21.3.1 矩形（第1课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十一章 四边形 21.3.1 矩形（第1课时） 1．理解矩形的定义； 2．掌握矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等； 3．运用矩形性质探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质． 1．什么叫平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2．说一说平行四边形具有那些性质？ （1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形．本节就来研究这些特殊的平行四边形——矩形． 4 先来看角满足特殊条件的平行四边形．如图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形． 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形． 矩形是特殊的平行四边形， 但平行四边形不一定是矩形． 　　如图，记作矩形ABCD． A B C D 矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等（如图所示）都有矩形的形象． 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定． 你还能举出一些例子吗？ 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质． 猜想：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等． 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 你能自己完成证明吗？ （1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 已知：如图，在矩形 ABCD 中，∠A＝90°，求∠B，∠C，∠D 的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB//CD，AD//BC． ∵∠A＝90°， ∴∠B＝90°． ∴∠C＝∠D＝90°． 即：矩形的四个角都是直角． 猜想：矩形的四个角都是直角． 猜想：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O． 求证：AC＝BD． 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， AD＝BC，AB＝BA， ∴△DAB≌△CBA． ∴AC＝BD． 即：矩形的对角线相等． 观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ 矩形是轴对称图形，有两条对称轴，每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴． 矩形特有的性质 （1）角：矩形的四个角都是直角． （2）对角线：矩形的对角线相等． （3）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 12 例：如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形ABCD的对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB． 又　∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA＝AB＝4． ∴AC＝BD＝2OA＝8． 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． 思考：如图所示，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 你能证明你发现的结论吗？ 猜想：可以发现BO＝AC． 分析：类似于证明三角形中位线定理的过程，如图所示，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，CD，则四边形ABCD是矩形．根据矩形的性质，BD＝AC．所以BO＝BD＝AC． 证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD. ∵ AO = OC，BO = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. ∴ BO＝BD＝AC． 直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 符号语言： Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°，O是AC的中点， ∴ BO＝AC 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 矩形 定义 边和对角线 对称性 角 性质 直角三角形斜边上的中线的性质 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． A 2．矩形对角线夹角为，较短的边长为12，则对角线长为__________． 24 3．如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证： ． 证明：四边形是矩形， ，即． 在和中，， ， ． 4．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（   ） A． B． C． D． A 5．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：． 证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∵为的中点，∴， ∴， ∴， ∴． 1．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 C 2．如图，在矩形中，对角线、相交于O点，若，则的度数为_____________． 56° 3．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴． ∵在中，，点F是边的中点， ∴． 4．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． D 5．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 证明：（1）四边形为矩形， ∴，，， ，， ， ，． 5．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形． $