第5章 导数及其应用（复习课件）高二数学沪教版选择性必修第二册

该高中数学单元复习课件系统梳理了导数的概念、运算及应用，通过单元知识图谱将平均变化率、导数几何意义、四则运算法则、函数单调性等核心内容串联，构建“概念-运算-应用”的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-分层训练”模式，如通过“十二字方针”总结含参函数分类讨论策略，针对训练分A组基础巩固、B组能力提升、C组挑战压轴，培养学生逻辑推理与数学建模能力。这种设计帮助学生精准突破难点，教师可高效开展分层复习教学。

单元复习课件 第5章导数及其应用 沪教版选择性必修二·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解导数的概念与几何意义：从平均变化率过渡到瞬时变化率，理解导数的定义；掌握导数的几何意义——曲线切线的斜率，会求切线方程。掌握导数的基本运算：熟记基本初等函数的导数公式，能熟练运用导数的四则运算法则和复合函数求导法则进行运算。 3.能够解决导数的综合应用问题：能运用导数解决实际优化问题（如利润最值、面积最值等），掌握含参函数的分类讨论方法，具备解决上海高考导数压轴题的初步能力。 2.熟练运用导数研究函数性质：会利用导数判断函数的单调性、求极值和最值，理解导数在研究函数中的核心工具作用。 单元学习目标 5.1 导数的概念及意义 5.2 导数的运算 5.3 导数的应用 平均变化率 基本初等函数的导数 单调性 瞬时速度 导数的四则运算 极值 导数的定义 简单复合函数的导数 最值 导数的几何意义（切线斜率）   二次函数研究     实际问题优化 单元知识图谱 考点一：导数的概念及几何意义 1. 平均变化率与瞬时变化率 对于函数 ，在区间 上的平均变化率为： 当 Δx→0 时，若该比值趋近于一个确定的常数，则该常数为函数在 处的瞬时变化率，即导数。 考点串讲 考点一：导数的概念及几何意义 典型例题（沪教版课本例题改编）： 例1（自由落体运动问题）自由落体运动中，物体下落的距离 d（单位：m）与时间 t（单位：s）近似满足函数关系 d(t)=5，求物体在 t=2 s 时的瞬时速度。 解：物体在 t=2 附近时间段 [2,2+Δt] 内的平均速度为 ==20+5Δt. 当 Δt→0 时，平均速度趋近于 20，故瞬时速度为 20 m/s。 考点串讲 曲线 y=f(x) 在点 处的切线斜率等于该点处的导数 ，切线方程为： 2. 导数的定义 函数 y=f(x) 在 x= 处的导数定义为： = 记作 f或 3. 导数的几何意义 考点一：导数的概念及几何意义 考点串讲 考点一：导数的概念及几何意义 典型例题（上海模考真题） 例2（上海青浦·统考一模）已知函数 f(x)=lnx+，则 f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线的倾斜角为__________。 解：f'(x)=+2x，f'(1)=1+2=3，斜率 k=3 倾斜角为 arctan3。 考点串讲 考点二：导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式 函数 导数 （常数） 考点串讲 考点二：导数的运算 2. 导数的四则运算法则 和差法则：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x) 积法则：[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) 商法则：[ (v(x)≠0) 3. 复合函数求导法则 若 y=f(u)，u=g(x)，则 =⋅，即 =⋅。 考点串讲 考点二：导数的运算 典型例题： 例3. 求下列函数的导数： (1) y； (2) y=sin(2x+)； (3) 。 解： (1) y'= (2) y'=cos(2x+)⋅2=2cos(2x+) (3) y'=⋅2x=2x 考点串讲 考点三：利用导数研究函数的单调性 原理 若在区间 (a,b) 内： f'(x)>0 ⇒ f(x) 在 (a,b) 上严格增； f'(x)<0 ⇒ f(x) 在 (a,b) 上严格减； f'(x)=0 ⇒ f(x) 在 (a,b) 上为常值函数。 考点串讲 考点三：利用导数研究函数的单调性 典型例题（沪教版课堂例题）： 例4. 已知函数 f(x)=lnx+，讨论 f(x) 的单调性。 解：定义域为 (0,+∞)，f'(x)=- 。 当 a≤0 时，f'(x)>0 在 (0,+∞) 上恒成立，f(x) 在定义域上严格增； 当 a>0 时，令 f'(x)=0 得 x=a， 当 x>a 时，f'(x)>0， 故 f(x) 在 (0,a) 上严格减，在 (a,+∞) 上严格增。 当 0<x<a 时，f'(x)<0； 考点串讲 考点四：利用导数研究函数的极值与最值 1. 极值的判定 设 f'( )=0： 若在 左侧 f'(x)>0，右侧 f'(x)<0，则 f( ) 为极大值； 若在 左侧 f'(x)<0，右侧 f'(x)>0，则 f( ) 为极小值。 2. 最值的求法 在闭区间 [a,b] 上，比较极值点处的函数值和端点值，最大者为最大值，最小者为最小值。 考点串讲 考点四：利用导数研究函数的极值与最值 典型例题（上海模考真题） 例5（上海松江·统考一模改编）已知函数 f(x)=-3x，求 f(x) 在区间 [-2,2] 上的最大值和最小值。 解：f'(x)=3-3=3(x-1)(x+1)。令 f'(x)=0 得 x=±1。 计算函数值： f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。 故最大值为 2，最小值为 -2。 考点串讲 考点五：导数的综合应用 1. 含参函数的分类讨论 含参函数的单调性、极值问题往往需要对参数进行讨论，常见讨论点包括：导数的符号变化、定义域的限制、二次函数判别式等。 考点串讲 考点五：导数的综合应用 典型例题 例6（上海·统考模拟预测）已知函数 f(x)=lnx-ax，a∈R。 (1) 讨论 f(x) 的单调性； (2) 若 f(x) 有极值，求 a 的取值范围并求极值。 解：(1) 定义域 (0,+∞)，f'(x)=-a 当 a≤0 时，f'(x)>0 恒成立，f(x) 严格增； 当 a>0 时，令 f'(x)=0 得 x=，f(x) 在 (0,) 上增，在 (,+∞) 上减。 由(1)知，当 a>0 时 f(x) 在 x= 处取得极大值 f()=ln -1=-lna-1，无极小值。 考点串讲 考点五：导数的综合应用 2. 实际优化问题 例7（2025·上海松江·一模）交通信号灯中，黄灯设置时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关。驾驶员反应距(v)=0.8v（米），刹车距离 (v)=0.08（米），反应距离与刹车距离之和称为停车距离。已知某个十字路口宽度为 30 米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，求该路口黄灯亮的最长时间。 解：由题意，停车距离 S(v)=0.8v+0.08， 需满足 S(v)≥30，即 0.08+0.8v-30≥0。 解得 v≥15（单位：m/s）。故最长时间为 =30/15=2 秒。 考点串讲 题型一：导数几何意义的应用 特点：直接利用导数求切线斜率或切线方程，常见于填空题或选择题。 解题策略：求出导数→代入切点横坐标得到斜率→利用点斜式写出切线方程。 题型剖析 题型一：导数几何意义的应用 切线方程与参数求解 例1.已知函数 f(x)=-3ax+b (1) 当 a=1,b=2 时，求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若函数 f(x) 在区间 (1,3) 上单调递增，求实数 a 的取值范围。 考查要点：利用导数几何意义求切线方程、利用单调性求参数范围 求切点： f(x)=-3x+2 - f(1)=1-3+2=0，所以点为 (1,0) (2)略解： f'(x)=3-3a , 单调递增条件：f'(x)≥0 在 (1,3) 上恒成立即 3-3a≥0，得 a≤ 在 (1,3) 上恒成立需 a≤=1,所以 a≤1 求导：f'(x)=3-3，则 f'(1)=3-3=0 切方：切线方程为：y-0=0⋅(x-1)，即 y=0（注：此时切线为水平线） 题型剖析 题型一：导数几何意义的应用 公切线问题 例2.已知函数 f(x)=-x，g(x)=+a 若曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线也是曲线 y=g(x) 的切线，求： (1) 实数 a 的值； (2) 该切线与曲线 y=g(x) 的公共点坐标。 考查要点：求切线方程、公切线问题、参数求解 f(x)切线： f(1)=1-1=0，f‘(x)=3-1，则 f’(1)=2 ， 切线方程：y-0=2(x-1)，即 y=2x-2 (2)略解： 联立得 x=1 , 公共点为 (1,0) g(x)切线: 设切点为 (+a)，则： g'( )=2=2，得 =1 ,g(x)切线方程：y=2x+a-1. 公切线:对比两切线方程：-2=a-1，得 a=-1. 题型剖析 题型二：含参函数单调性的分类讨论 特点：导数为含参函数，需要根据参数的不同取值讨论导数的符号变化。 解题策略： 1. 确定函数定义域； 2. 求导并化简； 3. 分析导函数的形式（一次型、二次型、分式型等）； 4. 对参数分类讨论，确定导数正负区间。 题型剖析 题型二：含参函数单调性的分类讨论 导主一次型 例1 已知函数 f(x)=x+alnx（a∈R），讨论函数 f(x) 的单调性。 定义域：确定定义域为 (0,+∞) 求导： f'(x)=1+= ① 当 时： 在 上恒成立 ,结论： 在 上单调递增. ② 当 时： 零点 在定义域内 , 当 时，，函数单调递减 , 当 时，，函数单调递增 综上所述： 当 a≥0 时，f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增； 当 a<0 时，f(x) 在 (0,-a) 上单调递减，在 (-a,+∞) 上单调递增。 题型剖析 题型二：含参函数单调性的分类讨论 导主二次型 例2.已知函数 f(x)= (-ax+a)，讨论函数 f(x) 的单调性。 定义域：定义域为 R 求导并因式分解 令 ，得 ， ① 当 时： 恒成立（仅在 时取等） 结论： 在 上单调递增 关键是。导数符号由它决定。 ② 当 时： 0 a-2 ③ 当 时： 0 a-2 综上所述： 当 a=2 时，f(x) 在 R 上单调递增； 当 a>2 时，f(x) 在 (-∞,0) 和 (a-2,+∞) 上单调递增，在 (0,a-2) 上单调递减； - 当 a<2 时，f(x) 在 (-∞,a-2) 和 (0,+∞) 上单调递增，在 (a-2,0) 上单调递减。 题型剖析 题型二：含参函数单调性的分类讨论 导主指数型 例3.已知函数 f(x)=a-x（a∈R），讨论函数 f(x) 的单调性，并求当 a>0 时 f(x) 的最小值。 定义域：定义域为 R ① 当 时： ，故 恒成立 ，结论： 在 上单调递减 ② 当 时： 令 ，得 ，即 当 时，，，函数单调递减 当 时，，，函数单调递增 综上所述： 当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 求最值（当 时）由单调性知， 在 处取得最小值： 题型剖析 题型三：极值、最值问题 特点：求函数极值点或闭区间上的最值。 解题策略： 1. 求导数，解 f'(x)=0 得驻点； 2. 判断极值点（由导数符号变化判断极大/极小）； 3. 比较极值与端点值得最值。 题型剖析 📋 分类讨论”十二字方针”总结 层次 原则 关键词 适用情况 第一层 是不是 最高次项系数是否为0 二次型、指数型导函数 第二层 有没有 导函数是否有变号零点 判别式 的讨论 第三层 在不在 零点是否在定义域/指定区间内 对数型、分式型函数 第四层 大不大 多个零点之间的大小关系 双根型二次导函数 题型剖析 题型三：极值、最值问题 含参函数的极值分析 例1 已知函数 （）。（1）求函数 的极值； 定义域及导数： 定义域为 求导得 ① 当 时： 恒成立（因为 ） 函数在 上单调递增，无极值 ② 当 时： 令 ，得 - 列表分析： 递增 极大值 递减 极小值 递增 - 题型剖析 题型三：极值、最值问题 含参函数的极值分析 例1 已知函数 （）。(2) 求区间 [𝟎,𝟐] 上的最大值； 由 (1) 知，当 时, 单调递增，最大值为 ，解得 ，但与 矛盾，舍去 当 时，需讨论 与区间 的 关系 ① 当 即 时： 在 上单调递减 , 最大值 ，符合 吗？，矛盾，舍去 ② 当 即 时： 在 递减，在 递增 - 比较端点值：， - 若 即 ，则最大值为 ，符合 ✓ - 若 即 ，则最大值为 ，解得 ，符合 ✓ 综上所述： a=3 或 a=1 题型剖析 题型三：极值、最值问题 指数对数型函数的最值问题 例2.已知函数 f(x)=-ax（a>0）。 (1)求函数 f(x) 的最小值； 解析：(1) 定义域及导数： 定义域为 求导得 分析单调性 递减 极小值 递增 最小值（也是极小值）： f(lna)=-a⋅lna=a-alna=a(1-lna) 导数零点：令 ，得 题型剖析 题型三：极值、最值问题 指数对数型函数的最值问题 例2.已知函数 f(x)=-ax（a>0）(2)若对于任意 x∈[0,+∞)，都有 f(x)≥1 恒成立，求实数 a 的取值范围。 分析：需要 f(x)≥1 在 [0,+∞) 上恒成立。由 (1) 知 f(x) 在 (-∞,lna) 递减，在 (lna,+∞) 递增 - 讨论 lna 与区间 [0,+∞) 的关系 ① 当 lna≤0 即 0<a≤1 时： f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增 - 最小值为 f(0)=-0=1 - 故 f(x)≥f(0)=1 恒成立，符合题意 ✓ ② 当 lna>0 即 a>1 时： f(x) 在 [0,lna] 递减，在 [lna,+∞) 递增 ，最小值为 f(lna)=a(1-lna) ， 需要 a(1-lna)≥1 设 g(a)=a(1-lna)-1=a-alna-1（a>1） 求导：g'(a)=1-(lna+1)=-lna<0（当 a>1 时） 所以 g(a) 在 (1,+∞) 上单调递减 又 g(1)=1(1-0)-1=0 故当 a>1 时，g(a)<g(1)=0，即 a(1-lna)<1 结论： 当 a>1 时，最小值 a(1-lna)<1，不满足恒成立条件。 综上所述： 实数 a 的取值范围是 (0,1] 题型剖析 📌 解题策略总结 类型 关键步骤 注意点 求极值 ① 求导找临界点 ② 列表判断符号 ③ 确定极值类型 区分”极值”与”最值”概念 闭区间最值 比较极值点与区间端点的函数值 注意极值点是否在区间内 恒成立问题 转化为求函数最小值 常数 含参时需分类讨论参数对单调性的影响 存在性问题 转化为求函数最大值 常数 与恒成立问题区分 题型剖析 题型四：导数的综合压轴题 特点：将导数与不等式、方程根、新定义等结合，综合性强，难度较大。近3年上海高考导数压轴题考查的核心价值是对函数单调性、极值与最值等基础知识的综合检验，以及对学生“数学思维严谨性”“复杂问题拆解能力”与“数形结合应用能力”的深层筛选。 解题策略：1. 构造适当的函数； 2. 利用导数研究函数性质； 3. 运用数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想。 题型剖析 题型四：导数的综合压轴题 导数与三角函数综合 例已知函数 f(x)= sinx-ax，其中 a∈R。 (1)当 a=1 时，求曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程； 【解析】 (1) 求切线方程（基础得分点） 当 a=1 时，f(x)= sinx-x。 f(0)= sin0-0=0 求导：f'(x)= (sinx+cosx)-1 f'(0)= (sin0+cos0)-1=1-1=0 切线方程： y-f(0)=f'(0)(x-0)，即 (y=0) 题型剖析 题型四：导数的综合压轴题 导数与三角函数综合 例已知函数 f(x)= sinx-ax，其中 a∈R。 (2)若 f(x) 在区间 (-,) 上单调递增，求实数 a 的取值范围； (2) 恒成立求参数范围（核心能力点） f(x) 在 (-,) 上单调递增 ⇔f'(x)≥0 在该区间恒成立。 f'(x)= (sinx+cosx)-a= sin(x+)-a 设 h(x)= sin(x+)，需 a≤。 求 h(x) 在 (-,) 上的最小值： 求导： h'(x)=[sin(x+)+cos(x+)]= sin(x+)=2 cosx 在 (-,) 上，cosx>0，故 h'(x)>0。 h(x) 在该区间单调递增，因此： 当 x→时，h(x) sin(-)= ⋅(-)=-， 当 x→时，h(x) )=⋅ 故 h(x)∈)，无最小值，但下确界为 -。 为使 f'(x)≥0 恒成立，需：(a≤-) 题型剖析 命题特色与能力考查 考查维度 具体内容 分值 数学运算 导数计算、三角恒等变换、指数估值 4分 逻辑推理 单调性分析、参数分离、最值讨论 5分 直观想象 函数图像趋势、零点位置估计 5分 数学建模 将”单调递增”转化为恒成立不等式 - 题型剖析 A1 已知函数 ，求 在点 处的切线方程。 A2 求函数 的导数。 A组——基础巩固 计算切点：，切点为。 求导：，切线斜率。 切线方程：，即。 方法一（乘积法则）： 方法二（先化简）： ， 针对训练 A3 已知函数 在 处取得极值 ，求 、 的值。 A4 求函数 在区间 上的最大值和最小值。 A组——基础巩固 由极值条件：，且 ，,联立方程组： 解得： 求导：,令，得驻点和（均在内）,计算驻点和端点处的函数值： ,比较得：最大值为，最小值为 针对训练 B1（上海虹口·统考一模）设曲线 的斜率为 3 的切线为 ，求 的方程。 B2 已知函数 ，。 (1) 讨论 的单调性； (2) 若 在 处取得极值，求 的值及极值。 B组——能力提升 求导：，令，得。切点：时，，切点为。切线方程：，整理得。 求导：，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，得：时，，函数单调递增；时，，函数单调递减。由在处取极值，解得，极小值；极大值。 针对训练 B3 已知函数 ，。 (1) 若 ，求 的极值； (2) 若 在 上单调递增，求 的取值范围。 B组——能力提升 解：(1)当 时，,极值： 极大值 ，极小值 ，在 上单调递增，需 在 恒成立,当 时， 在 恒成立，满足条件；当 时， 得 或 ，要在 上恒成立，需 ，矛盾。 综上， 的取值范围：. 针对训练 C1（上海嘉定·统考一模改编）已知函数 ，。 (1) 求 的极值； (2) 若 恒成立，求 的取值范围。 C组——挑战压轴 解（1）求导： 令，得。 时，，单调递增；时，，单调递减。 故有极大值，无极小值。 恒成立，即。 由(1)知，故，解得。 的取值范围： 针对训练 C2 已知函数 f(x)=+ax+lnx，a∈R。 (1) 若 a=-3，求 f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围。 C组——挑战压轴 解（1）当时，，定义域 令，得或。单调递增区间：，；单调递减区间：。（2），在上单调递增，即在恒成立。 即对恒成立。 由均值不等式，，当且仅当即时取等号。 故，因此。 的取值范围： 针对训练 1. 知识体系回顾 本章的核心是以导数为工具，研究函数的性质。知识体系可概括为： ┌→ 导数的定义 │ 导数概念───┤→ 导数的几何意义（切线斜率） │ └→ 导数的物理意义（瞬时速度） ┌→ 基本初等函数的导数 │ 导数运算───┤→ 四则运算法则 │ └→ 复合函数求导法则 ┌→ 判断单调性 │ 导数应用───┤→ 求极值和最值 │ └→ 解决实际问题 (优化问题） 课堂总结 易错提醒 定义域优先：研究函数问题务必先确定定义域，尤其是含对数、分式的函数。 导数为零的点未必是极值点：需结合导数符号变化判断，如 f(x)=x^3 在 x=0 处 f'(0)=0，但不是极值点。 切线问题注意切点位置：过曲线外一点的切线问题需设切点坐标列方程求解。 含参分类讨论要全面：按参数的不同取值分类讨论，做到不重不漏。 课堂总结 思想方法提炼 数形结合：借助导数符号与函数图像的对应关系，直观理解函数性质。 分类讨论：处理含参函数的单调性、极值等问题时，合理分类是关键。 转化与化归：将实际问题转化为数学模型，利用导数求解优化问题。 课堂总结 感谢聆听! $