期中复习专题——相交线与平行线压轴训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

相交线与平行线压轴训练 姓名：_____ 班级：_______ 1．已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点. （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系. （2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数. （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN－∠BDF的值不变. 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少. 2．已知：如图1直线、被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出结论； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数． 3．问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交CD的延长线于点G…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，FD平分．若，请直接写出的度数． 4．已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 5．已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3) 如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 6．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 7．如图1，直线与直线、分别交于点、，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是上一点，连接，作平分，若，求． 8．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题——拐点问题提升训练 姓名：_______ 班级：_____ 1．已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点. （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系. （2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数. （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN－∠BDF的值不变. 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少. 【答案】（1）∠C=∠1+∠2；（2）60°；（3）结论①的值不变是正确的. 【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C=∠1+∠2； （2）根据（1）中的结论可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）设∠CEG=∠CEM=x，得到∠GEN=180°-2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF=90°-x，据此可得的值不变． 【详解】解：（1）∠C=∠1+∠2． 理由：如图1，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CD∥MN， ∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2． （2）∵∠AEN=∠A=30°， ∴∠MEC=30°， 由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°， ∴∠PDC=90°-∠MEC=60°， ∴∠BDF=∠PDC=60°； （3）结论①的值不变是正确的， 设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x， 由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x， ∴∠BDF=90°-x， ∴ ==2（定值）， 即的值不变，值为2． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 2．已知：如图1直线、被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出结论； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）首先证明，即可证得； （2）作，由平行线的性质得到，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图2中，作 同理可证： ，， ，， ∴； （3）解：如图3中，设，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交CD的延长线于点G…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，FD平分．若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即． （2）证明：如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解∶如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过点作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）过点作，由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴． 5．已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，结合图形即可证明； （2）①过P点作，根据平行线的性质证明，同理可得，再利用角平分线的定义，结合邻补角的性质求解即可；②利用①的结论直接求解即可； （3）由（2）可得：，，结合已知条件，根据邻补角的性质求解即可 ． 【详解】（1）证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过P点作，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即， 同理可得：， 分别为，的角平分线 ，， ∴ 故答案为：； ②，理由是： 由①可得， ∴； （3）解：，理由是： 由（2）可得：， ∵， ∴ ∴ ． 即 6．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 7．如图1，直线与直线、分别交于点、，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是上一点，连接，作平分，若，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角、互补，所以易证； （2）利用（1）中平行线的性质推知，然后根据角平分线的定义、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证； （3）由（2）知，，，根据平行线的性质得，则，，再根据角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，∵与互补， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， 又∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 8．如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，再由可得出，据此得，进而根据平行于同一条直线的两条直线平行可得出结论； （2）由已知得，，再由（1）的结论得，，据此可求出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，再由得，由此得，然后由（1）的结论得，据此可得出，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】解决平行线间拐点问题的万能钥匙，是过拐点作已知直线的平行线，将拐角拆分为两组内错角，实现角的等量转化；第（1）问证得的基础结论，可直接复用至后续两问，体现了几何题“证一次、用多次”的高效解题逻辑，避免重复推导． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $