贵州黔西南州顶兴高级中学2025-2026学年高三下学期第一次周考数学卷

顶兴高级中学高三第一次周考数学卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设是等差数列的前项和，若，则（     ） A．15 B．30 C．35 D．45 4. 设向量.若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5．直线被圆所截得的弦长等于（     ） A． B． C． D． 6．五人并排站成一排，如果必须相邻，那么不同的排法有（     ） A．48种 B．60种 C．24种 D．36种 7设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（     ） A．26 B．25 C．24 D．23 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（     ） A． B． C． D．数列是递减数列 10．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点）， 则下列结论正确的是（     ） A． B．与所成的角可能是 C．是定值 D．当时，点到平面的距离为1 11．已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确 的有（     ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）． 13．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 14. 已知函数存在零点，则的最小值为____. 四、解答题：本题共5小题(分别为13分、15分、15分、17分、17分），共77分. 15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，，求的周长. 16．四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面. (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值. 17．在电影《哪吒2》上映后，某电影公司为了解观众对该部电影的喜欢程度与性别的关系，随机抽取了200名观众进行调查，得到如下2×2列联表： 性别 喜欢程度 合计 不喜欢 喜欢 男性 20 100 女性 60 100 合计 (1)请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与喜欢程度有关联？ (2)将喜欢电影《哪吒2》的观众称为“吒迷”，为了解他们的观后感，从“吒迷”中按性别用分层抽样的 方法随机抽取7名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取4人做进一步调研，记抽出的4人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，讨论函数零点的个数. 19．已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，. （ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求的值； （ⅱ）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《顶兴高级中学高三第一次周考数学卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A C A C B 题号 9 10 11 答案 AD ACD AC 1．C 【分析】根据一元二次方程的根化简两个集合，即可由并集的定义求解. 【详解】，所以， 故选:C． 2．D 【分析】先对给定的复数进行化简，再求出其共轭复数，最后根据共轭复数的实部与虚部确定其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】，所以，对应点的坐标为， 故选：D． 3．D 【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以，解得， 所以. 故选：D 4．A 5．C 【详解】圆心到直线的距离为， 圆的半径，故弦长为， 故选：C． 6．A 【详解】第一步看做一个整体，内部有， 第二步，4个元素的全排列有， 所以不同的排法有， 故选：A 7.【答案】C 极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 8．B 【详解】 为偶函数， 则 则关于轴对称， 为奇函数， 则， 即， 则关于点点对称， 因为关于轴对称，故有， 因为关于点对称，故有， 则消去，故有 作差有， 为周期函数，且周期为4， 因为，由题，则， 因为，且，则， 因为周期为4，所以， 则， ， ， 故选：B. 9．AD 【分析】根据数列是正项等比数列，可得出，写出及，即可判断选项A、B、D；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C. 【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为 所以，解得 则. 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项D，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项D正确； 对于选项C，，故选项C错误. 故选：AD 10．ACD 【分析】以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设 ，，计算，可判断A；假设与所成的角是，则，求解可判断B；计算，可判断C；当时，，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式可判断D. 【详解】以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，， 设 ，，则，， 所以 ，则，故A正确； 因为，， 所以， 若与所成的角是， 则，即， 整理得，得，与矛盾，故B错误； ，，所以为定值，故C正确； 当时，， ，，， 设平面的法向量为， 由令，则，，， 点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 11．AC 【分析】 根据椭圆定义和余弦定理可求得A正确；当为短轴端点时，面积最大，知B错误；根据，由可求得C正确；分别讨论、和的情况，可求得D错误. 【详解】由椭圆方程知：，，； 对于A，若，，， 又，， 又，，A正确； 对于B，当为短轴端点时，面积最大，最大值为，B错误； 对于C，，即， ，即的最大值为，C正确； 对于D，当或，即或或或时，为直角三角形； 当时，设，则， ，又，或或或， 即或或或； 综上所述：满足是直角三角形的点有个，D错误. 故选：AC. 12．28 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：28 13． 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 14．【答案】 【解析】 【分析】根据的几何意义，将函数在上有零点的问题，转化成原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，即可求出的最小值. 【详解】函数的定义域为. 设是在上的零点， 可得，即， 即点在直线上. 可理解为点到原点的距离的平方. 所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离， 即在上能成立， 即在上能成立. 令，，则， 因为，，，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即的最小值为. 故答案为：.. 15．（本小题满分13分）） 解：（1）由正弦定理得： ， （2） 又 ， 的周长为 16．（本小题满分15分） 解：（1）因为，，由余弦定理可得 ， ， ， 又底面，且平面， ，又因为， 底面，又平面， （2）以D为坐标原点，建立空间坐标系， ， ， 设平面PAB的法向量，则 ，可取 平面PBC的法向量，则 ，可取， 设平面PAB与平面PBC所成的角为， 则. 17．（本小题满分15分） 解：（1）依题意，列联表如下： 性别 喜欢程度 合计 不喜欢 喜欢 男性 20 80 100 女性 40 60 100 合计 60 140 200 零假设：性别与喜欢程度无关联， ， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为性别与喜欢程度无关联. （2）7人中，男性：人，女性：人， X的所有可能取值为， 则 所以X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1 【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解； （2）（ⅰ）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解；（ⅱ）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解， 当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解. 【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为， 由题意可得， 又因为，所以，， 故双曲线的标准方程为； （2）（ⅰ）设，由题意知切线的斜率一定存在， 设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得： ， 则由得：， 化简得：， 则，为上述方程的两个根，故， 而，所以 （ⅱ）为定值1. 证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知， 此时，即； 当，都存在时，设，，的中点为， 由，即， 由于切点弦所在的直线方程为，所以， 因此，即，，三点共线， 又由（ⅰ）可知与均为直角三角形，故，， 则，，而， 所以，故，， 所以，即 19．(1) (2) (3)有且仅有个零点 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围； （3）首先可得与是的两个零点，再利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】（1）当时，， 所以，， 所以切线方程为：； （2）因为，所以， 由函数在上单调递增，则在上恒成立． 令，， 当时，，所以恒成立． 所以在上单调递增，所以，所以； （3）由，则，． 所以与是的两个零点． 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点． 当时，，，，无零点． 当时，，设，， 在上递增，又，， 存在唯一零点，使得． 当时，，在上递减； 当时，，在上递增， 又，，所以，函数在上有且仅有个零点． 综上，当时，函数有且仅有个零点． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 学科网（北京）股份有限公司 $