专题4 不等式的性质（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 不等式的性质 【复习目标】 1、 理解并掌握实数大小的基本性质 2、 会用作差比较法比较两个实数或代数式的大小 3、理解并掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形，解决简单的问题. 【考点1 不等式的基本性质】 性质1　对称性：____________________； 性质2　传递性：____________________； 性质3　可加性：____________________； 性质4　可乘性：____________________； 性质5　同向可加性：____________________； 性质6　同向同正可乘性：____________________； 性质7　同正可乘方性：____________________． 性质8 倒数性质 ①a>b，ab>0⇒______； ②a<b<0⇒_____； ③a>b>0,0<c<d⇒_____； 【即时训练】 1．若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知命题且，命题且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 6．如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 数（式）的大小比较】 1、实数大小的基本性质 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. 2、比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． 作差法 (a，b∈R)． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)中间值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性: 若，则;若，那么，其中b是介于a与c之间的中间值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中间值. 【即时训练】 1．，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 2．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 5．设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 6．若，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．若为实数，且，则下列命题正确的是______（填序号） ①；②；③；④． 8．已知，，则的大小关系为______. 9. 如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（　　） A．a＞b B．a2＞b2 C． D．ac2＞bc2 10．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 不等式的性质 【复习目标】 1、 理解并掌握实数大小的基本性质 2、 会用作差比较法比较两个实数或代数式的大小 3、理解并掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形，解决简单的问题. 【考点1 不等式的基本性质】 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 性质8 倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； 【即时训练】 1．若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 2．已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明. 【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 3．已知命题且，命题且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的性质可得必要性，利用举反例可得不充分性，即可作出判断. 【详解】由且，可推出：且，故是的必要条件， 但且，不一定能推出且， 比如：，满足且，但不满足且， 故是的不充分条件， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】∵，∴，A选项错误，B选项正确； ，C选项错误， ，D选项错误. 故选：B. 5．对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 6．如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值法和不等式的性质逐项判断即可. 【详解】因为， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：B. 7．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 8．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】举实例说明判断AC；利用不等式性质判断B；利用作差法比较大小判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，则，C错误； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：BD 9．（多选）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用不等式性质逐一判断，选项D则用作差法即可. 【详解】对于A，，但与不能比较大小，故A不一定成立； 对于B，，故B成立； 对于C，由题意得，故C成立； 对于D，由，但符号不确定，故D不一定成立. 故选：BC. 10．若，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC可举出反例，D选项可由不等式性质得到. 【详解】A选项，当时，满足，但不满足，A错误； B选项，当时，满足，但不满足，B错误； C选项，当时，满足，但此时，C错误； D选项，因为，由不等式性质可得，D正确. 故选：D 【考点2 数（式）的大小比较】 1、实数大小的基本性质 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. 2、比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． 作差法 (a，b∈R)． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)中间值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性: 若，则;若，那么，其中b是介于a与c之间的中间值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中间值. 【即时训练】 1．，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以 ， 所以. 故选：B. 2．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法可得答案. 【详解】若， 则. 故选：B. 3．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小. 【详解】由，得，则； ，则； ，则， 所以这四个实数中的最大者是. 故选：C 5．设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 【答案】C 【分析】先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小. 【详解】∵＜＜＜1， ∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa. ∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1. ∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba. 故答案为C 6．若，则的值与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用作差比较法即可判断两者大小. 【详解】由， 因，故，即得. 故选：C. 7．若为实数，且，则下列命题正确的是______（填序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据特殊值、差比较法等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，，，， ①，若，则，所以①错误. ②，， ， 所以，所以②正确. ③，所以③错误. ④，所以④错误. 故答案为：② 8．已知，，则的大小关系为______. 【答案】 【分析】借助作差法后配方即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 9. 如果ac＞bc，那么下列不等式中，一定成立的是（　　） A．a＞b B．a2＞b2 C． D．ac2＞bc2 【答案】C 【详解】解：当c＜0时，AD显然错误； a＝1，c＝1，b＝﹣2时，B显然错误； 由ac＞bc可得，即ac＞bc，C正确． 故选：C． 10．比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 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