专题02 圆周运动（专项训练）物理人教版高一下学期期中复习

专题二：圆周运动 目录 【知识梳理】····························································································1 知识点 1 圆周运动的动力学问题···········································································1 知识点 2 圆锥摆模型···········································································2 知识点 3 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型·····························3 知识点 4 竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型····································4 【方法技巧】····························································································5 方法技巧 1 水平面内的圆周运动························································6 方法技巧 2 竖直平面内的圆周运动······························································7 【巩固训练】····························································································10 【综合训练】····························································································13 【知识梳理】 知识点 1 圆周运动的动力学问题 向心力公式本质上是牛顿第二定律在圆周运动问题中的应用。在应用牛顿第二定律F=ma解决圆周运动问题时，F为向心力，a为向心加速度。向心力F应按照下面两种情况处理： (1)匀速圆周运动中，物体所受的合外力提供向心力。 (2)在非匀速圆周运动中，沿半径方向的合外力提供向心力。 例1　一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为(　　) A.μmg B. C.μm(g+) D.μm(g-) 答案　C 解析　在最低点有，FN-mg=m，得FN=mg+m，又有f=μFN=μ(mg+m)=μm(g+)，C选项正确。 例2　(多选)如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB=2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是(　　) A.A、B两球所需的向心力之比为2∶1 B.A、B两球角速度之比为1∶1 C.A、B两球运动半径之比为1∶2 D.A、B两球向心加速度之比为1∶2 答案　BCD 解析　两球所需的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动半径分别为rA、rB，角速度为ω，则mArAω2=mBrBω2，因为mA∶mB=2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB=1∶2，C正确；由牛顿第二定律F=ma可知aA∶aB=1∶2，D正确。 知识点 2 圆锥摆模型 如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，固定住绳子的上端，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 (1)小球受哪几个力的作用？是什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) (2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？ 答案　(1)小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。也可以认为是绳子的拉力在水平方向的分力提供了向心力。 (2)根据牛顿第二定律：mgtan θ=ma得a=gtan θ。 例3　长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动，重力加速度为g)，如图所示。当细线与竖直方向的夹角为α时，求： (1)细线的拉力F大小； (2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度大小。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　如图所示，小球受重力mg和细线的拉力F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球所受的合力指向圆心O'，且是水平方向。 (1)由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，细线对小球的拉力大小为F=。 (2)由牛顿第二定律得mgtan α=，由几何关系得r=Lsin α，所以，小球做匀速圆周运动的线速度大小为v=。 (3)小球运动的角速度为ω===。 拓展　从上面角速度的表达式中我们可以看出做圆锥摆运动的小球角速度ω与什么因素有关？ 答案　与圆心到绳上端的高度有关。 知识点 3 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。 (1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？ (2)分析求解小球通过最高点的最小速度。 (3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的弹力情况： ①v=；②v>；③v<。 答案　(1)小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。 (2)由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。 (3)①当v=时，拉力或弹力为零。 ②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。 ③当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。 例4　(2023·东莞市高一期中)杂技演员表演“水流星”，在长为0.9 m的细绳的一端，系一个总质量(包括水)为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速度为3 m/s，则下列说法正确的是(g=10 m/s2)(　　) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案　B 解析　当水对容器底压力为零时有 m水g=m水，解得v== m/s=3 m/s，由于“水流星”通过最高点的速度为3 m/s，则水对容器底的压力为零，水不会从容器中流出，对水和容器分析，有T+mg=m，解得T=0，则此时绳子的拉力(张力)为零，故A、D错误，B正确； “水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。 知识点 4 竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型 1.如图所示，细杆上固定的小球或在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型(小球在最高点) 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F=m 临界特征 v=0，即F向=0，此时F=mg v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或弹力)F。重力和拉力(或弹力)的合力充当向心力，mg+F=m，即F=m-mg，v越大，F越大。 例5　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球(可视为质点)，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g=10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力。 答案　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上 解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg=m，代入数据解得v1== m/s (2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg-F1=m，代入数据解得：F1=4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2+mg=m，代入数据解得F2=11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上。 【方法技巧】 方法技巧 1 水平面内的圆周运动 (1)水平面内圆周运动的分析思路 (2)水平面内圆周运动的临界问题 ①绳的临界:拉力T=0。绳恰好伸直 ②接触面滑动临界:F=fmax。 　　　　　　　　　达到最大静摩擦力 ③接触面分离临界:FN=0。 例1　如图所示,餐桌中心是一个半径为r=1.5 m的圆盘,圆盘可绕中心轴转动,餐桌其余部分不转动,近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)为使物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少? (2)缓慢增大圆盘的角速度,物体从圆盘上甩出,为使物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大? (3)若餐桌半径R'=r,则在圆盘角速度缓慢增大时,物体从圆盘上被甩出后做平抛运动的水平位移为多少? 解题指导 【审题】 读取题干 获取信息 圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计 物体从圆盘滑到餐桌时速度大小、方向均不变 μ1=0.6、μ2=0.225、h=0.8 m 可求物体在圆盘上不滑动时的最大向心加速度;可求物体在餐桌上做匀减速直线运动的加速度;物体离开餐桌做平抛运动的竖直位移为0.8 m 为使物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大 餐桌半径最小时,物体滑到餐桌边缘的速度恰为零;圆盘半径、餐桌半径和物体在餐桌上的位移组成直角三角形 【破题】 1.明确运动过程:物体在圆盘上保持相对静止时做匀速圆周运动,滑到桌面上后做匀减速直线运动,离开桌面后做平抛运动。 2.弄清临界条件:一是物体在圆盘上发生相对运动的临界条件是静摩擦力达到最大静摩擦力,即等于滑动摩擦力;二是物体不滑落到地面的临界条件是物体滑到餐桌边缘时速度恰好为零。 答案(1)2 rad/s　(2)2.5 m　(3)0.6 m 解析(1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时,小物体即将滑动,此时圆盘的角速度达到最大,则有fm=μ1FN=mrω2 FN=mg 两式联立可得ω==2 rad/s。 (2)由题意可得,当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零,对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s,物块在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a,则a= f=μ2mg 所以a=μ2g=2.25 m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度为v0=ωr=3 m/s 由运动学公式得v2-=-2as,可得s=2 m 由图形可得餐桌半径的最小值为R==2.5 m。 (3)当物体滑离餐桌时,开始做平抛运动,平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v'。 由题意可得v'2-=-2as' 由于餐桌半径为R'=r,所以s'=r=1.5 m 所以可得v'=1.5 m/s 物体做平抛运动的时间为t,则h=gt2 解得t==0.4 s 所以物体做平抛运动的水平位移为sx=v't=0.6 m。 方法技巧 2 竖直平面内的圆周运动 (1) (2)常见模型 模型 主要位置 临界情况 轻绳模型 最高点T+mg=m 恰好通过最高点时,绳的拉力为0 轻杆模型 最高点mg±F=m 恰好通过最高点时,杆对小球的弹力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程,最高点、最低点、等效最高点、等效最低点、最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点;恰好做完整圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点mgsin θ±f=mω2r 最低点f- mgsin θ=mω2r 恰好通过最低点 例2　(多选)如图为自行车车轮的气嘴灯原理图,气嘴灯由接触式开关控制。其结构为弹簧一端固定在顶部A,另一端与重物连接,当车轮转动的角速度达到一定值时,重物拉伸弹簧使触点M、N接触,从而接通电路使LED灯发光。触点N与车轮圆心距离为R,车轮静止且B端在车轮最低点时触点M、N距离为0.05R。已知A靠近车轮圆心,B固定在车轮内臂,重物与触点M的总质量为m。弹簧劲度系数为k,重力加速度大小为g。不计接触式开关中的一切摩擦,重物和触点M、N均视为质点,则有(　　) A.相同转速下,重物质量大小对能否接通LED灯没影响 B.转速越大,重物质量越大,LED灯越容易发光 C.使LED灯发光的最小角速度为 D.若LED灯在最低点能发光,同一转速下在最高点也一定能发光 答案BC 解析当LED灯在最低点时,根据牛顿第二定律可得kx-mg=mω2R,可知角速度相同时,m越大,弹簧伸长量x越大,LED灯越容易接通,同时角速度越大,x越大,LED灯越容易接通,故A错误,B正确;LED灯在最低点静止时有kx0=mg,当M、N刚接触时有k(x0+0.05R)-mg=mω2R,解得ω=,故C正确;在最高点,有kx+mg=mω2R,由此可知,此时弹簧的伸长量应小于在最低点的伸长量,则LED灯不一定能发光,故D错误。 【巩固训练】 1.质量为40 kg的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁为2 m。若秋千板摆到最低点时，小孩运动速度的大小是4 m/s，g取10 m/s2，忽略板的质量，则每一根绳上的拉力是(　　) A.200 N B.360 N C.400 N D.720 N 答案　B 解析　设每一根绳上的拉力为T，不计秋千板的质量，根据牛顿第二定律2T-mg=，解得T=360 N，故B正确，A、C、D错误。 2.如图所示，一长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，当摆线L与竖直方向的夹角为α时，下列说法正确的是(　　) A.小球质量越大向心加速度越大 B.小球质量越大角速度越大 C.摆线L越长周期越大 D.摆线L越长线速度越小 答案　C 解析　对小球受力分析可得 mgtan α=ma=mω2Lsin α=mLsin α=m 解得a=gtan α，ω=，T=2π， v=，所以向心加速度、角速度与小球质量无关；摆线L越长，周期越大，线速度越大。故选C。 3.在校运动会上，质量为m的无人机以恒定速率v在空中水平盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对无人机的作用力大小为(　　) A.m B.m C.m D.m 答案　B 解析　根据向心力的公式有Fn=m，根据力的合成可知此时空气对无人机的作用力大小为F==m，故选B。 4.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A.人在最高点时，人处于倒坐状态，安全带对人一定有向上的拉力 B.人在最高点时对座位不可能产生压力 C.人在最低点时对座位的压力一定大于mg D.人在最低点时对座位的压力一定等于mg 答案　C 解析　在最高点时，只要速度够大，人就会对座位产生一个向上的压力，即使没有安全带，人也不会掉下去，即安全带不一定有向上的拉力，故A、B错误； 人在最低点时，受到座位的支持力和重力，两力的合力充当向心力，即FN-mg=m 解得FN=m+mg>mg，故D错误，C正确。 5.如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是(　　) A.v的最小值为 B.当v=时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C.当v=时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 答案　C 解析　小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小时，小球的最小速度为零，故A错误；根据公式a=可知，当v=时，小球的加速度为a=g，方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；当v=时，小球需要的向心力为F=m=2mg=F弹+mg，可知管道对小球的弹力大小为mg，方向竖直向下，故C正确；当v<时，小球需要的向心力F=m<mg，可知小球受管道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有mg-FN=m，可得FN=mg-m，则v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力FN逐渐增大，故D错误。 6.杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到转轴的距离L=40 cm。(g=10 m/s2)。 (1)(5分)若在最高点水不流出来，求水杯的最小速率； (2)(5分)若在最高点水杯的速率v=4 m/s，求水对杯底的压力大小。 答案　(1)2 m/s　(2)15 N 解析　(1)通过最高点时，重力提供的心力，速率最小， 根据mg=m 解得v'=2 m/s (2)根据F+mg=m 解得F=15 N 根据牛顿第三定律可知水对杯底的压力大小 F'=F=15 N 【综合训练】 1.如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是(　　) A.一个小球(可视为质点)沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动过程中，小球受到了重力、漏斗的弹力和向心力的作用 B.“水流星”表演中，恰好通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用 C.汽车通过凹形桥的最低点时，汽车受到的支持力大于重力 D.脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出 答案　C 解析　一个小球(可视为质点)沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动过程中，小球受到了重力、漏斗的弹力的作用，故A错误；“水流星”表演中，恰好能通过最高点时，水仅受重力的作用，支持力为零，此时处于完全失重状态，故B错误；汽车通过凹形桥的最低点时，圆心在汽车的正上方，此时重力和支持力的合力提供向心力，即有FN-mg=m，可知汽车受到的支持力FN大于重力mg，故C正确；脱水桶的脱水原理是：当转筒的速度较大时，水滴做圆周运动所需要的向心力较大，而水与衣物之间的黏滞力无法提供此向心力，所以水滴将做离心运动，从而沿切线方向甩出，故D错误。 2.如图所示，地球可以看作一个球体，位于江门的建筑物A和位于北京的建筑物B，都随地球的自转做匀速圆周运动，关于建筑物的下列说法正确的是(　　) A.周期TA>TB B.所受向心力FA>FB C.线速度大小vA>vB D.角速度大小ωA>ωB 答案　C 解析　建筑物A和建筑物B都随地球的自转做匀速圆周运动，可知它们的周期和角速度都相等，则有TA=TB，ωA=ωB，根据v=ωr，由于建筑物A做圆周运动的半径大于建筑物B做圆周运动的半径，则有vA>vB 根据向心力表达式F=mω2r，由于不知道两建筑物的质量关系，故无法确定向心力的大小关系。故选C。 3.(多选)如图甲所示，物块(视为质点)在直立圆筒的内壁上随圆筒做匀速圆周运动时，刚好不沿着筒壁向下滑动，圆筒的半径为h，物块与筒壁之间的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；如图乙所示，小球(视为质点)在水平面内做匀速圆周运动，悬点O1与轨迹的圆心O2之间的距离为h，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.物块的周期为2π B.小球的周期为2π C.物块的线速度为 D.小球的线速度为2 答案　BC 解析　物块刚好不沿着筒壁向下滑动，则有μFN=mg，FN=m()2h，结合μ=0.5，联立解得T1=π，A错误；设小球的摆线与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析，由力的合成和牛顿第二定律有mgtan θ=ma，设小球做匀速圆周运动的半径为r，由匀速圆周运动的规律有a=r，由几何关系可得tan θ=，可得T2=2π，B正确；物块的线速度为v=h=，C正确；由于小球做圆周运动的半径未知，所以无法求出小球的线速度，D错误。 4.如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动且无相对滑动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙=3∶1，两圆盘和小物体A、B之间的动摩擦因数相同，A、B的质量分别为m1、m2，A距O点为2r，B距O'点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时(　　) A.A与B都没有相对圆盘滑动时，角速度之比ω1∶ω2=3∶1 B.A与B都没有相对圆盘滑动时，向心加速度之比a1∶a2=1∶3 C.随转速慢慢增加，A先开始滑动 D.随转速慢慢增加，B先开始滑动 答案　D 解析　甲、乙两轮子边缘上的各点线速度大小相等，有ω1·3r=ω2·r，则得ω1∶ω2=1∶3，所以A、B相对盘开始滑动前，A与B的角速度之比为1∶3，故A错误； A、B相对盘开始滑动前，根据a=ω2r 得A与B的向心加速度之比为 a1∶a2=(·3r)∶(r)=1∶3，故B错误； 当两个物体所受的静摩擦力达到最大，对质量为m1的小物块A有μm1g=m1ω1'2·3r，解得ω1'=，对质量为m2的小物体B有μm2g=m2ω2'2r 解得ω2'= 根据甲、乙的角速度之比为ω1∶ω2=1∶3，当转速增加时，设B先达到临界角速度，此时A的角速度为ω1=<ω1'=，说明此时A的角速度还没有达到临界值，故B先开始滑动，故C错误，D正确。 5.如图所示，是一种模拟旋转秋千的装置，整个装置可绕置于地面上的竖直轴Oa转动，已知与转轴固定连接的水平杆ab长s=0.1 m，连接小球的细绳长L= m，小球质量m=0.1 kg，整个装置绕竖直轴Oa做匀速圆周运动时，连接小球的细绳与竖直方向成37°角，小球到地面的高度h=0.8 m，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求： (1)细绳对小球的拉力T是多大； (2)该装置匀速转动角速度的大小； (3)若转动过程中，细绳突然断裂，小球落地时到转轴Oa的水平距离。 答案　(1)1.25 N　(2)5 rad/s　(3) m 解析　(1)小球竖直方向受力平衡，有T= 解得T=1.25 N (2)小球在水平面内做匀速圆周运动，合力提供向心力，可得mgtan 37°=mω2r 小球做圆周运动的半径r=s+Lsin 37° 联立解得ω=5 rad/s (3)细绳断裂时，小球的线速度大小为v=ωr=1.5 m/s 由h=gt2 解得t=0.4 s 小球平抛过程中，水平分位移为x=vt=0.6 m 根据几何关系可得小球落地时到转轴Oa的水平距离为d= 解得d= m。 6.(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A.r B.l C.r D.l 答案　A 解析　由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量为Δx=， 根据胡克定律有F=kΔx= 插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，弹力提供向心力，则有F=mlω2 对卷轴有v=rω 联立解得v=r，故选A。 7.如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q水平放置，两轮之间不打滑，两轮半径RP=60 cm，RQ=30 cm。当主动轮P匀速转动时，在P轮边缘上放置的小物块恰能相对P轮静止，若将小物块放在Q轮上，欲使物块相对Q轮也静止，则物块距Q轮转轴的最大距离为(　　) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.30 cm 答案　B 解析　相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q，则边缘线速度大小相等，则ωPRP=ωQRQ，解得=，对于在P边缘的物块，最大静摩擦力提供向心力，即mRP=Ffmax，当在Q轮上恰要滑动时，设此时半径为R，mR=Ffmax，解得R=15 cm。故选B。 8.(多选)如图甲所示，用一根长为L的细线，一端系一质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。T-ω2的图像如图乙所示，已知g=10 m/s2，sin 30°=0.5，sin 37°=0.6，sin 60°=，则下列说法正确的是(　　) A.小球的质量为0.8 kg B.小球的质量为1 kg C.夹角θ为37° D.细线的长度L=1 m 答案　BCD 解析　小球未脱离圆锥时，有 Tsin θ-FNcos θ=mω2Lsin θ Tcos θ+FNsin θ=mg 联立两式解得T=mgcos θ+mω2Lsin 2θ 可知图线的斜率k1=mLsin2θ==0.36 由图像可得当ω2=12.5 rad2/s2时，小球即将脱离圆锥，此时其所受锥面的支持力为零，绳子拉力T=12.5 N，代入 Tsin θ=mω2Lsin θ 联立斜率k1可得sin θ=0.6 所以夹角θ为37°，故C正确； 当角速度为零时，受力分析则有 T=mgcos θ=8 N 可解得小球的质量为m=1 kg，故A错误，B正确； 当ω2=12.5 rad2/s2时，小球即将脱离圆锥，此时其所受锥面的支持力为零，绳子拉力T=12.5 N，代入 Tsin θ=mω2Lsin θ 可得细线的长度L=1 m，故D正确。 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：圆周运动 【巩固训练】 1.答案　B 2.答案　C 3.答案　B 4.答案　C 5.答案　C 6. 答案　(1)2 m/s　(2)15 N 解析　(1)通过最高点时，重力提供的心力，速率最小， 根据mg=m 解得v'=2 m/s (2)根据F+mg=m 解得F=15 N 根据牛顿第三定律可知水对杯底的压力大小 F'=F=15 N 【综合训练】 1.答案　C 2.答案　C 3.答案　BC 4.答案　D 5.答案　(1)1.25 N　(2)5 rad/s　(3) m 解析　(1)小球竖直方向受力平衡，有T= 解得T=1.25 N (2)小球在水平面内做匀速圆周运动，合力提供向心力，可得mgtan 37°=mω2r 小球做圆周运动的半径r=s+Lsin 37° 联立解得ω=5 rad/s (3)细绳断裂时，小球的线速度大小为v=ωr=1.5 m/s 由h=gt2 解得t=0.4 s 小球平抛过程中，水平分位移为x=vt=0.6 m 根据几何关系可得小球落地时到转轴Oa的水平距离为d= 解得d= m。 6.答案　A 7.答案　B 8.答案　BCD 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：圆周运动 目录 【知识梳理】····························································································1 知识点 1 圆周运动的动力学问题···········································································1 知识点 2 圆锥摆模型···········································································2 知识点 3 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型·····························3 知识点 4 竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型····································4 【方法技巧】····························································································5 方法技巧 1 水平面内的圆周运动························································6 方法技巧 2 竖直平面内的圆周运动······························································7 【巩固训练】····························································································10 【综合训练】····························································································13 【知识梳理】 知识点 1 圆周运动的动力学问题 向心力公式本质上是牛顿第二定律在圆周运动问题中的应用。在应用牛顿第二定律F=ma解决圆周运动问题时，F为向心力，a为向心加速度。向心力F应按照下面两种情况处理： (1)匀速圆周运动中，物体所受的合外力提供向心力。 (2)在非匀速圆周运动中，沿半径方向的合外力提供向心力。 例1　一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为(　　) A.μmg B. C.μm(g+) D.μm(g-) 答案　C 解析　在最低点有，FN-mg=m，得FN=mg+m，又有f=μFN=μ(mg+m)=μm(g+)，C选项正确。 例2　(多选)如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB=2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是(　　) A.A、B两球所需的向心力之比为2∶1 B.A、B两球角速度之比为1∶1 C.A、B两球运动半径之比为1∶2 D.A、B两球向心加速度之比为1∶2 答案　BCD 解析　两球所需的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动半径分别为rA、rB，角速度为ω，则mArAω2=mBrBω2，因为mA∶mB=2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB=1∶2，C正确；由牛顿第二定律F=ma可知aA∶aB=1∶2，D正确。 知识点 2 圆锥摆模型 如图所示，在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小球，固定住绳子的上端，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。 (1)小球受哪几个力的作用？是什么力提供了小球做匀速圆周运动的向心力？(忽略空气阻力) (2)当细绳与竖直方向成θ角时，小球运动的向心加速度大小为多少？ 答案　(1)小球受重力和细绳的拉力作用，重力和拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力(如图所示)。也可以认为是绳子的拉力在水平方向的分力提供了向心力。 (2)根据牛顿第二定律：mgtan θ=ma得a=gtan θ。 例3　长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动，重力加速度为g)，如图所示。当细线与竖直方向的夹角为α时，求： (1)细线的拉力F大小； (2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度大小。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　如图所示，小球受重力mg和细线的拉力F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球所受的合力指向圆心O'，且是水平方向。 (1)由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtan α，细线对小球的拉力大小为F=。 (2)由牛顿第二定律得mgtan α=，由几何关系得r=Lsin α，所以，小球做匀速圆周运动的线速度大小为v=。 (3)小球运动的角速度为ω===。 拓展　从上面角速度的表达式中我们可以看出做圆锥摆运动的小球角速度ω与什么因素有关？ 答案　与圆心到绳上端的高度有关。 知识点 3 竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 如图所示，图甲中小球仅受轻绳拉力和重力作用，图乙中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直平面内做圆周运动，运动半径均为L，二者运动规律相同。 (1)小球在最高点的向心力是由什么力提供的？其动力学方程如何？ (2)分析求解小球通过最高点的最小速度。 (3)小球通过最高点时，讨论以下三种情况下轻绳拉力或轨道的弹力情况： ①v=；②v>；③v<。 答案　(1)小球在最高点的向心力是由重力和绳的拉力(轨道的弹力)的合力提供的，动力学方程：F弹+mg=m。 (2)由于小球过最高点时，绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F弹+mg=m可知，当F弹=0时，v最小，最小速度为v=。 (3)①当v=时，拉力或弹力为零。 ②当v>时，小球受向下的拉力或弹力。 ③当v<时，小球不能到达圆轨道最高点。 例4　(2023·东莞市高一期中)杂技演员表演“水流星”，在长为0.9 m的细绳的一端，系一个总质量(包括水)为m=0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速度为3 m/s，则下列说法正确的是(g=10 m/s2)(　　) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案　B 解析　当水对容器底压力为零时有 m水g=m水，解得v== m/s=3 m/s，由于“水流星”通过最高点的速度为3 m/s，则水对容器底的压力为零，水不会从容器中流出，对水和容器分析，有T+mg=m，解得T=0，则此时绳子的拉力(张力)为零，故A、D错误，B正确； “水流星”通过最高点时，仅受重力，处于完全失重状态，故C错误。 知识点 4 竖直面内圆周运动的轻轩(管道)模型 1.如图所示，细杆上固定的小球或在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。 轻杆模型(小球在最高点) 弹力特征 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零 受力示意图 动力学方程 mg±F=m 临界特征 v=0，即F向=0，此时F=mg v=的意义 F表现为拉力(或压力)还是支持力的临界点 2.小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化。 (1)v=时，mg=m，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或管道)与小球间无作用力。 (2)v<时，mg>m，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg-F=m，即F=mg-m，v越大，F越小。 (3)v>时，mg<m，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或弹力)F。重力和拉力(或弹力)的合力充当向心力，mg+F=m，即F=m-mg，v越大，F越大。 例5　有一轻质杆长L为0.5 m，一端固定一质量m为0.5 kg的小球(可视为质点)，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。(g=10 m/s2) (1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小； (2)当小球运动到最高点速率分别为1 m/s和4 m/s时，求小球对杆的作用力。 答案　(1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上 解析　(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力，有mg=m，代入数据解得v1== m/s (2)当小球运动到最高点速率为1 m/s时，此时小球受到杆向上的支持力。根据牛顿第二定律可得：mg-F1=m，代入数据解得：F1=4 N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4 N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4 m/s时，此时小球受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2+mg=m，代入数据解得F2=11 N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11 N，方向向上。 【方法技巧】 方法技巧 1 水平面内的圆周运动 (1)水平面内圆周运动的分析思路 (2)水平面内圆周运动的临界问题 ①绳的临界:拉力T=0。绳恰好伸直 ②接触面滑动临界:F=fmax。 　　　　　　　　　达到最大静摩擦力 ③接触面分离临界:FN=0。 例1　如图所示,餐桌中心是一个半径为r=1.5 m的圆盘,圆盘可绕中心轴转动,餐桌其余部分不转动,近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)为使物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少? (2)缓慢增大圆盘的角速度,物体从圆盘上甩出,为使物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大? (3)若餐桌半径R'=r,则在圆盘角速度缓慢增大时,物体从圆盘上被甩出后做平抛运动的水平位移为多少? 解题指导 【审题】 读取题干 获取信息 圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计 物体从圆盘滑到餐桌时速度大小、方向均不变 μ1=0.6、μ2=0.225、h=0.8 m 可求物体在圆盘上不滑动时的最大向心加速度;可求物体在餐桌上做匀减速直线运动的加速度;物体离开餐桌做平抛运动的竖直位移为0.8 m 为使物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大 餐桌半径最小时,物体滑到餐桌边缘的速度恰为零;圆盘半径、餐桌半径和物体在餐桌上的位移组成直角三角形 【破题】 1.明确运动过程:物体在圆盘上保持相对静止时做匀速圆周运动,滑到桌面上后做匀减速直线运动,离开桌面后做平抛运动。 2.弄清临界条件:一是物体在圆盘上发生相对运动的临界条件是静摩擦力达到最大静摩擦力,即等于滑动摩擦力;二是物体不滑落到地面的临界条件是物体滑到餐桌边缘时速度恰好为零。 答案(1)2 rad/s　(2)2.5 m　(3)0.6 m 解析(1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时,小物体即将滑动,此时圆盘的角速度达到最大,则有fm=μ1FN=mrω2 FN=mg 两式联立可得ω==2 rad/s。 (2)由题意可得,当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零,对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s,物块在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a,则a= f=μ2mg 所以a=μ2g=2.25 m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度为v0=ωr=3 m/s 由运动学公式得v2-=-2as,可得s=2 m 由图形可得餐桌半径的最小值为R==2.5 m。 (3)当物体滑离餐桌时,开始做平抛运动,平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v'。 由题意可得v'2-=-2as' 由于餐桌半径为R'=r,所以s'=r=1.5 m 所以可得v'=1.5 m/s 物体做平抛运动的时间为t,则h=gt2 解得t==0.4 s 所以物体做平抛运动的水平位移为sx=v't=0.6 m。 方法技巧 2 竖直平面内的圆周运动 (1) (2)常见模型 模型 主要位置 临界情况 轻绳模型 最高点T+mg=m 恰好通过最高点时,绳的拉力为0 轻杆模型 最高点mg±F=m 恰好通过最高点时,杆对小球的弹力等于小球的重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程,最高点、最低点、等效最高点、等效最低点、最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点;恰好做完整圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点mgsin θ±f=mω2r 最低点f- mgsin θ=mω2r 恰好通过最低点 例2　(多选)如图为自行车车轮的气嘴灯原理图,气嘴灯由接触式开关控制。其结构为弹簧一端固定在顶部A,另一端与重物连接,当车轮转动的角速度达到一定值时,重物拉伸弹簧使触点M、N接触,从而接通电路使LED灯发光。触点N与车轮圆心距离为R,车轮静止且B端在车轮最低点时触点M、N距离为0.05R。已知A靠近车轮圆心,B固定在车轮内臂,重物与触点M的总质量为m。弹簧劲度系数为k,重力加速度大小为g。不计接触式开关中的一切摩擦,重物和触点M、N均视为质点,则有(　　) A.相同转速下,重物质量大小对能否接通LED灯没影响 B.转速越大,重物质量越大,LED灯越容易发光 C.使LED灯发光的最小角速度为 D.若LED灯在最低点能发光,同一转速下在最高点也一定能发光 答案BC 解析当LED灯在最低点时,根据牛顿第二定律可得kx-mg=mω2R,可知角速度相同时,m越大,弹簧伸长量x越大,LED灯越容易接通,同时角速度越大,x越大,LED灯越容易接通,故A错误,B正确;LED灯在最低点静止时有kx0=mg,当M、N刚接触时有k(x0+0.05R)-mg=mω2R,解得ω=,故C正确;在最高点,有kx+mg=mω2R,由此可知,此时弹簧的伸长量应小于在最低点的伸长量,则LED灯不一定能发光,故D错误。 【巩固训练】 1.质量为40 kg的小孩坐在秋千上，小孩离系绳子的横梁为2 m。若秋千板摆到最低点时，小孩运动速度的大小是4 m/s，g取10 m/s2，忽略板的质量，则每一根绳上的拉力是(　　) A.200 N B.360 N C.400 N D.720 N 2.如图所示，一长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，当摆线L与竖直方向的夹角为α时，下列说法正确的是(　　) A.小球质量越大向心加速度越大 B.小球质量越大角速度越大 C.摆线L越长周期越大 D.摆线L越长线速度越小 3.在校运动会上，质量为m的无人机以恒定速率v在空中水平盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对无人机的作用力大小为(　　) A.m B.m C.m D.m 4.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) A.人在最高点时，人处于倒坐状态，安全带对人一定有向上的拉力 B.人在最高点时对座位不可能产生压力 C.人在最低点时对座位的压力一定大于mg D.人在最低点时对座位的压力一定等于mg 5.如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球(直径略小于管内径)一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速度为g，则下列叙述中正确的是(　　) A.v的最小值为 B.当v=时，小球处于完全失重状态，不受力的作用 C.当v=时，管道对小球的弹力方向竖直向下 D.当v由逐渐减小的过程中，管道对小球的弹力也逐渐减小 6.杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到转轴的距离L=40 cm。(g=10 m/s2)。 (1)(5分)若在最高点水不流出来，求水杯的最小速率； (2)(5分)若在最高点水杯的速率v=4 m/s，求水对杯底的压力大小。 【综合训练】 1.如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是(　　) A.一个小球(可视为质点)沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动过程中，小球受到了重力、漏斗的弹力和向心力的作用 B.“水流星”表演中，恰好通过最高点时处于完全失重状态，不受重力作用 C.汽车通过凹形桥的最低点时，汽车受到的支持力大于重力 D.脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出 2.如图所示，地球可以看作一个球体，位于江门的建筑物A和位于北京的建筑物B，都随地球的自转做匀速圆周运动，关于建筑物的下列说法正确的是(　　) A.周期TA>TB B.所受向心力FA>FB C.线速度大小vA>vB D.角速度大小ωA>ωB 3.(多选)如图甲所示，物块(视为质点)在直立圆筒的内壁上随圆筒做匀速圆周运动时，刚好不沿着筒壁向下滑动，圆筒的半径为h，物块与筒壁之间的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；如图乙所示，小球(视为质点)在水平面内做匀速圆周运动，悬点O1与轨迹的圆心O2之间的距离为h，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.物块的周期为2π B.小球的周期为2π C.物块的线速度为 D.小球的线速度为2 4.如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动且无相对滑动。甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙=3∶1，两圆盘和小物体A、B之间的动摩擦因数相同，A、B的质量分别为m1、m2，A距O点为2r，B距O'点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时(　　) A.A与B都没有相对圆盘滑动时，角速度之比ω1∶ω2=3∶1 B.A与B都没有相对圆盘滑动时，向心加速度之比a1∶a2=1∶3 C.随转速慢慢增加，A先开始滑动 D.随转速慢慢增加，B先开始滑动 5.如图所示，是一种模拟旋转秋千的装置，整个装置可绕置于地面上的竖直轴Oa转动，已知与转轴固定连接的水平杆ab长s=0.1 m，连接小球的细绳长L= m，小球质量m=0.1 kg，整个装置绕竖直轴Oa做匀速圆周运动时，连接小球的细绳与竖直方向成37°角，小球到地面的高度h=0.8 m，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求： (1)细绳对小球的拉力T是多大； (2)该装置匀速转动角速度的大小； (3)若转动过程中，细绳突然断裂，小球落地时到转轴Oa的水平距离。 6.(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A.r B.l C.r D.l 7.如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q水平放置，两轮之间不打滑，两轮半径RP=60 cm，RQ=30 cm。当主动轮P匀速转动时，在P轮边缘上放置的小物块恰能相对P轮静止，若将小物块放在Q轮上，欲使物块相对Q轮也静止，则物块距Q轮转轴的最大距离为(　　) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.30 cm 8.(多选)如图甲所示，用一根长为L的细线，一端系一质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。T-ω2的图像如图乙所示，已知g=10 m/s2，sin 30°=0.5，sin 37°=0.6，sin 60°=，则下列说法正确的是(　　) A.小球的质量为0.8 kg B.小球的质量为1 kg C.夹角θ为37° D.细线的长度L=1 m 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $