第七章 相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.2.2　平行线的判定 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　平行线的判定 1.(2025·常州中考)如图,将两块相同的直角三角尺按图示摆放,则AB与CD平行.这一判断过程体现的数学依据是( ) A.垂线段最短 B.内错角相等,两直线平行 C.两点确定一条直线 D.平行于同一条直线的两条直线平行 B ‹#› 2.(2025·宁夏中考)如图,直线l1,l2被直线l3所截,根据“同位角相等,两直线平行”判定l1∥l2,需要的条件是( ) A.∠1=∠2　　　 　 B.∠1=∠3 C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 C ‹#› 3.在图中,如果∠1与∠4,∠5与∠4分别互补,那么( ) A.a∥b B.c∥e C.d∥e D.c∥d B ‹#› 4.将一副直角三角尺如图放置,∠B=60°,∠E=45°,AC与DE交于点F, ∠AFD=75°.试说明:AE∥BC. 【证明】因为在直角三角尺ABC中,∠B=60°, 所以∠C=30°,因为∠AFD=75°, ∠AFD+∠CFD=180°, ∠CFD+∠C+∠CDE=180°, 所以∠AFD=∠C+∠CDE, 所以∠CDE=∠AFD-∠C=45°, 因为∠E=45°,所以∠E=∠CDE,所以AE∥BC. ‹#› 知识点2　平行线判定的应用 5.(2025·甘肃中考)如图1,三根木条a,b,c相交成∠1=80°,∠2=110°,固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示,使木条a与木条b平行,则可将木条a旋转( ) A.30° B.40° C.60° D.80° A ‹#› 6.如图,已知EF⊥BC,DE⊥AB,∠B=∠ADE.求证:AD∥EF. 【证明】因为EF⊥BC,DE⊥AB, 所以∠EFB=∠AED=90°,所以∠BEF+∠B=90°,∠BAD+∠ADE=90°, 因为∠B=∠ADE, 所以∠BEF=∠BAD,所以AD∥EF. ‹#› 进阶组　提能力 7.(中华优秀传统文化)在后稷故里稷山县,有个流传三千多年的独特年俗,就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案,以期风调雨顺,四时平安,五谷丰登.如图1是“麦囤”示意图,乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行,测量了其中一些角的度数,如图2,其中能说明a∥b的是( ) A.∠1=85°,∠4=85° B.∠3=95°,∠4=85° C.∠1=85°,∠3=95° D.∠2=85°,∠4=85° B ‹#› 8.(新情境·生活应用)(2025·石家庄质检)为响应国家新能源建设,某公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为62°.如图,电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线相垂直,此时电池板CD与水平线夹角为48°,要使AB∥CD,需将电池板CD至少转动________度.  　20　 ‹#› 9.(新趋势·过程性学习)如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC, 且∠1=∠3.证明AB∥DC.下面是不完整的推理过程, 证明:因为BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知), 所以∠1=∠ABC,∠2=　　☆　　(角平分线的定义),  因为∠ABC=∠ADC(已知),所以∠1=　　□　　(等量代换),  因为∠1=∠3(已知),所以∠3=　　○　　, 所以AB∥DC(∇).下列说法错误的是( ) A.☆ 表示∠ADC　　 B.□ 表示∠2　　 C.○ 表示∠A　　 D.∇ 表示内错角相等,两直线平行 C ‹#› 10.如图所示,直线AF,BD相交于点C,过点C作射线CE,使得CD平分∠ECF. (1)若∠ACE=50°,求∠DCF的度数; (2)连接AB,若∠B=∠ACB,试说明:AB∥CE. ‹#› 【解析】(1)因为∠ACE=50°,∠ACE+∠ECF=180°,所以∠ECF=130°, 因为CD平分∠ECF,所以∠DCF=65°. (2)因为∠ACB=∠DCF,∠B=∠ACB, 所以∠B=∠DCF, 因为CD平分∠ECF,所以∠DCE=∠DCF, 所以∠B=∠ECD,所以AB∥CE. ‹#› 培优组　育素养 11.(模型观念、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.若BE,DF分别平分∠MBC,∠NDC,问BE与DF的位置关系,并说明理由. ‹#› 【解析】DF∥BE,理由:连接BD, 因为∠A=∠C=90°, 所以∠ABD+∠ADB=90°, ∠CBD+∠BDC=90°, 所以∠ABC+∠ADC=180°, 所以∠NDC+∠MBC=180°, 因为BE,DF分别平分∠MBC,∠NDC, 所以∠FDC=∠NDC, ∠CBE=∠MBC, ‹#› 所以∠FDC+∠CBE=90°, 所以∠FDC+∠CDB+∠CBD+∠EBC=180°,所以∠FDB+∠DBE=180°, 所以DF∥BE. ‹#› 本课结束 ‹#› $第七章 相交线与平行线 7.1　相交线 7.1.1　两条直线相交 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　对顶角、邻补角的识别 1.(2025·玉溪期末)下列工具中,有对顶角的是( ) C ‹#› 2.如图所示,直线AB,CD相交于点O,所形成的∠1,∠2,∠3,∠4中,下列分类不同于其他三个的是( ) A.∠1和∠2 B.∠2和∠3 C.∠3和∠4 D.∠2和∠4 D ‹#› 知识点2　对顶角、邻补角的性质 3.如图,直线MN与CD相交于点O,∠MOC=80°,∠1=35°,则∠2的度数是( ) A.35° B.40° C.45° D.55° C ‹#› 4.如图,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数,依据是________________.  　对顶角相等　 ‹#› 5.(2025·芜湖期中)小明手持激光灯照向地面,激光灯发出的光线CO与AB形成了两个角(如图所示),若∠BOC=5∠AOC,则∠BOC的邻补角的度数是 ________.  　30°　 ‹#› 6.(2025·广州中考)如图,直线AB,CD相交于点O.若∠1=36°,则∠2的度数为 _________°.  　144　 ‹#› 7.如图,两条直线MN,PQ相交于点O,OG平分∠NOQ,∠1∶∠2=2∶5, 则∠1=________,∠2=________.  　30°　 　75°　 ‹#› 8.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC. (1)若∠BOE=145°,求∠AOC的度数; (2)在图中画OE的反向延长线OF,OF是∠BOD的平分线吗?说明理由. ‹#› 【解析】(1)因为∠BOE+∠AOE=180°, 所以∠AOE=180°-145°=35°, 因为OE平分∠AOC, 所以∠AOC=2∠AOE=70°; (2)如图,OF就是OE的反向延长线, OF是∠BOD的平分线. 理由如下: 由(1)知∠COE=∠AOE, 因为∠AOE=∠BOF,∠COE=∠DOF, 所以∠BOF=∠DOF, 所以OF是∠BOD的平分线. ‹#› 进阶组　提能力 9.下列说法正确的有( ) ①对顶角相等; ②互补的两个角是邻补角; ③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角一定不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B ‹#› 10.若∠1的对顶角是∠2,∠2的补角是∠3,∠3=54°,则∠1=_________.  11.(2025·潍坊期中)已知∠1与∠2互为邻补角,且∠1比∠2的3倍少20°, 求∠1与∠2的度数. 【解析】设∠2=x°,由题意得:∠1=3x°-20°, 因为∠1与∠2互为邻补角, 所以x°+3x°-20°=180°,所以x=50, 所以∠1=3×50°-20°=130°,∠2=50°. 　126°　 ‹#› 12.如图,直线l1与l2相交于点O. (1)若∠1+∠3=2(∠2+∠4),求∠1,∠2的度数; (2)若∠3-∠2=m,求∠1,∠2的度数(用含m的式子表示). ‹#› 【解析】(1)由对顶角相等,得∠1=∠3,∠2=∠4, 因为∠1+∠3=2(∠2+∠4), 所以∠1=2∠2, 由邻补角互补得∠1+∠2=180°, 所以2∠2+∠2=180°, 所以∠2=60°,∠1=180°-∠2=120°; (2)由邻补角互补得∠3+∠2=180°, 因为∠3-∠2=m,所以∠2=90°-, ∠1=180°-∠2=180°-(90°-)=90°+. ‹#› 13.直线AB,CD相交于点O. (1)OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线.画出这个图形. (2)射线OE,OF在同一条直线吗?为什么? (3)若OG平分∠AOD,请直接写出(不必推理)图形中两对互余的角和两对互补的角. ‹#› 【解析】(1)作图如图所示: (2)射线OE,OF在同一条直线上.理由如下: 因为∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠AOD=360°,∠BOC=∠AOD(对顶角相等), 所以∠AOC+2∠BOC+∠BOD=360°, 所以∠AOC+∠BOC+∠BOD=180°, ‹#› 因为OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平分线,所以∠COE=∠AOC, ∠BOF=∠BOD, 所以∠COE+∠BOC+∠BOF=180°, 所以射线OE,OF在同一条直线上. (3)作∠AOD的平分线OG.图中∠AOE与∠AOG互余,∠DOG与∠DOF互余; ∠AOG与∠BOG互补,∠BOF与∠AOF互补.(答案不唯一) ‹#› 培优组　育素养 14.(几何直观、推理能力、运算能力)如图中的各直线都相交于一点. (1)观察图形并填表. 直线条数 2 3 4 … n 对顶角对数 　  　  　  … 　  邻补角对数 　  　  　  … 　  ‹#› (2)求出当n=2 025时,对顶角和邻补角的对数. 【解析】(1)两条直线相交于一点,对顶角有2对,邻补角有4对; 三条直线相交于一点,对顶角有6对,邻补角有12对; 四条直线相交于一点,对顶角有12对,邻补角有24对; 则n条直线相交于一点,共有n(n-1)对对顶角,有2n(n-1)对邻补角. 答案：2　6　12　n(n-1)　4　12　24　2n(n-1) (2)当n=2 025时,对顶角的对数是 2 025×(2 025-1)=4 098 600, 邻补角的对数是2×2 025×(2 025-1)=8 197 200.   ‹#› 本课结束 ‹#› $7.1.2　两条直线垂直 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　垂直的定义及性质应用 1.如图,直线AB,CD交于点E,EF⊥AB,则∠CEF与∠BED的关系是( ) A.互余 B.相等 C.对顶角 D.互补 A ‹#› 2.(2025·南阳模拟)已知直线AB,CD相交于点O,如图所示,OE⊥AB于点O,若∠DOB=45°,则∠COE的度数是( ) A.25° B.35° C.45° D.55° C ‹#› 3.如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB于点O. (1)若∠1=∠2,求证:ON⊥CD; (2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC的度数. ‹#› 【解析】(1)由条件可知∠AOM=90°, 所以∠AOC+∠1=90°,因为∠1=∠2, 所以∠AOC+∠2=90°,即∠NOC=90°, 所以ON⊥CD; (2)由条件可知∠BOM=90°, 因为∠BOC=4∠1,所以∠BOM+∠1=4∠1, 即90°+∠1=4∠1, 解得∠1=30°,所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-30°=60°. ‹#› 知识点2　垂线的画法 4.(2025·宿迁期末)下列选项中,过点A画BC的垂线AD,三角尺摆放正确的是 ( ) D ‹#› 5.如图,用三角尺分别过点C画线段AB的垂线. 【解析】作图如下: ‹#› 知识点3　垂线段的性质及应用 6.如图所示,在三角形ABC中,AC=5,BC=6,BC边上的高AD=4,若点P在边AC上(不含端点)移动,求线段BP的最小值. ‹#› 【解析】因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以根据垂线段最短可知, 当BP⊥AC时,BP最短, 因为S三角形ABC=BC·AD=AC·BP,所以6×4=5BP,所以BP=, 即线段BP的最小值为. ‹#› 进阶组　提能力 7.(2025·重庆期末)如图,OA⊥OD,∠AOC=3∠COD,OC平分∠BOD,则∠AOB的度数为( ) A.45° B.46° C.50° D.60° A ‹#› 8.(新考法·操作实践)(2025·洛阳质检)如图,直线AB是一条水平的直线,把一个长度不变的秋千抽象为一条线段,在秋千从左向右摆动的过程中,直线AB下方的部分,长度( ) A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.先变短后变长 D.先变长后变短 D ‹#› 9.(动手操作)如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=135°.将直角三角尺MON绕点O旋转一周,当直线OM与直线OC互相垂直时,∠AOM的度数是______________.  　135°或45°　 ‹#› 10.如图O为直线AB上一点,∠BOC=130°,OD平分∠AOC,OD⊥OE. (1)求∠BOD的度数; (2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)因为∠BOC=130°, 所以∠AOC=180°-130°=50°, 因为OD平分∠AOC, 所以∠2=∠AOC=25°, 所以∠BOD=∠2+∠BOC=155°; (2)因为OD⊥OE,所以∠DOE=90°, 所以∠3=90°-∠2=65°, 所以∠4=∠BOC-∠3=65°, 所以∠3=∠4,即OE平分∠BOC. ‹#› 11.(2025·盐城期末)如图,已知OC⊥AB于O,∠AOD∶∠COD=1∶2. (1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数; (2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)因为OC⊥AB于O,所以∠AOC=∠BOC=90°. 因为∠AOD∶∠COD=1∶2,所以∠DOC=60°. 因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=45°,∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°; (2)OD⊥OE.理由如下: 因为∠AOE=3∠COE+30°, 所以∠AOE-∠COE=2∠COE+30°, 又因为∠AOE-∠COE=∠AOC=90°, 所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°. 因为∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,所以OD⊥OE. ‹#› 培优组　育素养 12.(推理能力、创新意识)定义:从∠α(90°<α<180°)的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角,则称该射线为 ∠α的“好线”. 如图,点O在直线AB上,OC,OD在直线AB上方,且OC⊥OD,射线OE是∠AOD的“好线”. (1)若∠BOD=26°,且OE在∠COD内部,则∠COE=___________°;  (2)若OE恰好平分∠AOC,请求出∠BOD的度数; (3)若OF是∠AOE的平分线,OG是∠BOC的平分线, 请画出图形,探究∠EOF与∠DOG的数量关系,并 说明理由. ‹#› 【解析】(1)如图1,由于射线OE是∠AOD的“好线”, 当∠DOE+∠AOD=180°时, 因为∠AOD+∠BOD=180°, 所以∠DOE=∠BOD=26°, 因为OC⊥OD,所以∠COD=90°, 所以∠COE=90°-26°=64°. 答案：64 ‹#› (2)若OE恰好平分∠AOC, 所以∠AOE=∠COE=∠BOD, 所以∠BOD=×(180°-90°)=30°; (3)∠EOF=2∠DOG或∠EOF+∠DOG=45°,理由如下: 如图2-1,由于射线OE是∠AOD的“好线”, 当∠AOE+∠AOD=180°时, 因为∠AOD+∠BOD=180°, 所以∠AOE=∠BOD, ‹#› 因为OF是∠AOE的平分线, 所以∠EOF=∠AOE=∠BOD, 因为OG是∠BOC的平分线, 所以∠BOG=∠BOC=×(90°+∠BOD)=45°+∠BOD, 所以∠DOG=∠BOG-∠BOD=45°-∠BOD, 所以∠EOF+∠DOG=45°, ‹#› 如图2-2,由于射线OE是∠AOD的“好线”, 当∠DOE+∠AOD=180°时, 因为∠AOD+∠BOD=180°, 所以∠DOE=∠BOD,所以∠DOG=∠BOC-∠BOD =(90°+∠BOD)-∠BOD=45°-∠BOD, ∠EOF=∠AOE=×(180°-2∠BOD)=90°-∠BOD, 所以∠EOF=2∠DOG, 综上所述∠EOF=2∠DOG或∠EOF+∠DOG=45°. ‹#› 本课结束 ‹#› $7.2.3　平行线的性质 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　平行线的性质 1.(2025·云南中考)如图,已知直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1=50°,则∠2= ( ) A.53° B.52° C.51° D.50° D ‹#› 2.(2025·苏州中考)如图,在A,B两地间修一条笔直的公路,从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A,B两地同时开工,要使公路准确接通,则∠α的度数应为 ( ) A.100° B.105° C.110° D.115° C ‹#› 3.(2025·齐齐哈尔中考)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放,若∠1=50°,则∠2的度数是( ) A.50° B.60° C.70° D.80° C ‹#› 4.如图,在四边形ABCD中,EF分别与BC,CD相交于点E,F,AD∥BC,BD∥EF,试说明∠1=∠3. 【解析】因为AD∥BC, 所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等), 又因为BD∥EF,所以∠2=∠3(两直线平行,同位角相等), 所以∠1=∠3(等量代换). ‹#› 知识点2　平行线性质与判定的综合应用 5.(2025·江西中考)如图,已知点C在AE上,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AE∥DF. 【证明】∵AB∥CD,∴∠ACD=∠1, ∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2, ∴AE∥DF. ‹#› 6.(2025·南通质检)如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°. (1)求证:AD∥EC; (2)若DA平分∠BDC,CE⊥FA于点E,∠1=75°,求∠FAB的度数. ‹#› 【解析】(1)因为∠1=∠BDC, 所以AB∥CD, 所以∠2=∠ADC, 因为∠2+∠3=180°, 所以∠ADC+∠3=180°, 所以AD∥CE; ‹#› (2)因为DA平分∠BDC,∠1=∠BDC=75°, 所以∠ADC=∠BDC=37.5°, 因为AB∥CD, 所以∠2=∠ADC=37.5°, 因为CE⊥FA,AD∥EC,DA⊥FA, 所以∠DAF=90°, 所以∠FAB=∠DAF-∠2=52.5°. ‹#› 进阶组　提能力 7.如图,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度数为( ) A.75° B.105° C.115° D.130° B ‹#› 8.(2025·凉山州中考)如图,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE=100°,则∠CED=( ) A.30° B.40° C.60° D.80° B ‹#› 9.已知AB∥CD,∠ACD=60°,∠BAE∶∠CAE=2∶3,∠FCD=4∠FCE, 若∠AEC=78°,则∠AFC=________.  　88°　 ‹#› 10.(新情境·生活应用)(2025·西安期中)下面是博学小组的研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务. 关于“老屋房梁”的研究报告 材料:小组成员欣欣发现自家老屋房梁结构中存在着平行和垂直的知识,将房梁结构绘制成如图所示的图形,其中点D在AB上,DE⊥AC,∠BDG=70°, ∠EFG=110°.猜想:AB与EF的位置关系为▲. 推理过程:… ‹#› 任务.(1)研究报告中“▲”处空缺的内容为___________.  (2)请补全材料中“…”处对AB与EF的位置关系猜想的推理过程. (3)若∠B=∠DEF,试说明:AC⊥BC. ‹#› 【解析】(1)平行; (2)因为∠EFG=110°, 所以∠EFD=180°-∠EFG=70°, 又因为∠BDG=70°, 所以∠BDG=∠EFD, 所以EF∥AB; ‹#› (3)因为EF∥AB, 所以∠ADE=∠DEF, 又因为∠B=∠DEF, 所以∠B=∠ADE, 所以DE∥BC,所以∠AED=∠C, 因为DE⊥AC,即∠AED=90°, 所以∠C=90°,即AC⊥BC. ‹#› 培优组　育素养 11.(创新意识、推理能力)(2025·佛山质检)如图1,是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器,其原理是利用凹面镜的聚光技术.如图2是图1的轴截面示意图,太阳光线AB∥CD,经过凹面镜的反射后,反射光线BE,DF交于一点P. ‹#› (1)如图2,若∠ABP=60°和∠CDP=55°,则∠BPD=___________;  (2)如图2,写出∠BPD,∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系,并说明理由; (3)如图3,已知AB∥CD,点M,N分别在AB,CD上,点P是AB,CD之间,MN右侧任意一点,连接PM,PN,则∠P,∠AMP,∠CNP的数量关系为___________;(不需要写解答过程)  (4)如图4,在(3)条件下,AB,CD之间,MN左侧再取一点Q,连接QM,QN,若使得 ∠AMQ=∠AMP,∠CNQ=∠CNP,求∠P与∠Q的数量关系.(用n表示) ‹#› 【解析】(1)过点P作PR∥AB(点R在点P的左侧),如图所示: 因为AB∥CD,所以AB∥PR∥CD, 所以∠BPR=∠ABP=60°,∠DPR=∠CDP=55°, 所以∠BPR+∠DPR=60°+55°=115°, 因为∠BPD=∠BPR+∠DPR, 所以∠BPD=115°; 答案：115° ‹#› (2)∠BPD=∠ABP+∠CDP.理由如下: 由(1)可知:∠BPR=∠ABP, ∠DPR=∠CDP, 所以∠BPR+∠DPR=∠ABP+∠CDP, 因为∠BPD=∠BPR+∠DPR, 所以∠BPD=∠ABP+∠CDP; ‹#› (3)∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°.理由如下: 过点P作PS∥AB(点S在点P的左侧),如图所示: 因为AB∥CD,所以AB∥PS∥CD, 所以∠MPS+∠AMP=180°,∠NPS+∠CNP=180°, 所以∠MPS+∠AMP+∠NPS+∠CNP=360°, 因为∠MPN=∠MPS+∠NPS, 所以∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°; 答案：∠MPN+∠AMP+∠CNP=360° ‹#› (4)设∠AMQ=α,∠CNQ=β, 因为∠AMQ=∠AMP, ∠CNQ=∠CNP, 所以∠AMP=n∠AMQ=nα,∠CNP= n∠CNQ=nβ, 由(2)的结论得:∠Q=∠AMQ+∠CNQ=α+β, 由(3)的结论得:∠P+∠AMP+∠CNP=360°, 所以∠P+nα+nβ=360°, 所以∠P+n(α+β)=360°, 所以∠P+n∠Q=360°.   ‹#› 本课结束 ‹#› $7.3　定义、命题、定理 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　定义、命题的判定与改写 1.(教材变式)下列语句属于命题的是( ) A.你今天打卡了吗? 　 B.请戴好口罩! C.画出两条相等的线段 D.同位角相等 2.有下列语句: ①直角都相等; ②作已知角的平分线; ③连接两点的线段的长度,叫作这两点间的距离; ④两点之间,线段最短. 其中属于定义的是________(填序号).  D 　③　 ‹#› 3.将命题“同角的余角相等”改写成“如果…,那么…”的形式是: 如果____________________________,那么__________________.  知识点2　命题的真假与证明 4.(2025·苏州质检)下列命题中,真命题是( ) A.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.两条直线被第三条直线所截,同位角相等 C.垂线段最短 D.邻补角相等 　两个角是同一个角的余角　 　这两个角相等　 C ‹#› 5.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举一个反例. (1)如果a>b,那么ac>bc; (2)两个锐角的和是钝角. 【解析】(1)假命题,当c≤0时不成立,如3>2,但3×0=2×0等; (2)假命题,如α=20°,β=50°,则α+β=70°不是钝角. ‹#› 6.如图,现有下面三个条件:AB⊥BC,CD⊥BC;BE∥CF;∠1=∠2. (1)请从中选择两个作为题设,剩下的一个作为结论,组成一个真命题.(写成“如果…,那么…”的形式) (2)对(1)中的命题进行证明. ‹#› 【解析】答案不唯一.(1)如果AB⊥BC,CD⊥BC,BE∥CF,那么∠1=∠2; (2)因为AB⊥BC,CD⊥BC, 所以∠ABC=∠DCB=90°, 又因为BE∥CF,所以∠EBC=∠FCB, 所以∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠FCB, 即∠1=∠2. ‹#› 进阶组　提能力 7.(2025·绍兴期末)对于命题“若|x|>|y|,则x>y”,下面四组关于x,y的值中,能说明它是假命题的是( ) A.x=-4,y=-1 B.x=5,y=-2 C.x=1,y=0 D.x=-3,y=-4 8.(2025·东莞期中)下列命题是真命题的是( ) A.两点之间直线最短 B.相等的角是对顶角 C.若a3=b3,则a=b D.a+b>0,则a,b均为正数 A C ‹#› 9.下面四个k值,能说明命题“对于任意偶数k,都是4的倍数”是假命题的是( ) A.k=6 B.k=8 C.k=12 D.k=16 A ‹#› 10.在数学课上,老师提出了这样一个问题: 如图,点E在AB的延长线上,请从①AB∥CD;②AC∥BD;③∠DBE+∠C=180°中,选取两个作为题设,第三个作为结论,组成一个命题,判断其真假,并证明.小明的做法如下:选取①②作为题设,③作为结论.即“如果AB∥CD,AC∥BD,那么∠DBE+∠C=180°”是一个真命题. 证明:因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°(________________),  因为AC∥BD,所以∠A=___________(________________),  所以∠DBE+∠C=180°(等量代换). (1)请帮助小明补全证明过程及推理依据; (2)请做出与小明不同的选择,组成一个新的命题,判断其真假,并证明. ‹#› 【解析】(1)补全证明过程及推理依据如下: 证明:因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补), 因为AC∥BD,所以∠A=∠DBE(两直线平行,同位角相等), 所以∠DBE+∠C=180°(等量代换). 答案：两直线平行,同旁内角互补　∠DBE　两直线平行,同位角相等 (2)选取①③作为题设,②作为结论.即“如果AB∥CD,∠DBE+∠C=180°,那么 AC∥BD”是一个真命题. 证明:因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补),因为 ∠DBE+∠C=180°,所以∠A=∠DBE(等量代换),所以AC∥BD(同位角相等,两直线平行).(答案不唯一) ‹#› 11.(2025·龙岩质检)如图,现有以下3个论断: ①AB∥CD;②∠B=∠C;③∠E=∠F. 请以其中2个论断为条件,另一个论断为结论构造命题. (1)你构造的是哪几个命题? (2)你构造的命题是真命题还是假命题?请选择其中一个真命题加以证明. ‹#› 【解析】(1)构造3个命题如下: 条件是:①②;结论是:③; 条件是:①③;结论是:②; 条件是:②③;结论是:①. (2)条件是:①②;结论是:③,此命题是真命题. 证明:因为AB∥CD, 所以∠C=∠BAE, 因为∠B=∠C,所以∠B=∠BAE, 所以AC∥BF, ‹#› 所以∠E=∠F; 条件是:①③;结论是:②,此命题是真命题. 证明:因为AB∥CD, 所以∠C=∠BAE, 因为∠E=∠F,所以CE∥BF, 所以∠B=∠BAE, 所以∠B=∠C; ‹#› 条件是:②③;结论是:①,此命题是真命题. 证明:因为∠E=∠F, 所以CE∥BF, 所以∠B=∠BAE, 因为∠B=∠C, 所以∠C=∠BAE, 所以AB∥CD. ‹#› 培优组　育素养 12.(推理能力、几何直观)已知∠ABC和∠DEF,AB∥DE,BC∥EF.试探究: (1)如图1,∠B与∠E的关系是___________,并说明理由;  (2)如图2,写出∠B与∠E的关系,并说明理由; (3)根据上述探究,请归纳得到一个真命题. ‹#› 【解析】(1)∠B=∠E, 理由如下:如图1, 因为AB∥DE,所以∠B=∠1, 又因为BC∥EF, 所以∠1=∠E,所以∠B=∠E; ‹#› (2)∠B+∠E=180°, 理由如下:如图2, 因为AB∥DE, 所以∠B+∠1=180°, 又因为BC∥EF,所以∠E=∠1, 所以∠B+∠E=180°; (3)由题意得:如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或者互补. ‹#› 本课结束 ‹#› $7.2　平行线 7.2.1　平行线的概念 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　平面内两直线的位置关系 1.在同一平面内,两条直线的位置关系可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 C ‹#› 2.如图所示,将一张长方形纸对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.无法确定 C ‹#› 3.在同一平面内,直线l1,l2相交于点O,又l3∥l2,则直线l1和l3的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行或垂直 4.在同一平面内,直线AB与CD没有交点,那么AB与CD的位置关系是 __________.  B 　平行　 ‹#› 5.图中的网格纸中,AB∥________,AB⊥________.  　CD　 　AE　 ‹#› 知识点2　关于平行线的基本事实及推论 6.(2025·吕梁期中)如图,已知直线AB∥l,AC∥l,则A,B,C三点在同一直线上,理由是________________________________________________.  　过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行　 ‹#› 7.如图,直线a,点B,点C. (1)过点B画直线a的平行线,能画几条? (2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗? ‹#› 【解析】(1)如图,过直线a外的一点画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行; (2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下: 如图,因为b∥a,c∥a,所以c∥b. ‹#› 8.如图,根据要求用直尺和三角尺作图. (1)过A作AE∥BC,交DC于点E; (2)过B作BF∥AD,交DC于点F; (3)过C作CG∥AD,交AB的延长线于点G; (4)过D作DH∥BC,交BA的延长线于点H. 【解析】作图如下. ‹#› 进阶组　提能力 9.a,b,c为同一平面内的三条直线,若a与b不平行,b与c不平行,那么下列判断正确的是( ) A.a与c一定不平行 B.a与c一定平行 C.a与b互相垂直 D.a与c可能相交或平行 D ‹#› 10.在同一平面内,任意三条直线有哪几种不同的位置关系?你能画图说明吗? 下面是小明的解题过程: 解：有两种位置关系,如图: 你认为小明的解答正确吗?如果不正确,请你给出正确的解答. ‹#› 【解析】不正确,如图所示,故在同一平面内,任意三条直线有四种不同的位置关系. ‹#› 11.如图所示,在书写艺术字时,常常运用画“平行线段”这种基本作图方法,此图是在书写字母“M”: (1)请从正面,上面,右侧三个不同方向上各找出一组平行线段,并用字母表示出来; (2)EF与A'B'有何位置关系,CC'与DH有何位置关系? ‹#› 【解析】(1)正面:AB∥EF;上面:A'B'∥AB;右侧:DD'∥HR(答案不唯一); (2)EF∥A'B',CC'⊥DH. ‹#› 12.在同一平面内,直线a∥b,b∥c,直线d与a相交于点A. (1)判断a与c的位置关系,并说明理由; (2)判断c与d的位置关系,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)a与c的位置关系是平行, 理由是:因为直线a∥b,b∥c, 所以a∥c; (2)c与d的位置关系是相交, 理由是:因为c∥a,直线d与a相交于点A, 所以c与d的位置关系是相交. ‹#› 培优组　育素养 13.在同一平面内有2 026条直线a1,a2,…,a2 026,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,依次类推,判断 a1与a2 026的位置关系. 【解析】因为a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…, 所以a1⊥a2,a1⊥a3,a1∥a4,a1∥a5,…, 以四次为一个循环,⊥,⊥,∥,∥. 2 026÷4=506……2, 所以直线a1与a2 026的位置关系是垂直. ‹#› 本课结束 ‹#› $7.4　平移 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　平移及其性质的应用 1.截至2025年2月底,《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军,该片还成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影,在选项的四个图中,能由如图经过平移得到的是( ) B ‹#› 2.(教材变式)如图,射线a,b分别与直线l交于点A,B.现将射线a沿直线l向右平移过点B,若∠1=40°,∠2=70°,则∠3的度数为( ) A.70° B.60° C.90° D.80° A ‹#› 3.如图,∠C=90°,将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5 cm,得三角形A'B'C',已知BC=3 cm,AC=4 cm,则阴影部分的面积为( ) A.18 cm2 B.14 cm2 C.20 cm2 D.2 cm2 B ‹#› 4.如图,在长为14,宽为10的长方形内部,沿平行于长方形各边的方向分割出三个小长方形,则三个小长方形的周长之和是________.  　48　 ‹#› 5.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC和△A'B'C'的顶点都在格点上,且△A'B'C'是由△ABC先向右平移m个单位,再向上平移n个单位得到的,则m-n的值为_______.  　1　 ‹#› 知识点2　平移作图及其应用 6.(2025·南昌质检)如图,甲、乙两只蚂蚁同时经过A处向洞口O处行进,甲行进的路线为过点A,B,C,D,E,F,G,H,O的折线,乙行进的路线为折线AMO,图中线段分别平行,如果速度相等,请判断__________回到洞中(选择填“甲先”或“乙先”或“同时”).  　同时　 ‹#› 7.(2025·惠州质检)在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示.现将三角形ABC平移,使点A移动到点D,点E,F分别是B,C的对应点. (1)请画出平移后的三角形DEF; (2)若连接BE和CF,那么BE和CF的关系是___________;  (3)直接写出三角形ABC的面积为___________.  ‹#› 【解析】(1)如图,△DEF即为所求. (2)因为将三角形ABC平移,使点A移动到点D,点E,F分别是B,C的对应点, 所以由平移的性质可得:BE∥CF,BE=CF; 答案：平行且相等 (3)S△ABC=4×4-×1×4-×2×3-×2×4=7. 答案：7 ‹#› 进阶组　提能力 8.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,∠B=90°,AB=7,DH=2,平移距离为3,则阴影部分的面积为( ) A.20 B.18 C.15 D.12 B ‹#› 9.小温同学在美术课上将△ABC通过平移设计得到“一棵树”,已知底边AB上的高CD为5 cm,沿CD方向向下平移3 cm到△A1B1C1的位置,再经过相同的平移到△A2B2C2的位置,下方树干EF的长为6 cm,则树的高度CF长为( ) A.19 cm B.17 cm C.15 cm D.11 cm B ‹#› 10.(2025·荆州期中)如图是一块从一个边长为7 cm的正方形材料中剪出的垫片,现测得GF=1 cm,则这个剪出的垫片图形的周长是________cm.  　30　 ‹#› 11.如图,△ABC中,AB=6 cm,BC=7 cm,AC=3 cm,将△ABC沿BC方向平移 a cm(0<a<7),得到△DEF,连接AD,则阴影部分的周长为________cm.  　16　 ‹#› 12.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点都在格点上,位置如图所示.现将△ABC平移,使AB的中点D平移到点E,点A,B,C的对应点分别是点F,G,H. (1)请画出平移后的△FGH; (2)连接BG,AF,这两条线段之间的关系是___________;  (3)点M为方格纸上的格点,若S△MBC=S△ABC,则图中的 格点M共有___________个.  ‹#› 【解析】(1)如图,△FGH即为所求. (2)由平移可知,BG=AF,且BG∥AF,即这两条线段之间的关系是平行且相等. 答案：平行且相等 (3)如图,M1,M2均满足题意,所以图中的格点M共有2个. 答案：2 ‹#› 培优组　育素养 13.(几何直观)如图,长方形ABCD与长方形BEFG等长等宽.若将长方形BEFG向右平移,距离为EF,长方形ABCD向右平移,距离为3个BC,则恰好构成新长方形AEPQ.若AEPQ的周长为56,求长方形AEPQ的面积. ‹#› 【解析】设AD=BC=x,因为长方形ABCD向右平移,距离为3个BC,所以DQ=3x,所以AQ=4x, 因为长方形BEFG向右平移,距离为EF,所以EF=FP, 所以EP=2EF=4x,即EF=2x, 因为长方形ABCD与长方形BEFG等长等宽,所以BE=x,AB=2x, 因为矩形AEPQ的周长为56, 所以2(2x+x+4x)=56, 解得x=4, 所以AE=3x=12,AQ=4x=16, 所以S长方形AEPQ=12×16=192. ‹#› 本课结束 ‹#› $7.1.3　两条直线被 第三条直线所截 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　同位角、内错角、同旁内角的识别 1.(2025·温州期中)如图,∠1与∠2是( ) A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角 A ‹#› 2.近些年来,我国的航空事业不断发展,在如图1所示的飞机中抽象出图2的数学图形,在图2中,与∠1构成同旁内角的是( ) A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 C ‹#› 3.(新趋势·传统文化)图1为我国古代九大机械发明之一的绞车,它是古代人民用来提升重物的装置.图2为其平面示意图,图2中与∠1互为内错角的是( ) A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 B ‹#› 4.如图,∠1和∠2是直线________、________被直线________截得的 __________角,∠3与∠4是直线________、________被直线________截得 的__________角.  　BE　 　DF　 　BC　 　同位　 　BE　 　DF　 　EF　 　内错　 ‹#› 5.如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案,找出图中的同位角、内错角、同旁内角.(用图中所标的数字表示) 【解析】图中的同位角是∠1与∠4,∠2与∠6; 图中的内错角是∠1与∠6,∠2与∠4; 图中的同旁内角是∠1与∠3,∠2与∠3. ‹#› 知识点2　同位角、内错角、同旁内角的应用 6.两条直线被第三条直线所截,∠1是∠2的同旁内角,∠2是∠3的内错角. (1)画出示意图,标出∠1,∠2,∠3; (2)若∠1=2∠2,∠2=2∠3,求∠1,∠2,∠3的度数. 【解析】(1)如图所示: (2)因为∠1=2∠2,∠2=2∠3, 所以设∠3=x,则∠2=2x,∠1=4x, 因为∠1+∠3=180°,所以x+4x=180°, 解得x=36°,故∠3=36°,∠2=72°,∠1=144°. ‹#› 进阶组　提能力 7.(2025·重庆质检)如图,下列说法中错误的是( ) A.∠1与∠2是内错角 B.∠3与∠4是邻补角 C.∠2与∠5是同旁内角 D.∠3与∠5是同位角 C ‹#› 8.(2025·淄博模拟)如图,以下说法正确的是( ) A.∠GFB和∠HCD是同位角 B.∠GFB和∠FCH是同位角 C.∠AFC和∠HCD是内错角 D.∠GFC和∠FCD是同旁内角 D ‹#› 9.如图,下列说法不正确的是( ) A.∠5和∠4是同位角 B.∠1和∠5是内错角 C.∠2和∠3是同位角 D.∠1和∠2是同旁内角 C ‹#› 10.如图,在∠1到∠6的六个角中,同位角有_______对,内错角有_______对,同旁内角有_______对.  　2　 　2　 　7　 ‹#› 11.如图,在∠1,∠2,∠3,∠4,∠5和∠C中,同位角对数为a,内错角对数为b,同旁内角对数为c,则abc=________.  　16　 ‹#› 12.如图所示,在一个“凹型”图形中,下列说法都正确吗?如果不正确,请加以更正. (1)∠H与∠A是同旁内角,∠H与∠G是内错角; (2)与∠D互为同旁内角的角只有∠C; (3)图中没有同位角. 【解析】(1)∠H与∠A是同旁内角,∠H与∠G是内错角,正确; (2)与∠D互为同旁内角的角有∠C和∠E,错误; (3)图中没有同位角,正确. ‹#› 培优组　育素养 13.(几何直观)已知:如图是一个跳棋棋盘,其游戏规则是:一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径, 路径1:∠1同旁内角∠9内错角∠3. 路径2:∠1内错角∠12内错角∠6同位角∠10同旁内角∠3. 试一试: (1)从起始角∠1跳到终点角∠8; (2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、 同旁内角的顺序跳,能否跳到终点角∠8? ‹#› 【解析】(1)路径:∠1内错角∠12同旁内角∠8.(答案不唯一) (2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能跳到终点角∠8. 其路径为:∠1同位角∠10内错角∠5同旁内角∠8.   ‹#› 本课结束 ‹#› $