精品解析：四川仁寿县铧强中学2025-2026学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题

铧强中学2024级高二（下）第一次教学质量检测试题 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：余仁宏；审题人：李嘉航 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A. 144个 B. 120个 C. 96个 D. 72个 （跨学科情景） 3. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移，(单位:)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， （ ） A. 1 B. C. D. 4. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的有（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 11. 设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ） A. 任何一个三次函数均有“拐点” B. 函数为区间上的“上凸函数” C. 若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减 D. 若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于正整数的方程是，则____________． 13. 若函数，则的单调递减区间为________． 14. 已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在排头，也不在排尾； （2）甲、乙、丙三人必须在一起. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 17. 已知函数． （1）若的最大值为1，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 19. 已知函数，是的极小值点. （1）求的值； （2）当时，，求的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铧强中学2024级高二（下）第一次教学质量检测试题 数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 命题人：余仁宏；审题人：李嘉航 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A. 144个 B. 120个 C. 96个 D. 72个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论： ①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个， ②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选B 考点：排列、组合及简单计数问题． （跨学科情景） 3. 一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位:)是小球相对于平衡点的位移，(单位:)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时， （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数即可求解. 【详解】， 故当时，此时瞬时速度最大，, 所以时，此时瞬时速度首次达到最大， 故选：C 4. 若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，直接写出的单调区间，进而得出在区间上的符号，即可求解. 【详解】由图知函数的减区间为，，增区间为， 和分别是的极小值点和极大值点， 所以当时，，当时，， 当和时，， 又由图知时，，时，， 又等价于，所以的解集为. 5. 已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值，由函数在区间上存在极值建立不等式求解. 【详解】解：，令，得， 当，，当，， 所以是函数的极大值点. 又因为函数在区间上存在极值， 所以，解得. 故选：D． 6. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 7. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，结合根据单调性比较大小即可. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减. 所以在时取到最大值， 因为， 又因为在上单调递增，所以，所以. 故选：B 8. 已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解. 【详解】由题当时，，所以， 所以当时，，当时，； 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 当时，当时，； 当时，； 所以可作出函数的图象，如下图， 若要使函数有个不同的零点， 所以的图象与直线有个交点， 即，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的有（    ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由求导法则可判断各选项正误. 【详解】对于A，，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项正确； 对于D，，D选项错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，代入可判断A；利用导数研究函数单调性可判断B；举反例可判断C；利用零点存在定理结合函数单调性可判断D. 【详解】已知函数（），分析各选项如下： A选项：当时，在定义域内， 求导得 代入得，故A正确； B选项：当时，，求导得 令得，当时，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，且最大值为，B正确； C选项：当时，的定义域为， 由，，得在定义域上不单调递减， 故C错误； D选项：当时，函数的定义域为， 求导得， 令， 分母，故的符号由分子决定， 先研究的单调性： 当时，，即在上严格递增； 当时，，即在上严格递减。 计算， 由于，，故， 区间上的情况： 当时，， 又在上连续且严格递增，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递减； 在上，，即，递增， 因此是的极小值点； 区间上的情况： 当时，， 又因为在上连续且严格递减，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递增； 在上，，即，递减， 因此是的极大值点， 综上，当时，在定义域内存在一个极小值点和一个极大值点， 故D选项正确. 11. 设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ） A. 任何一个三次函数均有“拐点” B. 函数为区间上的“上凸函数” C. 若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减 D. 若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A 选项：运用拐点概念计算即可； 对于B 选项：对求导，，借助导数研究函数在区间上单调性可判断； 对于C 选项，求导得到，再求导令，得拐点，因为“拐点”在轴右侧，得到.进而得到的递减区间判断即可； 对于D 选项：根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出,可判断. 【详解】对于A 选项：对于三次函数， ， 再求导得到.令，则，解得， 所以任何一个三次函数均有“拐点”，A 选项正确. 对于B 选项：，， . 当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B 选项正确. 对于C 选项：，，. 令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即. 令可得，所以， 的递减区间是，C 选项错误. 对于D 选项：， ，. 令，即在有解.即则有正解. 则，解得. 并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减. 恒成立.恒成立，,即， 即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于正整数的方程是，则____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 13. 若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 14. 已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得出有两个变号零点，把进行同构变形为，利用导数知识得出问题等价于,即在上有两个不等的实根，然后通过确定函数的性质得出范围，从而得出的范围结论． 【详解】的定义域是,, 由题意在上有两个变号的零点， 设，则在上有两个相异实根，等价于方程在上有两个相异实根， 方程化为，即， 设，则在上恒成立， 所以在上是增函数， 又，因此，即， 所以问题等价于,即在上有两个不等的实根， 设，则， 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以函数在处取得极大值， 作出的大致图象及直线，如图， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 又，所以所求的范围是，从而的最小整数值为3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 5个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲不在排头，也不在排尾； （2）甲、乙、丙三人必须在一起. 【答案】（1）72 （2）36 【解析】 【分析】 （1）排列问题对特殊元素要优先处理；（2）利用捆绑法处理． 【小问1详解】 若甲不在排头，也不在排尾，先从3个位置选一个安排甲，再对剩下的4人全排列，即排列的方法有：=72种； 【小问2详解】 甲、乙、丙三人必须在一起，先对甲乙丙三人全排列，再与剩下两人全排列，即排列的方法有：=36种． 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数，则， 则，而直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得， 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为， ， 令，即，化简可得，解得， 当时，函数单调递增。由，即，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当时，函数单调递减，由，即，解得， 所以的单调递减区间为； 综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 17. 已知函数． （1）若的最大值为1，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调性和极值点，进而建立关于的方程求解即可；（2）参变分离，构造函数，求导分析函数单调，进而结合二阶导数分析一阶导数单调性和零点，再求解最小值即可. 【小问1详解】 的定义域为， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为 ． 【小问2详解】 若恒成立， 即恒成立，即 即恒成立， 设， 则， 令， 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 则， 所以，即的取值范围为． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得其极值点，从而求得其极小值； （2）分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性； （3）结合（2）的结论，构造新函数，利用新函数的导数分析新函数的单调性，求解不等式得的取值范围. 【小问1详解】 当时，. . 因为恒成立， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 函数.的定义域为. . 因为恒成立， 所以若，恒成立，所以恒成立，在上单调递减； 若，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，即最小值，最小值为. 此时，当时，；当时，； 要使函数有两个零点，只需使，即. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 19. 已知函数，是的极小值点. （1）求的值； （2）当时，，求的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对求导，利用，求得，然后验证为极小值点即可； （2）利用分离参数，对和进行分类讨论，转化为求函数的最值问题，即可求得； （3）利用分析法只需证明，结合（1）中在为增函数，即可证得，从而证得结论. 【小问1详解】 定义域， ， 因为是的极小值点，所以，则， 当时，， 则， 令，， 则在为增函数， 则存在使得，所以有两根， 所以增区间为和，减区间为，则是的极小值点，所以符合题意，故. 【小问2详解】 由（1）知， 因为当时，，则， ①当时，，则， ②当时，，令， 则， 令，， 令，则，即为减函数， 所以，即为减函数. 令，则， 在为减函数，，所以， 即，因为，所以，即趋近于0时，趋近于1. 令，则， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 因为，则，即，且， 所以，又，则， 综上①②，，所以的取值范围为. 【小问3详解】 要证， 需证， 即证， 令，易知在为减函数， ， 又，所以， 因为，则， 所以，则只需证， 即证， 由（1）知的增区间为和，减区间为，且， 所以在为增函数，又，所以在恒有， 即得证， 所以成立. 【点睛】关键点点睛：本题解答关键主要有两个：一是利用拆分函数，利用函数单调性及两个函数在同一点处取到最值得到和函数的最值；二是利用数列的知识，把数列和的大小比较转化为通项公式的大小比较，构造函数可证结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $