第九章 随机变量及其分布（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了离散型随机变量的分布列、两点分布、超几何分布、二项分布、随机变量的期望和方差、二项分布的期望与方差、正态分布的概率计算、综合应用—决策问题等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 离散型随机变量的分布列 1 考点二 两点分布（0-1分布） 2 考点三 超几何分布 3 考点四 二项分布 4 考点五 随机变量的期望 5 考点六 随机变量的方差 5 考点七 期望与方差的性质 6 考点八 二项分布的期望与方差 7 考点九 正态分布的概率计算（3σ原则） 7 考点十 综合应用——决策问题 8 考点一 离散型随机变量的分布列 1．袋中有3个白球、2个黑球，从中任取2个球，记取到白球的个数为 X，求 X 的分布列。 【答案】P(X=0)=0.1，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.3 【分析】本题主要考查通过组合数计算所有可能取值的概率并列表。 【详解】P(X=0)===0.1，P(X=1)===0.6，P(X=2)===0.3。分布列如下图： 2. 已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则其均值E(ξ)=（ ） A. 1 B. 0.6 C. 2.44 D. 2.4 【答案】D 【分析】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质：离散型随机变量所有可能取值的概率之和为1，利用这个性质可以求出未知的概率m。离散型随机变量的均值（数学期望）：公式为E(ξ) =，即每个取值乘以其对应概率后求和。。 【详解】根据性质：0.5+m+0.2=1,m=0.3,E(ξ) =1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4。所以D选项正确。 故选：D． 考点二 两点分布（0-1分布） 3. 某次射击命中率为0.8，记一次射击中命中为1，不中为0，求 X的分布列。 【答案】P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2 【分析】本题主要考查两点分布（0-1分布）：只有两个结果，概率之和为1，用于一次伯努利试验。 【详解】P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，服从两点分布。分布列如下图： 4. 若随机变量X的概率分布表如下，则D(X)=（ ） A.0.5 B. 0.42 C.0.24 D. 0.16 【答案】C 【分析】本题主要考查用两点分布的性质来计算均值和方差。 【详解】两点分布的均值E(X)=p（其中p是取1的概率），这里p=0.6，所以E(X)=0.6，两点分布的方差D(X)=p(1-p)，代入得D(X)=0.6×(1-0.6)=0.24，故选项C正确. 故选：C． 考点三 超几何分布 5. 某批产品有10件，其中4件次品，现随机抽取3件，求次品数 X 的分布列。 【答案】当k=0时：P(X=0)=；当k=1时：P(X=1)=；当k=2时：P(X=2)=；当k=3时，P(X=3)=。 【分析】本题主要考查不放回抽样中，利用组合数计算次品数的概率分布。 【详解】X~H(10,4,3)，P(X=k)=， 当k=0时：P(X=0)===； 当k=1时：P(X=1)===； 当k=2时：P(X=2)===； 当k=3时，P(X=3)===。 6.  某班级有30名学生，其中10名是女生，20名是男生。现随机抽取5名学生（不放回）参加活动，求抽到的女生人数X的分布列，并求至少抽到2名女生的概率。 【答案】0.5512 【分析】本题主要考查超几何分布的概率计算，特别是利用组合数求分布列以及“至少”型事件的概率求法。 【详解】总体容量 N=30，女生数 M=10，抽取数 n=5，X服从超几何分布。 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,5（但实际最多只能抽到5名女生，且女生总数10，所以所有取值均可能）。概率公式：P(X=k)=。 P(X=0)==≈0.1088；P(X=1)===≈0.3400 P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)=1−0.1088−0.3400=0.5512 因此，至少抽到2名女生的概率约为 0.5512。 考点四 二项分布 7. 某人射击命中率为0.8，独立射击5次，求恰好命中3次的概率。 【答案】0.2048 【分析】本题主要考查独立重复试验中，成功次数服从二项分布，概率为组合数乘以成功概率的幂。 【详解】X~B(5,0.8)，P(X=3)=(0.8)3(0.2)2=10×0.512×0.04=0.2048 8. 已知随机变量X服从二项分布X~B(6，)，则P(X=4)=（ ） A. B. C.​ D. 【答案】C 【分析】本题主要考查二项分布的概率计算公式，即利用组合数与概率幂次的乘积计算特定取值的概率。 【详解】若随机变量X~B(n,p)则P(X=k)=pk(1-p)n-k其中是组合数，计算公式为=，因为n=6，p=，k=4，代入公式：P(X=4)=()4(1-)6-4，计算组合数===15，计算各项幂次()4=，()2=，所以P(X=4)=15××=。故选项C正确。 故选：C． 考点五 随机变量的期望 9. 已知分布列：X取1,2,3，概率分别为0.2,0.5,0.3，求 E(X)。 【答案】2.1 【分析】本题主要考查随机变量的期望，各取值与其概率乘积之和，反映随机变量的平均水平。 【详解】E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=0.2+1.0+0.9=2.1。 10. 若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)=6.3，则表中a的值为（ ） A.-14.39 B.7 C.5.61​ D.6.61 【答案】B 【分析】本题主要考查离散型随机变量的分布列性质（所以概率之和为1）和离散型随机变量的数学期望公式。 【详解】分布列中所有概率之和为1，所以b=1-0.5-0.1=0.4，离散型随机变量的期望公式为：E(X)=，代入已知条件E(X)=6.3，得：4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3，解得：a=7，所以选项B正确。 故选B. 考点六 随机变量的方差 11. 已知分布列：X取1,2,3，概率分别为0.2,0.5,0.3，求 D(X)。 【答案】D(X)=0.49 【分析】本题主要考查随机变量的方差：平方的期望减去期望的平方，度量随机变量的波动程度。 【详解】先算 E(X2)=12×0.2+22×0.5+32×0.3=0.2+2+2.7=4.9， D(X)=E(X2)−[E(X)]2=4.9−2.12=4.9−4.41=0.49。 12. 设离散型随机变量X的分布列为下表，则离散型随机变量X的方差D(X)= . 【答案】1.8 【分析】本题主要考查离散型随机变量的方差计算。 【详解】D(X)=E(X2)-[E(X)]2，E(X2)=02×0.1+12×0.4+22×0.1+32×0.2+42×0.2=5.8， [E(X)]2=[0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2]2=22=4。所以，D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5.8-4=1.8。 考点七 期望与方差的性质 13.已知 E(X)=2，D(X)=3，求 E(3X+1)和 D(2X−1)。 【答案】E(3X+1)=7；D(2X−1)=12 【分析】本题主要考查期望与方差的性质：线性变换下，期望线性变化，方差只受系数平方影响。 【详解】E(3X+1)=3E(X)+1=7；D(2X−1)=4D(X)=12。 14.设随机变量 X 的分布列如下： (1) 求 E(X)和 D(X)； (2) 令 Y=2X+3，求 E(Y)和D(Y)。 【答案】（1）E(X)=0.8，D(X)=1.56；（2）E(Y)=4.6，D(Y)=6.24  【分析】本题主要考查期望的线性性质可简化计算，避免重新求变换后变量的分布；方差的系数平方性质表明：平移不改变方差，但缩放会按平方倍数变化。 【详解】（1）E(X)==(−1)×0.2+0×0.3+2×0.5=−0.2+0+1=0.8 E(X2)==(−1)2×0.2+02×0.3+22×0.5=1×0.2+0+4×0.5=0.2+2=2.2 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.2−(0.8)2=2.2−0.64=1.56 （3）E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2×0.8+3=1.6+3=4.6 D(Y)=D(2X+3)=22D(X)=4×1.56=6.24 . 考点八 二项分布的期望与方差 15. 某射击手命中率为0.7，射击10次，求命中次数的期望与方差。 【答案】E(X)=7，D(X)=2.1 【分析】本题主要考查二项分布的期望与方差：期望为np，方差为np(1-p)。 【详解】X~B(10,0.7)，E(X)=np=7，D(X)=np(1−p)=10×0.7×0.3=2.1。 16. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)=2，D(X)=，则p=（ ） A. B. C.​ D. 【答案】C 【分析】本题主要考查二项分布的期望与方差公式的应用，通过已知的期望和方差联立求解参数p. 【详解】因为E(X)=np=2，D(X)=np(1−p)=，联立解得：p=，所以选项C正确。 故选C. 考点九 正态分布的概率计算（3σ原则） 17. 某次考试成绩服从 N(80,100)，求成绩在70到90之间的概率（参考标准正态分布表或3σ原则）。 【答案】P(70<X<90)≈0.6826 【分析】本题主要考查正态分布的概率计算：利用3σ原则或标准化后查表求区间概率。 【详解】μ=80，σ=10，区间 [μ−σ，μ+σ]对应概率约为0.6826，故 P(70<X<90)≈0.6826。 18. 已知随机变量X~N(5，32)，求： （1） P(2<X<8)； （2） P(X<-1)。 【答案】（1）0.6826；（2）0.0228 【分析】本题主要考查正态分布的标准化变换：Z=，利用标准正态分布表计算概率。 【详解】已知X~N(5，32)，即μ=5，σ=3，所以（1）P(2<X<8)=P(<<)=P(-1<Z<1)，查标准正态分布表得：P(-1<Z<1)=Φ(1)-Φ(-1)=0.8413-0.1587=0.6826； （2）P(X<-1)=P(<)=P(Z<-2)，查标准正态分布表得：P(Z<-2)=Φ(-2)=0.0228. 考点十 综合应用——决策问题 19. 某商场促销，顾客抽奖，箱中有3个红球、2个蓝球，每次摸一球，摸后放回。顾客可抽奖一次，若摸到红球得10元，蓝球得5元。商场需支付顾客金额的期望，若成本为每次6元，问是否盈利？ 【答案】盈利 【分析】本题主要考查综合应用—决策问题：通过期望值比较收益与成本，做出最优决策。 【详解】每次摸到红球概率0.6，蓝球0.4，奖金 Y 的期望 E(Y)=10×0.6+5×0.4=8元，成本6元，期望利润2元，盈利。 20. 某中职学校创业社团计划在校园内开展奶茶售卖活动，现有两种进货方案： 方案A：进货量为50杯，每杯成本3元，售价8元，卖不完的奶茶只能以1元/杯处理。 方案B：进货量为40杯，每杯成本3元，售价8元，卖不完的奶茶只能以1元/杯处理。 根据以往校园活动数据，奶茶的日需求量 X（单位：杯）的分布列为： 请通过计算两种方案的日利润期望，为社团选择最优进货方案。 【答案】选择方案A 【分析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望计算，以及利用期望进行实际决策。 【详解】设日利润为Y，需求量为X，进货量为n，当X≥n时，全部卖出：Y=(8-3)n=5n； 当X<n时，卖出X杯，处理(n-X)杯：Y=5X-2(n-X)=7X-2n. 方案A： 当 X=30：Y1 = 7×30 - 2×50 = 210 - 100 = 110 当 X=40：Y2 = 7×40 - 2×50 = 280 - 100 = 180 当 X=50：Y3 = 5×50 = 250 期望： E(YA) = 110×0.2 + 180×0.5 + 250×0.3= 22 + 90 + 75= 187元 方案B： 当 X=30：Y1 = 7×30 - 2×40 = 210 - 80 = 130 当 X=40：Y2 = 5×40 = 200 当 X=50：Y3 = 5×40 = 200 期望： E(YB) = 130×0.2 + 200×0.5 + 200×0.3= 26 + 100 + 60= 186元 因为 E(YA) = 187 > E(YB) = 186，所以选择方案A。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的考点梳理卷，主要梳理和考查了离散型随机变量的分布列、两点分布、超几何分布、二项分布、随机变量的期望和方差、二项分布的期望与方差、正态分布的概率计算、综合应用—决策问题等常见考点。 第九章 随机变量及其分布 目录 考点一 离散型随机变量的分布列 1 考点二 两点分布（0-1分布） 2 考点三 超几何分布 2 考点四 二项分布 3 考点五 随机变量的期望 3 考点六 随机变量的方差 3 考点七 期望与方差的性质 4 考点八 二项分布的期望与方差 4 考点九 正态分布的概率计算（3σ原则） 5 考点十 综合应用——决策问题 5 考点一 离散型随机变量的分布列 1．袋中有3个白球、2个黑球，从中任取2个球，记取到白球的个数为 X，求 X 的分布列。 2. 已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则其均值E(ξ)=（ ） A. 1 B. 0.6 C. 2.44 D. 2.4 考点二 两点分布（0-1分布） 3. 某次射击命中率为0.8，记一次射击中命中为1，不中为0，求 X的分布列。 4. 若随机变量X的概率分布表如下，则D(X)=（ ） A.0.5 B. 0.42 C.0.24 D. 0.16 考点三 超几何分布 5. 某批产品有10件，其中4件次品，现随机抽取3件，求次品数 X 的分布列？ 6. 某班级有30名学生，其中10名是女生，20名是男生。现随机抽取5名学生（不放回）参加活动，求抽到的女生人数X的分布列，并求至少抽到2名女生的概率。 考点四 二项分布 7. 某人射击命中率为0.8，独立射击5次，求恰好命中3次的概率。 8. 已知随机变量X服从二项分布X~B(6，)，则P(X=4)=（ ） A. B. C.​ D. 考点五 随机变量的期望 9. 已知分布列：X取1,2,3，概率分别为0.2,0.5,0.3，求 E(X)。 10. 若随机变量X的分布列如下表所示，且E(X)=6.3，则表中a的值为（ ） A.-14.39 B.7 C.5.61​ D.6.61 考点六 随机变量的方差 11. 已知分布列：X取1,2,3，概率分别为0.2,0.5,0.3，求 D(X)。 12.设离散型随机变量X的分布列为下表，则离散型随机变量X的方差D(X)= . 考点七 期望与方差的性质 13.已知 E(X)=2，D(X)=3，求 E(3X+1)和 D(2X−1)。 14.设随机变量 X 的分布列如下： (1) 求 E(X)和 D(X)； (2) 令 Y=2X+3，求 E(Y)和D(Y)。 考点八 二项分布的期望与方差 15. 某射击手命中率为0.7，射击10次，求命中次数的期望与方差。 16. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)=2，D(X)=，则p=（ ） A. B. C.​ D. 考点九 正态分布的概率计算（3σ原则） 17. 某次考试成绩服从 N(80,100)，求成绩在70到90之间的概率（参考标准正态分布表或3σ原则）。 18. 已知随机变量X~N(5，32)，求： （1） P(2<X<8)； （2） P(X<-1)。 考点十 综合应用——决策问题 19. 某商场促销，顾客抽奖，箱中有3个红球、2个蓝球，每次摸一球，摸后放回。顾客可抽奖一次，若摸到红球得10元，蓝球得5元。商场需支付顾客金额的期望，若成本为每次6元，问是否盈利？ 20. 某中职学校创业社团计划在校园内开展奶茶售卖活动，现有两种进货方案： 方案A：进货量为50杯，每杯成本3元，售价8元，卖不完的奶茶只能以1元/杯处理。 方案B：进货量为40杯，每杯成本3元，售价8元，卖不完的奶茶只能以1元/杯处理。 根据以往校园活动数据，奶茶的日需求量 X（单位：杯）的分布列为： 请通过计算两种方案的日利润期望，为社团选择最优进货方案。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $