利用导数研究函数的零点 课件-2026届高三数学二轮复习

利用导数研究函数的零点 1.与函数的零点有关的等价关系 （1）方程有实数根 函数的图象与 轴有交 点 函数 有零点. （2）函数有零点 方程 有实数根 方程组 有实数根 函数与 的图象有 交点. 2.导数在函数零点问题上的应用 （1）零点数量；（2）零点位置；（3）已知函数零点求参数. 2 探究点一 判断、证明或讨论函数零点的个数 例1（1）已知函数，探究 的零点个数． ［思路点拨］在 上单调递增，结合 ,，得到存在，使得 ，进而求 得 的单调性，结合函数零点存在定理，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 3 解：由题可得,，因为和 在 上均单调递增，所以在 上单调递增. 又因为,， 所以存在 ，使得 ， 所以当时，，在 上单调递减； 当时，，在 上单调递增. 又因为,, ， 所以 有两个零点． 课 堂 考 点 探 究 4 （2）已知函数，讨论函数 在区间 上零点的个数. ［思路点拨］函数的零点，即方程 的解，设 ，利用导数研究函数的性质，讨论 ，结合图象确定 函数 的零点个数. 课 堂 考 点 探 究 5 解：由，得 ，令 ，， 则 ，由，得 ， 由，得，所以在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，又，，， 所以函数 的图象如图所示 （横、纵坐标轴单位长度不同）. 课 堂 考 点 探 究 6 当或时，在 上有1个零点； 当时，在 上有2个零点； 当或时，在 上没有零点. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.确定函数零点个数的方法 （1）数形结合法:利用导数研究该函数的单调性、极值（最值）,并 确定定义域区间端点值的符号（或变化趋势）等,画出 的图象,数 形结合求解函数零点的个数.解决问题的步骤是“先形后数”. （2）利用函数零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零 点,然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的 符号,进而判断函数在该区间上零点的个数. 课 堂 考 点 探 究 8 2.熟悉一些函数的变化趋势与增长快慢 （1）当趋于 时,常见函数（部分举例）趋于正无穷的速度由快 到慢依次为,,,,, . （2）当趋于 时,常见函数（部分举例）趋于负无穷的速度由快到 慢依次为,,,, . （3）当趋于 时,常见函数（部分举例）趋于零的速度由快到慢 依次为,,,, . 课 堂 考 点 探 究 9 变式题1 函数 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由题可得, 当时， ，当时，， 所以在上单调递减，在 上单调递增. 因为，当 时， ， 所以当时，，无零点； 因为 ,,且在上单调递增， 所以在 有1个零点.综上， 的零点个数为1.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 10 变式题2 [2025· 江南十校3月联考] 已知函数 ,.若函数 ，讨 论函数在 上零点的个数. 解： . 课 堂 考 点 探 究 11 当时，由，得或 ， 其中， ， 则 . 当或时，方程无解， 此时函数 只有一个零点； 当时，方程只有一解为 ， 此时函数 只有一个零点； 课 堂 考 点 探 究 当时，方程 有两个不同的解且均不等于 ，此时函数 有三个零点； 当时，方程有一解且不等于 ， 此时函数 有两个零点. 综上，当或时，函数 只有一个零点； 当时，函数有三个零点； 当时，函数 有两个零点. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 根据零点个数确定参数范围 角度1 分类讨论法研究函数零点问题 例2 [2022·全国乙卷] 已知函数 . （1）当时，求 的最大值； ［思路点拨］由导数确定函数的单调性，求其最大值即可得解； 解：当时，,，则 ， 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 所以 . 课 堂 考 点 探 究 14 （2）若恰有一个零点，求 的取值范围. ［思路点拨］求导得，按照， ， 及 分类并结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值， 分析其零点即可得解. 解：, ， 则 . 当时，，所以当时，， 单调递增；当时，， 单调递减. 所以 ，此时函数无零点，不符合题意. 课 堂 考 点 探 究 15 当时，，则当时，， 单调递增； 当时，，单调递减； 当 时，， 单调递增. 取 ，则 ，又， 所以仅在 上有一个零点，符合题意. 课 堂 考 点 探 究 当时，，所以 单调递增， 又，所以 恰有一个零点，符合题意. 当时，，则当时，， 单调递增； 当时，，单调递减； 当 时，， 单调递增. 此时，由（1）得当时， ，则，所以 ， 课 堂 考 点 探 究 此时,存在，使得 ， 所以在上有一个零点，在 上无零点， 所以 恰有一个零点，符合题意. 综上，的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 分类讨论对于学生来说比较熟悉，可以直接求导，但是当一阶导的 零点不可求时，需要二阶求导. 课 堂 考 点 探 究 变式题 [2025·湖北黄冈模拟] 已知函数 . （1）若，证明：函数在 上单调递增； 证明：当时，，则 . 令，则，令 ， 解得 ，由，得，此时函数单调递增， 由 ，得，此时函数 单调递减， 所以当时，取得最小值 ， 因为， 所以 恒成立，所以在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）若函数有三个零点，求 的取值范围. 解：方法一：令，等价于 ， 设，当时，, 没有零点. 当时， ， 当时，，函数单调递增，因为 , ，所以函数在 上有一个零点. 当时，，函数单调递增， 当 时，，函数 单调递减， 课 堂 考 点 探 究 21 所以当时，的最小值为 . 若,即,则在上没有零点； 若 ，即,则在上有一个零点； 若，即 ，因为， 当 时，，所以在 上有两个零点. 综上，当时， 有三个零点. 课 堂 考 点 探 究 方法二：当时，恒成立，没有零点，故 ， 当时，单调递增， 单调递减， 故在上单调递增， 且当 时,,,故在 上有唯一 零点,所以在上有三个零点等价于在 上有两个零点. 当时，由，即，得 ， 令，则 ， 课 堂 考 点 探 究 23 当时，,单调递减， 当 时，,单调递增， 所以 ， 且当时， ，当 时， . 故要使 在上有两个零点， 则只要，解得 . 综上，当时， 有三个零点. 课 堂 考 点 探 究 角度2 利用分离参数 数形结合 例3 已知且,函数 （1）当时，求 的单调区间； ［思路点拨］求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调 性的关系即可得到函数的单调区间. 解：当时，,则 , 令得,当时, ,当时, , 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求 的取值范围. ［思路点拨］思路一：将曲线与直线 有且仅有 两个交点等价转化为方程 有两个不同的实数根， 即曲线与直线有两个交点， 利用导函数研究 的单调性，并结合的正负、零点和极限值 分析 的图象，进而得到，然后得到 的取值范围. 思路二：将已知转化为在上有两个不等实根， 转化为函数 与的图象有两个交点， 分类讨论得到 的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 26 解：方法一：由，得，可得 ， 即 ,设函数,则 . 曲线与直线有且仅有两个交点等价于曲线 与 直线有两个交点，令，得, 所以当 时，,单调递增； 当时，, 单调递减. 所以 , 课 堂 考 点 探 究 27 又，当 时，， 所以结合 的图象可得,解得或, 所以 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 方法二：曲线与直线有且仅有两个交点等价于 在区间 上有两个不等实根． 因为，所以两边取自然对数得，即 ， 则问题等价于与 的图象有且仅有两个交点． ①当时，,直线与 的图象只有一个交点， 不符合题意． 课 堂 考 点 探 究 ②当时，取的图象上一点,因为 , 所以,曲线在点 处的切线方程为 ，即 ． 当直线与直线为同一直线时， 得 直线的斜率满足当时， 与 的图象有且仅有两个交点． 课 堂 考 点 探 究 记,则，令，得 ． 当时,,在区间 上单调递增； 当时,,在区间 上单调递减. 当时，取得最大值， 所以当且 时，有． 综上所述，实数的取值范围为 ． 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.分离参数的思路在函数导数问题中应用广泛，它使得转化后的函数 没有参数，只要能研究清楚这个函数的单调性和图象，问题就变得 简单. 2.若分离参数后的函数太复杂，没办法很快得到函数的单调性和性质， 此时可以构造函数，将一个函数转化为易求导的不含参函数与含参 的一次函数，或者转化为较为熟悉的两个曲线. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题 [2026·漳州质检] 已知函数 . （1）当时，证明： ； 证明：依题意得，要证 ， 只需证 ， 设，则 ， 设 ，则， 所以在 上单调递增，所以，即， 所以在 上单调递增，所以 . 故当时，，即 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）若存在两个零点，求 的取值范围. 解：方法一：， . 若，则，所以在 上单调递增， 所以 至多有一个零点，不符合题意； 若，令，解得 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 34 因为，所以当 时， ， 当 时， ， 由 存在两个零点，得， 即，所以 , 所以 . 综上所述，的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 方法二：因为，所以不是 的零点. 所以存在两个零点等价于关于的方程 有两个不同的解， 即函数与函数 的图象有两个不同的交点. 因为， ，当或时，， 当 时， ，所以在和 上单调递减，在区间 上单调递增. 当时,， 当 时,,作出 的图象如图所示. 课 堂 考 点 探 究 当时，在区间 上单调递减， 此时与 的图象至多有一个交点，不符合题意； 当时，要使得与 的图象有两个交点， 需满足 ，在 的条件下， 因为及，且 在区间 上单调递减， 所以与的图象在区间 上恰有一个交点； 课 堂 考 点 探 究 由（1）知， ， 又因为，且在区间 上单调递增， 所以与的图象在区间 上恰有一个交点. 综上所述，若存在两个零点，则 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 例1 ［配例1使用］函数在 上的零点个数为 ___. 2 [解析] 令，可得 ，因为，所以 ， 两边取自然对数得，即，整理可得 . 令,则,当 时,,单调递增； 当时，， 单调递减. 【备选理由】例1是已知具体函数判断其零点个数，主要考查转化思 想，能把零点个数转化成直线与曲线交点的个数； 教 师 备 用 习 题 39 又当时,,当时, ,， 且当趋近于 时， 趋近于0， 在同一坐标系中，作出与 的图象 如图所示（横、纵坐标轴单位长度不同）， 由图可知，与的图象在 上有2个交点， 故在 上有2个零点. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例2使用］[2025·湖南长沙模拟] 已知函数 ，.若函数 有2个不同的零 点，，求 的取值范围. 解： ， ，令， ， ，在 上单调递增， 令，即在时有2个零点， ， 且， 【备选理由】例2根据零点通过导数研究函数的性质求得参数范围； 教 师 备 用 习 题 41 ， 当 时，， 在上单调递增，不存在2个零点， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 当 时， ，当 时， ， ， . 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例3使用］已知函数，讨论 的 零点个数. 解：当时，，此时 有一个零点. 当时，，所以不是函数 的零点， 令，得 ， 故只需讨论与 的图象的交点个数. 【备选理由】例3利用分类讨论和数形结合的思想，将零点的个数 转化为两个函数图象的交点个数； 教 师 备 用 习 题 43 ， 因为 ,所以在和 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， ， 当且时， ， 当且时， ， 所以 的大致图象如图所示， 教 师 备 用 习 题 故当时，与 的图象有1个交点， 当时，与 的图象有2个交点. 综上，当时，函数有1个零点， 当 时，函数 有2个零点. 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例3使用］[2025·南昌二模] 已知 . （1）当时，求函数 的单调区间； 解：当时, ,则 ， 当时，，则在 上单调递增； 当时，，则在 上单调递减. 故当时,函数的单调递减区间为 , 单调递增区间为 . 【备选理由】例4涉及的函数比较复杂，第（3）问中方法二构造 新函数和方法三先同构再转化为熟悉的函数处理. 教 师 备 用 习 题 46 （2）当时，求证： ； 证明：因为，所以当时，，则 ， 当时，，则 ， 所以 ， 设，由（1）可知 ， 所以不等式 恒成立. 教 师 备 用 习 题 47 （3）当时，试讨论函数 的零点个数. 解：方法一： ， 设，则 ， ， 因为，所以， ， 所以在 上为减函数， . 教 师 备 用 习 题 48 ①当时，，结合在 上为减函数， 可得当时，，在 上单调递增； 当时，，在 上单调递减. 所以，所以，即在 上为减函数， 又因为，所以 只有1个零点. ②当时, ,所以存在,使得 ,所以当时,,则在 上 单调递增；当时,,则在 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 49 因为,所以,当时, , 所以存在，使得 ， 当时,,,则在 上单调递减； 当时,,即,则在 上单调递增； 当时,,即,则在 上单调递减. 当 时，，又因为，所以 . 所以存在,使得 ,因为在上单调递减， 所以，所以 存在2个零点. 综上所述,当时,函数有1个零点； 当 时，函数 有2个零点. 教 师 备 用 习 题 方法二： ， 设，则 ， ， 设，所以 ， ①当时，，则，此时 ， 当时，，则在 上单调递增； 当时，，则在 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 所以，即，所以在 上为减函数， 又因为，所以 只有1个零点. ②当时， ，设， 因为，所以在 上为减函数， 又，所以存在，使得 ， 所以当时,,即, 所以 在 上单调递增； 当时,,即, 所以在 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 因为，所以，当 时， ， 所以存在，使得 ，所以当时， ，即，则在 上单调递减； 当时,,即,则在 上单调递增； 当时,,即,则在 上单调递减. 当 时,,又因为,所以 ,所以存在 ,使得 ,因为在上单调递减, 所以,所以 存在2个零点. 综上所述,当时,函数有1个零点； 当 时,函数 有2个零点. 教 师 备 用 习 题 方法三：, 设 ,则 ， 则 ， 设 ，则 . 因为，所以 ， 所以在上为减函数， . 教 师 备 用 习 题 ①当时，，则，结合在 上为减函数， 可得当时，，则在 上单调递增； 当时，，则在 上单调递减. 所以，所以，即在 上为减函数， 又因为，所以 只有1个零点. ②当时, ,所以存在,使得 ， 所以当时，，则在 上单调递增； 当时，，则在 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 因为，所以，当 时， ， 所以存在，使得 ，所以当时， ，即，则在 上单调递减； 当时,,即,则在 上单调递增； 当时,,即,则在 上单调递减. 当时,,又因为,所以 ,所以存在 ,使得 ,因为在上单调递减, 所以,所以 存在2个零点. 综上所述，当时，函数有1个零点； 当 时，函数 有2个零点. 教 师 备 用 习 题 $