双变量不等式的证明 课件-2026届高三数学二轮复习

双变量不等式的证明 双变量不等式的证明常用策略: （1）消参减元法：如果双变量与函数极值点相关，先求出函数 极值点满足的方程，再利用根与系数的关系对双变量进行消元或转 化，最后结合导数求解. （2）整体代换法：整体代换,变量归一,通过等价转化,将双变量 问题等价转化为一个新变量表示的不等式,再构造以新变量为主元的 函数,通过研究此函数的单调性及极值等,从而使问题巧妙地得到解决, 我们将这种解决问题的思想称为变量归一思想.#1.2 2 （3）构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函 数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题.对差函数求导， 分析其单调性，从而证明不等式. （4）主元思想:对于多元不等式的证明,可以选择其中一个元为主 元,其他的元统统视为参数（常数）,构造主元函数,利用导数来证明.#1.4 3 探究点一 消参减元法 例1 [2025·安徽合肥一模] 已知函数 ，其中 . （1）讨论函数 的单调性； ［思路点拨］求导，分类讨论函数的单调性； 课 堂 考 点 探 究 4 解：由题意得，函数的定义域为，且 ， ，令， ， 当，即时，恒成立， 则 ，所以在 上单调递减； 当，即时， 函数 有两个零点：， . 课 堂 考 点 探 究 5 当变化时，， 的变化情况如下表所示： - 0 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在 上单调递增， 在和上单调递减； 当时， 在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 6 （2）若函数有两个极值点， ，证明： . ［思路点拨］由函数有两个极值点，确定 的范围，代 入函数值，构造函数，利用根与系数的关系进行消元，构造函数， 借助导数判断函数单调性求解. 课 堂 考 点 探 究 7 证明：由（1）知,当时,有两个极值点 , ， 则，是方程 的两个根，由根与系数的关系， 得，，所以 . ， 课 堂 考 点 探 究 8 令，，则 ， 当时，，所以在 上单调递减，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 破解含双变量不等式的证明问题的关键: 一是转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,并把含双变 量的不等式通过消去一个变量,转化为含单变量的不等式问题; 二是巧构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值; 三是回归双变量的不等式的证明,把所求的最值应用到双变量不等式, 即可证得结果. 课 堂 考 点 探 究 10 变式题 [2025·河南安阳一模] 已知点为函数 与 的图象的公共点，且曲线与曲线 在点 处有相同的切线. （1）若函数与 的图象有两个交点，求实数 的取值范围； 课 堂 考 点 探 究 11 解：由题可得， ， 根据题意，得解得所以 . 设,，则 ， 当时，，当时， ， 所以 ， 因为当时， ，当 时， ， 所以要使两个函数图象有两个交点，只需 ， 解得，所以实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 12 （2）若函数有两个极值点 ， ，且，证明： . 证明：由题知，其定义域为 ， 则 ， 令，得， 其判别式 ，即 ， 函数有两个极值点，，等价于方程 在 内有两个不等实根，所以，故 ， 课 堂 考 点 探 究 13 又,所以,所以 , . ， 令， ，则 ， 因为，所以 ，所以在 上单调递减， 所以 ， 所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 整体代换法 例2 已知，证明： . ［思路点拨］原不等式可化为， 换元，令 ，原不等式可化为， 构造函数 ，利用导数讨论其单调性， 即可得证. 课 堂 考 点 探 究 15 证明：因为，所以 等价于 ，令 ，则不等式 等价于，故只需证 . 设,则 ，所以在 上单调递增， 所以，故 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 证明双变量不等式时,可将要求证的不等式等价变形,然后利用整体思 想换元,再构造函数,结合函数的单调性即可证得. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题 已知函数，且 ， 证明： ． 证明：， ， 令 ，得 ，为方程的两根， ， 即,, ， 课 堂 考 点 探 究 ， 令 ，则， 令 ，则， 在 上单调递减, ， 即 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 构造法 例3 [2025·河南洛阳三模] 已知函数 ，其中 . （1）讨论函数 的单调性； ［思路点拨］求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调 区间即可； 课 堂 考 点 探 究 20 解：由题可得，若，则 ， 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减. 若，由得 或. 当时，，所以当时， ， 单调递增， 当时，，单调递减， 当 时，， 单调递增； 当时，， 单调递增； 课 堂 考 点 探 究 当时，，所以当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 当 时，， 单调递增. 综上,当时,在上单调递减,在 上单调递增； 当时,在,上单调递增, 在 上单调递减； 当时，在上单调递增； 当 时，在，上单调递增， 在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 （2）当时，证明： （其中， ）. ［思路点拨］问题转化为证明 恒成立，设， 则上式等价于 ， 要证明对任意， 恒成立， 只需证明在 上单调递增， 根据函数的单调性证明即可. 课 堂 考 点 探 究 23 证明：由 ，得 . 设，则上式等价于 ， 要证明对任意， 恒成立， 只需证明在 上单调递增， 又，所以只需证明 . 课 堂 考 点 探 究 24 令，则， 当时， ，当时， ， 所以，即，则当 时， ，所以； 当 时，， ， 所以 恒成立，所以原不等式成立. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 双元变量分离，构造不等号两侧形式一样的新函数，从而将双变量 转化为单变量问题. 课 堂 考 点 探 究 26 变式题 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解：的定义域为， 由 ，得 . 当时；当时，. 故在 上单调递增，在 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 27 （2）设,为两个不相等的正数，且 ，证明： . 证明：方法一（等价转化） 由得 ， 即，由，得 . 由（1）不妨设,，则， 所以 ，所以. 课 堂 考 点 探 究 28 令 ， 则 ， 当时，，则在 上单调递减， 则，所以 ， 所以，由（1）得，即 . 令 ，则 ， 当时，，则在 上单调递增， 则 ，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 由，可得 ， 所以 . 由①②得 . 课 堂 考 点 探 究 方法二（最优解）可变形为 ，所以 . 令,，则上式变为 ， 于是问题转换为证明 . 由上知，不妨设 . 由（1）知,，先证. 要证 ，即证，只需证， 即证 ，即证. 课 堂 考 点 探 究 令, ，则 ， 所以在上单调递增,所以 ,所以 . 再证.要证 ,因为， 所以只需证 . 令, ，所以， 所以在 上单调递增,所以,所以， 所以 .综上， . 课 堂 考 点 探 究 方法三（比值代换）令，，不妨设 ， 由（1）知， . 证明同方法二，再证明. 设 ，则 ，由， 得 ，所以， 要证，只需证 ， 两边取自然对数得 ， 即，即证 . 课 堂 考 点 探 究 记,，则 . 记，则 ， 所以在上单调递减，所以 ， 所以 ，所以在 上单调递减. 由得，所以 ， 即，所以 成立.综上， . 课 堂 考 点 探 究 方法四（构造函数法） 由已知得 ，令, ， 不妨设，所以 . 由（1）知，，只需证 . 证明 同方法二,再证明 . 令 ,则 . 课 堂 考 点 探 究 令，则 ， 所以,即，所以在 上单调递增. 因为，所以，即 ， 又因为 ，所以,所以 ， 整理得,即 . 因为，所以，即.综上， . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 主元法 例4 已知函数，当， 时，求证： ． ［思路点拨］可以把看成参数， 看作主元变量，构造函数证明即可. 课 堂 考 点 探 究 37 证明：设函数 ， 则 ， 令得，令，得，所以 在 上单调递减，在上单调递增，所以 ， 所以 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 38 变式题 已知函数， ，若 ,，当时，证明： ． 证明：令 ， 则，所以当时，， 单调递增;当时，， 单调递减. 故 令 ， 课 堂 考 点 探 究 39 则 ， 当时，，则在 上单调递增， 所以，即 ， 即 ， 所以 ． 课 堂 考 点 探 究 【备选理由】例1考查利用导数判断函数的单调性和双变量转化为单 变量的不等式证明问题，也是借助韦达定理，难度较大； 例1 ［配例1使用］已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； 教 师 备 用 习 题 41 解：由题意得.令 ， 则，的图象的对称轴为直线 ， 故 . 当，即时，在上单调递增， 所以当 时， ， 故，所以在 上单调递增. 教 师 备 用 习 题 42 当，即 时，若，即， 则 恒成立，故，所以在 上单调递增. 若，即 ，则存在，， 使得 ，其中， ， 故当时，，当时， ， 当时， ，所以在上单调递增， 在上单调递减，在 上单调递增. 教 师 备 用 习 题 综上可知，当时，函数在上单调递增； 当 时，函数在和 上单调递增， 在 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 （2）若有两个极值点，，证明： . 证明：由（1）可知，要使有两个极值点，，则 ， 且，，不妨设，则 ， 从而原不等式转化为 ，将及 代入上式， 得 ， 化简得，即 . 教 师 备 用 习 题 45 由，可得，令 ， 则只需证 . 设，则 ， 所以在上单调递增，所以 ， 故原不等式成立. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例2使用］已知函数 ，且 . （1）若在定义域上单调递增，求 的取值范围； 【备选理由】例2考查整体代换法证明不等式，解题的关键是依据已 知等式，设出新变量，构造新函数，把问题转化为函数的最值问题； 教 师 备 用 习 题 47 解：由题意得的定义域为， ， 由在定义域上单调递增，可得在 上恒成立， 故对 恒成立. 令，，则 ， 当时，， 单调递增； 当时，， 单调递减. 故 ，所以，可得， 解得 ，故的取值范围为 . 教 师 备 用 习 题 48 （2）若，函数 ，且 ，求证： . 证明：若 ， 则 ， 由 ， 得 ， 即 ， 教 师 备 用 习 题 49 即 ， 即 . 令， ， 则，当时，， 单调递增； 当时，，单调递减. 则 ，即， 解得 或（舍去）， 故 . 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例3使用］[2025·山东聊城一模] 已知函数 ，曲线在处的切线交 轴于点 . （1）求 的值； 【备选理由】例3是根据条件，将双变量分别移至不等式两边， 根据相似的结构，构造函数； 教 师 备 用 习 题 51 解：由， 得 ，则 ， 又 ， 曲线在 处的切线方程为 ， 将 代入得，解得 . 教 师 备 用 习 题 52 （2）若对于内的任意两个数，，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 解：由（1）知，不妨设 ， 对于内的任意两个数，， ， 即有，设 ， 则在 上单调递减. 教 师 备 用 习 题 53 则对 恒成立， 可得对 恒成立. 令，，则 ， 则在 上单调递减， . ，即 ， 实数的取值范围是 . 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例4使用］已知函数 . （1）当时，求 的最小值； 解：当时，由题可得 ， 设，则， 则在 上单调递增， 又，所以当时，， 单调递减， 当时,, 单调递增,所以 . 【备选理由】例4考查双变量不等式的主元法证明. 教 师 备 用 习 题 55 （2）证明：当时， 恒成立. 证明：方法一（主元法，分参法） 等价于 ， 令， ， 则 . 设， ，当时，， 单调递减，所以 . 教 师 备 用 习 题 56 当时，， 单调递减， 所以 . 所以当时，， 即， 单调递减， 所以 . 由（1）知，，故当 时， ， 所以当时， 恒成立. 教 师 备 用 习 题 方法二（主元法） 等价于 . 令， ， 则 . 令 ， 当时，， 单调递减， 所以 . 教 师 备 用 习 题 58 当时，，即 ， 单调递减，所以 . 由（1）知，， 故当 时， . 所以当时， 恒成立. 教 师 备 用 习 题 $