专题3 复数（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 复数 【复习目标】 1、理解复数的有关概念，掌握复平面内复数的几何意义. 2、能够求复数的模，能判断两个复数是否相等、是否互为共轭复数. 3、会对两个复数做加、减和乘法运算，了解复数加法和减法的几何意义. 4、会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 【考点1 复数的概念及几何意义】 1. 复数的概念 (1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号__表示，规定_________，我们把i叫作_______． (2)定义：形如_________的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的_______，叫复数的_______，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示，复数集为. 2.复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是_______； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是_______0； (3)当b≠0时，叫做_______； (4)当a＝0且b≠0时，叫做_______． 分类如下： （） 注：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下图 5、共轭复数： 一般地，当两个复数的实部_______，虚部互为_______时，这两个复数叫做互为_______；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，则_______. 6、复数相等 两个复数相等的定义：如果两个复数的_______分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 注：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 7、复数的几何意义 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. ①轴——_______ ②轴——_______ ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数的几何意义 复数复平面内的_______ 平面向量_______。 (3)复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：_________________，其中 复数模的几何意义：______________________________________________； 注：时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 【即时训练】 1. 复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 2. 已知复数 的实部和虚部分别为 和4， 则实数和的值分别是 （    ） A． B． C． D． 3．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 6．设（i为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．4 C． D．3 7．复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 8．（    ） A． B． C． D． 【考点2 复数的运算】 1．复数的加法及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和 . (2)复数加法的运算律 对任意，有 交换律：_____________________ 结合律：_____________________ (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量. 2．复数的减法及其几何意义 (1)复数的减法法则 复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 (2)复数减法的几何意义 复数 为图中 向量 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2) 复数乘法的运算律 交换律：_____________________ 结合律：_____________________ 分配律：_____________________ (3)共轭复数的性质 设，（）  ①为实数     ②且为纯虚数  ③，， 4．复数的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 【即时训练】 9. 已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 10. 若复数，则 （    ） A． B． C． D． 11. 若，则等于（    ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．若，则的共轭复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 14．若，则复数（   ） A． B． C． D． 15．若复数满足，则在复平面内的对应点为（    ） A． B． C． D． 16．已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【考点3 复数范围内实系数一元二次方程的解法】 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程， (1)当4=b2-4ac>0时，方程有___________________； (2)当4=b2- 4ac=0时，方程有__________________； (3)当=b2- 4ac<0时，方程有__________________. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程的解，那么__________________， 3．在复数范围内，实数系方程的求解方法 ①时，__________________ ②<0时， 【即时训练】 18方程的解为 ． 19 .“”是“关于的方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 20.“”是“关于的实系数方程有虚根”的_____条件. 21.已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 复数 【复习目标】 1、理解复数的有关概念，掌握复平面内复数的几何意义. 2、能够求复数的模，能判断两个复数是否相等、是否互为共轭复数. 3、会对两个复数做加、减和乘法运算，了解复数加法和减法的几何意义. 4、会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 【考点1 复数的概念及几何意义】 1. 复数的概念 (1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝-1，我们把i叫作虚数单位． (2)定义：形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示，复数集为. 2.复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 分类如下： （） 注：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下图 5、共轭复数： 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，则. 6、复数相等 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 注：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 7、复数的几何意义 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数的几何意义 复数复平面内的点 平面向量。 (3)复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 注：时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 【即时训练】 1. 复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】复数的虚部是. 故选：A 2. 已知复数 的实部和虚部分别为 和4， 则实数和的值分别是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，因此，解得， 所以实数 和 的值分别是. 故选：D. 3．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数在复平面内的点为，位于第四象限. 4．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为. 所以. 5．已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得复数的虚部为. 6．设（i为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】由， 则复数的虚部为. 7．复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 8．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 【考点2 复数的运算】 1．复数的加法及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和 . (2)复数加法的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量. 2．复数的减法及其几何意义 (1)复数的减法法则 复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 (2)复数减法的几何意义 复数 为图中 向量 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2) 复数乘法的运算律 交换律： 结合律： 分配律： (3)共轭复数的性质 设，（）  ①为实数     ②且为纯虚数  ③，， 4．复数的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 【即时训练】 9. 已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A 10. 若复数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由复数，则. 故选：A. 11. 若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以，得， 所以. 故选：B. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义及复数的乘法法则可得. 【详解】因为，所以，． 13．若，则的共轭复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由 ， 则，故， 又的共轭复数是， 故的共轭复数的虚部为. 14．若，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得. 15．若复数满足，则在复平面内的对应点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据几何意义，即可得答案. 【详解】由，得，所以， 所以在复平面内的对应点为. 16．已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，，则. 17．已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】， 所以， 故选：D. 【考点3 复数范围内实系数一元二次方程的解法】 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程， (1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程的解，那么x1＋x2=，x1x2=， 3．在复数范围内，实数系方程的求解方法 ①时， ②<0时， 【即时训练】 18方程的解为 ． 【答案】 【详解】∵，∴由求根公式得， 故答案为：． 19 .“”是“关于的方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】当时，关于的方程有两个相等的实根， 当关于的方程有虚根时，成立， 所以“”是“关于的方程有虚根”的必要不充分条件， 故选：B 20.“”是“关于的实系数方程有虚根”的_____条件. 【答案】必要不充分 【详解】关于的方程有虚根等价于判别式，即，解得， 所以“”是“关于的方程有虚根”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 21.已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 【答案】19 【详解】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以，解得，所以，故答案为：19. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $