第10章 二元一次方程组 单元复习（7大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学二元一次方程组单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点、常考考点与高频易错点，将二元一次方程（组）的概念、解法、应用及思想方法按“基础-提升-培优”分层呈现，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与思想方法渗透，如古代数学问题培养模型意识，整体代入法提升推理能力，通过“易错警示-基础巩固-综合应用-思维拓展”梯度练习，助力不同层次学生掌握运算技巧与解题策略，为教师实施精准复习提供系统支持。

第10章 二元一次方程组 核心知识点 常考考点 高频易错点 二元一次方程（组）的概念 1.判定二元一次方程/方程组 2.识别三元一次方程组 1.忽略含未知数项次数为1 2.混淆未知数个数 3.含乘积项、高次项误判为一次 方程（组）的解 1.检验解的正确性 2.利用解求字母系数 1.代入计算出错 2.公共解理解错误 代入消元法 1.系数简单时优先代入 2.含整体结构代入 1.代入未消元 2.漏乘、符号错误 加减消元法 1.系数成倍数用加减 2.化系数为相反数/相等 1.两边未同乘一个数 2.加减时符号混乱 三元一次方程组 1.先消一元化为二元 2.选易消元快速简化 1.消元目标不明确 2.回代遗漏未知数 实际应用 1.行程、利润、配套、工程 2.数字、年龄、几何问题 1.等量关系找错 2.单位不统一、作答不规范 思想方法 1.整体代入、换元法 2.转化思想、分类讨论 1.不会整体观察 2.换元后忘记回代 【易错题型】 【题型1】二元一次方程（组）概念与解的易错题 1.易错点总结 含xy项、平方项仍判定为二元一次方程 方程组未知数个数≠2、次数≠1误判 把方程的解与方程组的解混淆 代入检验时计算错误 2.纠错技巧 判定三要素：2个未知数、次数均为1、整式方程 方程组满足：共2个方程、整体二元一次 解的检验：同时满足所有方程才是方程组的解 【例题1】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的概念是解题的关键．根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程． 【详解】解：A．含三个未知数（），属于三元一次方程，不符合二元条件，故该选项不符合题意； B．中 次数为2，不符合条件，故该选项不符合题意； C．可整理为，含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故该选项符合题意； D．中，分母中有字母，不符合整式方程要求，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义作答即可． 【详解】解：A、两个方程都是分式方程，不符合题意； B、方程组含有三个未知数，不符合题意； C、第一个方程的的次数为2，不符合题意； D、方程组为二元一次方程组，符合题意． 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把代入方程组检验即可． 【详解】解：A、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； B、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； C、将代入方程组， 可得：， 即不是方程组的解，不符合题意； D、将代入方程组， 可得：， 即是方程组的解，符合题意； 故选：D． 【基础题型】 【题型2】代入消元法解二元一次方程组 1.考点总结 核心：变→代→解→再代→联 适用：某未知数系数为±1 2.解题技巧 选系数简单方程变形，用一个未知数表示另一个 代入另一方程，严禁代回原方程 结果用大括号联立规范书写 【例题2】.（25-26七年级下·河南周口·月考）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 【变式题2-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的变形，利用等式的基本性质对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到答案． 【详解】对①移项，得，故A错误，B正确； 对②移项，得，故C，D错误． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·山东潍坊·期末）解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（   ） A．，消去x B．由②得代入①，消去y C．，消去x D．由②得代入①，消去y 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，需通过代入或加减消元判断各选项的正确性． 【详解】选项A：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故A错误． 选项B：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故B错误． 选项C：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故C正确． 选项D：由②得，故D错误． 故选C． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东泰安·月考）按要求解方程组： (1)（代入消元） (2)； (3)；（加减消元） (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据代入消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可； （3）整理后根据加减消元法求解即可； （4）整理后根据加减消元法求解即可； 【详解】（1）解：， 将①代入②得：，即，解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为． （2）解：， 得：， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 故方程组的解为． （3）解：， 整理得：， 得：③， ：④， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 故方程组的解为． （4）解：， 整理得：， 得：③， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 故方程组的解为． 【题型3】加减消元法解二元一次方程组 1.考点总结 核心：化→加减→解→代→联 适用：同一未知数系数相等或相反 2.解题技巧 同系数相减、反系数相加 系数不成倍数时，两边同乘最小公倍数 每一步符号不变、不漏项 【例题3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为________；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为________． 【答案】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，两边同时即可得到①，两边同时即可得到② 【详解】解：中， 两边同时即可得到 ； 两边同时即可得到 ； 故答案为：①② ． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组下列解法正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】B 【分析】本题考查了消元法解方程，熟练掌握加减消元法的原理是解题的关键. 【详解】解：A、得到的式子为：即：，未消去，不符合题意； B、得到的式子为：，即，消去，符合题意； C、得到的式子为：，即，未消去，不符合题意； D、得到的式子为：，即，未消去，不符合题意； 故选：B ． 【变式题3-2】.（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 【题型4】已知方程组的解求字母系数 1.考点总结 方法：解代入方程→构建新方程→求字母 考查：解的定义与逆向运算 2.解题技巧 解代入时严格对应x、y 多个字母联立成方程组求解 结果带回原式检验 【例题4】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 【答案】 【分析】将两个方程相减可得，再根据可得答案． 【详解】解：， ，得． ∵， ∴， 解得． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【答案】 【分析】运用整体思想，把两方程相加即可得解． 【详解】解：， 由得， ， ， ， 解得． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后把方程组的解代入方程中即可求出的值． 【详解】解：由题意得， 解得， 根据题意得，把代入方程中， 得 解得． 【题型5】古代数学问题/文化情境应用题 1.考点总结 情境：古文译现代等量，文化+数学 考查：翻译、建模、传统文化理解 2.解题技巧 逐句翻译，把古文转为数学关系 设两个未知量，列标准二元方程组 作答贴合原题问法 【例题5】.（2026·辽宁鞍山·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 【变式题5-2】.（2026·安徽·一模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 【答案】甲原本有37.5钱，乙原本有25钱 【分析】设甲原本有x钱，乙原本有y钱，根据若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲原本有x钱，乙原本有y钱， 根据题意得：， 解得：， ∴甲原本有37.5钱，乙原本有25钱． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程或方程组解应用题． (1)周瑜寿数：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小，个位上的数字的倍正好等于这个两位数，求这个两位数； (2)官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？诗的意思是：现共有官兵和尺布．每位官分尺布，位士兵共分一尺布，恰好分完．问官和兵各有多少人？若设官有人，兵有人，由题意可列方程组为：________________，解此方程组可知官有________人，兵有________人． 【答案】(1) (2) ；； 【分析】（1）设这个两位数十位上的数字是，个位上的数字是，列二元一次方程组解题即可； （2）设官有人，兵有人，列方程组求解即可. 【详解】（1）解：设这个两位数十位上的数字是，个位上的数字是， 根据题意得： 解得： 答：这个两位数是. （2）解：设官有人，兵有人， 由题意得：， 解得：， 即：官有人，兵有人． 【提升题型】 【题型6】整体代入法解特殊方程组 1.考点总结 思想：整体换元，简化复杂结构 适用：含相同整式（如2x+3y）的方程组 2.解题技巧 观察重复部分，直接看作整体 先求整体值，再求x、y 换元必回代，不丢原未知数 【例题6】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解：， 先将看作一个整体， 则整理①，得③， 将③整体代入②，得， 解得． 把代入③得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）（1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）仿照小军的“整体代入”法求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）， ②①得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）由②变形得：③， 把①代入③得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·福建厦门·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以 ， ， ， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【答案】(1) 原方程组的解是； (2) 原方程组的解是； (3) 原方程组的解是． 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （2），得，可得，，可得，可得，代入，可得，即可得原方程的解； （3），得，由，可得，从而可得，，可得，代入，可得，即可得原方程的解． 【详解】（1）解：， ，得， ∴ ， ，得 ， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （2）解：， ，得， ∴ ， ，得 ， ，得， ∴， 将代入，得， ∴原方程组的解是． （3）解：， ，得， ∵， ∴， ∴ ， ，得 ， ，得， 将代入，得， ∴原方程组的解是． 【题型7】含参数方程组的同解问题 1.考点总结 考点：同解→四个方程公共解→求参数 考查：方程解的公共性与参数计算 2.解题技巧 先联立不含参数方程求公共解 解代入含参数方程求字母 多个参数分步计算，不跳步 【例题7】.（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数．联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解；将公共解代入含的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵两个方程组解相同， ∴先解不含的方程组：， ①②得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含的方程：， ③④得：， 解得， 将代入④得：，求得， ． 【题型8】二元一次方程组解决行程、利润问题 1.考点总结 行程：路程=速度×时间，顺逆流/风模型 利润：售价-进价=利润，总价=单价×数量 2.解题技巧 画线段图/表格梳理速度、时间、路程 顺流=静水+水速；逆流=静水−水速 利润问题统一单位，注意“每/各” 【例题8】.（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组求解哥哥速度即可． 【详解】解：∵两人反向出发4分钟相遇， ∴速度和为米/分钟． ∵同向出发40分钟哥哥追上弟弟， ∴速度差为米/分钟． 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， 则 两式相加得， ∴． 故哥哥每分钟跑55米． 故选：A． 【变式题8-1】.（2026·宁夏银川·一模）春暖花开，某商店购进A，B两款春季服装，每件A款服装的售价比B款服装的售价少20元，已知售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元． (1)求A，B两款服装的销售单价； (2)若某一天A，B两款服装的销售总额要达到1800元，且每款至少售出1件，请写出所有可能的销售方案． 【答案】(1)A款服装的销售单价为80元，B款服装的销售单价为100元． (2)销售方案见解析 【分析】（1）设A款服装的销售单价为x元，则B款服装的销售单价为元，根据售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）设A款服装售出a件，B款服装售出b件，根据题意A，B两款服装的销售总额要达到1800元，可以列出相应的二元一次方程，然后根据每款至少售出1件，即可得到相应的销售方案． 【详解】（1）解：设A款服装的销售单价为x元，则B款服装的销售单价为元， ∵“售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元”， ∴ 解得， ∴A款单价为80元，B款单价为元； （2）解：设A款服装售出a件，B款服装售出b件， ∵总额达到1800元， ∴ ，即， ∵a为正整数， ∴必须是4的正整数倍， 当时：； 当时：； 当时：； 当时：； ∴所有可能的销售方案如下： 方案一：A款售出20件，B款售出2件； 方案二：A款售出15件，B款售出6件； 方案三：A款售出10件，B款售出10件； 方案四：A款售出5件，B款售出14件． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·安徽淮南·期末）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)万公里 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据后轮胎行驶6万公里时报废，可得出该种汽车每行驶1万公里时后轮胎的磨损为； （2）根据“原前轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为后轮胎后行驶y万公里的磨损”和“原后轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为前轮胎后行驶y万公里的磨损”，得到方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵该种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废， ∴该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为， 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 即前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 【题型9】二元一次方程组解决配套、工程问题 1.考点总结 配套：各部件数量成比例 工程：工作总量=效率×时间，常设为1 2.解题技巧 配套抓比例相等列方程 工程问题设效率为未知数 结果验证是否配套、符合总量 【例题9】.（25-26九年级下·北京·月考）一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 【答案】 1 2100 【分析】（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费=100×租住一人间的间数+150×租住三人间的间数，可得出关于的二元一次方程，结合均为自然数且，即可得出结论； （2）由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论． 【详解】解：（1）设该旅游团租住了x间一人间，y间三人间， 根据题意得：， 化简得：， ∴， 又∵均为自然数，且， 当时， ，不是整数； 当时， ，是整数； 当时， ，不是整数； 当时， ，不是整数； ∴， ∴他们租住了1间一人间． （2）设间一人间住男士，间一人间住女士，． 男士住一人间人，剩余男士人需要住三人间． 女士住一人间人，剩余女士人需要住三人间． 当时，男士：， ∴男士三人间数量为9， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为4， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； 当时，男士：， ∴男士三人间数量为8， 女士：， ∴女士三人间数量为5， ∴总费用为； ∴租住一晚的住宿房费最少为2100元． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． (1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； (3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 【答案】(1)辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货4吨 (2)共有种租车方案，方案：租用辆甲型车，辆乙型车；方案：租用辆甲型车，辆乙型车 (3)最省钱的租车方案为：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，列方程组求解即可； （2）根据共需要运送吨施工材料，可列二元一次方程，整理可得：，根据，均为正整数且，得到共有种方案； （3）分别计算两种方案所需费用，通过比较选择费用较少的方案． 【详解】（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 解得：， 答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨； （2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨， 依题意得：， 整理得：， ，均为正整数， 解得：或或或， 又， 共有种租车方案， 方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车， 方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车； （3）解：方案所需租金为（元）， 方案所需租金为（元）， ， 最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆， 答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·山东聊城·期中）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作总量，B队的工作总量；补全所列方程组见解析 (2)，A队整治河道120米，B队整治河道240米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． （1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解乙方程组即可． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间； 乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解：整理乙方程组，得 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴乙方程组的解为：， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【题型10】解三元一次方程组与应用 1.考点总结 思路：三元→二元→一元 方法：代入/加减消去一个未知数 2.解题技巧 优先消系数简单/缺项的未知数 消元后按二元方程组求解 三未知数全部求出，规范联立 【例题10】.（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组以及三元一次方程组，采用合理的解方程方法是解题的关键． （1）采用代入消元法解该方程即可； （2）采用加减消元法解该方程即可； （3）采用代入消元法解该方程即可； （4）采用加减消元法解该方程即可； 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 化简得，解得， 将代入得， 故方程组的解为． （2）解：， 由得， 化简得，解得， 将代入得， 故方程组的解为． （3）解：， 由得， 由得， 将、代入， 得， 解得， 将代入，得， 将代入，得， 故方程组的解为． （4）解：， 由得， 化简得， 由得， 化简得， 由得， 化简得，解得， 将代入得， 解得， 将、代入得， 故方程组的解为． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如：乙烷完全燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数是．若己烷完全燃烧的化学方程式是为常数），则的值分别是_________． 【答案】2，14，12 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组即可． 根据题意可以列出三元一次方程组，然后解答即可求得的值． 【详解】解：由题意，得：， ∴，将，代入， 解得：， 故答案为：2；14；12． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》的“方程”章中，有许多关于一次方程组的内容，在该章中有一道题：今有上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗．下等谷每束有________斗． 【答案】2.75 【分析】设每束上等谷可得粮食斗，每束中等谷可得粮食斗，每束下等谷可得粮食斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每束上等谷可得粮食x斗，每束中等谷可得粮食y斗，每束下等谷可得粮食斗 依题意，得： 解得 故答案为：2.75． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程是解题的关键． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 【培优题型】 【题型11】方程组解的性质探究 1.考点总结 探究：解为整数、正数、相反数等条件 考查：分类讨论、不等式与方程结合 2.解题技巧 先用字母表示x、y，再列限制条件 整数解看整除性，正负解列不等式 分类不重不漏，验证取值 【例题11】.（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 【答案】 【分析】直接两个方程相加，结合解互为相反数得到，整理代入列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴两个方程相加得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南开封·期末）关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为_____________． 【答案】 2 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的知识，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．已知方程组的解互为相反数，结合相反数的定义可得；将代入方程组的两个方程中，还可得到、；据此建立关于的方程，进而求得的值． 【详解】解：． 方程组的解互为相反数， ③． 将代入①，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ， ． 故答案为：2． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·安徽宣城·月考）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________． 【答案】11 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据题意得出是13的因数，且为正整数，从而确定是解此题的关键．①②得出，求出，根据方程组的解是整数和为正整数得出或，求出，再得出答案即可． 【详解】解：， ①②，得， ， 关于，的方程组的解是整数，是正整数， 或， 解得：或不是正整数，舍去）， 即． 故答案为：11． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可． 【详解】解：由方程组，得 ， ， ∵原方程组无解，且， ∴， 解得． 【题型12】新定义运算与二元一次方程组 1.考点总结 情境：新定义规则转化为方程组 考查：阅读理解、转化能力、规范计算 2.解题技巧 按定义把“新运算”写成代数式 联立方程组，用常规方法求解 紧扣定义，不超纲使用公式 【例题12】.（24-25七年级下·河北廊坊·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； （2）由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 【变式题12-1】.（24-25七年级下·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键； （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：． 【变式题12-2】.（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 【变式题12-3】.（24-25八年级上·北京·月考）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”或，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 或， ①当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ； ②当“相关倒反方程组”是时， ，， ∴，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 综上所述，该方程组的解为或． 同步练习 一、单选题 1．下列不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，故A符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，故B不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，故C不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，故D不符合题意． 故选：A． 2．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 3．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设耠子有个，耧有个， ∵耠子和耧共有个， ∴， ∵共有100条腿， ∴， ∴方程组为． 4．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】用加减消元法将两方程相减，并化简，又与已知条件相结合，得到关系，求解即可． 【详解】解：将方程组上面的方程减下面的方程得：， 化简得， 又因为， 所以， 解得． 二、填空题 5．把方程改写成用含的式子表示的形式，则______． 【答案】/ 【分析】将含的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧，整理即可得到结果． 【详解】解：根据题意，将方程改写成用含的式子表示的形式， 移项得． 6．若方程组的解也是方程的解，则_______ 【答案】 【分析】先利用消元法解方程组，得到，再将代入方程，进而求出的值． 【详解】解：方程组， 得：， 解得， 将代入①得：， 即方程组的解为， 将代入方程，可得， 解得：． 7．如果方程组的解，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查换元法求方程组的解，根据题意，易得方程组的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解 ∴方程组得解为，解得 故答案为：． 8．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 三、解答题 9．解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用代入消元法求解即可； （2）用加减消元法求解即可； （3）先将第一个方程去分母整理为整式方程，再用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 把①代入②得， 整理得， 解得， 把代入①得， 原方程组的解是； （2）解： ， ①②得， 解得， 把代入②得， 解得， 原方程组的解是； （3）解：， ①得 ③， ②③得， 解得， 把代入②得， 解得， 原方程组的解是． 10．小丽准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清． (1)她把“□”猜成2，请写出二元一次方程组的解为________； (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x与y的值相等．”请通过计算说明原题中“□”是几． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得二元一次方程组为，然后由代入消元法求解即可； （2）设“□”为，则该方程组为，由题意可知，将其代入①并求解，可得，故，再将代入②并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：若把“□”猜成2，则该二元一次方程组为， 由①可得③， 将③代入②，可得，解得， 将代入③，可得， ∴该方程组的解为； （2）设“□”为，则该方程组为， 根据题意，该题标准答案中x与y的值相等，即， 将代入①，可得，解得， ∴， 将代入②，可得，解得， 即原题中“□”是3． 11．临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 【答案】甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元 【分析】假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元，根据题意解方程组即可得出结果． 【详解】解：假设甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元， 根据题意可得方程组， 解得， 故甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价分别为元、元． 12．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 【答案】(1) (2)行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 【分析】（1）根据汽车前轮轮胎报废的里程和总磨损量可得答案； （2）设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里，根据两对轮胎同时报废，且报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵每个新轮胎报废时的总磨损量为1，且前轮轮胎在行驶6万公里时报废， ∴安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为； （2）解：设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里， 由题意得，， 解得， ， 答：行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 13．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 得，， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 14．某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 【答案】(1)正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人 (2)至少需要分钟，教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离 【分析】（1）设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据“李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人．”列出方程组，即可求解； （2）教学楼内全体师生在紧急情况下撤离所需的最短时间，即可求解． 【详解】（1）解：设正常情况下每个正门每分钟通过人，正常情况下每个侧门每分钟通过人，根据题意，得： ， 解这个方程组，得 答：正常情况下每个正门每分钟通过120人，正常情况下每个侧门每分钟通过80人． （2）解：师生共有人数为：（人）． 紧急情况下1分钟最多能撤离人数：（人）， 教学楼内全体师生在紧急情况下撤离时间至少为：（分钟）， ， 答：教学楼内全体师生在紧急情况下能安全撤离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 核心知识点 常考考点 高频易错点 二元一次方程（组）的概念 1.判定二元一次方程/方程组 2.识别三元一次方程组 1.忽略含未知数项次数为1 2.混淆未知数个数 3.含乘积项、高次项误判为一次 方程（组）的解 1.检验解的正确性 2.利用解求字母系数 1.代入计算出错 2.公共解理解错误 代入消元法 1.系数简单时优先代入 2.含整体结构代入 1.代入未消元 2.漏乘、符号错误 加减消元法 1.系数成倍数用加减 2.化系数为相反数/相等 1.两边未同乘一个数 2.加减时符号混乱 三元一次方程组 1.先消一元化为二元 2.选易消元快速简化 1.消元目标不明确 2.回代遗漏未知数 实际应用 1.行程、利润、配套、工程 2.数字、年龄、几何问题 1.等量关系找错 2.单位不统一、作答不规范 思想方法 1.整体代入、换元法 2.转化思想、分类讨论 1.不会整体观察 2.换元后忘记回代 【易错题型】 【题型1】二元一次方程（组）概念与解的易错题 1.易错点总结 含xy项、平方项仍判定为二元一次方程 方程组未知数个数≠2、次数≠1误判 把方程的解与方程组的解混淆 代入检验时计算错误 2.纠错技巧 判定三要素：2个未知数、次数均为1、整式方程 方程组满足：共2个方程、整体二元一次 解的检验：同时满足所有方程才是方程组的解 【例题1】.（25-26八年级上·安徽宿州·月考）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【基础题型】 【题型2】代入消元法解二元一次方程组 1.考点总结 核心：变→代→解→再代→联 适用：某未知数系数为±1 2.解题技巧 选系数简单方程变形，用一个未知数表示另一个 代入另一方程，严禁代回原方程 结果用大括号联立规范书写 【例题2】.（25-26七年级下·河南周口·月考）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【变式题2-2】.（24-25七年级下·山东潍坊·期末）解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（   ） A．，消去x B．由②得代入①，消去y C．，消去x D．由②得代入①，消去y 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东泰安·月考）按要求解方程组： (1)（代入消元） (2)； (3)；（加减消元） (4) 【题型3】加减消元法解二元一次方程组 1.考点总结 核心：化→加减→解→代→联 适用：同一未知数系数相等或相反 2.解题技巧 同系数相减、反系数相加 系数不成倍数时，两边同乘最小公倍数 每一步符号不变、不漏项 【例题3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为________；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为________． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组下列解法正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【变式题3-2】.（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 故原方程组的解为 【题型4】已知方程组的解求字母系数 1.考点总结 方法：解代入方程→构建新方程→求字母 考查：解的定义与逆向运算 2.解题技巧 解代入时严格对应x、y 多个字母联立成方程组求解 结果带回原式检验 【例题4】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于、的方程组的解满足与的值相等，则的值是_____． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题4-2】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为______． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为______． 【题型5】古代数学问题/文化情境应用题 1.考点总结 情境：古文译现代等量，文化+数学 考查：翻译、建模、传统文化理解 2.解题技巧 逐句翻译，把古文转为数学关系 设两个未知量，列标准二元方程组 作答贴合原题问法 【例题5】.（2026·辽宁鞍山·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·期中）《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·安徽·一模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程或方程组解应用题． (1)周瑜寿数：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小，个位上的数字的倍正好等于这个两位数，求这个两位数； (2)官兵分布：一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？诗的意思是：现共有官兵和尺布．每位官分尺布，位士兵共分一尺布，恰好分完．问官和兵各有多少人？若设官有人，兵有人，由题意可列方程组为：________________，解此方程组可知官有________人，兵有________人． 【提升题型】 【题型6】整体代入法解特殊方程组 1.考点总结 思想：整体换元，简化复杂结构 适用：含相同整式（如2x+3y）的方程组 2.解题技巧 观察重复部分，直接看作整体 先求整体值，再求x、y 换元必回代，不丢原未知数 【例题6】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【变式题6-2】.（25-26七年级上·广西崇左·月考）（1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·福建厦门·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单 ，得，所以 ， ， ， ，得，从而得， 所以原方程组的解是． (1)请你运用上述方法，解方程组； (2)请你运用上述方法，解方程组； (3)请你直接写出方程组的解． 【题型7】含参数方程组的同解问题 1.考点总结 考点：同解→四个方程公共解→求参数 考查：方程解的公共性与参数计算 2.解题技巧 先联立不含参数方程求公共解 解代入含参数方程求字母 多个参数分步计算，不跳步 【例题7】.（25-26八年级上·四川成都·期末）关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·四川达州·期末）若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【题型8】二元一次方程组解决行程、利润问题 1.考点总结 行程：路程=速度×时间，顺逆流/风模型 利润：售价-进价=利润，总价=单价×数量 2.解题技巧 画线段图/表格梳理速度、时间、路程 顺流=静水+水速；逆流=静水−水速 利润问题统一单位，注意“每/各” 【例题8】.（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【变式题8-1】.（2026·宁夏银川·一模）春暖花开，某商店购进A，B两款春季服装，每件A款服装的售价比B款服装的售价少20元，已知售出5件A款服装和6件B款服装的销售总额为1000元． (1)求A，B两款服装的销售单价； (2)若某一天A，B两款服装的销售总额要达到1800元，且每款至少售出1件，请写出所有可能的销售方案． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·广西崇左·期末）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【变式题8-3】.（26-27七年级上·安徽淮南·期末）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【题型9】二元一次方程组解决配套、工程问题 1.考点总结 配套：各部件数量成比例 工程：工作总量=效率×时间，常设为1 2.解题技巧 配套抓比例相等列方程 工程问题设效率为未知数 结果验证是否配套、符合总量 【例题9】.（25-26九年级下·北京·月考）一个39人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下3间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚150元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付150元．） （1）若该旅游团一晚的住宿房费为2050元，则他们租住了_____ 间一人间； （2）若该旅游团租住了所有剩余的一人间，且共有25名男士，则租住一晚的住宿房费最少为_____ 元． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨． (1)求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？ (2)现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案； (3)若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【变式题9-3】.（24-25七年级下·山东聊城·期中）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示_______，y表示：_______； 乙：x表示_______，y表示_______； (2)求出乙方程组的解，并回答两工程队分别整治河道多少米？ 【题型10】解三元一次方程组与应用 1.考点总结 思路：三元→二元→一元 方法：代入/加减消去一个未知数 2.解题技巧 优先消系数简单/缺项的未知数 消元后按二元方程组求解 三未知数全部求出，规范联立 【例题10】.（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【变式题10-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如：乙烷完全燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数是．若己烷完全燃烧的化学方程式是为常数），则的值分别是_________． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）《九章算术》的“方程”章中，有许多关于一次方程组的内容，在该章中有一道题：今有上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗．下等谷每束有________斗． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【培优题型】 【题型11】方程组解的性质探究 1.考点总结 探究：解为整数、正数、相反数等条件 考查：分类讨论、不等式与方程结合 2.解题技巧 先用字母表示x、y，再列限制条件 整数解看整除性，正负解列不等式 分类不重不漏，验证取值 【例题11】.（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南开封·期末）关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为_____________． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·安徽宣城·月考）已知关于x，y的方程组的解是整数，且是正整数，则___________． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【题型12】新定义运算与二元一次方程组 1.考点总结 情境：新定义规则转化为方程组 考查：阅读理解、转化能力、规范计算 2.解题技巧 按定义把“新运算”写成代数式 联立方程组，用常规方法求解 紧扣定义，不超纲使用公式 【例题12】.（24-25七年级下·河北廊坊·期末）定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【变式题12-1】.（24-25七年级下·北京西城·期中）关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【变式题12-2】.（24-25七年级下·湖南长沙·月考）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【变式题12-3】.（24-25八年级上·北京·月考）定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 同步练习 一、单选题 1．下列不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 3．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的值为（   ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 5．把方程改写成用含的式子表示的形式，则______． 6．若方程组的解也是方程的解，则_______ 7．如果方程组的解，则方程组的解为______． 8．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 三、解答题 9．解方程组： (1) (2) (3) 10．小丽准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清． (1)她把“□”猜成2，请写出二元一次方程组的解为________； (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x与y的值相等．”请通过计算说明原题中“□”是几． 11．临高县波莲镇的凤梨释迦以其高甜度和丰富营养被誉为“水果族”，某合作社销售该镇出产的甲、乙两种凤梨释迦，已知2箱甲种凤梨释迦和3箱乙种凤梨释迦的售价之和为440元，4箱甲种凤梨释迦和5箱乙种凤梨释迦的售价之和为800元，求甲、乙两种凤梨释迦每箱的售价． 12．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 13．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 14．某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题． 课题 测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼 方式 模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带． 地点 共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门． 数据收集 ①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的． 相关情况 教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生． 安全要求 紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离． (1)求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量； (2)教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？ 学科网（北京）股份有限公司 $