专题30 图形的相似 讲义2026年中考数学第一轮复习

专题30 图形的相似 本专题是中考数学几何部分的核心内容之一，题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值占比约8~12分。 考点 ①比例的性质 ②相似图形的识别与性质 ③平行线分线段成比例定理 ④相似三角形的判定与性质 ⑤位似图形的性质 ⑥相似三角形与圆、函数、动点等知识的综合应用。 考情 中考命题侧重考查学生对相似图形本质的理解，以及利用相似性质进行线段计算、角度推导、图形证明和最值求解的能力，强调数形结合、转化与分类讨论思想的应用，是几何综合题的重要载体。 一、比例的性质 1. 基本性质：若（），则；反之，若（），则。 2. 合比性质：若（），则。 3. 等比性质：若（，且），则。 4.推论：若，则，可将比例式转化为整式关系，简化计算。 二、相似图形的定义与性质 1. 定义：形状相同、大小不一定相同的图形称为相似图形，相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似比：相似多边形对应边的比称为相似比（记为）。 3. 性质： （1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方。 三、平行线分线段成比例定理 1. 基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2. 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3. 推论2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 4. 推论3：若，则（分线段成比例），且（相似比关系）。 四、相似三角形的判定 1. 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA）； 2. 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）； 3. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS）； 4. 特殊判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）。 五、位似图形 1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点（位似中心），对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。 2. 性质： （1）位似图形的相似比等于位似比； （2）位似图形对应点的坐标比等于位似比（以原点为位似中心时，横纵坐标均乘以位似比或）； 3. 推论：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；位似中心是对应顶点连线的交点，可在图形内、图形外或图形上。 六、核心解题思路 识别模型、转化比例、精准计算 1. 遇到线段比例问题，优先考虑比例的基本性质、合比性质或等比性质，将比例式转化为整式关系； 2. 遇到平行线段，直接联想平行线分线段成比例定理或相似三角形的“A”“X”型模型； 3. 证明三角形相似时，优先寻找相等的角（如公共角、对顶角、同位角），再结合边的比例关系； 4. 处理位似图形时，注意位似中心的位置，以原点为位似中心时直接利用坐标比等于位似比； 5. 综合题中，常结合勾股定理、三角函数、圆的性质等知识，需灵活运用相似三角形的性质建立等量关系。 所有试题均需注意相似比的顺序，避免因比例关系颠倒导致错误，同时注重数形结合，通过画图标注已知条件，简化推导过程。 考点1 比例的性质 例1．（2026·安徽阜阳·一模）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用分式的运算性质变形所求式子，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 考点2 相似图形的性质与应用 例2．（25-26九年级下·宁夏中卫·开学考试）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 考点3 平行线分线段成比例 例3．（25-26九年级下·四川自贡·月考）如图，已知中，点、分别在边、上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质），逐一分析每个选项的比例关系是否成立，从而找出错误的结论． 【详解】解：， ． 选项A： ， ，故A项正确，不符合题意． 选项B： ， ，， ，故B项错误，符合题意． 选项C： ， ，故C项正确，不符合题意． 选项D： ， ，故D项正确，不符合题意． 考点4 相似三角形的判定 例4．（2026·广东中山·一模）如图，已知△ABC与，下列条件一定能推得它们相似的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断△ABC与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断△ABC与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断△ABC与相似． 考点5 相似三角形的性质 例5．（2026·甘肃天水·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则△ABC的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴△ABC的面积为． 考点6 位似图形 例6．（2026九年级下·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据关于原点位似且位似比为、对应点在第一象限的条件，确定坐标变换规则为原坐标乘，再代入点的坐标计算得到的坐标即可． 【详解】解：∵与关于原点位似，位似比为，且在第一象限， ∴点的对应点的坐标为原坐标乘以​， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 考点7 相似三角形与圆综合 例7．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，即可证明结论； （2）证明，推出，再根据已知可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，弦直径， ∴， ∴； （2）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵△ABC与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即，故选：B． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是；故选：B. 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 7．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 8．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 9．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是△ABC的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是△ABC的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是△ABC的中位线， ， 故选：B． 10．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 11．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 13．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 14．（2025·山东威海·中考真题）如图，△ABC的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵△ABC的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 15．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 16．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 17．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴△CDM是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 19．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 20．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 二、填空题 21．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 22．（2025·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 23．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 24．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，．若，，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 25．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则△ABC与的相似比为________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把△ABC以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则△ABC与的相似比为， 故答案为：． 26．（2025·广东·中考真题）如图，把△AOB放大后得到，则△AOB与的相似比是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则△AOB与位似，从而得到△AOB与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把△AOB放大后得到，则△AOB与位似， △AOB与的相似比为， 故答案为：． 27．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 28．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 29．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵，∴．故答案为：4 30．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 31．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，∠B=90º，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，∠B=90º， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 32．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出. 在上取点，使，构造出，得，再根据两点之间线段最短得出即当在上时，取最小值. 【详解】解：在上取点，使， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当在上时，取最小值，为. 故答案为. 33．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 34．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 35．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形△ABC的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ △ABC是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 36．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△ABC的顶点的坐标为．以点为位似中心作与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 37．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 38．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为；故答案为：. 39．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是△ABC边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴,即．故答案为：2． 40．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或，故答案为：或． 三、解答题 41．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析；;(2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 42．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的定义以及全等三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用圆周角与弧的对应关系转化角的等量关系，通过构造辅助线（延长线段）创造全等或相似的条件． （1）利用平分得到角相等，结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），将角平分线得到的等角转化为与、相关的角，进而证明两角相等． （2）由可得通过圆内接四边形的对角互补性质得到结合第一问结论及角平分线性质证明再通过角的等量转化证明，最终得到比例式． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴． ∵四边形内接于， ∴（同弧所对的圆周角相等）． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形内接于， ∴（圆内接四边形对角互补）． 又∵（平角定义）， ∴． 由（1）知 ∴（等角对等边）． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵ ，， ∴即 ∴． ∴， ∴，即． 43．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为△ADE外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用，求得，据此即可证明平分； （2）利用半径相等求得，利用三角形的外角性质可证明，推出，可证明，等量代换即可证明结论成立； （3）利用切线的性质结合，证明，设，则，利用，列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，即平分； （2）证明：连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵射线与相切于点A， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识．作出合适的辅助线是解题的关键． 44．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 45．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在△ABC中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)；(2)． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 46．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，，;(2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 47．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析;(2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 48．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析；(2)纪念碑的高度为．(3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大，理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 49．（2025·山东滨州·中考真题）如图，△ABC中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析;(2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 50．（2025·四川雅安·中考真题）如图，△ABC中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析;(2)见解析;(3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 52．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析;(2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 53．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段比例关系的推导，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质及外角的定义得出，由等角对等边即可证明； （2）通过证明和，利用相似三角形的性质证明即可； （3）设，根据比例关系得出，，再根据全等关系得出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 54．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)①2；②4;(2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【详解】（1）①如图所示， △ABC为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． （2）第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 55．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． 56．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 57．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是△ABC的内心，连接并延长交△ABC的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或;(2)见解析;(3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是△ABC的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是△ABC的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 58．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在△ABC的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析;(2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 59． （2025·山东东营·中考真题）     （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠△ABC，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当△ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在△ABC中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                     ∵，                                    ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                               ∵，                              ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                ∴，                                ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                  又∵，                                 ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 60．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1);(2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 图形的相似 本专题是中考数学几何部分的核心内容之一，题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值占比约8~12分。 考点 ①比例的性质 ②相似图形的识别与性质 ③平行线分线段成比例定理 ④相似三角形的判定与性质 ⑤位似图形的性质 ⑥相似三角形与圆、函数、动点等知识的综合应用。 考情 中考命题侧重考查学生对相似图形本质的理解，以及利用相似性质进行线段计算、角度推导、图形证明和最值求解的能力，强调数形结合、转化与分类讨论思想的应用，是几何综合题的重要载体。 一、比例的性质 1. 基本性质：若（），则；反之，若（），则。 2. 合比性质：若（），则。 3. 等比性质：若（，且），则。 4.推论：若，则，可将比例式转化为整式关系，简化计算。 二、相似图形的定义与性质 1. 定义：形状相同、大小不一定相同的图形称为相似图形，相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 2. 相似比：相似多边形对应边的比称为相似比（记为）。 3. 性质： （1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方。 三、平行线分线段成比例定理 1. 基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2. 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3. 推论2：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 4. 推论3：若，则（分线段成比例），且（相似比关系）。 四、相似三角形的判定 1. 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA）； 2. 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）； 3. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS）； 4. 特殊判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； （2）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）。 五、位似图形 1. 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点（位似中心），对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。 2. 性质： （1）位似图形的相似比等于位似比； （2）位似图形对应点的坐标比等于位似比（以原点为位似中心时，横纵坐标均乘以位似比或）； 3. 推论：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；位似中心是对应顶点连线的交点，可在图形内、图形外或图形上。 六、核心解题思路 识别模型、转化比例、精准计算 1. 遇到线段比例问题，优先考虑比例的基本性质、合比性质或等比性质，将比例式转化为整式关系； 2. 遇到平行线段，直接联想平行线分线段成比例定理或相似三角形的“A”“X”型模型； 3. 证明三角形相似时，优先寻找相等的角（如公共角、对顶角、同位角），再结合边的比例关系； 4. 处理位似图形时，注意位似中心的位置，以原点为位似中心时直接利用坐标比等于位似比； 5. 综合题中，常结合勾股定理、三角函数、圆的性质等知识，需灵活运用相似三角形的性质建立等量关系。 所有试题均需注意相似比的顺序，避免因比例关系颠倒导致错误，同时注重数形结合，通过画图标注已知条件，简化推导过程。 考点1 比例的性质 例1．（2026·安徽阜阳·一模）若，则等于（    ） A． B． C． D． 考点2 相似图形的性质与应用 例2．（25-26九年级下·宁夏中卫·开学考试）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 考点3 平行线分线段成比例 例3．（25-26九年级下·四川自贡·月考）如图，已知中，点、分别在边、上，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 考点4 相似三角形的判定 例4．（2026·广东中山·一模）如图，已知△ABC与，下列条件一定能推得它们相似的是（  ） A． B． C． D． 考点5 相似三角形的性质 例5．（2026·甘肃天水·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，的面积，则△ABC的面积为_________． 考点6 位似图形 例6．（2026九年级下·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点7 相似三角形与圆综合 例7．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，F是的中点，求的长． 一、单选题 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 6．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 10．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 12．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山东威海·中考真题）如图，△ABC的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 15．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．2 16．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 21．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是______． 22．（2025·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，点，分别在，上，，若，则__________． 23．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则________． 24．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在△ABC中，．若，，则_____． 25．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则△ABC与的相似比为________． 26．（2025·广东·中考真题）如图，把△AOB放大后得到，则△AOB与的相似比是_____． 27．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 28．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 29．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 30．（2025·甘肃·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 31．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形中，，∠B=90º，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 32．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知中，，，，点M是内部一点，连接、、，若，则的最小值为_______． 33．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 34．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 35．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 36．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△ABC的顶点的坐标为．以点为位似中心作与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 37．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 38．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 39．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是△ABC边，上的点，且，若，则的值是_________． 40．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为______． 三、解答题 41．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 42．（2025·宁夏·中考真题）如图，四边形内接于⊙平分，连接． (1)求证：； (2)延长至点，使，连接．求证：． 43．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，为△ADE外接圆的直径，点C为线段上一点（不与D，O重合），点B为的延长线上一点，连接并延长至点M，满足． (1)求证：平分； (2)证明：； (3)若射线与相切于点A，，，求的值． 44．（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 45．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在△ABC中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)；(2)． 46．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 47．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 48．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 49．（2025·山东滨州·中考真题）如图，△ABC中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 50．（2025·四川雅安·中考真题）如图，△ABC中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 51．（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 52．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 53．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． (1)求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） (2)求证：． (3)若，直接写出的值（用含的式子表示）． 54．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 55．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 56．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 57．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是△ABC的内心，连接并延长交△ABC的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 58．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在△ABC的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 59.（2025·山东东营·中考真题）     （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠△ABC，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当△ABC为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在△ABC中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 60．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $