3 运算律-【新学期笔记对照学】2025-2026学年四年级下册数学（人教版）

明白加法交换律和加法结合律的含义，并会用字母表示。 加法运算律 会运用加法运算律解决简单的实际问题。 减法的运算 掌握减法的运算性质。 性质 灵活运用减法的运算性质进行简便计算。 乘法运算律 明白乘法运算律的含义，并会用字母表示。 灵活运用乘法分配律解决实际问题。 乘、除法的 掌握除法的运算性质。 简便运算 结合数据特点，选择适当的方法进行简便运算。 3 运算律 6 ○新学期对照学数学四年级下册RJ 第1课时加法运算律 对应教材P17~P18 课前·预习例题还 11 李叔叔计划骑车旅行一个星期。他今天上午骑了40km, 下午骑了56km。李叔叔今天一共骑了多少千米？ 求李叔叔今天一共骑了多少千米，就是把上午和下午骑行的路程合起来，用加法计算。 上午骑行的路程+下午骑行的路程 下午骑行的路程+上午骑行的路程 40+56=96 56+40=96 40+56 56+40 你能再写出几个这样的等式吗？你发现了什么？ 25+35=60 25+35=35+25 ,25+35=35+25 35+25=60 0十90 =90+0 0+90=90 >0+90=90+0 90+0=90 两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。这叫作加法交换律。 ①注意：三个或三个以上的教相加时，任意交换它们的位置，和也不变 你能用自己喜欢的方式表示加法交换律吗？ 可以用文字表示： 可以用图形表示： 甲数+乙数=乙数+甲数 ▲+★=★+△ 还可以用字母表示：a+b=b+a 16|中小学AI教辅引领者 2下面是李叔叔前三天的骑行情况。 第一天 第二天 第三天 88 km 104km 96 km 这三天李叔叔一共骑行了多少千米？ 求这三天李叔叔一共骑行了多少千米，就是把第一天、第二天和第三天骑行的路程相加。 我先算出前两天骑 我先算出后两天骑 行的路程… 行的路程… 88+104+96 88+104+96 192 200 288 288 先算李叔叔第一天和第二天一共骑行了多少 先算李叔叔第二天和第三天一共骑行了多 千米，再和第三天骑行的路程相加。 少千米，再和第一天骑行的路程相加。 先把前两个数相加。（88+104)+96 88+（104+96)先把后两个数相加。 比较下面的两组算式，你发现了什么？利用小括号改变运算顺序。 273<-(69+176)+28(= 69+（176+28)-→273 507←155+(145+207)(=)(155+145)+207->507 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 这叫作加法结合律。，适用于只有加法的情况。 你能用符号表示加法结合律吗？ (▲+★)+●=△+（★+●） (a+b)+c=a+(6+c） 2 课堂·任务学习 任务 理知识 加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。用字母表示为 a+b=b+a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 和不变。用字母表示为（a+b)+c=a+(b+c)。 (69+176)+28 69+（176+28) =245+28 =69+204 25+35=60 25+35=35+25 =273 =273 35+25=60 (69+176)+28=69+（176+28) 加法交换律 加法结合律 任务 学方法 综合运用加法运算律解决问题 某专卖店7、8、9月份分别售出冰箱267台、269台、231台，这个季 度一共售出冰箱多少台？（用两种不同的计算方法解答）》 ①提示：a+b+c=a+(b+c) 思路分析 求这个季度一共售出冰 计算267+269+231的和 箱的台数，就是求267、 时，可以按顺序从左往 269与231的和，列式为 右计算，也可以先把269 267+269+231 与231结合凑整计算 正确解答 方法一：267+269+231 方法二：267+269+231 =536+231 =267+（269+231) =767（台) =267+500 =767(台) 答：这个季度一共售出冰箱767台。 3课后·对照练习 1.填一填。 (1)63+52+48=63+(52+48),运用了( )律。 (2)368+160+132=(368+132)+160,运用了( )律。 2.用简便方法计算。0根据“例1”“例2”练一练 168+145+132 870+460+130 168+340+32+660 3.笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”，是我国传统文化的一种象征。 下面是“听雨轩”文房四宝店三周内销售文房四宝的情况，请把 表格填写完整0根据“学方法”练一练 物品名称 第一周 第二周 第三周 合计 笔/支 625 578 375 墨/瓶 533 467 234 纸/刀 291 309 248 砚/方 72 109 91 (对照学参考答案：P2) 中小学AI教辅引领者|17 Q新学期对照学数学四年级下册RJ 第2课时加、减法的简便运算 对应教材P20~P21 课前·预习例题 3 下面是李叔叔后四天的行程计划。 第四天 第五天 第六天 第七天 A→B B→C C→D D→E 85 km 118km 132km 115km 要求李叔叔后四天还要 按照计划，李叔叔后四天还要骑行多少千米？→背西夹计于真数要起 后四天计划骑行的路程 合起来，用加法计算。 -去可以凑成整百整十数。 115+132+118+85 ?可以凑成整百数。 这里运用了哪 =85+115+132+118 些运算律？ =(85+115)+(132+118) =200+250 加法交换律和加法结合律 450 ©方法：在连加算式中，先观察哪些加数 你是怎样计算的？ 可以凑成整十、整百、整千……的数， 然后可以运用加法交换律、加法结合律， 使计算简便。 18|中小学AI教辅引领者 4一本书一共234页，李叔叔已 经读了66页，今天又读了34页， 还剩多少页没读？ 小红这样算： 234-66-34 =168-34 按顺序从左往右计算。 =134 小东这样算： 小兵这样算： 234-66-34 234-66-34 -》注意变号 ---..=234-34-66 =234-(66434) 先减第二个减 数，差是整百数， =200-66 =234-100 使计算简便。 =134 =134 两个减数的和是整百数， 用被减数减去两个减数的 和，使计算简便。 他们都是怎样计算的？你喜欢哪种方法？ 你能发现什么？请举 例验证。 减法的运算性质 (1)一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个减数的和。用字母表示为a-b-c=a-(b+c)。 (2)一个数连续减去两个数，任意交换两个减数的位置，差不变。用字母表示为a-b-c=a-c-b。 2课堂·任务学习 任务 理知识 减法的运算性质： (1)一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个减数的和。用字母表 示为a-b-c=a-(b+c); (2)一个数连续减去两个数，任意交换两个减数的位置，差不变。用字母 表示为a-b-c=a-c-b。 运用加法运算律或减法的运算性质进行简便计算： (1)几个数连加时，观察算式中哪两个数可以凑成整十、整百、整千的数， 灵活运用加法交换律和加法结合律来改变运算顺序，使计算简便； (2)几个数连减时，先观察哪两个减数的和是整十、整百、整千…的数， 可以先加起来，再用被减数去减。 任务( 2学方法 ©运用凑整法解决简便计算问题 计算：698+702+688+696+699+20 思路分析 观察每个加数发现，算式中的前几个数都比较接近700，可以 把700作为基准数，先把每个数都写成00加几或700减几的形 式，再进行计算比较简便，如下所示： 698 702+ 688+ 696+ 699 20 ↓ 700-2 700+2700-12 700-4 700-1 正确解答 698+702+688+696+699+20 =(700-2)+(700+2)+(700-12)+(700-4)+(700-1)+20 =700×5+（20-2+2-12-4-1) =3503 ©总结：当算式中几个加数都比较接近某一个整十、整百、整千…的数时，可将 这几个加数分别写成这个数加几或减几的形式，再进行计算。 3课后·对照练习 1.在 里和横线上填写相应的运算符号和数。O根据“例4练一练 677-259-141= 578-(178+214)=578- 235-47-135= -47 2.用简便方法计算。0根据“学方法”练一练 593-138-62 467-（89+267) 395-199 3.福州鱼丸是福建省福州市的一道特色风味小吃。某鱼丸店制作了 3425个鱼丸，第一天卖出了1575个，第二天卖出了1425个，这 批鱼丸还剩下多少个没卖出？（用两种不同的方法解答） ①根据“例4”练一练 4.春风小学的学生参加公益活动情况如下表。（每人只参加一项） 活动地点 公园 儿童福利院 敬老院 社区服务站 人数 126 57 74 43 请你计算出全校共有多少人参加公益活动。①根据“3”练一练 (对照学参考答案：P2~P3) 中小学AI教辅引领者|19 Q新学期对照学数学四年级下册RJ 第3课时乘法运算律 对应教材P24~P26 课前·预习例题 同学们参加植树活动，一共分成25个小组，每组中4人负责挖坑、种 树，2人负责抬水、浇树。每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。 ©方法：从图中找信息时，可 以从问题出发，思考要解决 的问题，需要知道哪些条 件，与问题无关的信息可以 摒弃。 ⑤负责挖坑、种树的一共有多少人？求25个4的和是多少，用乘法计算。 4×25=100 4×25=25×4 25×4=100 交换两个函数的位置 你能再写出几个这样的等式吗？你发现了什么？ 3×8=24 3×8=8×3 3 8=8_X3 8×3=24 2×15=30 2×15=15X2 2×15=15×2 15×2=30 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫作乘法交换律。 ©注意：多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。 用字母表示：a×b=b× 6一共要浇多少桶水？ 我先计算每组要浇 我先计算一共 多少桶水，这样计 种了多少棵树。 算简便些。 种树的总棵数 (25×5)×2 25×（5×2) 每组要浇水的桶数 =125×2 一共要浇水的桶数 =25×10 一共要浇水的桶数 =250 =250 (25×5)×2 25×(5×2) 20|中小学AI教辅引领者 请你再举出几个这样的例子。 (25×4)×18=1800 25×(4×18)=1800 (25×4)×18=25×(4×18) 25 ×4）×18=25×（4×18) 20×(5×12)=(20×5)×12 20×（5×12)=1200 20×(5×12)=(20×5)×12 (20×5)×12=1200 从上面的等式中，你发现了什么？ 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫作乘法结合律。 用字母怎样表示？ (a×b)×c=a×(b×c) 形式上是相同的，运算符号不同。 比较加法交换律和乘法交换律、加 加法交换律：a+b=b+a 乘法交换律：a×b=b×a 法结合律和乘法结合律，你发现了什么？ 条法药合章《8的6 一共有多少名同学参加了这次植树活动？ 我先计算… 我先分别计算 负责挖坑、 种树的人数 每组人数 (4+2)×25 负责抬水、 下、 4×25+2×25 平浇树的人数 =6×25 =100+50 总人数 总人数 =150 =150 所以，(4+2)×25=4×25+2×25 想一想：25×（4+2)(=)》 25×4+25×2 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 这叫作乘法分配律。 用字母怎样表示？(a+b)×c=a×c+b×c 想一想：a×（b+c)=a×b+aXc一。 乘法分配律的应用 (a-b)×c=a×c-b×c a×c+b×c=(a+b)×ca×c-b×c=(a-b)×c d×c=(a+b)×c(d=a+b)e×c=(a-b)×c(e=a-b) 2课堂·任务学习 任务 理知识 乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。用字母表示为 a×b=b×aa 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 用字母表示为(a×b)×c=a×（b×c)。 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘， 再相加。用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c或a×(b+c)=a×b+ axco (25×5)×2 25×(5×2) (4+2)×25 4×25+2×25 =125×2 =25×10 =6×25 =100+50 =250 =250 =150 =150 (25×5)×2=25×（5×2) (4+2)×25=4×25+2×25 乘法结合律 乘法分配律 任务 2 学方法 ©运用乘法分配律解决错中求解问题 豆豆由于粗心大意把60×（▲+4)错算成60×▲+4，他得到的结 果与正确的结果相差多少？ 思路分析 对比发现，正确 60×(▲+4) 乘法正确算式：60×▲+60×4 算式的结果与错 分配律错误算式：60× +4 误算式的结果相 差60×4-4 正确解答 60×4-4=236 答：他得到的结果与正确的结果相差236。 ©总结：解决此类问题时，先根据运算律写出正确算式，再与错误算式相比较，两个算式不同 部分的差值，即正确结果与错误结果相差的值。 3课后·对照练习 1.根据乘法运算律填空。0根据“例5”“例6”“例7”练一练 m×35=35× 25×17×4=×（ 37×101= 56×99+56= x( +〉 2.用简便方法计算。①根据“例6”“例7”练一练 50×17×8×125 (25+8)×4 35×75+65×75 3.节约用水，人人有责。我国的淡水资源匮乏，我们更要珍惜。按如 图所示的水龙头浪费水的情况，5个这样的水龙头一个月（按30天） 会浪费多少吨水？①根据“侧6”练一练 一天浪费20kg水 4.小马虎在计算30×（△+3)时，错算成了30×△+3，这样计算 的结果与正确的结果相差多少？①根据“学方法”练一练 (对照学参考答案：P3) 中小学AI教辅引领者|21 Q新学期对照学数学四年级下册RJ 第4课时乘、除法的简便运算 对应教材P29 课前·预习例题烫 8王老师买了5副羽毛球拍，花了330元； 买了25筒羽毛球，每筒32元。 12个 (1)王老师一共买了多少个羽毛球？求25个12是多少，用乘法计算。 12×25=300 小兵这样算： 利用拆分法，使 计算简便。 小丽这样算： 12×25 12×25 =（3×4)×25 =(10+2)×25 =3×（4×25 =10×25+2×25 =3X100 乘法结合律 =250+50 产乘法分配律 =300 =300 (2)每支羽毛球拍多少钱？ 330÷5÷2=33 我这样算。 还可以这样算。 330÷5÷2 330÷5÷2 =66÷2 →先求每副羽毛球拍 的价格 =330÷（5×2) 先求共有多少支羽 下毛球拍 =33 再求每支羽毛球拍 =330÷10 注意变号 的价格 =33 再求每支羽毛球拍 你能发现什么？请举例验证。 的价格 除法的运算性质 一个数连续除以两个不为0的数，可以用这个数除以这两个数的积。 22|中小学AI教辅引领者 2课堂·任务学习 任务 理知识 除法的运算性质： (1)一个数连续除以两个不为0的数，等于这个数除以两个除数的积，用 字母表示为a÷b÷c=a÷(b×c)(b、c均不为0)。 (2)一个数连续除以两个不为0的数，任意交换两个除数的位置，商不变。 用字母表示为a÷b÷c=a÷c÷b(b、c均不为0)。 任务 学方法 运用拆分法和乘法运算律进行简便计算 用简便方法计算。 (1)999×999+1999 (2)9999×2222+3333×3334 思路分析 (1)999×999+1999 999又可以看成999×1，这样两个乘法算式中就 有了相同的因数999，再逆用乘法分配律进行简算 999+1000 (2) 9999×2222+3333×3334 将9999改写成3333×3，利用乘法结 3333×3 6666 合律，将3与2222相乘，再逆用乘 法分配律进行简算 正确解答 (1)999×999+1999 (2)9999×2222+3333×3334 =999×999+999+1000 =3333×(3×2222)+3333×3334 =999×(999+1)+1000 =3333×6666+3333×3334 =999×1000+1000 =3333×（6666+3334) =（999+1)×1000 =3333×10000 =1000000 =33330000 ©总结：根据算式中数据的特点，将算式转化成含有相同因数的乘法算式是解决此类题的关键。 ▣运用除法的运算性质解决问题 某疫苗生产商生产了8400支疫苗，如果每12支装一盒，每70盒装一箱， 这些疫苗可以装多少箱？ 思路分析 思路一： 8400支疫苗 装的箱数=总数量÷每 12支装一盒 箱支数，列式为8400÷ 箱的支数为12×70 (12×70) 70盒装一箱 思路二： 8400支疫苗 可以求出装的总盒 装的箱数=装的总盒 数，列式为8400÷12 12支装一盒 数÷一箱的盒数，列 70盒装一箱 式为8400÷12÷70 正确解答 方法一：8400÷(12×70) 方法二： 8400÷12÷70 =8400÷840 =700÷70 =10(箱) =10(箱) 答：这些疫苗可以装10箱。 ©总结：一个数连续除以两个不为0的数，等于这个数除以两个除数的积。这是除法的运算性质。 任务 3做易错 易错点：乘除混合运算不具备简算条件时，为了简算而简算致错 计算：600÷25×4 易错解读此题易运用除法的运算性质简算成600÷（25×4)致错。算 式600÷25×4是除法和乘法的混合运算，属于同级运算，应 按照从左往右的顺序计算。计算结果为96。 ©注意：在应用乘法运算律与除法的运算性质进行简便计算时，一定要先分清算式中的 数是因数还是除数，千万不能将因数与除数相乘到一起。 3课后·对照练习 1.用简便方法计算。①根据“学方法”练一练 3600÷(36×25) 810÷18 9998+198 2.新时代少先队员是祖国的栋梁和希望。星光小学有900名少先队员， 平均分成25个中队，每个中队又平均分成4个小队。每个小队有 多少名少先队员？ ①根据“例8”练一练 3.如图，孙爷爷家有一块茶田，如果每平方米茶田每季大约可以产 200g茶叶，那么这块茶田一季大约可以产多少千克茶叶？ 26m 14m 26m 茶田 54m 4.张大伯家养了25头牛，每头牛每天要吃14kg青草。张大伯每天 需要准备多少千克青草？ (对照学参考答案：P3) 中小学A教辅引领者丨23 Q新学期对照学数学四年级下册RJ 第3单元 核心知识梳理 知识点 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。这叫作加法 交换律。 用字母表示：a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数 相加，和不变。这叫作加法结合律。 用字母表示：(a+b)+c=a+(b+c) 连减的简便计算方法：a-b-c=a-（b+c)=a-c-b 乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫作 心知识 乘法交换律。 用字母表示：a×b=b×a 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积 不变。这叫作乘法结合律。 用字母表示：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分 别相乘，再相加。这叫作乘法分配律。 用字母表示：(a+b)×c=a×c+b×c 乘法分配律的拓展：两个数的差与一个数相乘，可以先把它们与这 个数分别相乘，再相减。 用字母表示：（a-b)×c=ac-b×c 241中小学AI教辅引领者 易错点1：运用乘法分配律时，未把括号里的数分别与括号外的 数相乘 用简便方法计算：25×(8+6) 错解：25×（8+6) 正解：25×（8+6) =25×8+6 =25×8+25×6 易错 =200+6 =200+150 错在25未 =206 =350 示 与6相乘。 易错点2：运用除法的运算性质时，漏写小括号 用简便方法计算：900÷25÷4 错解：900÷25÷4 正解：900÷25÷4 =900÷25×4 =900÷（(25×4) =36×4 →漏写小括号。 =900÷100 =144 =9 转化思想 转化思想是将未知的、陌生的、复杂的问题转化成已知的、熟 悉的、简单的问题，从而使问题顺利得到解决的思想。 123123可转化为123个1000 123123+877×1001 7与123个1的和。 识 =123×1000+123×1+877×1001 =123×1001+877×1001 =(123+877)×1001 =1000×1001 =1001000Q新学期对照学数学四年级下册RJ 第4课时 解决问题 (162+40+8)÷50=4(组) 1.48+2=50(人) 10(人) 50÷6=8(条)…2（人） 900×4+10×20=3800(元) 8-1=7(条)(6+2)÷4=2（条） 所以买4组50人套餐，10份1 45×7+32×2=379(元) 人套餐最省钱，一共要花3800元。 租7条大船，2条小船最省钱， 3.3+7=10(名) 最少需要379元。 6×25+（7-3)×20=230(元) 2.580÷30=19(元)…10（元） 3位老师和3名学生购买团体 900÷50=18(元) 票，4名学生购买4张儿童票 18<19<20 最省钱。 2 观察物体（二) 观察物体 从前面看 从上面看 从左面看 从前面看从上面看从左面看 3.①④ ①④③ 4.最少5个，最多7个。 3运算律 第1课时加法运算律 第2课时加、减法的简便运算 1.677-259+141178214 1.加法结合 235-135 加法交换律和加法结合 2.393111 196 2.4451460 1200 3.方法一：3425-(1575+1425)= 3.1578 1234848272 425(个) -2- 对照学参考答案 方法二：3425-1575-1425= 第4课时乘、除法的简便运算 425(个) 1.4459900 4.126+57+74+43=300(人) 2.900÷25÷4=9(名) 第3课时乘法运算律 3.26×54-14×26=1040(m2) 1.m1725437 1040×200=208000(g)） 10037156991 208000g=208kg 2.8500001327500 4.方法一： 3.20×5×30=3000(kg) 25×14=25×2×7=350(kg) 3000kg=3t 方法二： 4.30×3-3=87 25×14=25×10+25×4=350(kg) 4小数的意义和性质 1)小数的意义和读写法 (2)5.029、5.092、5.290、5.209 第1课时小数的意义 第2课时小数的读法和写法 1品高 63 10100 1.（画图略) 0.60.3 0.63 (1)48 2.8 25 327 9 (2)3 一3千分之一 1000 100 1000 10 2.一百零八点零零四 0.90.3270.25 0.008 二百点七0.3430.08 3品品品 3.（1)400.4 0.20.60.9 (2)（答案不唯一)40.04 4.（答案不唯一) 4.原来的小数是5800.04。 （1)0.259、0.295、0.925、0.529 -3-