2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（十）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第10卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（十） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合的子集个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 2．设是两条直线，，是两个平面，且，．命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间内的面面关系和线线关系，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】由题意，因为，， 若命题成立，则平面，可能平行或相交，故充分性不成立； 若命题成立，则直线可能异面或平行，故必要性不成立； 故p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为，所以当时，函数值最小为， 所以函数的值域为， 故选：. 4．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数函数和指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为，即，所以； 因为，，即； 所以. 故选：A. 5．已知角满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用齐次式法求得，再利用正切的诱导公式即可得解. 【详解】由，可得， 所以， 故选：D. 6．已知向量，，若，则（   ） A．1 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量坐标的线性运算及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以， 所以，解得. 故选：D. 7．在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 【答案】C 【分析】由等比数的性质可知，成等比数列，据此可求解. 【详解】由题可知，成等比数列， 所以， 由代入，可得， 解得. 故选：C 8．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计），当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的体积公式求出细沙的体积，再计算下部细沙的底面半径和母线，代入圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】因为上面圆锥的底面直径和高均为16，则底面半径为， 因为细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的， 根据相似圆锥的性质可知，此时细沙形成的小圆锥底面半径为， 则细沙的体积为， 细沙全部漏入下部后，形式的圆锥沙堆底面直径为，即底面半径为， 设此时沙堆的高为， 则，解得， 此时沙堆的母线长为， 则侧面积为， 故选：. 9．圆心为，的圆与直线交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意求得，即，联立方程组，结合根与系数的关系，得到，利用，得到，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】设圆的方程为，其圆心为， 则，解得，所以圆的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得， 则， 因为，即，可得，即， 可得，解得，即， 即. 故选：C. 10．若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，结合双曲线的性质，点到直线的距离公式及弦长公式得出，，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线， 不妨设渐近线方程为，即， 将圆化为标准方程， 其圆心坐标为，半径为2，则圆心到渐近线的距离为， 又因为弦长为2，所以，即，从而， 又，得，则离心率. 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．甲、乙、丙三个地区民众响应政府号召接种新冠疫苗，据统计这三个地区分别有、、的民众接种了疫苗．假设这三个地区人口数的比为，现在从这三个地区任选一人，则此人接种了疫苗的概率为__________． 【答案】 【分析】分别计算出抽到甲、乙、丙三个地区接种疫苗的概率，再加法原理相加即可. 【详解】设事件A:抽到甲区民众 设事件B:抽到乙区民众 设事件C:抽到丙区民众 所以 故答案为：0.6 12．将4张不同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为___________个. 【答案】120 【分析】根据组合以及排列的概念求解即可. 【详解】由题意，从5名同学中选取4名同学，则有种分法. 然后每一名同学分一张参观票，有种分法， 所以不同的分法种数为. 故答案为：. 13．在的二项展开式中，常数项为__________. 【答案】 【分析】首先写出二项展开式的通项公式，再令的指数为0列方程求解即可. 【详解】已知，其展开式通项公式为 ， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：. 14．如图，陀螺可近似地看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体，若圆柱与圆锥的高之比为，且圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，则圆柱的侧面积为__________.    【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的底面圆的半径和圆锥的高，即可求出圆柱的高，结合圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥和圆柱的底面圆半径为r，因为圆锥的侧面积是，圆锥的母线长是， 即，所以圆锥底面圆的半径为， 所以圆锥的高为，又圆柱与圆锥的高之比为， 所以圆柱的高为2，所以圆柱的侧面积为. 故答案为：. 15．已知定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则_______． 【答案】1 【分析】根据题意以及周期性的定义求出函数的周期，再根据周期进行求解即可. 【详解】因为函数满足， 所以关于直线对称，即①． 因为为奇函数，所以②． 由①②知， 所以， 即，函数的周期为4． 所以． 故答案为：1. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】根据题意，结合二次函数解析式，及函数值，代入即可求解； 根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）因为二次函数，且， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 又，即， 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，函数图像开口向上，对称轴为轴， 所以当时，；. 17．(本小题满分10分) 在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． （2）因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 18.(本小题满分10分) 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 19.(本小题满分10分) 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 (1)根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； (2)从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 【答案】(1)甲生产的零件质量更好 (2)概率分布见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求出方差即可判断； （2）根据概率公式分别求出的取值为0，1，2时的概率即可. 【详解】（1）解法一（对应高教版）： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， ， 所以甲生产的零件质量更好. 解法二(对应人教版)： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， . 所以甲生产的零件质量更好. （2）的取值有0，1，2. ， 所以的概率分布为 0 1 2 20．(本小题满分10分) 如图，已知直线l过点，斜率为，直线l和抛物线相交于A，B两点，设线段的中点为M，求： (1)求直线l的参数方程； (2)P，M两点间的距离. 【答案】(1)（t为参数） (2) 【分析】（1）根据直线所过点与斜率确定参数方程即可； （2）根据联立方程组，利用韦达定理求解即可； 【详解】（1）因为直线l过点，斜率为，设直线的倾斜角为， 所以，，， 所以直线l的参数方程为（t为参数）； （2）因为直线l和抛物线相交， 所以，所以， 设方程的两个根分别为，所以， 因为线段AB的中点为M， 所以. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合角的范围即可解得. （2）根据三角形面积公式和余弦定理即可解得. 【详解】（1）由题，， 则由正弦定理可得， 在锐角三角形中，其中， 则，即， 又知，则. （2）由题，三角形面积， 又知，则， 由余弦定理可知， 将代入得， 解得，故周长为. 22．(本小题满分10分) 某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本． 【答案】种植松树株，种植樟树株时，总成本最小，最低成本为元. 【分析】设两个未知数，根据题意列不等式组并画出对应区域图，设总成本并求对应函数纵截距最值及对应的值，即可求出最低成本. 【详解】设种植松树株，种植樟树株，则，， 则总成本，即， 由题意可得：，该不等式组表示的线性规划区域如下图所式： 联立，解得，则， 结合图象可知，当过点时，截距最小，最小， 所以最小值为. 故种植松树株，种植樟树株时，总成本最小，最低成本为元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第10卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（十） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合的子集个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．64 2．设是两条直线，，是两个平面，且，．命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知角满足，则（    ） A． B．2 C． D． 6．已知向量，，若，则（   ） A．1 B．6 C． D． 7．在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 8．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计），当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（   ）    A． B． C． D． 9．圆心为，的圆与直线交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 10．若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．甲、乙、丙三个地区民众响应政府号召接种新冠疫苗，据统计这三个地区分别有、、的民众接种了疫苗．假设这三个地区人口数的比为，现在从这三个地区任选一人，则此人接种了疫苗的概率为__________． 12．将4张不同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为___________个. 13．在的二项展开式中，常数项为__________. 14．如图，陀螺可近似地看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体，若圆柱与圆锥的高之比为，且圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，则圆柱的侧面积为__________.    15． 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则_______． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 17．(本小题满分10分) 在等差数列中，是该数列的前项和，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求的最小值． 18.(本小题满分10分) 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 19.(本小题满分10分) 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 (1)根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； (2)从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 20．(本小题满分10分) 如图，已知直线l过点，斜率为，直线l和抛物线相交于A，B两点，设线段的中点为M，求： (1)求直线l的参数方程； (2)P，M两点间的距离. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 22．(本小题满分10分) 某地区计划种植两种具有空气净化功能的树：松树和樟树．每种植一株松树每年可吸收3千克二氧化硫和2千克氮氧化物，每种植一株樟树每年可吸收2千克二氧化硫和4千克氮氧化物．目前，该地区的空气质量监测数据显示，全年至少需吸收6000千克二氧化硫和8000千克氮氧化物，方能改善空气质量．假设种植一株松树的成本为800元，种植一株樟树的成本为1000元．不考虑其他因素，请制定一份植树计划，确定应种植多少株松树和樟树，就能以最低的成本满足空气质量改善需求？并求出最低成本． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $