第二讲 式与方程（考向预测+知识梳理+12个考点讲练+能力提升练 共55题）-2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测（全国通用培优讲义）

2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第二讲 式与方程『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+12个考点讲练+能力提升练 共55题】 ［原卷版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 2 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 2 知识点梳理02：等式与方程 3 知识点梳理03：列方程解应用题 4 考点分类真题汇编讲练 4 重难点考点一 含有字母式子的化简与求值 4 重难点考点二 方程的意义 5 重难点考点三 等式的意义及性质 6 重难点考点四 方程的解与解方程 7 重难点考点五 列方程解含一个未知数的问题 7 重难点考点六 列方程解和差倍问题 8 重难点考点七 列方程解年龄问题 8 重难点考点八 列方程解相遇问题 9 重难点考点九 列方程解稍复杂的行程问题 10 重难点考点十 列方程解含两个未知数的问题 10 重难点考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 11 重难点考点十二 不等式的认识及解不等式 12 能力提升过关检测 12 预测一：主要知识点 用字母表示数、常见数量关系与运算定律，方程的意义与等式性质，解简易方程及稍复杂方程，用方程解决和倍、差倍、行程、几何等实际问题。 预测二：重点难点 重点是根据等式性质正确解方程、根据题意找等量关系；难点是复杂实际问题中等量关系的梳理，含括号、分数形式的方程求解，以及算术思路向方程思路的转换。 预测三：考察方向 以填空、解方程、解决问题为主，常与几何周长面积、分数应用题结合；注重考查书写规范、等量关系表达，强调方程思路在实际问题中的灵活运用。 预测四：预测难度 整体难度中等偏基础，基础解方程占比居多；少量压轴题以稍复杂的生活实际问题呈现，侧重逻辑分析，计算量适中，无超纲偏题，重在理解与规范解题。 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 重点提示： 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点梳理02：等式与方程 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点梳理03：列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 重难点考点一 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（2024·北京朝阳·小升初真题）针对2a＋6这个式子，四名同学分别画图表示了自己的理解，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·江苏无锡·小升初真题）同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 【变式训练2】（2024·河南信阳·小升初真题）三个连续奇数中，中间的是，那么最大的是( )；三个连续偶数中，最小的是，那么这三个偶数的和是( )。 【变式训练3】（2024·河南信阳·小升初真题）用等腰梯形按下图的规律拼图形。（单位：厘米） 5个这样的等腰梯形拼成的图形的周长是( )厘米，个这样的等腰梯形拼成的图形的周长是( )厘米；当拼成的图形的周长是92厘米时，用了( )个等腰梯形。 重难点考点二 方程的意义 【典例精讲】（2025·云南昆明·小升初真题）下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（    ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下面的图不能用方程“”来表示的是（    ）。 A．B．C． D． 【变式训练2】（2024·福建泉州·小升初真题）如图，每个黑圆片周围摆6个白圆片，继续摆下去，8个黑圆片周围共摆________个白圆片，________个黑圆片周围共摆102个白圆片。 【变式训练3】（2024·江苏扬州·小升初真题）看图列出方程。 重难点考点三 等式的意义及性质 【典例精讲】（2024·江苏泰州·小升初真题）下列（    ）算式不能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。、都是非0的自然数） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【变式训练3】（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是( )。 重难点考点四 方程的解与解方程 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）解方程。 （1）       （2）36∶1.8＝45∶x 【变式训练1】（2025·河南新乡·小升初真题）解方程或解比例。      【变式训练2】（2025·江西吉安·小升初真题）求下列各式中的值。               【变式训练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）对于任意自然数a，b，如果有，已知，则__________。 重难点考点五 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（2025·广西梧州·小升初真题）一个数的比36的多2，这个数是多少？（列方程解答） 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 重难点考点六 列方程解和差倍问题 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 【变式训练2】（2024·上海·小升初真题）已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？ 重难点考点七 列方程解年龄问题 【典例精讲】（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 【变式训练1】（2024·重庆·小升初真题）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年为( )岁。 【变式训练2】马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 重难点考点八 列方程解相遇问题 【典例精讲】（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米，求甲乙两车的速度。 【变式训练1】（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，2.4小时后相距216千米。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解：设乙车的速度是x千米/时。 _________________ 【变式训练2】（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 重难点考点九 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人同时从A地出发去B地，5分钟后，甲返回A地去取东西，没有停留，继续步行去B地，如果从两人同时出发开始计时，那么35分钟后两人同时到达，已知甲每分钟所走路程比乙每分钟所走路程的2倍少30米，求A、B两地的距离为多少米？ 【变式训练1】（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 【变式训练2】（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 重难点考点十 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）两个两位数的乘积是806，欢欢在抄题时，将其中一个因数个位上的“6”丢掉了，结果算出的积是62，则这两个因数中较小的那个因数是______。 【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米。 【变式训练2】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）海亮小学合唱队和舞蹈组两个兴趣小组一共有48人，合唱队人数是舞蹈组的。舞蹈组有多少人？（用方程解答） 重难点考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 【变式训练1】（2024·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工140个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工160个，这样，不仅提前3天完成加工任务，而且还多加工了40个。那么他们实际加工零件多少个？ 【变式训练2】（2024·河南南阳·小升初真题）某学校数学课外兴趣小组，上学期男生人数占，这学期增加21名女生后，男生人数就只占了，这个兴趣小组现在共有学生多少名？ 重难点考点十二 不等式的认识及解不等式 【典例精讲】（2024·河南郑州·小升初真题）某校为筹备艺术节，准备用365元购买两种演出服，其中甲种演出服20元/套，乙种演出服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案。 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）如果关于x的不等式4x－m≤0的正整数解是1、2、3，那么整数m所有可能取值的和是( )。 【变式训练2】（2024·河北邯郸·小升初真题）某市电话号码原为6位数。第一次升位是在首位和第二位数字之间加上3成为一个七位数，第二次升位是在首位数字前加上2成为一个8位数。某人家中的电话号码升位后的8位数恰好为原来的6位数的电话号码的33倍，那么原来的电话号码是________________。 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A．B．C． D． 2．（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根。照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒。 A． B． C． D． 3．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）元。 A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 5．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 6．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 7．（2025·重庆綦江·小升初真题）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( )（判断对错） 8．（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）有一组数，70，72，a，78和80，这组数的平均数正好与a相等，则a＝76。( )（判断对错） 9．（2025·湖南永州·小升初真题）解方程。 （1）    （2）    （3） 10．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 11．（2025·湖北武汉·小升初真题）把108个连续正偶数之和分解质因数，得到A3×B2×C2×D的形式，那么这108个连续正偶数中最小的数至少是多少？ 12．（2025·浙江杭州·小升初真题）中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有几颗卫星？（用方程解） 13．（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。 (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 14．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 15．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习重点难点精讲•精练•精测「全国通用培优讲义」 第二讲 式与方程『小升初二轮复习讲练测』 【考向预测+知识梳理+12个考点讲练+能力提升练 共55题】 ［解析版］ 同学你好，该份讲义专为冲刺理想初中的你量身打造。讲义精准把握近年升学命题趋势，科学预测高频考点与重难点考向，明确填空、选择、计算、应用等题型的命题规律，让你复习不盲目、备考有方向。 内容上系统梳理核心知识，将数与代数、图形几何、统计概率、应用题等模块串联成完整知识体系，查漏补缺夯实基础。同时配套近年名校真题分类训练，按考点划分，搭配详细解题思路与方法点拨，帮你熟练掌握答题技巧，突破易错题型，快速提升应试能力，高效备战小升初考试。 2026年升学考向预测 2 预测一：主要知识点 2 预测二：重点难点 2 预测三：考察方向 2 预测四：预测难度 2 重点难点知识梳理 2 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 2 知识点梳理02：等式与方程 3 知识点梳理03：列方程解应用题 4 考点分类真题汇编讲练 4 重难点考点一 含有字母式子的化简与求值 4 重难点考点二 方程的意义 7 重难点考点三 等式的意义及性质 9 重难点考点四 方程的解与解方程 12 重难点考点五 列方程解含一个未知数的问题 15 重难点考点六 列方程解和差倍问题 17 重难点考点七 列方程解年龄问题 18 重难点考点八 列方程解相遇问题 20 重难点考点九 列方程解稍复杂的行程问题 23 重难点考点十 列方程解含两个未知数的问题 25 重难点考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 27 重难点考点十二 不等式的认识及解不等式 29 能力提升过关检测 31 预测一：主要知识点 用字母表示数、常见数量关系与运算定律，方程的意义与等式性质，解简易方程及稍复杂方程，用方程解决和倍、差倍、行程、几何等实际问题。 预测二：重点难点 重点是根据等式性质正确解方程、根据题意找等量关系；难点是复杂实际问题中等量关系的梳理，含括号、分数形式的方程求解，以及算术思路向方程思路的转换。 预测三：考察方向 以填空、解方程、解决问题为主，常与几何周长面积、分数应用题结合；注重考查书写规范、等量关系表达，强调方程思路在实际问题中的灵活运用。 预测四：预测难度 整体难度中等偏基础，基础解方程占比居多；少量压轴题以稍复杂的生活实际问题呈现，侧重逻辑分析，计算量适中，无超纲偏题，重在理解与规范解题。 知识点梳理01：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1.用字母表示数 （1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a+b）人； （2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克 2.用字母表示数量关系 （1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt； （2）正比例关系：（一定），反比例关系：x×y=k（一定）等。 3.用字母表示计算公式 （1）长方形的周长：C=2（a+b）； （2）长方形的面积：S=ab； （3）长方体的体积：V=abh或V=Sh等。 4．用字母表示运算定律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc） 乘法分配律：（a+b）c-ac+bo 重点提示： 数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。 两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2 知识点梳理02：等式与方程 1.等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2.等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3.解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 知识点梳理03：列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题的一般步骤。 ①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程； ③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。 重难点考点一 含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（2024·北京朝阳·小升初真题）针对2a＋6这个式子，四名同学分别画图表示了自己的理解，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】2a＋6表示2个a加上6，即a＋a＋6，据此逐项分析即可。 【完整解答】 A．，表示2＋a＋6，不正确。 B．，表示a＋a＋6，即2a＋6，正确。 C．，表示（2＋6）×a，不正确。 D．，表示（a＋6）×2，不正确。 针对2a＋6这个式子，画图表示了自己的理解，其中正确的是。 故答案为：B 【变式训练1】（2024·江苏无锡·小升初真题）同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 【答案】（1）是 （2）10＋6；10－6 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3） （3）a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）23.55平方厘米 【思路引导】（1）猜想任意两个数都具有这样的规律。 （2）根据题意得出规律是：两个数的平方差等于这两个数的和与两个数的差的乘积，据此写出102－62的等式以及列举算式。 （3）用字母表示规律，可以把两个数分别用两个字母表示，然后利用对应的规律解答即可。 （4）根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），化为π×（大圆半径＋小圆半径）×（大圆半径－小圆半径），据此求出圆环的面积，据此解答。 【完整解答】（1）是不是任意两个数都具有这样的规律呢？是。 （2）102－62＝（10＋6）×（10－6） 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3）（答案不唯一） （3）如果a和b分别表示两个数（a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）3.14×（4.252－3.252） ＝3.14×（4.25＋3.25）×（4.25－3.25） ＝3.14×7.5×1 ＝23.55×1 ＝23.55（平方厘米） 答：圆环的面积是23.55平方厘米。 【变式训练2】（2024·河南信阳·小升初真题）三个连续奇数中，中间的是，那么最大的是( )；三个连续偶数中，最小的是，那么这三个偶数的和是( )。 【答案】 a＋2/2＋a 3b＋6 【思路引导】相邻的奇数和偶数之间相差2，中间奇数＋2＝最大奇数；最小偶数＋2＝中间偶数，最小偶数＋4＝最大偶数，将三个连续偶数相加即可。 【完整解答】= 三个连续奇数中，中间的是，那么最大的是；三个连续偶数中，最小的是，那么这三个偶数的和是。 【变式训练3】（2024·河南信阳·小升初真题）用等腰梯形按下图的规律拼图形。（单位：厘米） 5个这样的等腰梯形拼成的图形的周长是( )厘米，个这样的等腰梯形拼成的图形的周长是( )厘米；当拼成的图形的周长是92厘米时，用了( )个等腰梯形。 【答案】 17 3n＋2 30 【思路引导】1个等腰梯形的周长是5厘米，2个等腰等腰梯形拼成的图形的周长是8厘米，3个等腰梯形拼成的图形的周长是11厘米，由此可知，每增加一个等腰梯形，组合图形的周长增加3厘米。 1个等腰梯形周长是5厘米，可以写成：3×1＋2； 2个等腰梯形拼成图形的周长是8厘米，可以写成：3×2＋2； 3个等腰梯形拼成图形的周长是11厘米，可以写成：3×3＋2； …… n个等腰梯形拼成图中的周长是（3n＋2）厘米， 由此可知，n＝5时，求出拼成图形的周长。 当周长是92厘米是，求n的值，列式为：3n＋2＝92。根据等式的性质解方程即可。 【完整解答】根据分析可知，n个等腰梯形拼成组合图形的周长是（3n＋2）厘米。 3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（厘米） 3n＋2＝92 解：3n＋2－2＝92－2 3n＝90 3n÷3＝90÷3 n＝30 5个这样的等腰梯形拼成的图形的周长是17厘米，n个这样的等腰梯形拼成的图形的周长是（3n＋2）厘米；当拼成的图形的周长是92厘米时，用了30个等腰梯形。 重难点考点二 方程的意义 【典例精讲】（2025·云南昆明·小升初真题）下面数学问题中，不能用方程“2x＋6＝14”解决的是（    ）。 A．①③ B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【思路引导】 ① 将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程。 ② 将两个面包的价格加上一罐牛奶的价格等于总的价格，以此列出方程。 ③ 根据题中线段图可知苹果的2倍加上6千克为14千克，以此列出方程。 ④ 根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于14，即可列得方程。 【完整解答】①根据三角形的周长公式可得6＋6＋x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 ②x＋x＋6＝2x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ③香蕉质量＝x＋x＋6＝14，能用方程“2x＋6＝14”解决。 ④根据长方形的面积公式可得（6＋x）×2＝12＋2x＝14，不能用方程“2x＋6＝14”解决。 不能用方程“2x＋6＝14”解决的是①④。 故答案为：B 【变式训练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下面的图不能用方程“”来表示的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】B 【思路引导】根据分数的意义；两个三角形高相等时，大三角形是小三角形的底的几倍，则大三角形的面积就是小三角形面积的几倍，如图所示，大三角形的底是小三角形底的20÷5＝4倍；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，圆柱体积是圆锥体积的3倍；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案。 【完整解答】A．每个小正方形表示x，共有4个小正方形，一共表示80，可列方程，不符合题意； B．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥体积为x，那么圆柱体积为3x，所以列方程3x＝80，符合题意； C．阴影小三角形面积为x，那么大三角形的面积为3x，则可列方程x＋3x＝80，即4x＝80，不符合题意； D．如图所示，3格长为x厘米，图形的周长一共有12格长，是3格长的4倍，可以列出方程，不符合题意； 故答案为：B 【变式训练2】（2024·福建泉州·小升初真题）如图，每个黑圆片周围摆6个白圆片，继续摆下去，8个黑圆片周围共摆________个白圆片，________个黑圆片周围共摆102个白圆片。 【答案】 34 25 【思路引导】观察图形可得：1个黑色的圆片周围有6个白色圆片，2个黑色的圆片周围有10个白色圆片，3个黑色的圆片周围有14个白色圆片，4个黑色的圆片周围有18个白色圆片，即每增加一个黑色圆片，白色圆片就会增加4个，由此可得：n个黑色圆片周围一共摆有白色圆片：6＋4（n－1）＝4n＋2。由此解答即可。 【完整解答】由分析得规律为：6＋4（n－1）＝4n＋2 当n＝8时，代入得：4n＋2＝4×8＋2＝32＋2＝34（个） 当（4n＋2）＝102时 解：4n＋2＝102 4n＋2－2＝102－2 4n＝100 4n÷4＝100÷4 n＝25 如图，每个黑圆片周围摆6个白圆片，继续摆下去，8个黑圆片周围共摆34个白圆片，25个黑圆片周围共摆102个白圆片。 【变式训练3】（2024·江苏扬州·小升初真题）看图列出方程。 【答案】y＝30 【思路引导】从图中可知，直角三角形的面积是240cm2，一条直角边是16cm，则对应的高是ycm，根据“三角形的面积＝底×高÷2”列出方程，并求解。 【完整解答】16y÷2＝240 解：8y＝240 y＝240÷8 y＝30 重难点考点三 等式的意义及性质 【典例精讲】（2024·江苏泰州·小升初真题）下列（    ）算式不能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。、都是非0的自然数） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】如果两个数成倍数关系，那么这两个数中小数是大数的因数，大数是小数的倍数，小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个数的最小公倍数。 从题意可知：和的最大公因数是，最小公倍数是。那么是的倍数，是的因数。据此判断即可。 【完整解答】A．将的两边同时乘10可得：，即和成倍数关系，该选项算式能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 B．可得：和不成倍数关系，该选项算式不能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 C．可知即和成倍数关系，该选项算式能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 D．可得：，即，即和成倍数关系，该选项算式能体现和的最大公因数是，最小公倍数是。 故答案为：B 【变式训练1】（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ ② 【思路引导】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得； 由，计算得，所以根据等量的等量相等，可以得出。 【完整解答】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 由，可得，依据是等量的等量相等。 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是（②）。 【变式训练2】（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【思路引导】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论 ，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【完整解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【考点剖析】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 【变式训练3】（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是( )。 【答案】4 【思路引导】根据已知x－2y＝3，结合等式性质2，等号两边同时乘2可得2x－4y＝6，再运用减法的性质代入算式求值即可。 【完整解答】10－2x＋4y ＝10－（2x－4y） ＝10－2（x－2y） ＝10－2×3 ＝10－6 ＝4 所以代数式10－2x＋4y的值是4。 重难点考点四 方程的解与解方程 【典例精讲】（2025·湖南长沙·小升初真题）解方程。 （1）       （2）36∶1.8＝45∶x 【答案】x＝60；x＝2.25 【思路引导】（1）x－16＝8先根据等式的性质1，把方程两边同时加上16，再根据等式的性质2，把方程两边同时除以； （2）36∶1.8＝45∶x先根据比例的性质，把方程变形为36x＝1.8×45；先算出1.8×45的积，再根据等式的性质2，把方程两边同时除以36。 【完整解答】（1）x－16＝8 解：x－16＋16＝8＋16 x＝24 x÷＝24÷ x＝24× x＝60 （2）36∶1.8＝45∶x 解：36x＝1.8×45 36x＝81 36x÷36＝81÷36 x＝2.25 【变式训练1】（2025·河南新乡·小升初真题）解方程或解比例。      【答案】； 【思路引导】（1）先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （2）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： 【变式训练2】（2025·江西吉安·小升初真题）求下列各式中的值。               【答案】x＝1.16；x＝8 【思路引导】（1）根据等式的性质2，将方程两边同时乘，得到x－0.3＝1.4×；计算出方程右边的结果，再根据等式的性质1，将方程两边同时加上0.3，得到x＝0.28＋0.3；计算出方程右边的结果，最后根据等式的性质2，将方程两边同时除以，得到x＝0.58÷，将方程右边的除法转化为乘法，计算可得解。 （2）根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，可得到3.25x＝6.5×4；计算出式子右边的结果，再根据等式的性质2，将式子两边同时除以3.25，得到x＝26÷3.25，计算可得解。 【完整解答】（1） 解： （2）6.5∶x＝3.25∶4 解：3.25x＝6.5×4 3.25x＝26 x＝26÷3.25 x＝8 【变式训练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）对于任意自然数a，b，如果有，已知，则__________。 【答案】5 【思路引导】观察，可知“”表示两个数的积再分别加上这两个数，根据“”表示的含义，先计算，再将计算出的结果与进行同样的计算，转化成方程，根据等式的性质1和2，两边同时减19，再同时除以20即可。 【完整解答】 解： 对于任意自然数a，b，如果有，已知，则5。 【考点剖析】关键是看懂“”的含义，根据“”的含义将方程的左边转化为一般的四则运算。 重难点考点五 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（2025·广西梧州·小升初真题）一个数的比36的多2，这个数是多少？（列方程解答） 【答案】45 【思路引导】本题主要考查了学生分析数量关系解答问题的能力。在分数计算中，求一个量的几分之几，用乘法计算。 根据题意知：这个数据此可列出方程解答。 【完整解答】解：设这个数是x            ＝45 答：这个数是45。 【变式训练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。 【答案】624 【思路引导】根据题意，设圣水寺里的和尚一共有个。已知3个和尚合吃一碗饭，则每个和尚吃碗饭，即吃饭用 个碗；4个和尚合分一碗汤，则每个和尚喝碗汤，即喝汤用 个碗；根据“一共用了364个碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝用碗的总数，据此列出方程，并求解。 【完整解答】解：设圣水寺里的和尚一共有个。 ＋ ＝364 ＋ ＝364 ＝364 ＝364÷ ＝364× ＝624 圣水寺里的和尚一共有624个。 【变式训练2】（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 【答案】21 【思路引导】设这组学生是x人，则x个学生摘梨的总个数为1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x个，观察发现这个算式的头尾相加、第二个数和倒数第二个数相加、第三个数和倒数第三个数相加……的和都是一样的，均为（1＋x），整个算式共有（x÷2）个（1＋x），即1＋2＋3＋…＋（x－1）＋x＝（1＋x）×x÷2；根据等量关系式：摘梨总数＝学生人数×平均每个学生摘梨数量，列出方程（1＋x）×x÷2＝11x，根据等式的基本性质求解。 【完整解答】解：设这组学生是x人。 （1＋x）×x÷2＝11x （1＋x）÷2＝11 1＋x＝11×2 1＋x＝22 x＝22－1 x＝21 因此，这组学生的人数是21人。 【考点剖析】通过设未知数，利用首尾相加简化总数量的表达式，通过平均数乘个数等于总量构建等量关系，列出方程求解。人数是大于0的，因此在解方程过程中同时除以x，解法合理。 重难点考点六 列方程解和差倍问题 【典例精讲】（2025·山东青岛·小升初真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【思路引导】根据题意可知，每层灯的数量是上一层的2倍，据此设顶层x盏灯，第二层有2x盏灯，第三层有4x盏灯，第四层有8x盏灯，第五层有16x盏灯，第六层有32x盏灯，第七层有64x盏灯，已知一共有381盏灯，列方程为x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381，据此解出方程即可。 【完整解答】解：设顶层x盏灯。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381 127x＝381 127x÷127＝381÷127 x＝3 塔的顶层共有3盏灯。 故答案为：B 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场。如果一场比赛的比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分。比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是( )分。 【答案】6 【思路引导】四支球队进行单循环比赛，总比赛场数为6场。比分是3∶0或3∶1，则胜队得3分，负队得0分，两队的总得分是3＋0＝3分；如果比分是3∶2，则胜队得2分，负队得1分，两队的总得分是2＋1＝3分。每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。各队得分是四个连续自然数，设分别为x、x＋1、x＋2、x＋3，其和为18，列方程解答。 【完整解答】一共比赛了：3＋2＋1＝6（场） 总得分：3×6＝18（分） 设四个队中的最低分是x分 x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＝18 4x＋6＝18 4x＋6－6＝18－6 4x＝12 4x÷4＝12÷4 x＝3 所以最高得分为：3＋3＝6（分） 【考点剖析】通过得分情况，可知每场比赛无论比分如何总得分均为3分，因此所有比赛总得分为18分。设最低得分为x，其他几个连续的自然数就可以分别用含有x的式子表示出来，比赛总得分为18分，建立等量关系，列方程解答。 【变式训练2】（2024·上海·小升初真题）已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍，又知一张桌子比一把椅子多288元，一张桌子和一把椅子各多少元？ 【答案】一张桌子320元，一把椅子32元 【完整解答】解：设一把椅子的价格是x元，则一张桌子的价格就是10x元，根据题意可得方程： 10x﹣x=288     9x=288       x=32 则桌子的价格是：32×10=320（元） 答：一张桌子320元，一把椅子32元． 重难点考点七 列方程解年龄问题 【典例精讲】（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 【答案】 54 29 【思路引导】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋4＝儿子现在的年龄，年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，所以爸爸＋儿子的年龄＝79＋4＝83，设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是（83－x）岁，再根据年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，列出方程解决问题。 【完整解答】解：设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是79＋4－x＝（83－x）岁，根据题意可得方程： x－（83－x）＋x＝79 x－83＋x＋x＝79 3x－83＋83＝79＋83 3x＝162 3x÷3＝162÷3 x＝54 83－54＝29（岁） 现在爸爸54岁，儿子29岁。 【考点剖析】解决本题的关键是明确年龄差不变，再列方程解答。 【变式训练1】（2024·重庆·小升初真题）元旦节那天，某茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年为( )岁。 【答案】90 【思路引导】根据“他们的年龄恰好是25个连续自然数”，设最小的老人今年是n岁。第二个人的年龄为n＋1，最后一个人的年龄为n＋24，根据今年的年龄和为（2000－2×25），列出方程并求出n的值，进而求出n＋24的值即可。 【完整解答】解：设最小的老人今年是n岁。 n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（n＋23）＋（n＋24）＝2000－2×25 25n＋（1＋2＋3＋…＋23＋24）＝1950 25n＋300＝1950 25n＋300－300＝1950－300 25n＝1650 25n÷25＝1650÷25 n＝66 那么年龄最大的老人今年的岁数是： n＋24＝66＋24＝90（岁） 其中年龄最大的老人今年90岁。 【变式训练2】马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【思路引导】先设马丁的女儿岁，然后根据题意可知，分别表示出其他三人的年龄，即儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。再根据把他们的年龄都加起来，正好等于祖母的年龄，列方程解答，进而求出马丁的年龄。 【完整解答】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。 马丁的年龄：（岁） 答：马丁30岁。 重难点考点八 列方程解相遇问题 【典例精讲】（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）昆曲高速公路全长128千米，甲、乙两车同时从昆明、曲靖两地高速路收费站相向匀速开出，经过40分钟相遇，甲车比乙车每小时多行驶20千米，求甲乙两车的速度。 【答案】甲车106千米/小时，乙车86千米/小时 【思路引导】先根据1小时＝60分，那么40分＝小时。设乙车速度是千米/小时，则甲车速度是（＋20）千米/小时。根据速度和×相遇时间＝路程，列出方程并求解即可。 【完整解答】40分钟＝小时 解：设乙车速度是千米/小时，则甲车速度是（＋20）千米/小时。 86＋20＝106（千米/小时） 答：甲车速度是106千米/小时，乙车速度是86千米/小时。 【变式训练1】（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，2.4小时后相距216千米。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解：设乙车的速度是x千米/时。 _________________ 【答案】2.4×（42＋x）＝216 【思路引导】根据“路程＝时间×速度和”，两车行驶时间为2.4小时，甲车速度为42千米/时，乙车速度为x千米/时，两车行驶路程为216千米，则2.4×（42＋x）＝216，据此解答。 【完整解答】解：设乙车的速度是x千米/时。 2.4×（42＋x）＝216 100.8＋2.4x＝216 100.8＋2.4x－100.8＝216－100.8 2.4x＝115.2 2.4x÷2.4＝115.2÷2.4 x＝48 答：乙车的速度是48千米/时。 【变式训练2】（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 【答案】（1）80；120； （2）当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【思路引导】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据，结合题意得：3.6×（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。 （2）两车行驶过程中有2次两车之间的距离是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；相遇后：点C（6，480），慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，计算慢车行驶20km需要的时间，再加上6即可得解。 【完整解答】（1）解：设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h。 （9－3.6）×a＝3.6×b 把代入关系式3.6×（a＋b）＝720 慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h。 （2）相遇前：（80＋120）x＝720－500 解： 相遇后：因为点C（6，480），慢车再行驶20千米两车之间的距离为500千米。 20÷80＝0.25（时） x＝6＋0.25＝6.25（时） 答：当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【考点剖析】根据题意找出关系式，有两个未知数的，要先替换为一个未知数，解方程；相遇前两车有一次距离500km；相遇后两车又有一次距离500km；还要注意，快车已到乙地，两车距离不到500km，慢车还得再行20km。 重难点考点九 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（2024·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人同时从A地出发去B地，5分钟后，甲返回A地去取东西，没有停留，继续步行去B地，如果从两人同时出发开始计时，那么35分钟后两人同时到达，已知甲每分钟所走路程比乙每分钟所走路程的2倍少30米，求A、B两地的距离为多少米？ 【答案】1750米 【思路引导】分析题目，甲35分钟走的总路程比乙35分钟走的总路程多2个甲5分钟走的路程，设乙每分钟走x米，则甲每分钟走（2x－30）米，根据等量关系式：乙的速度×乙的时间＋甲的速度×5×2＝甲的速度×甲的时间，据此列出方程35x＋5×2×（2x－30）＝35（2x－30），再进一步解出方程即可得到乙的速度，再根据速度×时间＝路程求出A、B两地的距离即可。 【完整解答】解：设乙每分钟走x米，则甲每分钟走（2x－30）米。 35x＋5×2×（2x－30）＝35（2x－30） 35x＋10（2x－30）＝70x－1050 35x＋20x－300＝70x－1050 70x－35x－20x＝1050－300 15x＝750 x＝50 35×50＝1750（米） 答：A、B两地的距离为1750米。 【变式训练1】（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 【答案】440米 【思路引导】根据“时间＝路程÷速度”，按照正常每分钟滚40米的速度，小仓鼠回家需要800÷40＝20分钟；而如果嗑了3分钟瓜子后还和平常到家的时间一模一样，则路上共花了20－3＝17分钟；可设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米，小仓鼠从学校到瓜子铺的速度是每分钟40米，用时分钟，而小仓鼠从瓜子铺到家的速度是每分钟60米，用时分钟，可列方程为＋＝17，解方程即可解答。 【完整解答】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米。 800÷40－3 ＝20－3 ＝17（分钟） ＋＝17 ×120＋×120＝17×120 3x＋2×（800－x）＝2040 3x＋1600－2x＝2040 x＋1600＝2040 x＋1600－1600＝2040－1600 x＝440 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。 【考点剖析】本题考查行程问题，解题关键在于理解提速节省的时间＝吃瓜子的时间。 【变式训练2】（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 【答案】90千米 【思路引导】根据题意，剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。根据时间＝路程÷速度，分别算出剩下的路程乘公共汽车的时间和乘出租车的时间。根据乘公共汽车的时间－乘出租车的时间＝多用的时间列方程解决。 【完整解答】解：设小张家到火车站的路程是3千米。 3－＝2（千米） 40×2＝80（千米/时） 45分钟＝小时 答：小张家到火车站有90千米。 【考点剖析】根据“继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站”。 剩下的路程乘公共汽车比乘出租车多用（30＋15）分钟，即小时。 重难点考点十 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）两个两位数的乘积是806，欢欢在抄题时，将其中一个因数个位上的“6”丢掉了，结果算出的积是62，则这两个因数中较小的那个因数是______。 【答案】26 【思路引导】把十位数字和另一个因数设为未知数，等量关系：（十位数字×10＋个位数字）×另一个因数＝806，由此列出方程，计算出错误的积是62，再把“十位数字×另一个因数＝62”代入方程求出另一个因数，然后根据“因数＝积÷另一个因数”求出另外一个两位数，最后比较大小确定较小的那个因数。 【完整解答】解：设十位上的数字为，另一个因数为，根据错误的乘积62得出。 806÷31＝26 因为26＜31，所以这两个因数中较小的那个因数是26。 【变式训练1】（2025·重庆江北·小升初真题）一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米。 【答案】 【思路引导】设原速度为v千米/时，6小时可以行完，所以总距离为6v千米,后一半路程为3v千米，时间为2.5小时，速度为（v＋12）千米/时，根据速度乘时间等于一半路程即列出方程即可。 【完整解答】解：设原来的速度为v千米/时。后一半路程为6v÷2＝3v（千米），一半路程所用时间6÷2－0.5＝3－0.5＝2.5（小时） （千米） 那么A、B两城相距千米。 【变式训练2】（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）海亮小学合唱队和舞蹈组两个兴趣小组一共有48人，合唱队人数是舞蹈组的。舞蹈组有多少人？（用方程解答） 【答案】28人 【思路引导】根据“合唱队人数是舞蹈组的”，可以设舞蹈组有人，则合唱队有 人； 根据“合唱队和舞蹈组两个兴趣小组一共有48人”可得出等量关系：舞蹈组的人数＋合唱队的人数＝合唱队和舞蹈组的总人数，据此列出方程，并求解。 【完整解答】解：设舞蹈组有人，则合唱队有 人。 ＋ ＝48 ＝48 ＝48÷ ＝48× ＝28 答：舞蹈组有28人。 重难点考点十 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）正义路小学共有1000名学生，为支援“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 【答案】7000本 【思路引导】由“一半男生每人捐了9本书另一半男生每人捐了5本”，可求出男生平均每人捐了7本；然后由“一半女生每人捐了8本书另一半女生每人捐了6本书”，可求出女生平均每人捐了7本；由此可知不管男女生的比例是多少，全校1000名学生平均每人捐了7本书，进而求得一共捐书的本数即可。 【完整解答】（9＋5）÷2 ＝14÷2 ＝7（本） （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7（本） 1000×7＝7000（本） 答：全校学生共捐了7000本书。 【变式训练1】（2024·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工140个，正好按期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工160个，这样，不仅提前3天完成加工任务，而且还多加工了40个。那么他们实际加工零件多少个？ 【答案】3680个 【思路引导】假设他们计划加工零件x个，根据原计划的工作时间－3＝实际的工作时间，再根据工作时间＝工作量÷工作效率，列出方程，即可解答。 【完整解答】解：设他们计划加工零件x个。  160x＝140×（x＋520） 160x＝140x＋72800 160x－140x＝72800 20x＝72800 x＝72800÷20 x＝3640 3640＋40＝3680（个） 答：他们实际加工零件3680个。 【变式训练2】（2024·河南南阳·小升初真题）某学校数学课外兴趣小组，上学期男生人数占，这学期增加21名女生后，男生人数就只占了，这个兴趣小组现在共有学生多少名？ 【答案】75名 【思路引导】根据题意，设某学校数学课外兴趣小组上学期的总人数为人；已知上学期男生人数占，即上学期男生有 人；已知这学期增加21名女生，即本学期总人数为（＋21）人；已知这学期男生人数只占，即本学期男生人数为（＋21）人； 根据题意可知，本学期和上学期男生的人数没有变化，据此得出等量关系：上学期男生人数＝本学期男生人数，根据等量关系列出方程，求出方程的解，即上学期的总人数，再加上本学期新增的女生人数，求出这个兴趣小组现在的总人数。 【完整解答】解：设某学校数学课外兴趣小组上学期的总人数为人。 ＝（＋21） ＝ ＋ － ＝ － ＝ ＝ ＝÷ ＝× ＝54 现在总人数：54＋21＝75（名） 答：这个兴趣小组现在共有学生75名。 重难点考点十二 不等式的认识及解不等式 【典例精讲】（2024·河南郑州·小升初真题）某校为筹备艺术节，准备用365元购买两种演出服，其中甲种演出服20元/套，乙种演出服35元/套，在钱都用尽的条件下，有________种购买方案。 【答案】2/两 【思路引导】根据题意，设甲种演出服买了套，乙种买了套；因为必须买整套的演出服，所以、一定是整数。 准备用365元购买两种演出服，其中甲种演出服20元/套，乙种演出服35元/套，根据“单价×数量＝总价”可得出等量关系：甲种演出服的单价×甲种演出服的套数＋乙种演出服的单价×乙种演出服的套数＝365元，据此列出方程20＋35＝365，并把方程化简成＝； 因为、必须为整数，所以＞0，即0＜＜，则y可能是1～10的整数，把它们分别代入＝中，求出的值，是整数的，即符合题意，据此得出有几种购买方案。 【完整解答】解：设甲种演出服买了套，乙种演出服买了套。 20＋35＝365 方程两边同时除以5，得： 4＋7＝73 4＝73－7 ＝ ＞0，即0＜＜； 则可能是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10； 当＝1时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝2时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝3时，＝＝＝＝13，13是整数，符合题意； 当＝4时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝5时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝6时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝7时，＝＝＝＝6，6是整数，符合题意； 当＝8时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝9时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意； 当＝10时，＝＝＝＝，不是整数，不符合题意。 综上所述，甲种演出服买了13套，乙种演出服买了3套，或甲种演出服买了6套，乙种演出服买了7套，符合钱都能用尽的条件。 所以，一共有2种方案。 【考点剖析】先根据单价、数量、总价之间的关系列出含两个未知数的方程，然后根据方程的解必须是整数，确定其中一个未知数的取值范围，再把它代入式子中，求出另一个未知数的值，从而得出符合要求的购买方案。 【变式训练1】（2025·上海闵行·小升初真题）如果关于x的不等式4x－m≤0的正整数解是1、2、3，那么整数m所有可能取值的和是( )。 【答案】54 【思路引导】根据不等式4x－m≤0，找到m与x的关系，代入x＝1，2，3求出m的取值范围，再进一步解答即可。 【完整解答】4x－m≤0 解：4x－m＋m≤m 4x≤m x≤； 因为不等式4x－m≤0的正整数解是1、2、3， 所以12≤m＜16， 则m＝12，13，14或15， 所以12＋13＋14＋15＝54。 整数m所有可能取值的和是54。 【变式训练2】（2024·河北邯郸·小升初真题）某市电话号码原为6位数。第一次升位是在首位和第二位数字之间加上3成为一个七位数，第二次升位是在首位数字前加上2成为一个8位数。某人家中的电话号码升位后的8位数恰好为原来的6位数的电话号码的33倍，那么原来的电话号码是________________。 【答案】859375 【思路引导】先设原电话号码为则两次升位后为，令＝x，由题意找到升位后的8位数是原6位的33倍，列出不等式即可求得结果。 【完整解答】令该六位数为，则有 令＝x，则有：。 化简得（，且均为整数） 故 解得 当且仅当时成立，有： 所以原来的六位电话号码是859375。 【考点剖析】此题考查了用字母表示数和解不等式，求出a得准确值。关键在于根据描述语升位后的8位数是原6位的33倍，列出不等式。 1．（2025·甘肃兰州·小升初真题）下列数学问题中，不能用方程“2X＋4＝16”解决的是（    ）。 A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】A．根据两种树木的数量关系：桃树的棵数＝梨树棵数的2倍＋4棵，杨树共16棵，以此列出方程； B．根据物品数量的关系：前2个盒子的数量＋第3个盒子的4个＝总数16个，以此列出方程； C．将三角形三个边长相加等于周长，以此列出方程； D．根据长方形的面积＝长×宽，表示出整个长方形的长和宽，相乘等于16cm2，即可列出方程。 【完整解答】A．梨树有X棵，桃树的数量是梨树的2倍还多4棵，桃树共16棵，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 B．3个盒子，前2个各装X个，第3个装4个，一共16个，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 C．三角形周长16cm，两条边长为Xcm，一条边长4cm，对应的方程：2X＋4＝16，符合题意。 D．长方形总面积16cm2，宽2cm，长分为Xcm和4cm两部分，长方形的长为（X＋4）cm，面积为：2（X＋4）＝16，展开后为 2X＋8＝16，与2X＋4＝16不同，不能用该方程解决。 不能用方程“2X＋4＝16”解决的是。 2．（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根。照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】观察图形可以发现，每增加1间小房子增加4根小棒，搭1间小房子用（1＋4）根小棒，搭2间小房子用（1＋4×2）根小棒，搭3间小房子用（1＋4×3）根小棒……搭n间小房子用（1＋4×n）根小棒。 【完整解答】1＋4×n＝（4n＋1）根 所以搭n间小房子用了（4n＋1）根小棒。 故答案为：D 3．随着通讯市场竞争的日益激烈，某通讯公司的手机市话收费按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设原收费标准每分钟为x元。根据题意，原标准降低a元后为（x － a）元，再下调25%，即降价后的价格是（x － a）的75%，等于现在的收费标准b元。因此，可以列出方程求解x。 【完整解答】解：设原收费标准为x元。 （x － a） × （1－25%） ＝ b （x － a） ×0.75＝ b （x － a） ×＝ b （x － a） ×÷＝ b÷ x – a＝b× x – a＋a＝b×＋a x＝b＋a 故答案为：C 4．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【完整解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 5．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【完整解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 6．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 【答案】5 【思路引导】由题意可得如下数量关系： 关系①：猜对3条、5条、6条一共的人数＝总人数－猜对2条的人数－猜对4条的人数， 关系②：猜对3条的人数＝猜对5条的人数， 关系③：猜对3条的人数×3＋猜对5条的人数×5＋猜对6条的人数×6＝总条数－猜对2条的人数×2－猜对4条的人数×4，设猜对3条的有人，猜对5条的有人，根据关系①可表示猜对6条的人数，再利用关系③列方程。 【完整解答】猜对3条、5条、6条一共的人数： 50－16－9＝25（人） 分别猜对3条、5条、6条的人一共猜对的总条数： 178－2×16－4×9 ＝178－32－36 ＝110（条） 解：设猜对3条的有人，猜对5条的有人，猜对6条的有（25－－）人。 猜对6条的人数： 25－10－10 ＝15－10 ＝5（人） 所以猜对6条的人数为5人。 7．（2025·重庆綦江·小升初真题）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】判断一个数是否为3的倍数，只需看它各个数位上的数字之和是否为3的倍数，数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2（a为大于0的自然数）。然后计算判断即可。 【完整解答】设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2，它们的和为。因为3（a ＋ 1）能被3整除，所以任意三个连续自然数的和都是3的倍数。 故答案为：√ 8．（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）有一组数，70，72，a，78和80，这组数的平均数正好与a相等，则a＝76。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据平均数的定义，这组数的平均数为（70＋72＋a＋78＋80）÷5。题目中已知平均数等于a，因此可列方程求解。 【完整解答】根据分析： 平均数为：； 计算已知数的和：； 代入方程得：； 两边同时乘5：； 移项得：； 解得：； 因此，题目中给出的答案a＝76错误，正确答案为a＝75。 故答案为：× 9．（2025·湖南永州·小升初真题）解方程。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）＝36；（2）＝80；（3）＝12 【思路引导】（1）先计算等式的左边，即，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可； （2）先把百分数化成分数，即50%＝，先计算等式的左边，得，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可； （3）根据等式的性质2，等式两边同时乘8，得到2×（－3.6）＝＋4.8，先计算等式的左边，即2×（－3.6）＝2－7.2，根据等式的性质1，等式两边同时减去，再加上7.2即可。 【完整解答】（1） 解： ＝42 ÷＝42÷ ＝42× ＝36 （2） 解： ＝60 ÷＝60÷ ＝60× ＝80 （3） 解：2×（－3.6）＝＋4.8 2－7.2＝＋4.8 2－7.2－＋7.2＝＋4.8－＋7.2 ＝12 10．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 【答案】252千米 【思路引导】把甲、乙两地的总路程看作3份，其中高速公路占2份、普通公路占1份，设1份路程为x千米，总路程就是3x千米；A车从甲地出发，在高速公路上行驶了（2x－40）千米，速度是80千米/时，所以A车行驶时间为（2x－40）÷80；B车从乙地出发，先走完1份普通公路x千米（速度70千米/时），再在高速公路上行驶40千米（速度100千米/时），所以B车行驶时间为x÷70 ＋ 40÷100；因为两车同时出发、相遇时行驶时间相等，所以可以列出等式（2x－40）÷80＝x÷70 ＋ 40÷100，解方程求出x的值后，再算3x求出总路程。 【完整解答】解：设1份路程为x千米，总路程就是3x千米。 （2x－40）÷80＝x÷70＋40÷100 ＝＋ ×560＝×560＋×560 （2x－40）×7＝8x＋224 14x－280＝8x＋224 14x－280＋280－8x＝8x＋224＋280－8x 6x＝504 6x÷6＝504÷6 x＝84 3×84＝252（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是252千米。 11．（2025·湖北武汉·小升初真题）把108个连续正偶数之和分解质因数，得到A3×B2×C2×D的形式，那么这108个连续正偶数中最小的数至少是多少？ 【答案】68 【思路引导】先设最小的正偶数为k，那么这108个连续正偶数依次为k，k＋2，k＋4，……，k＋（108－1）×2，整理出这个和。 为了要将和分解为A3×B2×C2×D的形式，所以先对求和公式化简后，结合分解质因数的形式，因为要找最小的数至少是多少，所以根据质因数的要求，确定C和D的最小值，进而得到最小的正偶数k。 【完整解答】解：设这108个连续正偶数中最小的数为k，那么这108个连续正偶数依次为k，k＋2，k＋4，……，k＋（108－1）×2。 k＋k＋2＋k＋4＋……＋k＋（108－1）×2 ＝（2k＋214）×108÷2 ＝（k＋107）×2×2×3×3×3 ＝22×33×（k＋107） ＝A3×B2×C2×D 当C和D最小时，C＝5，D＝7 k＋107＝52×7＝25×7＝175 即k＝68 答：这108个连续正偶数中最小的数至少是68。 【考点剖析】分析质因数分解形式时，要注意各质因数的要求，逐一匹配条件。 12．（2025·浙江杭州·小升初真题）中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有几颗卫星？（用方程解） 【答案】98颗 【思路引导】在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。可得出等量关系：全球定位系统（GPS）卫星的数量×－6＝目前在轨卫星的数量，设全球定位系统（GPS）有颗卫星，列方程为 －6＝50，然后解方程即可。 【完整解答】解：设全球定位系统（GPS）有颗卫星。 －6＝50 ＝50＋6 ＝56 ＝56÷ ＝56× ＝98 答：全球定位系统（GPS）有98颗卫星。 13．（2025·湖南长沙·小升初真题）若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数。把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：。 (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数。（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【答案】(1) 不是 是 (2)见详解 【思路引导】根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大 1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数。 利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值。通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断。 【完整解答】（1）对于 4376： 个位数字是6，十位数字是7，7＝6＋1，符合第一个条件； 千位数字是4，个位数字是6，它们的平均数是（4＋6）÷2＝5； 百位数字是 3，3≠5，不符合第二个条件。 所以4376不是千丝数。 对于 7787： 个位数字是7，十位数字是8，8＝7＋1，符合第一个条件； 千位数字是7，个位数字是7，它们的平均数是（7＋7）÷2＝7； 百位数字是7，7＝7，符合第二个条件。 所以7787是千丝数。 （2）证明： 设任意一个千丝数的个位数字是a，千位数字是b（b不能为0，且a＋b为偶数）。 根据千丝数的定义： 十位数字是a＋1； 百位数字是（a＋b）÷2。 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： 因为1050b是5的倍数，55a是5的倍数，10也是5的倍数， 所以1050b＋55a＋10能被5整除。 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除。 【考点剖析】解题时注意明确千丝数的两个判定条件需要同时满足；设数字时，要注意各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数，且百位数字需为整数。证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性。 14．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 【答案】52平方米 【思路引导】设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米。3名一级技工一天粉刷的总面积是8个房间的面积减去未刷的50平方米，因此每名一级技工一天的粉刷面积为（8个房间总面积－50）÷3；5名二级技工一天粉刷的总面积是10个房间的面积加上多刷的40平方米，因此每名二级技工一天的粉刷面积为（10个房间总面积＋40）÷5。每名一级技工一天粉刷面积－二级技工一天粉刷面积＝10，据此列出方程，先化简，再根据等式的性质求解出x的值即可解答。 【完整解答】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。 （8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10 x－－2x－8＝10 x－2x－－8＝10 x－x－－＝10 x－＝10 x－＋＝10＋ x＝ x×＝× x＝52 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。 15．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【思路引导】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【完整解答】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 学科网（北京）股份有限公司 $