精品解析：四川省德阳市2026年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学试题题型示例

德阳市2026年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学试题题型示例 （满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题，共40分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用实数比较大小的基本规则：正数大于0和一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小即可得到答案． 【详解】解：∵正数大于0和一切负数， ∴排除正数1和0，只需比较两个负数和， ∵，，且， ∴， ∴， ∴最小的数是． 2. 春晚采用“主会场四地分会场”联动模式，其中哈尔滨分会场《冰雪暖世界》中，冰雕艺术家雕刻了一个圆柱体的冰雪建筑（如图所示），其主视图（ ） A. 圆 B. 三角形 C. 长方形 D. 五边形 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从正面看的图形，据此可得答案． 【详解】解：从正面看的图形是一个长方形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式运算法则与二次根式的性质，根据同类项合并规则、同底数幂乘法法则、积的乘方法则、二次根式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，可得，故B正确，符合题意； C、根据积的乘方法则，，故C错误，不符合题意； D、根据二次根式的性质，，当时，，故D错误，不符合题意． 4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：根据两直线平行，同位角相等，可得， ∵三角板的顶角是直角， ∴， ∴，故与不一定相等； 根据两直线平行，同旁内角互补，可得，， ∵与不一定相等 ∴与不一定相等； ∵， ∴不一定等于； 观察四个选项，选项D符合题意． 5. 七巧板又称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．现在由七巧板拼成一个飞镖盘，任意投掷飞镖一次且击中飞镖盘，则击中1号板块的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了几何概率计算．注意面积之比=几何概率．击中1号板块的概率等于1号板块面积与正方形总面积之比． 【详解】解：由图可知：1号板块面积等于正方形面积的， 所以击中1号板块的概率是． 6. 已知扇形的半径为3，弧长为，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知扇形的弧长和半径，直接利用扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 扇形半径，弧长， ∴ 代入扇形面积公式 ， 得． 7. 一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 8. 如图，是的直径，与相切于点B，连接，与圆交于点F，作，交于点D，若，，则长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，证明，由垂径定理求得，求得，解直角三角形求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，则三角形点阵中前行的点数和可能是（ ） A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】解：三角形点阵中前行的点数和为， 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是53； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是54； 当， 整理得：， ， ∴ 解得：，（舍去）， ∴前行的点数和可能是55； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是56． 10. 抛物线（如图所示），顶点坐标为，与轴的一个交点在0和之间．下列结论：①；②若，两点都在函数图象上，则；③；④关于的方程没有实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的对称轴和坐标轴的交点情况可对①进行判断；根据两点与对称轴的远近，可对②进行判断；当时，，于是可对③进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线没有公共点，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线，即， 抛物线与y轴的交点在原点上方，则， ∴，则①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，且， ∴，则②正确； ∵与轴的一个交点在0和之间， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，所以③正确； ∵抛物线与直线有一个公共点， ∴由图象可得，抛物线与直线没有公共点， ∴一元二次方程没有实数根， 即没有实数根，所以④正确． 综上，四个选项都是正确的． 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上．） 11. 晓东同学收集了小组6名同学的身高数据（单位：厘米）：166，171，165，175，168，166，这组数据的中位数是_______． 【答案】167 【解析】 【分析】先将数据按大小顺序排序，再根据数据个数的奇偶性计算中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为：165，166，166，168，171，175， 根据中位数的定义，中位数为排序后中间两个数的平均数，即． 12. 已知，则_______． 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可得，将所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式进行变形，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13. “漏窗”是花窗的一种，在园林“借景”艺术中最为常见，漏窗作为中式园林的“眼”，形式有方，横长，直长，圆，六角等．如图为一漏窗设计，已知图中两圆的面积差为，则正方形的面积为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，边心距，解直角三角形，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，取中点，则为正方形中心，两个圆的圆心，点为与小圆的切点，连接，结合两圆的面积差为，可得，再根据正方形面积公式即可解答． 【详解】解：连接，取中点，则为正方形中心，两个圆的圆心，点为与小圆的切点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴正方形的面积． 14. 数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，求得，得到，，设，解直角三角形求得，由，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 解得， ∴树的高度是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B向轴，轴作垂线，垂足分别为，，点为线段上一动点，为中点，为上一点，且满足，则取最小值时，F的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由已知易得，进而证明，根据所对的弦是直径可得点在以为直径的圆上，由此即可解题. 【详解】解：连接， ∵，为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴点是以为直径的圆上的点， 取的中点，连接交于， 当在时，最小， 如图所示，过作， ∵，轴，轴， ∴，，， ∴，， ， ∴是中点， ∴， 即取最小值时，F的坐标是 . 三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．） 16. 计算： （1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 经检验是方程的根． 17. 豆包作为2026年央视春晚独家云合作伙伴深度嵌入晚会互动，这不仅是字节生态的里程碑，更是（生成式引擎优化）领域的流量地震，我们将迎来“全民”时代．2026年春季，学校在全校范围内随机抽取了部分初中生利用问卷调查表就豆包使用情况进行调查． 调查问卷 亲爱的同学： 请根据自身实际使用情况如实填写，感谢你的支持和配合 1.你是否使用过豆包？ ○是 ○否 2.你的豆包的使用场景（只选最常用的一种使用场景，未使用过豆包不用作答本题） A.英语陪练 B.知识讲解 C.拍题答题 D.其他 学校收集整理问卷调查后得到600份有效问卷，并对它们进行统计，绘制了条形统计图和不完整的扇形统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）调查中使用豆包进行知识讲解的学生人数是______，拍题答题所在扇形的圆心角度数是_______． （2）该校学生共3000名，请估计全校学生使用豆包进行英语陪练的有多少人？ （3）现学校需要在使用豆包进行英语陪练的甲，乙，丙，丁四位同学中推荐2名同学参加全区的英语演讲比赛，请用画树状图或列表法计算出甲和乙同学同时被选上的概率． 【答案】（1）189，108； （2）全校学生使用豆包进行英语陪练的人数为675人； （3）． 【解析】 【分析】（1）用使用豆包的总人数乘以使用豆包进行知识讲解的学生人数所占的比例即可得出结果；用乘以拍题答题人数所占的百分比即可得出拍题答题所在扇形的圆心角度数； （2）用乘以全校学生使用豆包进行英语陪练的人数所占的比例即可得出结果； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：调查中使用豆包进行知识讲解的学生人数是（人）， 由扇形统计图可得：使用豆包进行英语陪练的圆心角度数为， 故使用豆包进行英语陪练所占的百分比为， 拍题答题所在扇形的圆心角度数是； 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校学生使用豆包进行英语陪练的人数为675人； 【小问3详解】 解：画树状图可得： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时选上的情况有种， ∴甲和乙同学同时被选上的概率为． 18. 已知正比例函数与反比例函数相交于，B两点． （1）求的值； （2）若，交第一象限反比例函数图象于点C，连接，平分，与直线相交于点D，求的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分别过点B，点C作轴平行线，与过点A作轴平行线相交于点F，点E， 过点D作，垂足为G，设，则，，证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，再证明，得到，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， 即， 把代入得； 【小问2详解】 解：分别过点B，点C作轴平行线，与过点A作轴平行线相交于点F，点E， 过点D作，垂足为G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴，，， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 19. 学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ （2）若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元 （2）一共有3种购买方案 【解析】 【分析】（1）设甲书柜单价为元，乙书柜单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设甲书柜购买个，乙书柜购买个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【小问1详解】 解：设甲书柜单价为元，乙书柜单价为元， 由题意可得： ， 解得： ， 答：甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元； 【小问2详解】 解：设甲书柜购买个，乙书柜购买个， 由题意可得： ， 解得： ， ∵为正整数， ∴或或， 故一共有3种购买方案． 20. 数学活动课通过折纸开展数学探究，【动手操作】如图1，将正方形对折，使与重合，展开纸片，得到折痕，再折叠纸片，使点A落在直线的H点处，折痕为． （1）求的度数； （2）【类比操作】如图2，为正方形边的中点，沿折叠，点A落在正方形内处，延长交BC于K，分别在，上取中点M，N，连接，若正方形边长为6，求线段的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，据此求解即可； （2）连接，过点作，设，由勾股定理列式计算求得，证明，求得，利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接 由题意得垂直平分， ， 翻折， ， ， ∴是等边三角形， ， 正方形， ， ； 【小问2详解】 解：连接，过点作， 翻折 ， 正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵正方形边长为6，为中点， ∴，， 由勾股定理得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，上中点M，N， ∴． 21. 如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）3． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求解即可； （3）过点作于点，作于点，求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，对称轴是直线， ∴，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作平行线，交抛物线于点，此时， 令， 则， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴设直线的解析式为， 联立解析式：， 解得：，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为3． 22. 如图1，的内接四边形对角线相互垂直，垂足为点，过点作，交于点． （1）若，，求； （2）如图2，连接并延长交于点，连接．证明四边形为平行四边形； （3）在（2）的条件下，若，，，求的直径． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）的直径为． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和四边形内角和定理即可求解； （2）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形为平行四边形； （3）先证明，，证明，求得，再利用平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：为的直径， ，， ，， ∴，， 四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 的直径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市2026年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试数学试题题型示例 （满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题，共40分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 春晚采用“主会场四地分会场”联动模式，其中哈尔滨分会场《冰雪暖世界》中，冰雕艺术家雕刻了一个圆柱体的冰雪建筑（如图所示），其主视图（ ） A. 圆 B. 三角形 C. 长方形 D. 五边形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 七巧板又称“七巧图”、“智慧板”，是汉族民间流传的智力玩具．现在由七巧板拼成一个飞镖盘，任意投掷飞镖一次且击中飞镖盘，则击中1号板块的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形的半径为3，弧长为，则扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图，是的直径，与相切于点B，连接，与圆交于点F，作，交于点D，若，，则长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，则三角形点阵中前行的点数和可能是（ ） A. 53 B. 54 C. 55 D. 56 10. 抛物线（如图所示），顶点坐标为，与轴的一个交点在0和之间．下列结论：①；②若，两点都在函数图象上，则；③；④关于的方程没有实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上．） 11. 晓东同学收集了小组6名同学的身高数据（单位：厘米）：166，171，165，175，168，166，这组数据的中位数是_______． 12. 已知，则_______． 13. “漏窗”是花窗的一种，在园林“借景”艺术中最为常见，漏窗作为中式园林的“眼”，形式有方，横长，直长，圆，六角等．如图为一漏窗设计，已知图中两圆的面积差为，则正方形的面积为_______． 14. 数学兴趣小组的同学，利用所学的“视角与坡度”的知识，设计了求斜坡上树AB高度的方案，用测量工具得到了相关数据：斜坡的坡度，坡长，在C处测得树顶端A的仰角为，D处测得树顶端A的仰角为，则树的高度是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，过点B向轴，轴作垂线，垂足分别为，，点为线段上一动点，为中点，为上一点，且满足，则取最小值时，F的坐标是_________． 三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．） 16. 计算： （1）计算：． （2）解分式方程：． 17. 豆包作为2026年央视春晚独家云合作伙伴深度嵌入晚会互动，这不仅是字节生态的里程碑，更是（生成式引擎优化）领域的流量地震，我们将迎来“全民”时代．2026年春季，学校在全校范围内随机抽取了部分初中生利用问卷调查表就豆包使用情况进行调查． 调查问卷 亲爱的同学： 请根据自身实际使用情况如实填写，感谢你的支持和配合 1.你是否使用过豆包？ ○是 ○否 2.你的豆包的使用场景（只选最常用的一种使用场景，未使用过豆包不用作答本题） A.英语陪练 B.知识讲解 C.拍题答题 D.其他 学校收集整理问卷调查后得到600份有效问卷，并对它们进行统计，绘制了条形统计图和不完整的扇形统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）调查中使用豆包进行知识讲解的学生人数是______，拍题答题所在扇形的圆心角度数是_______． （2）该校学生共3000名，请估计全校学生使用豆包进行英语陪练的有多少人？ （3）现学校需要在使用豆包进行英语陪练的甲，乙，丙，丁四位同学中推荐2名同学参加全区的英语演讲比赛，请用画树状图或列表法计算出甲和乙同学同时被选上的概率． 18. 已知正比例函数与反比例函数相交于，B两点． （1）求的值； （2）若，交第一象限反比例函数图象于点C，连接，平分，与直线相交于点D，求的长． 19. 学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ （2）若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 20. 数学活动课通过折纸开展数学探究，【动手操作】如图1，将正方形对折，使与重合，展开纸片，得到折痕，再折叠纸片，使点A落在直线的H点处，折痕为． （1）求的度数； （2）【类比操作】如图2，为正方形边的中点，沿折叠，点A落在正方形内处，延长交BC于K，分别在，上取中点M，N，连接，若正方形边长为6，求线段的长． 21. 如图1，抛物线与轴交于两点，对称轴是直线 ，图象与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线位于第二象限图象上的一点，连接，当时，求点的坐标； （3）如图2，点是线段上一动点，的坐标，连接，求的最小值． 22. 如图1，的内接四边形对角线相互垂直，垂足为点，过点作，交于点． （1）若，，求； （2）如图2，连接并延长交于点，连接．证明四边形为平行四边形； （3）在（2）的条件下，若，，，求的直径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $