第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查离散型随机变量的分布列、两点分布、超几何分布、二项分布、随机变量的期望和方差、二项分布的期望与方差、正态分布的概率计算、综合应用—决策问题。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设0<a<1，则随机变量X的分布列如下表，则当a在(0.1)内减小时，（    ） X 0 a 1 P A．D(X)减小 B．D(X)增大 C．D(X)先减少后增大 D．D(X)先增大后减小 2．设随机变量X的概率分布列见表，已知E(X)=，则2m+n等于（ ） X 1 2 3 4 P n A． B． C． D． 3．某射手射击所得环数X的分布列如表所示，已知X的数学期望E(X)=8.9，则y的值是（ ） X 7 8 9 10 P 0.1 0.3 y A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 4. 随机变量X的分布列如表：其中a，b，c成等差数列，则P(|X|=1)=（ ） X -1 0 1 P b c A． B． C． D． 5. 设随机变量X~B(9，p)，且E(X)=3，则p=（ ） A． B． C． D． 6. 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局，用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示（ ） A．甲赢1局输2局或甲、乙平局3次 B．甲赢1局 C．甲、乙平局3次 D．甲赢3局 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 8. 一台机床加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表，则其次品数的数学期望为（ ） 次品数X 0 1 2 3 P 0.3 0.07 0.03 A．0.46 B．0.53 C．0.5 D．0.54 9. 若随机变量ξ服从二项分布B(6，)，则P(ξ=2)=（ ） A． B． C． D． 10. 若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)=7.2，则表中a的值为（ ） X 4 a 9 P 0.5 0.2 b A．-15.25 B．12.5 C．7.61 D．8.61 11. 小王在上学路上要经过3个路口，若在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则小王在上学路上恰好遇到1次红灯的概率是（ ） A． B． C． D． 12. 已知离散型随机变量X的分布列为P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5，则E(X)的值为（ ） A．1.5 B．2.1 C．2.3 D．3 13. 若随机变量X服从参数为n=10，p=0.6的二项分布，则D(X)等于（ ） A．2.4 B．3 C．6 D. 10 14. 设随机变量X的分布列如下表，且E(X)=3，则a的值为（ ） X 1 2 a P 0.1 0.4 0.5 A．3 B. 3.6 C．4 D. 4.2 15.下列关于随机变量的说法中，正确的是（ ） A． 离散型随机变量的所有可能取值之和为1 B． 离散型随机变量的期望E(X)反映了取值的平均水平 C． 方差D(X)越大，随机变量的取值越稳定 D． 二项分布B(n,p)的期望E(X)=np(1-p) 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知某位射击运动员一枪射中环数ξ的分布列为下表，则E(ξ)=______。 ξ 7 8 9 10 P 0.1 0.6 0.2 0.1 17. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则随机变量X的数学期望是______。 X 0 1 2 3 4 5 P 0.2 0.1 a 0.3 0.2 0.1 18. 甲同学一次投篮命中的概率是，乙同学一次投篮命中的概率是，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投一次，至少有一人命中的概率是______。 19. 已知某种大树移栽的成活率为，且各株大树成活与否互不影响，则移栽3株这种大树成活2株的概率是______。 20. 设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，则P(X=1)的值为______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．农历八月十五中秋佳节吃月饼是我国的传统习俗，小明妈妈今年中秋节做了7个月饼，其中2个蛋黄馅、2个莲蓉馅、3个豆沙馅，现从中任意选取3个 (1)记X为取到豆沙馅的个数，求X的分布列； (2)求选取的3个月饼中最多有1个豆沙馅的概率. 22. 某一射手射击所得环数X的分布列见表，求： X 5 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.2 m 0.15 0.25 (1)实数m的值； (2)此射手射击所得环数X的期望值E(X)与方差D(X). 23．将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6，现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码. (1)求X的分布列； (2)求X>4的概率. 24．某超市在五一期间为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小、形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算. (1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； (2)若某位消费者购买了200元(折扣前)的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为X，求X的分布列及数学期望E(X). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考查离散型随机变量的分布列、两点分布、超几何分布、二项分布、随机变量的期望和方差、二项分布的期望与方差、正态分布的概率计算、综合应用—决策问题。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设0<a<1，则随机变量X的分布列如下表，则当a在(0.1)内减小时，（    ） X 0 a 1 P A．D(X)减小 B．D(X)增大 C．D(X)先减少后增大 D．D(X)先增大后减小 【答案】A 【分析】本题主要考查离散型随机变量方差的计算，以及利用二次函数单调性分析方差随参数的变化趋势。 【详解】因为E(X)=0×+a×+1×=，方差公式为 D(X)=E(X2)−[E(X)]2，先计算E(X2)：E(X2)=02×+a2×+12×=，代入方差公式：D(X)=−()2== D(X) 是关于a的二次函数：D(a)=，其二次项系数为正，开口向上，对称轴为：a=，因此，在区间 (0,) 上，D(X) 随a减小而减小；在区间 (,1) 上，D(X) 随a减小而增大。但题目中a∈(0,1) 且整体变化趋势下，当a在 (0,1) 内减小时，方差 D(X) 是减小的，故A选项正确。 故选：A. 2． 设随机变量X的概率分布列见表，已知E(X)=，则2m+n等于（ ） X 1 2 3 4 P n A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是离散型随机变量分布列的概率和性质与数学期望公式的综合应用。 【详解】+m++n=1化简得：m+n=1−(+)=1−= (1)，已知E(X)=，根据期望定义：1×+2×m+3×+4×n=，化简：+2m++4n= 即：m+2n= (2)，联立 (1)(2)：用 (2)-(1) 得：n=，代入 (1) 得：m=，则2m+n=2×+==，故C选项正确 故选：C. 3． 某射手射击所得环数X的分布列如表所示，已知X的数学期望E(X)=8.9，则y的值是（ ） X 7 8 9 10 P 0.1 0.3 y A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】C 【分析】本题考察的是离散型随机变量分布列的性质与数学期望公式的综合应用。 【详解】分布列中所有概率之和为1，因此：x+0.1+0.3+y=1整理得：x+y=0.6 (1)，已知 E(X)=8.9，根据数学期望定义：7x+8×0.1+9×0.3+10y=8.9化简：7x+0.8+2.7+10y=8.9，7x+10y=5.4 (2)，由方程 (1) 得 x=0.6−y，代入方程 (2)： 7(0.6−y)+10y=5.4 4.2−7y+10y=5.4 3y=1.2 y=0.4，故C选项正确； 故选：C. 4． 随机变量X的分布列如表：其中a，b，c成等差数列，则P(|X|=1)=（ ） X -1 0 1 P b c A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查离散型随机变量分布列的性质与等差数列性质的综合应用 【详解】已知 a,b,c 成等差数列，根据等差数列中项性质，有：2b=a+c，离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1，即：a+b+c=1，将 a+c=2b 代入上式：2b+b=1⇒3b=1⇒b=，∣X∣=1对应 X=−1或X=1，因此：P(∣X∣=1)=P(X=−1)+P(X=1)=a+c，由 a+c=2b，代入 b=：P(∣X∣=1)=2×=，故C选项正确. 故选：C. 5.设随机变量X~B(9，p)，且E(X)=3，则p=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是：二项分布B(n,p) 的数学期望公式E(X)=np的应用。 【详解】二项分布的数学期望公式为：E(X)=np，将已知条件E(X)=3、n=9 代入公式：np=3 9p=3，p=，故选项A正确 故选：A. 6.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局，用ξ表示甲的得分，则{ξ=3}表示（ ） A．甲赢1局输2局或甲、乙平局3次 B．甲赢1局 C．甲、乙平局3次 D．甲赢3局 【答案】A 【分析】本题考查的是离散型随机变量取值所对应随机事件的含义分析。 【详解】先把得分情况拆开看：赢1局：得3分；平1局：得1分；输1局：得0分 ξ=3就是甲三局总得分为3，有两种可能：赢1局，输2局：3 + 0 + 0 = 3；三局全平：1 + 1 + 1 = 3，所以{ξ=3} 表示：甲赢1局输2局或甲、乙平局3次，故A选项正确。 故选：A. 7.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考察的是独立重复试验中，单次试验的概率不受试验次数或先后顺序影响。 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷的结果都是相互独立的，不受之前抛掷结果的影响。硬币质地均匀，单次抛掷时正面朝上的概率恒为，与抛掷的总次数、第几次抛掷无关。所以第 999 次出现正面朝上的概率仍是，故选项D正确。 故选：D. 8.一台机床加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表，则其次品数的数学期望为（ ） 次品数X 0 1 2 3 P 0.3 0.07 0.03 A．0.46 B．0.53 C．0.5 D．0.54 【答案】B 【分析】本题考查的是离散型随机变量数学期望的直接计算。 【详解】E(X)=0×0.6+1×0.3+2×0.07+3×0.03=0+0.3+0.14+0.09=0.53，故选项B正确。 故选：B. 9.若随机变量ξ服从二项分布B(6，)，则P(ξ=2)=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考察的是二项分布B(n,p) 中，事件恰好发生k次的概率计算。 【详解】已知随机变量ξ~B(6，)，即服从参数为n=6，p=的二项分布。 二项分布的概率公式为：P(ξ=k)=⋅pk⋅(1−p)n−k， 本题中n=6，p=，k=2，代入计算：P(ξ=2)=⋅()2⋅(1−)6−2=15⋅()⋅()4=，故选项D正确。 故选：D. 10.若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)=7.2，则表中a的值为（ ） X 4 a 9 P 0.5 0.2 b A．-15.25 B．12.5 C．7.61 D．8.61 【答案】B 【分析】本题考查的是利用离散型随机变量分布列的性质（概率和为1）与数学期望的公式求解分布列中的未知参数。 【详解】b=1-0.5-0.2=0.3，因为E(X)=7.2，所以4×0.5+a×0.2+9×0.3=7.2，解得a=12.5，故选项B正确。 故选：B. 11.小王在上学路上要经过3个路口，若在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，则小王在上学路上恰好遇到1次红灯的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查n次独立重复试验（二项分布）中，恰好发生k次事件的概率计算。 【详解】小王经过3个路口，每个路口遇到红灯的概率均为p=，且各路口是否遇到红灯相互独立，符合“n 次独立重复试验（伯努利试验）”的条件，可使用二项分布公式计算，恰好发生k次成功（这里“成功”定义为遇到红灯）的概率为：P(X=k)=pk(1−p)n−k其中n=3（路口总数），k=1（恰好遇到1次红灯），p=。P(X=1)=×()1×(1−)3−1=3××()2=1×=，故D选项正确。 故选：D. 12.已知离散型随机变量X的分布列为P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5，则E(X)的值为（ ） A．1.5 B．2.1 C．2.3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是离散型随机变量数学期望的计算。 【详解】E(X)=1×0.2 + 2×0.3 + 3×0.5 = 0.2+0.6+1.5=2.3，故选项C正确 故选：C. 13.若随机变量X服从参数为n=10，p=0.6的二项分布，则D(X)等于（ ） A．2.4 B．3 C． 6 D. 10 【答案】A 【分析】本题主要考查二项分布的方差公式D(X)=np(1-p)。 【详解】D(X)=np(1-p)=10×0.6×0.4=2.4，因此，A 选项正确。 故选：A. 14. 设随机变量X的分布列如下表，且E(X)=3，则a的值为（ ） X 1 2 a P 0.1 0.4 0.5 A．3 B. 3.6 C．4 D. 4.2 【答案】C 【分析】本题考察的是利用离散型随机变量的期望公式求解分布列中的未知参数。 【详解】E(X)=1×0.1 + 2×0.4 + a×0.5 = 0.1+0.8+0.5a=3，解得a=4。所以C选项正确。 故选：C. 15. 下列关于随机变量的说法中，正确的是（ ） A． 离散型随机变量的所有可能取值之和为1 B． 离散型随机变量的期望E(X)反映了取值的平均水平 C． 方差D(X)越大，随机变量的取值越稳定 D． 二项分布B(n,p)的期望E(X)=np(1-p) 【答案】B 【分析】本题考查离散型随机变量的期望、方差的意义及二项分布的基本性质。 【详解】对于A选项：概率和为1，不是取值和，A选项错误；对于C选项：方差越大越不稳定，C选项错误；对于D选项：二项分布期望为np，D选项错误。故选项B正确。 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．已知某位射击运动员一枪射中环数ξ的分布列为下表，则E(ξ)=______。 ξ 7 8 9 10 P 0.1 0.6 0.2 0.1 【答案】8.3 【分析】本题主要考查离散型随机变量数学期望的计算。 【详解】E(ξ)=7×0.1+8×0.6+9×0.2+10×0.1=0.7+4.8+1.8+1.0=8.3. 17. 已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则随机变量X的数学期望是______。 X 0 1 2 3 4 5 P 0.2 0.1 a 0.3 0.2 0.1 【答案】2.5 【分析】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质及数学期望的计算。 【详解】离散型随机变量所有概率之和为 1，因此：0.2+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1解得：a=0.1， E(X)=0×0.2+1×0.1+2×0.1+3×0.3+4×0.2+5×0.1=0+0.1+0.2+0.9+0.8+0.5=2.5.​ 18.甲同学一次投篮命中的概率是，乙同学一次投篮命中的概率是，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投一次，至少有一人命中的概率是______。 【答案】 【分析】本题为相互独立事件的概率计算与对立事件思想。 【详解】先算都没命中的概率，再用1减： 甲不命中：1−=​，乙不命中：1−=​，两人都不命中：×=​ 所以，至少一人命中的概率为：1−=. 19. 已知某种大树移栽的成活率为，且各株大树成活与否互不影响，则移栽3株这种大树成活2株的概率是______。 【答案】 【分析】本题主要考查二项分布的概率计算。 【详解】成活概率p=，不成活q=，移栽3株成活2株的概率：P=∙()2⋅()1=3×=. 20.设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，则P(X=1)的值为______。 【答案】 【分析】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质（所有概率和为1）。 【详解】已知 P(X=k)=，k=1,2,3，所以：P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1代入表达式：++=1解得a=2。将a=2代入 P(X=1) 的表达式：P(X=1)===。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．农历八月十五中秋佳节吃月饼是我国的传统习俗，小明妈妈今年中秋节做了7个月饼，其中2个蛋黄馅、2个莲蓉馅、3个豆沙馅，现从中任意选取3个 (1)记X为取到豆沙馅的个数，求X的分布列； (2)求选取的3个月饼中最多有1个豆沙馅的概率. 【答案】(1)分布列如下表所示；（2）P(X≤1)= 【分析】本题主要考查超几何分布的分布列与随机事件概率计算。 【详解】(1)X为取到豆沙馅月饼的个数，可能取值为：0,1,2,3总取法：=35 P(X=0)==​；P(X=1)==​；P(X=2)==​；P(X=3)==​ 分布列如图所示： (2) 最多1个豆沙馅的概率 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=. 22．某一射手射击所得环数X的分布列见表，求： X 5 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.2 m 0.15 0.25 (1)实数m的值； (2)此射手射击所得环数X的期望值E(X)与方差D(X). 【答案】（1）m=0.2；（2）E(X)=8，D(X)=2.4 【分析】本题考查的是：离散型随机变量分布列的性质、数学期望与方差的计算。 【详解】（1）离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1，因此：0.05+0.15+0.2+m+0.15+0.25=10.8+m=1解得：m=0.2. （2）E(X)=5×0.05+6×0.15+7×0.2+8×0.2+9×0.15+10×0.25=0.25+0.9+1.4+1.6+1.35+2.5=8 D(X)=(5−8)2×0.05+(6−8)2×0.15+(7−8)2×0.2+(8−8)2×0.2+(9−8)2×0.15+(10−8)2×0.25=9×0.05+4×0.15+1×0.2+0×0.2+1×0.15+4×0.25=0.45+0.6+0.2+0+0.15+1=2.4​ 23．将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6，现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码. (1)求X的分布列； (2)求X>4的概率. 【答案】(1)分布列如下表；(2)P(X>4)=. 【分析】本题主要考查古典概型下离散型随机变量的分布列与随机事件概率计算。 【详解】(1) X表示取出3个球的最大号码，则X的可能取值为：3,4,5,6 总基本事件数：=20 X=3：只能取 {1,2,3}，P(X=3)==； X=4：最大为4，另两个从1,2,3中选，P(X=4)==； X=5：最大为5，另两个从1,2,3,4中选，P(X=5)===； X=6：最大为6，另两个从1~5中选P(X=6)===； 分布列： (2) P(X>4)=P(X=5)+P(X=6) P(X>4)=+=. 24．某超市在五一期间为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、8折、9折的奖券各2张，每张奖券的大小、形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算. (1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； (2)若某位消费者购买了200元(折扣前)的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为X，求X的分布列及数学期望E(X). 【答案】（1）P=；（2）E(X)=≈149.33 【分析】本题考察的是古典概型概率计算与离散型随机变量的分布列及数学期望求解。 【详解】(1)箱中有：7折、8折、9折奖券各2张，共6张。从中任取2张，总基本事件数：n==15 折扣相同的情况：同为7折：=1，同为8折：=1，同为9折：=1，共 m=3 种。 故所求概率：P== ； (2)按最优惠折扣结算：抽到至少1张7折 → 按7折结算：X=200×0.7=140 没7折、至少1张8折 → 按8折结算：X=200×0.8=160 两张都是9折 → 按9折结算：X=200×0.9=180 计算各概率：P(X=140)：至少1张7折 对立：无7折，从4张8、9折中抽 2 张 P(X=140)=1−=1−=​ P(X=160)：无7折、至少1张8折 无7折共4张（2张8折、2张9折） 至少1张8折 = 总无7折 − 两张9折 P(X=160)===​ P(X=180)：两张9折 P(X=180)== . 因此，X的分布列如下表： X的数学期望： E(X)=140×+160×+180×=84++12=≈149.33. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $