专题03 万有引力与宇宙航行（专项训练）物理人教版高一下学期期中复习

专题三：万有引力与宇宙航行 目录 【知识梳理】····························································································1 知识点 1 卫星相距“最近”“最远”问题·························································1 知识点 2 地球同步卫星···········································································2 知识点 3 地球同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较······················2 知识点 4 双星及多星问题··············································································3 【方法技巧】····························································································4 方法技巧 1 开普勒行星运动定律和万有引力定律的应用······················5 方法技巧 2 人造卫星和天体运动······························································6 方法技巧 3 变轨问题······························································7 【巩固训练】····························································································10 【综合训练】····························································································13 【知识梳理】 知识点 1 卫星相距“最近”“最远”问题 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。 根据上面信息回答下列问题： 1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走半圈，如图所示。 它们转过的角度之差Δθ=π，即满足ωaΔt-ωbΔt=π， 第二次：ωaΔt-ωbΔt=2π+π。 故第n次两卫星相距最远的条件：ωat-ωbt=t-t=(2n-1)π(n=1，2，3…)。 2.当两卫星再次(第一次)相距最近时，它们转过的角度之差Δθ=2π，即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时，两卫星再次相距最近。 第二次：ωaΔt-ωbΔt=4π。 第n次两卫星相距最近的条件：ωat-ωbt=t-t=2nπ(n=1，2，3…)。 例1　2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。 (1)求飞船离地面的高度h； (2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？ 答案　(1)-R　(2)T 解析　(1)飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有G=m(R+h)；在地球表面，根据万有引力近似等于重力有G=m'g，解得飞船离地面的高度为h=-R。 (2)根据开普勒第三定律有=，又rA=2rB，解得TA=2T，设经过t时间它们再一次相距最近，则有t-t=2π，解得t=T。 知识点 2地球同步卫星 地球上空分布着许多的地球同步卫星，其在地面上的人看来，始终静止不动。请思考： (1)这些同步卫星是否就真的静止不动呢？ (2)这些同步卫星有什么共同的特点呢？ 答案　(1)这些同步卫星都在绕地心做匀速圆周运动，其周期等于地球自转的周期，故卫星相对于地球静止。 (2)这些同步卫星都在赤道上空(轨道平面与赤道平面成0度角)，周期一定、高度一定、线速度大小和角速度一定。 1.地球同步卫星的四个“一定” 周期、角速度一定 与地球自转周期、角速度相同，即T=24 h 高度一定 卫星离地面高度h=3.6×104 km≈6R 速率一定 速度大小v==3.1 km/s 加速度大小一定 由于卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小a=ω2r=(R+h)不变 2.主要用于通信，故也称通信卫星。 例2　北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。则该地球静止轨道卫星(　　) A.其发射速度一定大于11.2 km/s B.在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s C.它运行周期大于24 h D.它可以经过北京正上空，所以我国能利用它进行电视转播 答案　B 解析　发射地球卫星的最小速度是7.9 km/s，且不能超过11.2 km/s，A错误； 地球卫星的最大环绕速度是7.9 km/s，地球静止轨道卫星在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s，B正确；地球静止轨道卫星，相对地球静止，与地球自转周期相同为24 h，C错误；地球静止轨道卫星，处于赤道上空，不能经过北京上空，D错误。 知识点 3地球同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较 1.地球同步卫星和赤道上的物体有什么相同点和不同点？ 答案　相同点：周期和角速度相同 不同点：向心力来源不同 对于同步卫星，万有引力全部提供向心力，有=ma=mω2r 对于赤道上物体，万有引力的一个分力提供向心力，有=mg+mω2r， 因此要通过v=ωr，a=ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小。 2.地球同步卫星和近地卫星有什么相同点和不同点？ 答案　相同点：都是万有引力提供向心力 即都满足=m=mω2r=mr=ma。 不同点：轨道半径不同。近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，同步卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍。 地球同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较 赤道上的物体 近地卫星 地球同步卫星 向心力来源 万有引力和支持力的合力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有 引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1=ω1R v2= v3=ω3(R+h)= v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度) 角速度 ω1=ω自 ω2= ω3=ω自= ω1=ω3<ω2 向心加速度 a1=R a2=R= a3=(R+h)= a1<a3<a2 例3　如图所示，卫星A是我国在2022年8月20日成功发射的“遥感三十五号”04组卫星，卫星B是地球同步卫星，它们均绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，P、A、B三颗卫星的线速度大小分别为vP、vA、vB，角速度大小分别为ωP、ωA、ωB，下列判断正确的是(　　) A.vA>vB>vP B.vA<vB<vP C.ωP=ωA=ωB D.ωP<ωA<ωB 答案　A 解析　对于卫星A、B，根据万有引力提供向心力，有G=m，解得v=，由题图可知rA<rB，所以vA>vB，又因为v=ωr，可得ωA>ωB，由于B是地球同步卫星，P是地球赤道上还未发射的卫星，卫星P、B的角速度相等，则有ωA>ωB=ωP，根据v=ωr，ωP=ωB，可知vB>vP，则有vA>vB>vP故选A。 知识点 4 双星及多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型 (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 例4　2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是(　　) A.组合体中的货物处于超重状态 B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度 C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大 D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小 答案　C 解析　组合体只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知地球同步卫星的周期为24 h，则根据角速度和周期的关系有ω=，由于T同>T组合体，则组合体的角速度比地球同步卫星的大，C正确；由G=mr，可得T=2π，由于T同>T组合体，则r同>r组合体，又由G=ma，则有a同<a组合体，D错误。 【方法技巧】 方法技巧 1 开普勒行星运动定律和万有引力定律的应用 1.开普勒行星运动定律 2.不同位置的重力加速度 3.估算中心天体的质量和密度的两条思路 利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算 　　　　　黄金代换 由G=mg求出m星=,进而求得ρ= 利用卫星的轨道半径r和周期T计算 由G=mr,可得出m星=。 若卫星绕中心天体表面做匀速圆周运动,轨道半径r=R,则ρ= 　　T为近地卫星的周期 例1　某人造卫星绕地球运动,地球作用于它的引力随时间的变化如图所示,假设卫星只受地球的引力,下列说法正确的是(　　) A.卫星的运行周期为2t1 B.卫星绕地球运行时机械能不守恒 C.远地点与近地点的加速度之比为1∶2 D.远地点与近地点到地球球心的距离之比为2∶1 答案D 解析由题图可知,卫星的运行周期为t1,故A错误;卫星绕地球运行时,只有地球的引力做功,机械能守恒,故B错误;根据题图,由牛顿第二定律可得远地点与近地点的加速度之比为a远∶a近=2F∶8F=1∶4,故C错误;根据牛顿第二定律可得=ma,可得远地点与近地点到地球球心的距离之比为r远∶r近==2∶1,故D正确。 方法技巧 2 人造卫星和天体运动 1.近地卫星和静止卫星 2.卫星运行参量分析 G 要点归纳:高轨低速周期长,低轨高速周期短。 例2　某校天文小组通过望远镜观察木星周围的两颗卫星a、b,记录了不同时刻t两卫星的位置变化如图甲所示。现以木星中心为原点,测量图甲中两卫星到木星中心的距离x,以木星的左侧为正方向,绘出s-t图像如图乙所示。已知两卫星绕木星近似做圆周运动,忽略在观测时间内观察者和木星的相对位置变化,由此可知(　　) 甲 乙 A.a公转周期为t0 B.b公转周期为2t0 C.a公转的角速度比b的小 D.a公转的线速度比b的大 答案D 解析由图像可知,a公转周期为2t0,故A错误;由万有引力提供向心力可得=mr=mω2r=m,可知T=,ω=,v=,由于b的轨道半径大于a的轨道半径,则b的公转周期大于a的公转周期,则b的公转周期大于2t0,a公转的角速度比b的大,a公转的线速度比b的大,故B、C错误,D正确。 方法技巧3 变轨问题 例3　地球同步轨道上方300 km处的圆形轨道是国际处理太空垃圾的“墓地轨道”,将废弃飞行物处理到此,可以为“地球同步轨道”释放更多的空间。运行在地球同步轨道上的中国“实践21号”卫星,将一颗失效的北斗二号导航卫星拖入到了“墓地轨道”。已知“墓地轨道”半径为r,地球同步轨道半径为R,下列说法正确的是(　　) A.“地球同步轨道”处的重力加速度为0 B.北斗二号导航卫星在“墓地轨道”和“同步轨道”上运行的角速度之比为 C.北斗二号导航卫星在“地球同步轨道”上的机械能比在“墓地轨道”上小 D.“实践21号”卫星从“墓地轨道”返回“地球同步轨道”需要加速 答案C 解析设地球质量为m地,根据=ma,可得“地球同步轨道”处的重力加速度为a=,则“地球同步轨道”处的重力加速度不为0,A错误;根据万有引力提供向心力,有=mω2r,解得ω=,可得北斗二号导航卫星在“墓地轨道”和“地球同步轨道”上运行的角速度之比为,B错误;北斗二号导航卫星从“地球同步轨道”上运行到“墓地轨道”上需要将北斗二号导航卫星加速做离心运动,除万有引力外其他力对其做正功,机械能增大,C正确;“实践21号”卫星从“墓地轨道”返回“地球同步轨道”需要使其减速做近心运动,D错误。 【巩固训练】 1.设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A.质量 B.向心力大小 C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小 答案　C 解析　根据G=man，可得an=，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受到地球的万有引力大小均不相同，故选C。 2.金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金<R地<R火，由此可以判定(　　) A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金 C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金 答案　A 解析　金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G=ma，解得a=G，由于R金<R地<R火，可得a金>a地>a火，选项A正确，B错误；同理有G=m，解得v=，由R金<R地<R火，可得v金>v地>v火，选项C、D错误。 3.为空间站补给物资时，我国新一代货运飞船“天舟五号”实现了2小时与“天宫空间站”快速对接，对接后的“结合体”仍在原空间站轨道运行。对接前“天宫空间站”与“天舟五号”的轨道如图所示，则(　　) A.“天宫空间站”对地球的引力大于地球对“天宫空间站”的引力 B.“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟五号”的向心加速度 C.“天宫空间站”的周期小于“天舟五号”的周期 D.“天宫空间站”的线速度等于“天舟五号”的线速度 答案　B 解析　“天宫空间站”对地球的引力与地球对“天宫空间站”的引力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，因此“天宫空间站”对地球的引力等于地球对“天宫空间站”的引力，A错误； 根据G=ma，解得a=G 可知，轨道半径越小，向心加速度越大，即“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟五号”的向心加速度，B正确； 根据高轨低速长周期，低轨高速短周期，可知“天宫空间站”的周期大于“天舟五号”的周期，“天宫空间站”的线速度小于“天舟五号”的线速度，C、D错误。 4.(多选)人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，当轨道半径增大到2倍时，如果人造地球卫星的质量不变，则该卫星(　　) A.周期变为原来的 B.线速度大小变为原来的 C.向心力大小变为原来的 D.向心加速度大小变为原来的 答案　BC 解析　根据G=mr，T=2π，周期变为原来的2倍，故A错误； 根据G=m，v=，线速度大小变为原来的，故B正确； 根据F向=G，向心力大小变为原来的，故C正确； 根据man=G，an=，向心加速度大小变为原来的，故D错误。 5.“太极一号”卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为地球半径的n倍，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则“太极一号”卫星的运行周期为(　　) A.2πn B. C.2π D.2π 答案　A 解析　根据万有引力提供向心力有 G=m()2(nR) 在地球表面有G=mg 联立解得T=2πn，所以A正确；B、C、D错误。 6.如图所示，a为在地球赤道表面随地球一起自转的物体，b为绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，轨道半径可近似为地球半径。假设a与b质量相同，地球可看作质量分布均匀的球体，则物体a和卫星b(　　) A.角速度近似相等 B.线速度大小近似相等 C.向心加速度大小近似相等 D.所受地球引力大小近似相等 答案　D 解析　由=m可得v=，卫星b的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则卫星b的线速度大小大于同步卫星的线速度大小；同步卫星与地球自转角速度相同，半径大于地球半径，同步卫星线速度大小大于a的线速度大小，则卫星b线速度大小大于a的线速度大小，故B错误；卫星b线速度大小大于a的线速度大小，半径近似相等，由ω=，可知卫星b的角速度大于a的角速度，由an=可知卫星b的向心加速度大小大于a的向心加速度大小，故A、C错误；a与卫星b质量相同，半径近似相等，由F=可知，a与b所受地球引力大小近似相等，故D正确。 【综合训练】 1.2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们(　　) A.所受地球引力的大小近似为零 B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 答案　C 解析　航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，A、B错误； 根据F=G可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。 2.作为国家战略性时空基础设施，北斗卫星导航系统正为交通、金融、通信、能源、电力等国民经济命脉提供准确的时间和位置信息。2023年5月17日10时49分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。如图是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知P、Q、M三颗卫星均做匀速圆周运动，虚线圆是P、Q卫星轨道的包围圆，其中P是地球同步卫星，则这三颗卫星(　　) A.卫星Q也可能相对地面静止 B.卫星P的角速度大小大于卫星M的角速度大小 C.卫星Q的线速度大小小于卫星M的线速度大小 D.地球对卫星P的引力一定等于地球对卫星Q的引力 答案　C 解析　据G=mrω2 可得ω= 卫星P的轨道半径大于卫星M的轨道半径，则卫星P的角速度大小小于卫星M的角速度大小，故B错误； P、Q卫星两者的绕行方向不一致，P相对地球静止，所以Q相对地球运动，故A错误； 根据万有引力提供向心力得 G=m 可得v= 卫星Q的轨道半径大于卫星M的轨道半径，则卫星Q的线速度大小小于卫星M的线速度大小，故C正确； 卫星P、卫星Q质量大小未知，无法比较地球对卫星P和地球对卫星Q的引力大小，故D错误。 3.有一颗与地球同步卫星在同一轨道平面的人造地球卫星，与同步卫星同方向绕地球运行。已知它的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，地球自转周期为T0，则(　　) A.该卫星运动周期为 B.该卫星运动周期为 C.该卫星每隔在赤道上同一城市的正上方出现一次 D.该卫星每隔在赤道上同一城市的正上方出现一次 答案　AD 解析　根据开普勒第三定律 = 可得该卫星运动周期为T=，故A正确，B错误； 在赤道上同一城市的正上方出现有 t-t=2π 解得t=，故C错误，D正确。 4.中国预计将在2030年前实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，下列说法正确的是(　　) A.在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变 B.发射时的速度必须达到第三宇宙速度 C.在轨道 Ⅰ 上运动时的速度小于轨道 Ⅱ 上任意位置的速度 D.从绕月轨道 Ⅱ 变轨到 Ⅰ 上需减速 答案　AD 解析　由开普勒第三定律可得=k，则有公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变，故A正确； 第三宇宙速度是能够脱离太阳系的最小发射速度，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，没有脱离地球的引力范围，发射时的速度小于第二宇宙速度，故B错误； 设“嫦娥一号”卫星在轨道 Ⅰ 上运动时的速度为v1，在轨道 Ⅱ 上近月点的速度为v2，在轨道 Ⅱ 上远月点的速度为v3，若在轨道 Ⅱ 上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道，其速度为v4，根据“嫦娥一号”卫星距离月球的远近结合卫星轨原理可知，有v2>v1，v4>v3 由万有引力提供向心力G=m 可得v= 故v1>v4 故v2>v1>v4>v3 因此“嫦娥一号”卫星在轨道 Ⅰ 上运动时的速度不是小于轨道 Ⅱ 上任意位置的速度，且从绕月轨道 Ⅱ 变轨到 Ⅰ 上需点火减速，故C错误，D正确。 5.航天员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，不计空气阻力，已知该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式是V=πR3。求： (1)该星球表面的重力加速度g； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 答案　(1)　(2) (3) 解析　(1)小球做平抛运动过程中，水平方向有x=v0t，竖直方向有y=gt2 由几何知识可得tan α=，联立解得g= (2)对于星球表面质量为m0的物体， 有G=m0g，V=πR3 所以ρ== (3)该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故G=m=mg 解得v=。 6.(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，m1的公转周期为T，引力常量为G，各自做圆周运动的轨道半径之比为r1∶r2=3∶2。则可知(　　) A.两星体的质量之比为m1∶m2=3∶2 B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3 C.两星体的总质量一定等于 D.m1、m2做圆周运动的向心力大小相等 答案　CD 解析　由于双星的周期相同，则双星系统绕O点转动的角速度相同，两星体做圆周运动的向心力由两星体间的万有引力提供，即F=G=m1ω2r1=m2ω2r2，可得==，故A、B错误，D正确；根据G=m1ω2r1=m2ω2r2，可得m1=，m2=，则M=m1+m2==，故C正确。 7.“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 答案　C 解析　因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误； 因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误； 因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； 假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 8.(多选)关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论就预言了其存在。1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，该双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据。上述叙述中，若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化，则下列关于赫尔斯—泰勒脉冲双星的说法正确的是(　　) A.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期不变 B.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期逐渐变小 C.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们各自做圆周运动的半径逐渐减小，但半径的比值保持不变 D.若测出脉冲双星相互公转的周期，就可以求出双星的总质量 答案　BC 解析　设脉冲双星的质量及轨道半径分别为m1、m2 、r1、r2，间距为L=r1+r2，由万有引力提供向心力=m1ω2r1=m2ω2r2得m1=，m2= 则双星总质量m1+m2= 整理得G(m1+m2)=L3ω2，由于总质量不变，脉冲双星逐渐靠近的过程中L变小，则ω变大，由T=可知周期逐渐变小，故A错误，B正确；由m1ω2r1=m2ω2r2 可得=，故C正确；由以上分析可知 m1+m2==，要想知道双星总质量，需要知道周期T和双星间距L，故D错误。 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三：万有引力与宇宙航行 【巩固训练】 1.答案　C 2.答案　A 3.答案　B 4.答案　BC 5.答案　A 6.答案　D 【综合训练】 1.答案　C 2.答案　C 3.答案　AD 4.答案　AD 5.答案　(1)　(2) (3) 解析　(1)小球做平抛运动过程中，水平方向有x=v0t，竖直方向有y=gt2 由几何知识可得tan α=，联立解得g= (2)对于星球表面质量为m0的物体， 有G=m0g，V=πR3 所以ρ== (3)该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故G=m=mg 解得v=。 6.答案　CD 7.答案　C 8.答案　BC 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三：万有引力与宇宙航行 目录 【知识梳理】····························································································1 知识点 1 卫星相距“最近”“最远”问题·························································1 知识点 2 地球同步卫星···········································································2 知识点 3 地球同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较······················2 知识点 4 双星及多星问题··············································································3 【方法技巧】····························································································4 方法技巧 1 开普勒行星运动定律和万有引力定律的应用······················5 方法技巧 2 人造卫星和天体运动······························································6 方法技巧 3 变轨问题······························································7 【巩固训练】····························································································10 【综合训练】····························································································13 【知识梳理】 知识点 1 卫星相距“最近”“最远”问题 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动时，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图所示。 根据上面信息回答下列问题： 1.当两卫星第一次相距最远时，a比b多走半圈，如图所示。 它们转过的角度之差Δθ=π，即满足ωaΔt-ωbΔt=π， 第二次：ωaΔt-ωbΔt=2π+π。 故第n次两卫星相距最远的条件：ωat-ωbt=t-t=(2n-1)π(n=1，2，3…)。 2.当两卫星再次(第一次)相距最近时，它们转过的角度之差Δθ=2π，即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时，两卫星再次相距最近。 第二次：ωaΔt-ωbΔt=4π。 第n次两卫星相距最近的条件：ωat-ωbt=t-t=2nπ(n=1，2，3…)。 例1　2022年6月5日，我国成功发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱。假设神舟十四号在飞行的过程中绕地球沿圆轨道运行，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船绕地球运行的周期为T。 (1)求飞船离地面的高度h； (2)如图所示，卫星A与神舟十四号载人飞船B在同一轨道平面，已知卫星A运行方向与B相同，A的轨道半径为B的2倍，某时刻A、B相距最近，则至少经过多长时间它们再一次相距最近？ 答案　(1)-R　(2)T 解析　(1)飞船绕地球沿圆轨道运行，根据万有引力提供向心力有G=m(R+h)；在地球表面，根据万有引力近似等于重力有G=m'g，解得飞船离地面的高度为h=-R。 (2)根据开普勒第三定律有=，又rA=2rB，解得TA=2T，设经过t时间它们再一次相距最近，则有t-t=2π，解得t=T。 知识点 2地球同步卫星 地球上空分布着许多的地球同步卫星，其在地面上的人看来，始终静止不动。请思考： (1)这些同步卫星是否就真的静止不动呢？ (2)这些同步卫星有什么共同的特点呢？ 答案　(1)这些同步卫星都在绕地心做匀速圆周运动，其周期等于地球自转的周期，故卫星相对于地球静止。 (2)这些同步卫星都在赤道上空(轨道平面与赤道平面成0度角)，周期一定、高度一定、线速度大小和角速度一定。 1.地球同步卫星的四个“一定” 周期、角速度一定 与地球自转周期、角速度相同，即T=24 h 高度一定 卫星离地面高度h=3.6×104 km≈6R 速率一定 速度大小v==3.1 km/s 加速度大小一定 由于卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小a=ω2r=(R+h)不变 2.主要用于通信，故也称通信卫星。 例2　北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。则该地球静止轨道卫星(　　) A.其发射速度一定大于11.2 km/s B.在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s C.它运行周期大于24 h D.它可以经过北京正上空，所以我国能利用它进行电视转播 答案　B 解析　发射地球卫星的最小速度是7.9 km/s，且不能超过11.2 km/s，A错误； 地球卫星的最大环绕速度是7.9 km/s，地球静止轨道卫星在轨道上运动的线速度一定小于7.9 km/s，B正确；地球静止轨道卫星，相对地球静止，与地球自转周期相同为24 h，C错误；地球静止轨道卫星，处于赤道上空，不能经过北京上空，D错误。 知识点 3地球同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较 1.地球同步卫星和赤道上的物体有什么相同点和不同点？ 答案　相同点：周期和角速度相同 不同点：向心力来源不同 对于同步卫星，万有引力全部提供向心力，有=ma=mω2r 对于赤道上物体，万有引力的一个分力提供向心力，有=mg+mω2r， 因此要通过v=ωr，a=ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小。 2.地球同步卫星和近地卫星有什么相同点和不同点？ 答案　相同点：都是万有引力提供向心力 即都满足=m=mω2r=mr=ma。 不同点：轨道半径不同。近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，同步卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍。 地球同步卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较 赤道上的物体 近地卫星 地球同步卫星 向心力来源 万有引力和支持力的合力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有 引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1=ω1R v2= v3=ω3(R+h)= v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度) 角速度 ω1=ω自 ω2= ω3=ω自= ω1=ω3<ω2 向心加速度 a1=R a2=R= a3=(R+h)= a1<a3<a2 例3　如图所示，卫星A是我国在2022年8月20日成功发射的“遥感三十五号”04组卫星，卫星B是地球同步卫星，它们均绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，P、A、B三颗卫星的线速度大小分别为vP、vA、vB，角速度大小分别为ωP、ωA、ωB，下列判断正确的是(　　) A.vA>vB>vP B.vA<vB<vP C.ωP=ωA=ωB D.ωP<ωA<ωB 答案　A 解析　对于卫星A、B，根据万有引力提供向心力，有G=m，解得v=，由题图可知rA<rB，所以vA>vB，又因为v=ωr，可得ωA>ωB，由于B是地球同步卫星，P是地球赤道上还未发射的卫星，卫星P、B的角速度相等，则有ωA>ωB=ωP，根据v=ωr，ωP=ωB，可知vB>vP，则有vA>vB>vP故选A。 知识点 4 双星及多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型 (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 例4　2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是(　　) A.组合体中的货物处于超重状态 B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度 C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大 D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小 答案　C 解析　组合体只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知地球同步卫星的周期为24 h，则根据角速度和周期的关系有ω=，由于T同>T组合体，则组合体的角速度比地球同步卫星的大，C正确；由G=mr，可得T=2π，由于T同>T组合体，则r同>r组合体，又由G=ma，则有a同<a组合体，D错误。 【方法技巧】 方法技巧 1 开普勒行星运动定律和万有引力定律的应用 1.开普勒行星运动定律 2.不同位置的重力加速度 3.估算中心天体的质量和密度的两条思路 利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算 　　　　　黄金代换 由G=mg求出m星=,进而求得ρ= 利用卫星的轨道半径r和周期T计算 由G=mr,可得出m星=。 若卫星绕中心天体表面做匀速圆周运动,轨道半径r=R,则ρ= 　　T为近地卫星的周期 例1　某人造卫星绕地球运动,地球作用于它的引力随时间的变化如图所示,假设卫星只受地球的引力,下列说法正确的是(　　) A.卫星的运行周期为2t1 B.卫星绕地球运行时机械能不守恒 C.远地点与近地点的加速度之比为1∶2 D.远地点与近地点到地球球心的距离之比为2∶1 答案D 解析由题图可知,卫星的运行周期为t1,故A错误;卫星绕地球运行时,只有地球的引力做功,机械能守恒,故B错误;根据题图,由牛顿第二定律可得远地点与近地点的加速度之比为a远∶a近=2F∶8F=1∶4,故C错误;根据牛顿第二定律可得=ma,可得远地点与近地点到地球球心的距离之比为r远∶r近==2∶1,故D正确。 方法技巧 2 人造卫星和天体运动 1.近地卫星和静止卫星 2.卫星运行参量分析 G 要点归纳:高轨低速周期长,低轨高速周期短。 例2　某校天文小组通过望远镜观察木星周围的两颗卫星a、b,记录了不同时刻t两卫星的位置变化如图甲所示。现以木星中心为原点,测量图甲中两卫星到木星中心的距离x,以木星的左侧为正方向,绘出s-t图像如图乙所示。已知两卫星绕木星近似做圆周运动,忽略在观测时间内观察者和木星的相对位置变化,由此可知(　　) 甲 乙 A.a公转周期为t0 B.b公转周期为2t0 C.a公转的角速度比b的小 D.a公转的线速度比b的大 答案D 解析由图像可知,a公转周期为2t0,故A错误;由万有引力提供向心力可得=mr=mω2r=m,可知T=,ω=,v=,由于b的轨道半径大于a的轨道半径,则b的公转周期大于a的公转周期,则b的公转周期大于2t0,a公转的角速度比b的大,a公转的线速度比b的大,故B、C错误,D正确。 方法技巧3 变轨问题 例3　地球同步轨道上方300 km处的圆形轨道是国际处理太空垃圾的“墓地轨道”,将废弃飞行物处理到此,可以为“地球同步轨道”释放更多的空间。运行在地球同步轨道上的中国“实践21号”卫星,将一颗失效的北斗二号导航卫星拖入到了“墓地轨道”。已知“墓地轨道”半径为r,地球同步轨道半径为R,下列说法正确的是(　　) A.“地球同步轨道”处的重力加速度为0 B.北斗二号导航卫星在“墓地轨道”和“同步轨道”上运行的角速度之比为 C.北斗二号导航卫星在“地球同步轨道”上的机械能比在“墓地轨道”上小 D.“实践21号”卫星从“墓地轨道”返回“地球同步轨道”需要加速 答案C 解析设地球质量为m地,根据=ma,可得“地球同步轨道”处的重力加速度为a=,则“地球同步轨道”处的重力加速度不为0,A错误;根据万有引力提供向心力,有=mω2r,解得ω=,可得北斗二号导航卫星在“墓地轨道”和“地球同步轨道”上运行的角速度之比为,B错误;北斗二号导航卫星从“地球同步轨道”上运行到“墓地轨道”上需要将北斗二号导航卫星加速做离心运动,除万有引力外其他力对其做正功,机械能增大,C正确;“实践21号”卫星从“墓地轨道”返回“地球同步轨道”需要使其减速做近心运动,D错误。 【巩固训练】 1.设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A.质量 B.向心力大小 C.向心加速度大小 D.受到地球的万有引力大小 2.金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金<R地<R火，由此可以判定(　　) A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金 C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金 3.为空间站补给物资时，我国新一代货运飞船“天舟五号”实现了2小时与“天宫空间站”快速对接，对接后的“结合体”仍在原空间站轨道运行。对接前“天宫空间站”与“天舟五号”的轨道如图所示，则(　　) A.“天宫空间站”对地球的引力大于地球对“天宫空间站”的引力 B.“天宫空间站”的向心加速度小于“天舟五号”的向心加速度 C.“天宫空间站”的周期小于“天舟五号”的周期 D.“天宫空间站”的线速度等于“天舟五号”的线速度 4.(多选)人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，当轨道半径增大到2倍时，如果人造地球卫星的质量不变，则该卫星(　　) A.周期变为原来的 B.线速度大小变为原来的 C.向心力大小变为原来的 D.向心加速度大小变为原来的 5.“太极一号”卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为地球半径的n倍，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，则“太极一号”卫星的运行周期为(　　) A.2πn B. C.2π D.2π 6.如图所示，a为在地球赤道表面随地球一起自转的物体，b为绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，轨道半径可近似为地球半径。假设a与b质量相同，地球可看作质量分布均匀的球体，则物体a和卫星b(　　) A.角速度近似相等 B.线速度大小近似相等 C.向心加速度大小近似相等 D.所受地球引力大小近似相等 【综合训练】 1.2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们(　　) A.所受地球引力的大小近似为零 B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零 C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等 D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小 2.作为国家战略性时空基础设施，北斗卫星导航系统正为交通、金融、通信、能源、电力等国民经济命脉提供准确的时间和位置信息。2023年5月17日10时49分，中国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第五十六颗北斗导航卫星。如图是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知P、Q、M三颗卫星均做匀速圆周运动，虚线圆是P、Q卫星轨道的包围圆，其中P是地球同步卫星，则这三颗卫星(　　) A.卫星Q也可能相对地面静止 B.卫星P的角速度大小大于卫星M的角速度大小 C.卫星Q的线速度大小小于卫星M的线速度大小 D.地球对卫星P的引力一定等于地球对卫星Q的引力 3.有一颗与地球同步卫星在同一轨道平面的人造地球卫星，与同步卫星同方向绕地球运行。已知它的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，地球自转周期为T0，则(　　) A.该卫星运动周期为 B.该卫星运动周期为 C.该卫星每隔在赤道上同一城市的正上方出现一次 D.该卫星每隔在赤道上同一城市的正上方出现一次 4.中国预计将在2030年前实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图所示是“嫦娥一号”奔月的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”，下列说法正确的是(　　) A.在绕地轨道中，公转半长轴的立方与公转周期的平方之比不变 B.发射时的速度必须达到第三宇宙速度 C.在轨道 Ⅰ 上运动时的速度小于轨道 Ⅱ 上任意位置的速度 D.从绕月轨道 Ⅱ 变轨到 Ⅰ 上需减速 5.航天员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角为α，不计空气阻力，已知该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式是V=πR3。求： (1)该星球表面的重力加速度g； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 答案　(1)　(2) (3) 6.(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，m1的公转周期为T，引力常量为G，各自做圆周运动的轨道半径之比为r1∶r2=3∶2。则可知(　　) A.两星体的质量之比为m1∶m2=3∶2 B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3 C.两星体的总质量一定等于 D.m1、m2做圆周运动的向心力大小相等 7.“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 8.(多选)关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论就预言了其存在。1974年拉塞尔赫尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，该双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据。上述叙述中，若不考虑赫尔斯—泰勒脉冲双星质量的变化，则下列关于赫尔斯—泰勒脉冲双星的说法正确的是(　　) A.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期不变 B.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们相互公转的周期逐渐变小 C.脉冲双星逐渐靠近的过程中，它们各自做圆周运动的半径逐渐减小，但半径的比值保持不变 D.若测出脉冲双星相互公转的周期，就可以求出双星的总质量 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $