2026年上海市中考数学押题试卷

2026年上海市中考数学押题试卷 答案 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分) 题号1 234 5 6 答案DBA B D B 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） y(x+y)(x-y) 7. 8.x=9 9.x≥1 10.40.25 11.-6 12.160 .26-3a 1 14.10% 15号号 16.①②③④ 17.外 31 18.2或2 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.(本题满分10分) 【详解】解：原式=1+22-2×)+万.…8分 =3V2 …10分 20.(本题满分10分) 2(x-1+3≤7① 详解】解： 2x+5>1② 3 答案第1页，共2页 解不等式①，得：x≤3， …4分 解不等式②，得：X>-1,…8分 原不等式组的解集为-1<x≤3.…10分 21.(本题满分10分) 【详解】1)解：由怒意，将2，代入=-+3得：2k+3=1, 解得：k=1, 将k=1,(2,1,代入函数”=+bk≠0中， [2k+b=1 得：k=1, k=1 解得：b=-1, .k=1,b=-1;…5分 (2)解：k=1,b=-1, y=x-l,y=-x+3 两个一次函数的解析式分别为 当x>2时，对于x的每一个值，函数'=mxm≠0 的值既大于函数'=x-1的值，也大于 函数y=-x+3的值， 即当>2时，对于x的每一个值，直线'=mm≠0 的图象在直线”=x-和直线 y=-x+3的上方，则画出图象为： VA mx y=mx -x+3 y=-x+3 由图象得：当直线)=m(m≠0)与直线"=x-l平行时符合题意或者当’=mm≠0)与r轴 答案第2页，共2页 的夹角大于直线'=mm≠0)与直线”=-l平行时的夹角也符合题意， :当直线'=mm≠0)与直线=x-1平行时，m=1, “当x>2时，对于x的每一个值，直线'=mxm≠0 的图象在直线y=-和直线 y=-x+3的上方时，≥1， m的取值范围为m≥1.…10分 22.(本题满分10分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, .BE=DF, .AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形， AC=EF, ∴.平行四边形AECF是矩形；… …5分 (2)解：由(1)知四边形AECF是矩形， ∴.∠AEC=∠AEB=90°， AE =BE,AB=2, ∴.△ABE是等腰直角三角形， :4证=E-g56=5 2 又：tan∠ACB=E_1 EC2 V21 EC-2, EC=2 BC-BE+EC-+2=3 …10分 23.(本题满分12分) 答案第3页，共2页 【详解】(1)解：如图，连接OD, 设半径OD=r, :CD=8,AH=2,CD⊥AB,AB是⊙O的直径， .DH=4,OH =OA-AH=r-2, .2-(-2=16 解得r=5, .⊙0的半径为5；…6分 (2)解：由(1)得：直径1B=10,AC=CD,∠E=90° .AC=CE .AE=CD .AE CD=8. BE=√AB2-AE2=6 …12分 24.(本题满分12分) 【详解】()解：抛物线y=r-4ar+c经过41,0)，C0,3列， a-4a+c=0 ∴.c=3 [a=1 解得c=3, 答案第4页，共2页 二抛物线的表达式为：y=x-4+3 :y=x2-4x+3=(x-22-1 顶点M的坐标为2，-刂 …4分 (2)解：2ME=3MF 器， 设E(ee2-4e+3) H∥y 如图，过M作 M∥x轴交y轴于G,过E作 轴，两线相交于H, 则MH=2-e,MG=2,△FG-AMEH, MF MG 22 .ME=MH,即2-e3, 解得e=-1, :e2-4e+3=-12-4x-1+3=8 点E的坐标为 -1,8 ……8分 (3)解：C0,3) 设直线BC的表达式为：y=x+3, 将点B的坐标代入上式得：0=3k+3, 解得：k=-1, 即直线BC的表达式为：y=-x+3: 答案第5页，共2页 设P(m,-m+3) 当点D在y轴左侧时，如图， 此时，点P不可能在线段BC上，故点D只能在y轴右侧， 由新抛物线的表达式知，其对称轴为x=m, 以P为顶点的新抛物线经过原点， 则点D(2m,0 当PG垂直平分AD时， 则m-1=2m-m, 此方程无解，即此种情况不存在； 当AD垂直平分PG时， 则n=,即m+3=-m2-4m+3到】 解得：m=3(舍去)或2， :P2,) 设新抛物线的表达式为y=a(r-2+1 则4(0-2)2+1=0 答案第6页，共2页 1 .a1= 4 六新抛物线的表达式为：y=4x-2+1.。 1 …12分 25.(本题满分14分) 【详解】(1)解：如图1，延长DE,交CB的延长线于点F, F- B 图1 ADBC .△ADEP△FBE, AD AE1 S.ADE= (AE)21 BF BE 2'SBEF 8E=4, BC=4AD ∴BC=2BF, S.EBE1 :S.rBc 2, S.=1 SBc8…4分 (2)解：如图2，延长DE,交CB的延长线于点F,作EG⊥CF于G, A D E F.3 B G 图2 ·∠DEC=∠DCB ∠F+∠ECF=∠DCE+∠ECF, ∠DCE=LF, :∠CDE=LCDF, .△CDE∽△FDC, CD DF .DE CD, 答案第7页，共2页 ..CD2=DE.DF, 由(1)知，△ADE∽△FBE, DE AE 1 BF 1 .EFBE2’BC-2, :.EF =2DE, :DF =3DE, .CD2=3DE2, CD= .DE ∠EDC=90°， .∠CED=60°， .∠DCB=60°，∠F=30°， 在R△CD D=3a,则 F=6aDF=3√5a 中，设 ∴.BF=2a,EF=2N3a, 在Rt△EFG中， EG-EF FGx2 2 2 :.BG=FG-BF=3a-2a=a, tan B=EG =V5 BG …9分 (3)解：如图3，以D为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于点H,作DT⊥AH 于T, 图3 设AD=a,AT=b, :.DH AD=a, AH=2AT=2TH=2b,∠H=∠HAD, ADI BC, 答案第8页，共2页 .∠B=HAD,∠DAC=∠ACB, ∴∠H=∠B, DA=DF.DE,∠ADF=∠ADE, .△ADFP△EDA」 ∠DAC=∠AED」 ∴.∠AED=∠ACB, ∴.△HEDABCA, DE DH EH .AC AB BC :cos∠DAH=cosB, DE AT .ACAD, AT DH EH .AD AB BC, b_a_2b+1 .a34a’ “a6 , ∴.BC=4a=2V6 …14分 答案第9页，共2页 2026年上海市中考数学押题试卷 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 4．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（    ）    A．甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数 B．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定 C．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些 D．在射靶上，甲比乙更有潜力 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．分解因式：=__________________. 8．分式方程的解是______． 9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________ ． 11．已知是的反比例函数，且当时，．那么当时，_______． 12．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03    49.98    50.00    49.99    50.02 49.99    50.01    49.97    50.00    50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 13．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为_____． 14．某种商品经过连续两次降价后，由原来的每件60元下调至每件48.6元，求这种商品平均每次降价的百分率是_________． 15．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为_________． 16．如图，P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．（填序号） 17．在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C___________（填写“内”“上”或“外”）． 18．在中，，D为BC的中点，将绕点C旋转至，点A的对应点落在直线AD上，且，直线与BC相交于点E，那么_____． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 20．（本题满分10分）解不等式组： 21．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 22．（本题满分10分）如图，在中，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)，，，求的长． 23．（本题满分12分）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知：拋物线与轴分别交于点、点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上一点，作直线与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； (3)如果点在线段BC上，且以为顶点的新抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式． 25．（本题满分14分）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市中考数学押题试卷 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 3．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【详解】    如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 4．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 5．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数及一次函数的增减性即可得答案． 【详解】解：A、函数y=，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，或x＜0时y随自变量x的值增大而减小，故该选项不符合题意； B、函数y=-，在x＞0时y随自变量x的值增大而增大，或x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故该选项不符合题意； C、函数y=2x-1，y随自变量x的值增大而增大，故该选项不符合题意， D、函数y=-2x+1，y随自变量x的值增大而减小，故该选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质． 6．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（    ）    A．甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数 B．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定 C．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些 D．在射靶上，甲比乙更有潜力 【答案】B 【分析】根据平均数的概念进行计算从而判断A，分别求得甲乙方差从而判断B，通过对平均数和中位数的分析判断C，通过对甲乙成绩的变化趋势分析从而判断D 【详解】解：由题意可得： 甲的10次射靶的平均成绩为（环）， 乙的10次射靶的平均成绩为（环）， ∴甲的射靶成绩的平均数等于乙的射靶成绩的平均数，故选项A不符合题意； 甲的10次射靶的方差为 乙的10次射靶的方差为 ， ∵， ∴甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定，故选项B符合题意； 从平均数上看，甲乙两人成绩一样，从中位数上看，甲的中位数为，乙的中位数为，因此乙的射靶成绩较好，故选项C不符合题意； 从平均成绩上看，甲乙二人平均成绩一样，从中位数上看，乙的中位数高于甲，从图象上看，乙的射靶成绩上升趋势更为明显，所以在射靶上，乙比甲更有潜力，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，用到的知识点是平均数和方差，准确识图，根据平均数和方差的计算公式进行计算是解题关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．分解因式：=__________________. 【答案】 【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）= 考点：分解因式 点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 8．分式方程的解是______． 【答案】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号，得 移项得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________ ． 【答案】/ 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 11．已知是的反比例函数，且当时，．那么当时，_______． 【答案】 【分析】先设函数解析式是，把、代入可求，从而求出函数解析式，再把代入即可求． 【详解】解：设所求反比例函数是， ∵时，， ∴， ∴， ∴函数的解析式是：， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，然后根据解析式可求的值．利用待定系数法确定反比例函数的解析式是解答本题的关键． 12．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03    49.98    50.00    49.99    50.02 49.99    50.01    49.97    50.00    50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 【答案】160 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：160． 13．如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设，那么向量用向量表示为_____． 【答案】 【分析】根据中线的性质可得OA＝2OD，根据平面向量三角形法则可求出，进而求出，根据平面向量三角形法则即可得答案． 【详解】∵AD，BE是△ABC的中线， ∴OA＝2OD， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的重心的性质及平面向量的运算，熟练掌握重心的性质及平面向量的运算法则是解题关键． 14．某种商品经过连续两次降价后，由原来的每件60元下调至每件48.6元，求这种商品平均每次降价的百分率是_________． 【答案】10% 【分析】设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，根据售价由原来的每件60元降到每件48.6元，列出方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：60=48.6． 解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）， 答：这种商品平均每次降价的百分率是10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦交小圆于点C，D．若，则的长为_________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得，利用这个关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点O作垂足为点，连接，， ， ， 根据勾股定理列方程可得，， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理，适当添加辅助线构造直角三角形，并列方程求解是解题关键． 16．如图，P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误． 【详解】解：①正确，连接， 可得，， ∴． ②正确，， ③正确，， ④正确；延长，交于点N，则，可得． 故答案为：①②③④． 17．在中，．过点C作圆B，并作圆A和圆B外切．若圆B内切于圆C，则点A在圆C___________（填写“内”“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，圆外切性质，熟练掌握是解题的关键．设的半径为，点到圆心的距离为，若，则点在外；若，则点在上；若，则点在内；反之亦然．两圆内切时，圆心距等于半径的差．根据的半径为5，内切于，可得的半径为10．由，比较的半径即可判断点A与的位置关系． 【详解】解：设的半径为，的半径为，与内切于点D，交射线于点E， 则点D在延长线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在外． 故答案为：外． 18．在中，，D为BC的中点，将绕点C旋转至，点A的对应点落在直线AD上，且，直线与BC相交于点E，那么_____． 【答案】或 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得，得，由旋转性质得，得，得，得，得，得，当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分情况讨论即得答案或． 【详解】解：∵在中，，D为的中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 22．（本题满分10分）如图，在中，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（本题满分12分）如图，在以为直径的中，弦于点，与弦交于点，连接，已知． (1)求的半径． (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2)6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，设半径，由垂径定理可得，从而得到，由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由（1）得：直径，证明出，从而得到，最后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 设半径， 是的直径， ，， ， 解得， 的半径为； （2）解：由（1）得：直径， ， ， ， ． 24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知：拋物线与轴分别交于点、点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上一点，作直线与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； (3)如果点在线段BC上，且以为顶点的新抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，过点向轴作垂线，交原抛物线于点，当四边形是一个轴对称图形时，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用待定系数法求得抛物线的表达式，然后将表达式化为顶点式即可求解； （2）设，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H，证明，根据相似三角形的性质可求出e的值，即可求解； （3）待定系数法求出直线的表达式，设，当点D在y轴左侧时，此时，点P不可能在上，故点D只能在y轴右侧，由新抛物线的对称轴与经过原点可知点，当垂直平分时，方程无解；当垂直平分时，则点与点G的纵坐标的绝对值相等，据此列出关于m的方程，解得m的值即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：， ∵， ∴顶点的坐标为 （2）解：∵ ∴， 设， 如图，过M作轴交y轴于G，过E作轴，两线相交于H， 则，，， ∴，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵ 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：； ∴设， 当点D在y轴左侧时，如图， 此时，点P不可能在线段上，故点D只能在y轴右侧， 由新抛物线的表达式知，其对称轴为， ∵以P为顶点的新抛物线经过原点， 则点， 当垂直平分时， 则， 此方程无解，即此种情况不存在； 当垂直平分时， 则，即， 解得：（舍去）或2， ∴， 设新抛物线的表达式为， 则， ∴， ∴新抛物线的表达式为：． 25．（本题满分14分）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）延长，交的延长线于点，可证得，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，设作于，可证得，，从而，进而得出，从而得出，，从而得出，，进而得出，，，，，进一步得出结果； （3）设，，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于，从而，，，可证得，从而，从而得出，从而得出，根据，根据，从而得出，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于点，作于， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，设，则，， ，， 在中， ，， ， ； （3）解：如图3，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于， 设，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $