精品解析：陕西西安高级中学2026届高三模拟预测数学试题（二）

西安高级中学2026届模拟预测数学试题（二） 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，，，则（ ） A. 0 B. 2458 C. 2460 D. 2459 3. 今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角α满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 随着社会经济的高速度发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利．但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升，尤其是难以降解的塑料垃圾，对地球环境造成了不可忽视的影响．已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t（年）的关系近似满足（m，n为常数，且当 t=0 时，v=0），已知两年后，这种塑料垃圾分解率为10%．据此估计约（ ）年后，这种塑料垃圾分解率能达到95%？（参考数据：，） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 5. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下图某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．设阴离子圆的直径均为，且相邻的圆都相切，是其中四个圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数满足，则（ ） A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值2 D. 有最大值2 8. 正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为2 10. （多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为 C. 可化简为 D. 可化简为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 13. 盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 14. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 秦岭是国家一级保护动物羚牛的家园.为了保护生物多样性，陕西省在秦岭深处建立了生态廊道.科研人员在廊道沿线选取了三个监测点A，O，B进行观测.羚牛的移动轨迹和种群数量变化遵循特定的数学规律，已知平面直角坐标系xOy中，点为生态廊道的中心监测站，点和点分别为东西两侧的辅助监测站.羚牛的活动轨迹被抽象为一系列动点，其运动规律如下：初始状态：第1代羚牛位于点.运动规则：对于任意正整数n，第代羚牛的位置是线段的中点.记（即第n代到第代的移动距离），记为数列的前n项和. （1）求动点，的坐标，并求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列，并求的值； 16. 已知函数有两个极值点，． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 18. 如图1，在平行四边形中，，，，将沿翻折成如图2所示的四棱锥，使． （1）证明：平面平面． （2）若是棱的中点，求三棱锥的体积． （3）在图2中，平面内是否存在点，使得直线平面，若存在，说明点的轨迹，并探究该轨迹与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 19. “八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. （1）求曲线和的方程； （2）设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； （3）在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高级中学2026届模拟预测数学试题（二） 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2. 在数列中，，，则（ ） A. 0 B. 2458 C. 2460 D. 2459 【答案】D 【解析】 【分析】变形给定的递推公式并构造新数列，利用累加法求出通项公式即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 则，， 当时， ，而满足上式，因此， ， 所以. 3. 今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角α满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出对应图形，借助正、余弦定理与面积公式，结合基本不等式计算即可得解. 【详解】依题意圆形木板的直径为，设截得的四边形木板为， 设，，，，，， 如下图所示，由且，得， 在中，由正弦定理得，，解得， 在中，由余弦定理，得， 所以，得， 当且仅当时等号成立． 在中，， 由余弦定理可得：， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积最大值为. 4. 随着社会经济的高速度发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利．但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升，尤其是难以降解的塑料垃圾，对地球环境造成了不可忽视的影响．已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t（年）的关系近似满足（m，n为常数，且当 t=0 时，v=0），已知两年后，这种塑料垃圾分解率为10%．据此估计约（ ）年后，这种塑料垃圾分解率能达到95%？（参考数据：，） A. 60 B. 65 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，的值，进而得到塑料垃圾自然分解率和时间的关系式，再将代入关系式，通过对数运算求出的值. 【详解】已知，当时，，所以. 所以.由已知条件可知，当时， 所以，所以 所以 当时，代入和时间的关系式有 两边同时取对数， 化简得， 所以 因为，，所以. 5. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解. 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简：  即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即， 故的取值范围是. 6. 下图某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．设阴离子圆的直径均为，且相邻的圆都相切，是其中四个圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量基底，利用平面向量基本定理以及向量数量积分析求解即可. 【详解】如图所示，建立以为一组基底的基向量， 其中且的夹角为， 所以， . 7. 已知复数满足，则（ ） A. 有最小值1 B. 有最大值1 C. 有最小值2 D. 有最大值2 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 由，得，解得， 则，当且仅当时等号成立， 所以有最小值1，无最大值. 8. 正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线 部分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，求出棱的中点到对角线的距离以及到对角线的距离后可求出双曲线的基本量，从而可求离心率. 【详解】如图，设对角线为，为正方体的棱. 由题可设双曲线方程为，设对角线为， 如图，两个顶点之间距离的一半即为的中点到对角线的距离， 设正方体棱长为，则到对角线的距离为，即. 由正方体的性质可得，， 故， 而， 所以，故，故. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：， 因为，所以当时，， 则 ，故A错误； 选项B：的面积， 因为，所以当时，，故B正确； 选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径， 因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为， 则， 所以四边形ABCD面积的， 令，则， 令，则， 令，解得或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当，即时，有最大值， 此时，，故C正确； 选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，， 两弦异侧时，其距离，且， 则四边形ABCD面积 ， 所以当时，有最大值为2，故D正确. 10. （多选）如图，，，，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BD 【解析】 【分析】通过观察各图中点的位置关系，利用异面直线的判定方法：若两直线既不平行也不相交，且其中一条直线上的点不在另一条直线所在平面内，则它们异面，从而逐一判断每个图形. 【详解】图①中，直线；图②中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 图③中，连接（图略），，因此与共面； 图④中，，，三点共面，但平面，，因此直线与异面； 所以在图②④中，与异面． 故选：BD． 11. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如表数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ） A. 的估值为，的估值为 B. 的估值为，的估值为 C. 可化简为 D. 可化简为 【答案】AC 【解析】 【详解】由列联表可知，， 所以，，故A正确、B错误． 已知，，则， 由条件概率公式，所以 ，故C正确、D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 13. 盒中有6个小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取5次，每次取1个球，设a为前2次取出的球上数字的平均值，b为后3次取出的球上数字的平均值，记，________． 附：若，是随机变量，则． 【答案】7 【解析】 【分析】设第n次取出的数字为，根据题意分析可知对任意的，，结合题中期望的性质运算求解. 【详解】设第n次取出的数字为，则，， 所以，， 设第1次取出的数字是k，则第2次只能从剩下的5个数字中取， 此时第2次取出的数字的期望为， 对所有可能的k求期望，可得， 同理，对任意的，， 所以，． 14. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 【答案】19 【解析】 【详解】因为数列是“和谐数列”，且， 所以共有6项，且. 若，，，各项全为0，则满足条件的数列只有1个； 若，，，有2项为0，1项为1，1项为， 则满足条件的数列的个数为； 若，，，有2项为1，2项为， 则满足条件的数列的个数为，所以的个数为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 秦岭是国家一级保护动物羚牛的家园.为了保护生物多样性，陕西省在秦岭深处建立了生态廊道.科研人员在廊道沿线选取了三个监测点A，O，B进行观测.羚牛的移动轨迹和种群数量变化遵循特定的数学规律，已知平面直角坐标系xOy中，点为生态廊道的中心监测站，点和点分别为东西两侧的辅助监测站.羚牛的活动轨迹被抽象为一系列动点，其运动规律如下：初始状态：第1代羚牛位于点.运动规则：对于任意正整数n，第代羚牛的位置是线段的中点.记（即第n代到第代的移动距离），记为数列的前n项和. （1）求动点，的坐标，并求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列，并求的值； 【答案】（1），， （2） 由第1问可知. 显然，（常数）， 故是首项为，公比的等比数列. 所以； . 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式求点的坐标，利用待定系数法构造等比数列，得是首项为，公比为的等比数列.得，，再由两点间距离进行求解； （2）是首项为，公比的等比数列.求出前项的和，再求极限即可． 【小问1详解】 因为是的中点，，即. 是的中点，，即. 我们观察横纵坐标的规律.设， 则根据中点公式：，， 先看纵坐标：这是一个首项，公比的等比数列．故. 再看横坐标：递推公式为. 令，解得． 故是首项为，公比为的等比数列. 即，所以. ，， ， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知函数有两个极值点，． （1）求实数a的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：由，， 可得，， 所以． 设，，则， 令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，故． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再换元结合二次方程有两个正根列式求解即可； （2）应用韦达定理化简，再构造函数，求出导函数由导函数的正负得出单调性结合最值即可证明. 【小问1详解】 由题可知． 由题可知在上有两个变号零点，， 设，，，则，是方程的两个不等正根， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 【小问2详解】 略 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）30（ii） 【解析】 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【小问1详解】 因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 18. 如图1，在平行四边形中，，，，将沿翻折成如图2所示的四棱锥，使． （1）证明：平面平面． （2）若是棱的中点，求三棱锥的体积． （3）在图2中，平面内是否存在点，使得直线平面，若存在，说明点的轨迹，并探究该轨迹与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接，， 且， 四边形为平行四边形，， ，由平行四边形性质得， 则， 又，且， 又，， ， 平面， 平面， 平面平面. （2）. （3）存在，点的轨迹是一条直线.． 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直. （2）利用垂直找到棱锥的高，使用体积公式求棱锥. （3）建立空间直角坐标系，将线面的平行关系转化为向量的垂直关系，求出点的轨迹，最后求出轨迹的方向向量和平面法向量求夹角余弦值绝对值，对应所求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面平面，且平面平面， 又，平面，平面， . 【小问3详解】 以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， 由 令，得 是平面的一个法向量， 设点的坐标为， ， 平面， ， 可得， 点的轨迹是一条直线. 设，所以， 设平面的法向量为， 由， 令，得，， 是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. “八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. （1）求曲线和的方程； （2）设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； （3）在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 【答案】（1）方程：；方程： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法，通过椭圆与双曲线的定义，双曲线的渐近线求解； （2）设直线的方程并与双曲线方程联立，消元，韦达定理，表示弦长，利用三角形的面积求解； （3）利用椭圆方程设点的坐标，使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离最大值求解. 【小问1详解】 由题意得： 解得 所以椭圆的方程为： 解得 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设直线的方程为， 得，设，， 由韦达定理得：，， 原点到直线的距离为， 则，解得， 所以直线l的斜率为： 【小问3详解】 由（2）知直线的方程为：，不妨取直线的方程为，即， ， 椭圆：，设 则点到直线的距离为： ，其中 ，当时，取最大值为， 所以面积的最大值为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $