2 ＝3πr2 逗号的面积：π×R2÷2 ＝π×（2r）2÷2 ＝π×4r2÷2 ＝4πr2÷2 ＝2πr2 问号的面积：π（R2－r2）＋πr2 ＝π[（2r）2－r2）]＋πr2 ＝π[4r2－r2]＋πr2 ＝π×3r2＋πr2 ＝πr2＋πr2 ＝πr2 πr2＞3πr2＞2πr2 答：问号的油漆用得多。 13．（2025·河南商丘·小升初真题）图形与操作。 (1)按要求在图中画一画。 (2)计算变化后图形中阴影部分的面积。 (3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 【答案】(1)见详解 (2)8平方厘米 (3)20.56厘米 【思路引导】（1）先确定旋转中心为O点，根据阴影①绕O点逆时针旋转90°，阴影②绕O点顺时针旋转90°的方向和度数，画出旋转后的图形。 （2）变化后阴影部分的面积是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是正方形的边长，根据三角形的面积公式可计算出阴影部分面积。 （3）原图中阴影部分的周长是一个直径为4cm的圆的周长，依据圆的周长公式为计算出圆的周长，最后加上两条4厘米的线段长度得到阴影部分的周长。 【完整解答】（1）见下图 （2）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 所以，变化后图形中阴影部分的面积8平方厘米。 （3）3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 原图中阴影部分的周长是20.56厘米。 【考点剖析】关键点是知道并发现将①和②通过旋转后阴影部分的面积变成一个等腰直角三角形。 14．（2025·浙江温州·小升初真题）有一个边长为15厘米的等边三角形，现将它按下图所示滚动。请问：B点从开始到结束经过的路线的总长是多少厘米？（π取3.14） 【答案】62.8厘米 【思路引导】等边三角形的每个内角都是60°。从下图可知，点B每滚动一次的运行轨迹是一个半径为15厘米，圆心角为180°－60°＝120°的扇形弧长。 根据扇形弧长的公式C扇＝×2πr（n为圆心角的度数），代入数据计算，求出点B每滚动一次经过的路程；图中点B一共滚动了2次，据此求出点B从开始到结束经过的路程的总长度。 【完整解答】如下图： 180°－60°＝120° ×2×3.14×15 ＝×2×3.14×15 ＝31.4（厘米） 31.4×2＝62.8（厘米） 答：B点从开始到结束经过的路线的总长是62.8厘米。 【考点剖析】关键是确定点B滚动时的轨迹是扇形的弧长，找出这个扇形的圆心、半径和圆心角，再运用扇形弧长公式计算。 15．（2025·北京·小升初真题）如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） 【答案】16014 【思路引导】利用圆的面积公式S＝πr2，通过大圆面积减去相邻小圆面积，再交替相加的方法计算涂色部分面积。 【完整解答】3.14×802－3.14×402＋3.14×202－3.14×102 ＝3.14×6400－3.14×1600＋3.14×400－3.14×100 ＝3.14×（6400－1600＋400－100） ＝3.14×5100 ＝16014 答：阴影部分的面积是16014。 【考点剖析】本题解题的核心思路是利用圆的面积公式，结合“交替加减相邻圆面积”的策略，将不规则阴影部分转化为多个圆面积的组合运算。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第七讲 平面图形『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+25个考点讲练讲练+能力提升练 共65题】 ［原卷版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点讲练与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 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重点是熟记各类平面图形的周长、面积公式，能熟练进行公式变形与直接计算；难点是组合图形的面积拆解与转化（如割补法、和差法）、圆与扇形面积的灵活应用、图形变换后的位置与大小判断、以及结合实际场景（如铺地砖、围篱笆）的综合应用。 预测三：考察方向 以填空、选择、计算和操作题为主，常结合生活实物、几何直观图、图案设计等场景考查；侧重图形特征的灵活运用、面积计算的准确性、动手操作与空间想象能力，注重考查转化思想和解题策略的多样性。 预测四：预测难度 整体以基础题、中档题为主，占比约90%，侧重基础图形面积计算、周长公式的直接应用、简单图形变换；难题占比约10%，通常为组合图形面积计算、图形变换综合题、以及结合几何知识的实际应用压轴题，侧重解题思路的转化与空间想象能力，整体难度适中，强调基础扎实与方法灵活。 知识点梳理一 线和角的认识 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点梳理二 三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 知识点梳理三 四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 知识点梳理四 圆的认识 1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。  2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。 知识点梳理五 圆的周长和面积 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点梳理六 组合图形的面积 1.求组合图形面积的方法。 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 知识点梳理七 三角形的认识与测量 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点梳理八 四边形的认识与测量 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 考点讲练一 平面图形的认识及分类 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）图中一共有( )个平行四边形。 【变式训练】（2024·浙江温州·小升初真题）小学阶段学了很多有密切联系的知识，如图中的M、N可能是（    ）。 ①M是平行四边形，N是长方形。 ②M是分数，N是真分数。 ③M是等腰三角形，N是等边三角形。 ④M是奇数，N是质数。 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①② 考点讲练二 直线、射线、线段 【典例精讲】图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【变式训练】下面说法中，正确的有（    ）。 ①一条直线长度是一条射线的2倍。 ②圆柱的体积一定，底面积与高成反比例。 ③∶和6∶4可以组成比例。 A．①和② B．①和③ C．②和③ 考点讲练三 平行与垂直的特征、性质 【典例精讲】（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）下面各句描述中，你认为正确的是（    ）。 A．甲比乙多，也就是甲是乙的 B．同一平面内两条直线的位置关系分为垂直和平行两类 C．同一款商品“买2送1”和“打对折”的优惠力度一样 D．正方体的体积和表面积成正比例关系 考点讲练四 角的计算 【典例精讲】（2025·重庆綦江·小升初真题）晚上9：30时，钟面上的时针和分针形成的角是（    ）。 A．钝角 B．直角 C．锐角 D．不能确定 【变式训练】（2024·湖北武汉·小升初真题）如图，长方形折起一个角，已知∠1＝100°，则∠2＝（    ）。 A．40° B．50° C．60° D．30° 考点讲练五 长方形的周长 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图（单位：厘米），其中一个圆的周长是( )厘米；长方形的周长是( )厘米。 【变式训练】（2025·四川绵阳·小升初真题）一个长为66厘米，宽为22厘米的长方形纸片上，剪下一个最大的正方形，剩下的长方形的周长是( )厘米。 考点讲练六 正方形的周长 【典例精讲】（2025·浙江宁波·小升初真题）下列说法中不正确的选项是（    ）。 A．两个合数也有可能互质。 B．如果，则和的最大公因数是4。 C．一个数的最大因数等于它的最小倍数。 D．正方形的边长是质数，它的周长一定是合数。 【变式训练】（2025·河南焦作·小升初真题）用一根铁丝围成一个圆，半径正好是5分米，如果把这根铁丝改围成一个正方形，它的边长是( )分米。 考点讲练七 长方形的面积 【典例精讲】（2025·福建宁德·小升初真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）将下面的长方形框架拉成平行四边形，面积（    ）（填“变大”“变小”或“不变”），请说明判断理由（可用语言表述、画图……等方式）。 考点讲练八 正方形的面积 【典例精讲】在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（2025·福建宁德·小升初真题）如下图是由16个大小相等的小正方形组成的大正方形，大正方形的周长是32cm，涂色部分的面积是( )。 考点讲练九 平行四边形的认识与面积计算 【典例精讲】（2025·河南许昌·小升初真题）下图中每个小方格的边长表示1厘米，请你看清要求再完成下列题目。 （1）在上面的方格图中依次描出点A（3，5）、B（1，2）、C（3，2），连接AB、AC、BC，得到一个三角形，这个三角形的面积是（    ）平方厘米。 （2）将三角形绕C点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）在方格图中分别画一个面积为12平方厘米的等腰梯形和面积为8平方厘米的平行四边形。 【变式训练】（2025·重庆梁平·小升初真题）一个三角形的面积是36平方厘米，高是8厘米，它的底是( )厘米；与这个三角形等底等积的平行四边形的高是( )厘米。 考点讲练十 梯形的的认识与面积计算 【典例精讲】（2025·甘肃兰州·小升初真题）下面正方形格的边长表示1厘米。 (1)画出按放大后的图形。 (2)先填空，再画出旋转后的图形。绕O点按（    ）方向旋转（    ）后，能与拼成一个长方形。 (3)如果、点不动，点移动到( )时，会变成一个等腰三角形。 (4)梯形的面积是( )平方厘米。 【变式训练】（2024·浙江宁波·小升初真题）如图长方形ABCD中，AB＝20厘米，AD＝6厘米。有一个点P沿着AB边从点A向点B移动。 ①当点P运动到点E时，∠A的度数是∠1的2倍，那么AE＝________厘米。 ②当点P运动到F点时，形成的△FAD的面积是24平方厘米。则AF＝________cm。 ③当点P继续运动到点G时，AG∶BG＝3∶1，则梯形BCDG的面积是________cm2。 考点讲练十一 三角形的内角和 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）在一个三角形中，三个内角度数的比是2∶3∶5，则最大的一个内角是( )°。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）小清同学拿到一块漂亮的三角板模块，经过测量，他发现三个内角之比为2∶3∶4，相信聪明的你一定判断出了该三角形的形状，那就是______。 考点讲练十二 多边形的内角和 【典例精讲】（2024·甘肃兰州·小升初真题）下面运用了“转化”的数学思想的是（    ）。 ①求内角和 ②求面积 ③求体积 ④小数乘法 A．①②③ B．①③④ C．①②③④ 【变式训练】（2024·河北保定·小升初真题）如图中，沿虚线剪下长方形的一个角，剩余部分图形的内角和是360°。( )（判断对错） 考点讲练十三 三角形的周长 【典例精讲】（2025·四川凉山·小升初真题）等腰三角形的两边长分别是4cm和2cm，则这个三角形的周长是（    ）。 A．10cm B．8cm C．6cm D．10cm或8cm 【变式训练】（2025·江苏淮安·小升初真题）如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 (1)∠1＝________°，∠2＝________°。 (2)通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是________三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。 (3)如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝________°。 考点讲练十四 三角形的面积 【典例精讲】（2025·河南商丘·小升初真题）梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（2025·四川绵阳·小升初真题）一个直角三角形三条边的长度分别为5厘米，12厘米，13厘米，直角三角形的面积为( )平方厘米。 考点讲练十五 圆的周长及应用 【典例精讲】（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，把一个圆平均分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。已知长方形的长是6.28dm，原来这个圆的面积是( )dm2。 【变式训练】（2025·广东湛江·小升初真题）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（    ）。 A． B． C． D． 考点讲练十六 圆的面积及应用 【典例精讲】（2025·广西梧州·小升初真题）下列图形中，空白部分与阴影部分的周长和面积都相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（2025·湖南邵阳·小升初真题）下面每个小方格的边长都是1厘米。 （1）把图形1绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形，旋转后，A点的位置用数对表示是（    ）。 （2）按1∶2的比画出图形2缩小后的图形，缩小后图形的面积是原来的（    ）。 （3）在图形3中画出一个最大的圆，这个圆的面积是（    ）平方厘米。 考点讲练十七 圆环的面积 【典例精讲】（2025·四川绵阳·小升初真题）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【变式训练】（2025·广东湛江·小升初真题）一台圆柱体扫地机器人底面直径6dm，一座美术馆大厅柱子直径14dm，这台机器人绕着柱子清扫一圈，则机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是28.26dm2。( )（判断对错） 考点讲练十八 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【变式训练】（2025·河南焦作·小升初真题）在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8cm2，那么这个圆的面积是( )cm2。 考点讲练十九 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【典例精讲】（2025·广东湛江·小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【变式训练】（2025·江西上饶·小升初真题）小军喜欢剪纸，他在边长为8cm的正方形纸片上剪了个造型，如图，阴影部分的周长是（    ）。 A．16π＋4 B．16（π＋2） C．8（π＋4） 考点讲练二十 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（2025·吉林长春·小升初真题）已知：线段AB＝40cm。 （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以3厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以5厘米/秒运动，问经过几秒后P、Q相遇？ （2）几秒钟后，P、Q相距16cm？ （3）如图2，AO＝PO＝8厘米，∠POB＝40°，点P绕着点O以20度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点Q沿直线AB，自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度。 【变式训练】（2025·重庆綦江·小升初真题）长10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），总共要用多少纸？ 考点讲练二十一 扇形的周长和面积 【典例精讲】（2025·湖北武汉·小升初真题）如图中的正方形部分是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形的面积是300m2。草坪的面积是（    ）m2。 A． B． C． D．无法确定 【变式训练】（2025·四川遂宁·小升初真题）如图所示，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。 考点讲练二十二 画圆及扇形 【典例精讲】（2025·北京丰台·小升初真题）（1）三角形ABC，顶点C的位置是（1，5）。先画出三角形ABC，再画出把它按2∶1放大后的三角A'B'C'。 （2）以B'为圆心，在三角形A'B'C'内，画出一个最大的扇形。 （3）如果每个小方格的边长表示1厘米，画出的扇形面积是（    ）平方厘米。 【变式训练】（2025·湖北武汉·小升初真题）①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在这个圆上。 考点讲练二十三 含多边形的组合图形的面积 60．（2024·河南郑州·小升初真题）如图所示，两个正方形重叠摆放后，这两个阴影部分的周长和是80厘米，它们的面积相差80平方厘米，那么这两个正方形面积和是（    ）平方厘米。 A．160 B．208 C．200 D．216 【变式训练】（2024·福建泉州·小升初真题）如图，已知空白部分的面积是28cm2，阴影部分的面积是( )cm2。 考点讲练二十四 利用平移巧算周长与面积 【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）求图中阴影部分的面积。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）计算阴影部分的面积（单位：厘米，π取3.14） 考点讲练二十五 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（2025·江西南昌·小升初真题）如图，这个正方形的边长为6厘米，则这个涂了阴影的叶片图形的面积是( )平方厘米。 【变式训练】（2025·河北石家庄·小升初真题）两个正方形如图放置，求阴影部分的面积。 1．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，阴影的一段边缘是半径为6厘米的圆弧，阴影部分的面积等于（    ）平方厘米。（取π＝3.14，精确至0.01平方厘米） A．36.46 B．48 C．20.6 D．40.26 2．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 3．要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．12.56 B．16 C．20 4．（2025·湖南长沙·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．26 B．27 C．28 D．29 5．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）一张长方形纸，长是8分米，宽是5分米，剪去一个最大的正方形，剩下的小长方形的周长是________分米。 7．（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 8．（2025·四川绵阳·小升初真题）两个面积相等的三角形，一定是等底等高的。( )（判断对错） 9．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( )（判断对错） 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，求阴影部分的面积。 11．（2025·重庆渝北·小升初真题）求下图中阴影部分的面积。（取3.14） 12．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径都为，小圆半径都为，且。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作简要说明） 13．（2025·河南商丘·小升初真题）图形与操作。 (1)按要求在图中画一画。 (2)计算变化后图形中阴影部分的面积。 (3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 14．（2025·浙江温州·小升初真题）有一个边长为15厘米的等边三角形，现将它按下图所示滚动。请问：B点从开始到结束经过的路线的总长是多少厘米？（π取3.14） 15．（2025·北京·小升初真题）如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） 学科网（北京）股份有限公司 $