21.3.1 矩形（第2课时）-课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3.1 矩形（第2课时） 1．掌握矩形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与矩形的知识进行判定； 3．能解决矩形判定的综合问题． 1．说一说矩形的定义？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形． 2．说一说矩形的性质？ （1）角：矩形的四个角都是直角． （2）边：对边平行且相等． （3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________． 一半 接下来研究矩形的判定．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立． 4 思考：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 分析：如图所示，由▱ABCD的对角线AC，BD相等，再根据AB＝DC，BC＝CB，可以证明△ABC≌△DCB，从而∠ABC＝∠DCB，又∠ABC与∠DCB互补，所以它们都是直角．这样，就证明了▱ABCD是矩形． 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形． 已知：如图所示，由▱ABCD的对角线AC，BD相等． 求证： ▱ABCD是矩形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB//CD． ∴∠ABC＋∠DCB＝180°． ∵AC＝BD，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠ABC＝∠DCB． ∴∠ABC＝90°． ∴平行四边形 ABCD 是矩形． 即：对角线相等的平行四边形是矩形． 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形． 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 想一想：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知道其中的道理吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形． 思考：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 不是矩形 不是矩形 两个角是直角 一个角是直角 三个角是直角 是矩形 已知：在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴AD//BC，AB/CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵∠A＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． 即：有三个角是直角的四边形是矩形． B C D A 矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形． 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． B C D A 例：如图所示，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形． 例：如图所示，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD． ∴∠BAD＋∠ADC＝180°． 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF＋∠ADF＝∠BAD＋∠ADC＝（∠BAD＋∠ADC）＝90°． ∴∠F＝90°． 同理∠H＝∠AEB＝90°． ∴∠FEH＝∠AEB＝90°． ∴四边形EFGH是矩形． 矩形的判定方法 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形． （3）角：有三个角是直角的四边形是矩形． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 矩形的判定 角 定义法 对角线 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． D 2．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 6 3．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ，． ，平分，， 同理可得，． ∵，∴四边形为平行四边形． 又∵，∴平行四边形是矩形． 4．如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（   ） A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形 C．四边形始终是平行四边形 D． B 5．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴平行四边形是矩形； 5．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． （2）∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴， ∴． 1．下列说法错误的是（     ） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 A 2．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) （或或等） 3．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ C 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． 证明：（1）在中，是的角平分线， ，，， 为的外角的平分线，， ， ，四边形为矩形； 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形，则． 又， ， 四边形是平行四边形； 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． （3），．理由： 四边形为矩形，， ， 是的中位线， ∴，． $