第6章 计数原理（复习课件）高二数学沪教版选择性必修第二册

单元复习课件 第6章计数原理 沪教版选择性必修二·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理；理解排列、组合的概念，能熟练计算排列数与组合数；会用计数原理解决古典概率问题；掌握二项式定理及通项公式，能求特定项的系数。 3.能综合运用捆绑法、插空法、隔板法、间接法等解决有限制条件的计数问题；能利用赋值法处理二项展开式的系数问题。 2.能根据问题特征正确选择”分类”或”分步”；能识别”有序”（排列）与”无序”（组合）； 单元学习目标 一级主题 二级主题 三级主题 核心内容 / 典型题型 计数原理 两个基本计数原理 加法原理 分类计数，类类独立，一步完成 乘法原理 分步计数，步步关联，缺一不可 排列与组合 排列 与顺序有关； 典型题型：相邻问题、不相邻问题、定序问题 组合 与顺序无关； 典型题型：分组分配问题、选排问题、几何计数问题 二项式定理 二项式展开的整体形式 通项公式 用于求指定项、常数项 系数和 赋值法求二项式系数和、项的系数和 最值问题 二项式系数的对称性、增减性与最大值 古典概率中的应用 等可能事件概率计算 利用排列、组合数计算基本事件总数与事件 A 包含的基本事件数，求 P(A) 单元知识图谱 类别 公式名称 数学表达式 关键说明 排列 排列数公式 适用于 表示从 个不同元素中取出 个元素进行排列的方法数。 组合 组合数公式 适用于 表示从 个不同元素中取出 个元素组成一组的方法数（不考虑顺序）。 组合性质 对称性 可简化计算，例如 。   递推公式 对应杨辉三角的规律，是组合数恒等变形的基础。   系数和 二项式展开式中所有二项式系数的总和。 二项式定理 定理公式 描述了二项和的 次幂的展开规则。   通项公式 表示二项展开式中的 第 项（ 从 0 开始）。 单元知识图谱 考点1：乘法原理与加法原理 原理 原理 定义 关键特征 公式 加法原理 完成一件事，有两类不同方案，第1类方案有种不同方法，第2类方案有种不同方法，……，第类方案有种不同方法，且各类方案彼此独立，用其中任何一种方法都能完成这件事 分类，类类独立，一步完成 乘法原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同方法，做第2步有种不同方法，……，做第步有种不同方法，且必须依次完成所有步骤才能完成这件事 分步，步步关联，缺一不可 复杂问题通常需要“先分类，后分步”或“先分步，后分类”，两者结合使用。 考点串讲 1. 核心概念对比 考点2：排列与组合 项目 排列 组合 定义 从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列 从个不同元素中取出个元素，合成一组（不考虑顺序） 核心特征 与顺序有关 与顺序无关 公式 规定：， 规定：， 关系 排列数 = 组合数 × 取出元素的全排列数，即 考点串讲 2. 组合数常用性质 考点2：排列与组合 对称性：（常用于简化计算，如） 递推公式：（杨辉三角的核心规律） 常用结论：； 考点串讲 3. 常见题型解题策略 考点2：排列与组合 题型 解题方法 典型示例 特殊元素/位置优先 优先处理受限元素或位置，再处理其他元素 5名同学排成一排，甲不能站在两端，有多少种排法？先排甲：中间3个位置选1个，；再排其余4人：，共种 相邻问题 捆绑法：将相邻元素视为一个整体，先整体排列，再内部排列 5名同学排成一排，甲、乙必须相邻，有多少种排法？捆绑甲乙：视为1个元素，共4个元素排列：；甲乙内部排列：，共种 不相邻问题 插空法：先排无限制元素，再将不相邻元素插入空隙 5名同学排成一排，甲、乙不相邻，有多少种排法？先排其余3人：，形成4个空隙；插入甲乙：，共种 考点串讲 3. 常见题型解题策略 考点2：排列与组合 题型 解题方法 典型示例 定序问题 消序法：总排列数除以定序元素的全排列数 5名同学排成一排，甲必须在乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？总排列数，甲乙定序，除以，共种 分组分配问题 均匀分组：分组数为时，需除以消除重复分组；非均匀分组直接分步组合 6本不同的书分成3组，每组2本，有多少种分法？种；若分给甲、乙、丙3人，再乘，得种 相同元素分配 隔板法：个相同元素分给个不同对象，每个对象至少1个，分法数为 10个相同的球分给4个不同的盒子，每个盒子至少1个，有多少种分法？种 考点串讲 1.核心公式 考点3：计数原理在古典概率中的应用 古典概型中，事件A发生的概率： P(A 其中分子、分母的计数，优先用排列或组合数计算，关键是判断问题是否与顺序有关。 2.易错点提醒 分子分母必须保持一致：要么都用排列（有序），要么都用组合（无序），避免“分子有序、分母无序”或反之导致的错误。 注意“放回”与“不放回”的区别：放回抽样是独立重复试验，不放回抽样会影响后续计数。 考点串讲 1. 核心公式 考点4：二项式定理 其中，第项（通项公式）： 2. 核心性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即=。 增减性与最大值：当n为偶数时，中间一项（第+1项）的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大。 各二项式系数和：； 奇数项二项式系数和 = 偶数项二项式系数和 = 。 考点串讲 3. 常见题型 考点4：二项式定理 求指定项（如第k项、含的项、常数项）：利用通项公式列方程求k，再代入计算。 求二项式系数或项的系数：区分“二项式系数”（仅）与“项的系数”（含a,b的系数部分）。 赋值法求系数和：令x=1,x=-1,x=0等特殊值，计算多项式展开式的系数和。 考点串讲 例1（上海高二期末改编）：从集合{1,2,3,…,10}中任取3个不同的数，使它们成等差数列，这样的等差数列共有多少个？ 考查要点：利用等差数列明确三数的关系及特点、利用排组和分类计数原理解题 设数：设取出的三个数为a,b,c， 题型一：加法原理与乘法原理综合应用 数的特点：成等差数列，则2b=a+c，即a+c为偶数，故a,c同奇或同偶。 第一类：集合中奇数有5个：1,3,5,7,9；偶数有5个：2,4,6,8,10。 从5个奇数中任取2个作为a,c，有=20种（a≠c，顺序不同对应不同数列）； 第二类：从5个偶数中任取2个作为a,c，有=20种； 加法：由加法原理，共有20+20=40个等差数列。 题型剖析 例2（改编自上海高考）已知 a∈{-1,0,1,2}，b∈{-1,0,1,2}，则函数 y=+bx+1 表示不同二次函数的情况有____种。 考查要点：利用二次函数定义与特征、利用排组和分步计数原理解题 特征：表示二次函数要求 a≠0 题型一：加法原理与乘法原理综合应用 第一步：第一步选 a：a∈{-1,1,2}，有 3 种取法； 第二步：第二步选 b：b∈{-1,0,1,2}，有 4 种取法。 乘法：由乘法原理，共有 3×4=▭12 种不同二次函数。 题型剖析 例3.用数字 1,2,3,4 组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比 2134 大的数字个数为____。 解题要点：按要求按千位数字划分两大类，过程中再根据百位分类。 千位为 3 或 4：有 2×=2×6=12 个； 题型二 ：排列问题 有限制条件的排队与数字 千位为 2：比 2134 大，需看百位 百位为 3 或 4:2×=4 个 百位为 1：需比 2134 大，只能是 2143，共 1 个 总数：12+4+1=17 个。 题型剖析 例5（浦东新区高二下期末改编）从 6 名男生和 4 名女生中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，按下列要求，各有多少种不同选法？ (1) 至少有 1 名女生；(2) 某男生必须入选，但不担任数学课代表。 解题要点：直接与间接灵活选用。 先选后排，先特殊后一般。 (1) 间接法：总数 ，全男生 。故 种。 题型三 ：组合问题 选排 (2)先特殊后一般： 题型剖析 例6（分组分配易错题）将 6 本不同的书分成 3 组，每组 2 本，则不同的分法有____种。 解题要点：要分清均分与否，分组后要不要排序。 错解1：=90 种 题型三 ：组合问题 分组不分配 正解：均匀分组需去重。 种。由于3组没有排序任务，不需要乘以。 错解2：=540 种 题型剖析 例7（上海浦东新区高二统考）：某班有6名同学报名参加校运会的三个项目，每人限报一项，每个项目至少1人报名，有多少种不同的报名方法？ 解题要点：先将6名同学分成3组，再分配到3个项目中，分两类讨论分组方式 分组1：分组方式为： 分法数：种，分配到3个项目：种，共种； 题型四 ：排列组合综合应用 分组分配 分组2：分组方式为： 分法数：种，分配到3个项目：种，共种； 3. 分组方式为： 分法数：种，分配到3个项目：种，共种 总数：由加法原理，总报名方法数：90+360+90=540种。 题型剖析 例8（黄浦区高三一模改编）从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为____。 解题要点：由于0是特殊元素，取到不取到影响四位数，分含0与不含0 偶数含0：； 题型四 ：排列组合综合应用 数字问题 总数：由加法原理，共 108+72=180 个 偶数不含0：。 题型剖析 例9（上海静安区高二期末）：从装有3个红球和2个白球的袋子中不放回地依次取出2个球，求： (1) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (2) 取出的两个球中恰有一个红球的概率。 解题要点：总数是组合问题，（1）（2）使用计数原理可解 总数： 题型五 ：计数原理在古典概率中的应用 (1) 分步计数：(1) 事件A：第一次红、第二次白，事件A包含的基本事件数：种， 故； (2) 分类计数：事件B：恰有一个红球，分两种情况：第一次红第二次白，或第一次白第二次红， 事件B包含的基本事件数：种， 故。 题型剖析 例10（徐汇区高二下期末改编）把 4 个不同的球随机放入 3 个不同的盒子中，每个球放入各个盒子的可能性相同。 (1) 求每个盒子都不空的概率； (2) 求恰有一个盒子为空的概率。 解题要点：总数是可重复排列，（1）（2）先分组后排列，分组时要考虑均分、不均分、部分均分。 总数： 题型五 ：计数原理在古典概率中的应用 (2) 恰有一个盒子空：先选空盒 ，再将 球放入剩余 盒且不空（即 或 ）。 。 。 (1) 每个盒子不空：必为 分组。分法 。 。 题型剖析 例11已知的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大27，求展开式中的常数项。 解题要点：根据通项公式、二项式系数性质可解。 二项式系数： 题型六 ：二项式定理应用 通项： 题型剖析 例12（上海高考题改编）已知 的展开式中，各项系数之和为 ，若第 项的二项式系数最大，求 的值。若进一步要求 项的系数不小于前后相邻两项的系数，求该项系数。。 解题要点：重在对系数的理解。项的系数，二项式系数是不同的概念。 各项系数和： 题型六 ：二项式定理应用 二项式系数最大： 通项： 题型剖析 1.（嘉定区高二下期末） 展开式中的常数项为____。 2.（闵行区高二下期中） ____。 3.（奉贤区高二下期末） 个人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻的排法有____种。 4.（松江区高二下期中）从 名男生和 名女生中选取 人，要求至少有 名女生，则不同的选法有____种。 A组：基础巩固（选自上海各校期中期末） 针对训练 5.（虹口区高二下期末）在 的展开式中， 项的系数为____。 6.（青浦区高二下期末）某班级要从 名男生和 名女生中选 人担任主持 人，则至少有 名女生的选法有____种。 7.（宝山区高二下期末） 展开式中 项的系数为____。 8.（普陀区高二下期末）用 组成无重复数字的三位偶数，共有____个。 A组：基础巩固（选自上海各校期中期末） 针对训练 常数项 通项： 令 常数项： 2. 3.5人排队，甲乙相邻 捆绑法：甲乙看成1个元素，共4个元素排列，甲乙内部排列 4.7男5女选3人，至少1女 总选法 - 全男选法 A组：基础巩固参考答案 针对训练 中 系数 通项： ： 6.4男2女选2人，至少1女 总选法 - 全男选法 中 系数 通项： 系数： 8.0,1,2,3,4组成无重复三位偶数 个位为0：百位4种，十位3种 → 个位为2/4：百位不能为0，各3×3=9，共18 合计： A组：基础巩固参考答案 针对训练 9.在 的二项展开式中，若各项系数和为 ，则 项的系数为____。 10.用数字 组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比 大的数字个数为____。 11.已知 的展开式中 项的系数为 ，则实数 ____。 B组：能力提升（选自上海高考、一模二模） 针对训练 12.从 名志愿者中选派 人在周六、周日参加公益活动，每天 人，每人至多参加一天，则不同的选派方法共有____种。 1 展开式中 的系数为____。 14. 从装有2个红球和3个白球的袋子中不放回地依次取出2个球，求取出的两个球颜色不同的概率。 针对训练 9.求 令 ，可得各项系数和：解得 。 求 项的系数 展开式的通项为： 令 ，则系数为： 答案： 10.总个数： 个。比 2134 小或等于的数：千位为 1： 个（均小于2134） 千位为 2：比 2134 小：只有 2134 本身及更小的数。2134 是千位为2、百位为1、十位为3、个位为4的数，千位为2、百位为1的数只有2134、2143，其中比2134小的没有，等于的是2134本身。所以千位为2时，小于等于2134的数只有1个（即2134）。 比 2134 大的数： B组：能力提升参考答案 针对训练 11.通项公式： 令，解得，系数： 解得：， 答案： 12.第一步（分组）：需要从5人中选出3人参加，剩下的2人不参加。这是一个组合问题。 选法数为：。第二步（分配）：将选出的这3人分配到周六和周日（每天3人，意味着周六3人、周日0人 或 周六0人、周日3人，实际上就是确定哪一天去3人）。 因为选出的3人整体安排到一天，有2种分配方案（周六去或周日去）。计算： 总的选派方法 = 分组数 分配数 B组：能力提升参考答案 针对训练 13.拆分目标： 我们需要找到展开式中所有能产生 的项。 原式 。 要得到 ，需要： 乘以 中的 项； 乘以 中的 项； 乘以 中的 项。通项公式： 的通项为 。分项计算： 项系数： 项系数：， 项系数：合并： B组：能力提升参考答案 14.总事件数，颜色不同的事件数：，；或用组合数： 针对训练 1. 核心逻辑 核心逻辑：计数原理的本质是“分类”与“分步”，排列是“有序分步计数”，组合是“无序分步计数”，二项式定理是组合数的重要应用，古典概型则是用计数原理计算概率。 2. 易错警示 排列与组合的顺序辨析； 分组分配问题的均匀分组去重； 古典概型中分子分母的有序/无序一致性； 二项式系数与项的系数的区别，通项公式的指数计算。 课堂总结 3.核心思想方法 分类讨论：遇到”至少”、“至多”、“含与不含”等问题，合理分类，不重不漏。 正难则反：当正面情况复杂时，考虑用总数减去反面情况（间接法）。 先选后排：分配问题通常先组合选取，再排列分配。 整体代换：二项式定理中的赋值法（x=1,-1,0 等）是求系数和的利器。 4.解题策略 解题策略：优先用特殊方法（捆绑、插空、间接法）简化问题，复杂问题先分类再分步，避免重复或遗漏计数。 课堂总结 感谢聆听! $