1.3.3完全平方公式的认识 课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版(新教材）7年级下册培优精做课件 1.3.3完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 授课教师： . 班 级： 七年级（ ）班 . 时 间： . 2026年4月19日 北师大版数学七年级下册1.3.2平方差公式的应用练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 一、基础应用题（每题5分，共30分） 1. 运用平方差公式解决基础计算应用（重点巩固：找准公式中a、b，灵活运用公式简化计算，避免直接展开） （1）$$102 \times 98$$（提示：转化为$$(100+2)(100-2)$$） （2）$$51 \times 49$$ （3）$$(x+1)(x-1)(x^2 + 1)$$ （4）$$(2x+3)(2x-3) + 5x$$ （5）$$(-3x+2)(-3x-2)$$ （6）$$99^2 - 1^2$$ 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 利用平方差公式计算：$$103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 =$$ ________； 2. 若$$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$$，则当x=3时，代数式的值为________； 3. 填空：$$(a+2b)(a-2b) + 4b^2 =$$ ________； 4. 利用平方差公式简化计算：$$(m+3)(m-3) - (m-2)(m+2) =$$ ________； 5. 若$$a^2 - b^2 = 12$$，且$$a - b = 3$$，则$$a + b =$$ ________（逆用公式解决求值问题）。 三、判断改错题（每题5分，共15分） 判断下列应用平方差公式的计算是否正确，错误的请改正（重点规避公式误用、转化错误，掌握应用技巧）。 1. $$19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1 = 399$$ （ ） 改正：________ 2. $$(x-3)(x+3) - 5 = x^2 - 9 - 5 = x^2 - 4$$ （ ） 改正：________ 3. $$(2x+1)(2x-1) = 2x^2 - 1$$ （ ） 改正：________ 四、提升应用题（每题7分，共21分） 1. 化简并求值（平方差公式与代数式求值结合，强化公式应用灵活性） （1）$$(x+4)(x-4) - x(x-2)$$，其中$$x = -3$$ （2）$$(3a-2)(3a+2) - (a-1)(a+1)$$，其中$$a = 1$$ 2. 综合应用（重点突破公式逆用、连续应用，解决复杂计算问题） （1）$$(x-1)(x+1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)$$ （2）$$(2x+3)(2x-3) - (x-2)(x+2) + 3x^2$$ 五、拓展应用题（14分） 1. 一个长方形的长为$$(2x+5)$$cm，宽为$$(2x-5)$$cm，求这个长方形的面积（用平方差公式计算），并求当x=4时，长方形的面积是多少？ 2. 已知两个连续奇数的平方差为32，求这两个连续奇数（提示：设较小的奇数为$$2n-1$$，较大的奇数为$$2n+1$$，利用平方差公式求解）。 六、易错点专项练习（附加10分） 运用平方差公式解决下列问题，注意公式转化、符号调整和结果化简，避免应用错误： 1. $$202 \times 198$$ 2. $$(-x-1)(x-1) + (x+2)(x-2)$$ 3. $$(a-2b)(a+2b) - (2a-b)(2a+b)$$ 参考答案 一、基础应用题 （1）$$100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$$ （2）$$(50+1)(50-1) = 2500 - 1 = 2499$$ （3）$$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - 1$$ （4）$$4x^2 - 9 + 5x$$ （5）$$9x^2 - 4$$ （6）$$(99-1)(99+1) = 98 \times 100 = 9800$$ 二、基础填空题 1. 9991 2. 5 3. $$a^2$$ 4. 5 5. 4 三、判断改错题 1. 错误，改正：$$19 \times 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$$（结果正确，步骤遗漏$$1^2$$，补充完整即可） 2. 错误，改正：$$(x-3)(x+3) - 5 = x^2 - 9 - 5 = x^2 - 14$$ 3. 错误，改正：$$(2x+1)(2x-1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$$ 四、提升应用题 1. （1）化简：$$x^2 - 16 - x^2 + 2x = 2x - 16$$，代入x=-3，得$$2 \times (-3) - 16 = -22$$ （2）化简：$$9a^2 - 4 - (a^2 - 1) = 8a^2 - 3$$，代入a=1，得$$8 \times 1 - 3 = 5$$ 2. （1）$$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1$$ （2）$$4x^2 - 9 - (x^2 - 4) + 3x^2 = 6x^2 - 5$$ 五、拓展应用题 1. 面积$$S = (2x+5)(2x-5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$$（$$cm^2$$）；当x=4时，$$S = 4 \times 4^2 - 25 = 64 - 25 = 39$$（$$cm^2$$），答：长方形面积是$$4x^2 - 25$$$$cm^2$$，x=4时面积是39 $$cm^2$$。 2. 设较小奇数为$$2n-1$$，较大奇数为$$2n+1$$，由题意得：$$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 32$$，逆用平方差公式得：$$[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] = 32$$，化简得$$4n \times 2 = 32$$，解得$$n = 4$$，则这两个奇数为$$2 \times 4 - 1 = 7$$和$$2 \times 4 + 1 = 9$$，答：这两个连续奇数分别是7和9。 六、易错点专项练习 1. $$(200+2)(200-2) = 200^2 - 2^2 = 40000 - 4 = 39996$$ 2. $$(1 - x^2) + (x^2 - 4) = -3$$ 3. $$(a^2 - 4b^2) - (4a^2 - b^2) = -3a^2 - 3b^2$$ 说明：本套练习题围绕北师大版七年级下册1.3.2平方差公式的应用核心知识点设计，重点突出公式在简化计算、代数式求值、实际问题、连续应用和逆用中的应用，涵盖基础应用、综合应用和拓展应用，贴合教材例题难度，兼顾基础巩固与能力提升，帮助学生熟练掌握平方差公式的应用技巧，规避公式误用、转化错误、符号错误、结果化简不彻底等常见易错点。 2026年4月19日星期日6时36分1秒 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算；(重点) 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法.(难点) 学习目标 1.问：平方差公式是怎样的？ (a + b)(a − b) = a2 − b2. 2.利用平方差公式计算： (1) (2x + 7b)(2x – 7b)； (2) (－m + 3n)(m + 3n). 4x2－49b2 9n2－m2 新课探究 计算下列各式： （1）(m + 3)2 ； （2）(2+ 3x)2 。 （1）(m+3)2 =m2+6m+9 =(m+3)(m+3) （2）(2+3x)2 =(2+3x)(2+3x) =4+12x+9x2 观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现? m2+2·3m+9 4+2·2·3x+9x2 两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。 平方式，两项 首平方，尾平方， 积的2倍放中间 你能再举一些类似的例子验证你的发现? （1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。 （1）(2x + y)2 =(2x + y)(2x + y) = 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y = 4x2 + 4xy + y2 （2）(3a + 2b)2 =(3a + 2b) (3a +2b) = 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b = 9a2 +12ab + 4b2 你能用字母表示你发现的规律吗? (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （1）你能用下图解释这一公式吗? b a b a 思考·交流 b a b a = + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 （2）如何计算(a – b)2 ?你是怎样做的? (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – 2ab + b2 1 (a – b)2 = [a+(– b)]2 = a2 +2a(– b)+(– b)2 = a2 – 2ab + b2 2 用自己的语言叙述这一公式！ 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。 b a b a (a – b)2 a2 ab ab b2 = – + (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式。 尝试·思考 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 口诀: 首平方，尾平方，首尾二倍中间放。 完全平方公式 平方差公式 整式乘法公式 例 5 利用完全平方公式计算： （1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2 解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32 （2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2 ； （3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2 = m2n2 – 2amn + a2。 (a -b)2 a2 - 2ab + b2 = 4x2–12x+9； 如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： 阅读·思考 (a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1； (a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1； (a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1； (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1. 如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律? 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 按照这个规律可以继续将这个表写下去： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 杨辉三角 知识点1 利用图形验证平方差公式 1.如图①，从边长为的大正方形中剪去一个边长为 的小正方形，再将 阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两个图 中的阴影部分的面积相等可以验证的数学公式为 ( ) B ① ② A.B. C.D. 中考考法 17 2.如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为 的小正方形 后得到的图形。若将阴影部分通过分割、拼接，形成新的图形②，则能 够正确表示该图形面积关系的等式是________________________。 ① ② 中考考法 18 知识点2 利用平方差公式进行简便计算 3.运用平方差公式计算： （________） （________）___ _______。 200 5 200 5 5 39975 中考考法 19 4.（8分）计算： （1） ； 解：原式 ； （2） 。 解：原式 。 中考考法 20 知识点3 平方差公式的运用 5.计算 的结果是____。 16 中考考法 21 6. 西安发展旅游行业，政府美化环境，将边长大于 的 正方形花坛的南北方向增加，东西方向缩短 ，则美化后的长方 形花坛与原来正方形花坛的面积相比( ) C A.保持不变 B.增加了 C.减少了 D.不能确定大小关系 中考考法 22 7.（8分）计算： （1） ； 解：原式 ； （2） 。 解：原式 。 中考考法 23 课堂小结 （a±b）2 = a2 ± 2ab + b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。 语言叙述： 完全平方公式： $