精品解析：重庆市万州第二高级中学2025-2026学年八年级下学期第一次综合素质测评数学试卷

万州二中初2024级八年级（下）第一次综合素质测评 数学试卷 （本卷共三个大题，满分150分，答题时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确的，请将正确答案填涂在答题卡上对应位置． 1. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列各图能表示是的函数的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若，，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 5. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为4，到轴的距离为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与的图象在同一坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 8. 若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 9. 如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个分式：：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③在第为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第为正整数）次操作的结果中：，． 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 花粉大小因种类而不同，变化很大．最小的花粉是紫草科的勿忘草，直径约为米，用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 14. 若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 15. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过_____秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为________． 16. 对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“创新数”，将一个“创新数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“创新数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和，，所以，．根据定义：______；若“创新数”（，，x，y都是正整数），也是“创新数”，且能被8整除．则满足条件的n的最大值为____． 三、解答题（本大题共9个小题，17题8分，18题8分，其余每小题10分，共86分）． 17. 解答下列各题： （1）计算： （2）解分式方程： 18. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 19. 先化简，再求值：，其中x是使不等式组成立的非负整数． 20. 一次函数（a为常数，且） （1）若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； （2）当时，函数有最大值10，请求出a的值． 21. 列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求出直线的函数解析式； （2）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 23. 如图，在长方形中，，，点E、点F分别为边、边上的点，，动点M从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止．设运动的时间为x秒（），的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与函数y的图象有2个交点，请直接写出m的取值范围． 24. 阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 25. 如图，在中，，，点是平面内一点，满足． （1）延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； （2）如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万州二中初2024级八年级（下）第一次综合素质测评 数学试卷 （本卷共三个大题，满分150分，答题时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）每个小题都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个正确的，请将正确答案填涂在答题卡上对应位置． 1. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分式的定义：如果A、B（B不等于零）是两个整式，且B中含有字母，那么就叫做分式，据此判断即可． 【详解】解：在，，，，中，属于分式的是， ，故分式的个数是2． 2. 下列各图能表示是的函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数是指对于变量的每一个确定的值，变量都有唯一确定的值与之对应，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：存在一个对应多个的情况，故A不符题意； 对于选项B：对于每一个的值，都有唯一确定的与之对应，故B符合题意； 对于选项C：存在一个对应多个的情况，故C不符题意； 对于选项D：存在一个对应多个的情况，故D不符题意． 3. 若，，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 分别计算出a、b、c、d的具体数值，再比较数值大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 又∵， ∴． 故选：B． 4. 如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 5. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为4，到轴的距离为2，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据第二象限点的坐标特征及点到坐标轴的距离规律求解． 【详解】解：∵点在第二象限，且点到轴的距离为4，到轴的距离为2， ∴点P的横坐标是，纵坐标是，即 故选：A． 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 7. 一次函数与的图象在同一坐标系中可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象，确定a，b的符号，看与的符号是否一致即可． 【详解】解：A、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论矛盾，故不符合题意； B、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论矛盾，故不符合题意； C、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论相矛盾，故不符合题意； D、由的图象可知，，；由的图象可知，，，即，两结论符合，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当，，函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，，函数的图象经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 8. 若整数a使得关于x的分式方程的解为非负数，且一次函数的图象经过一、二、三象限，则所有符合条件的a的和为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程，根据解为非负数且不是增根得到a的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、三象限的性质得到a的另一个范围，找出范围内所有符合条件的整数a，求和得到结果． 【详解】解分式方程， 得． ∵方程的解为非负数，且分母不为0 ∴且， 解得且． ∵一次函数的图象经过一、二、三象限，根据一次函数性质可得 解得， 综上可得且， 又是整数，因此符合条件的为， 计算所有符合条件的的和：． 9. 如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 10. 已知两个分式：：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③在第为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第为正整数）次操作的结果中：，． 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可．本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 可知，故选项①正确； 当时，，故选项②不正确； 当时，不是定值，故选项③不正确； ， ， ， ， ， ， ， 故选项④正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 花粉大小因种类而不同，变化很大．最小的花粉是紫草科的勿忘草，直径约为米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的正数可以用科学记数法表示，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可解答． 【详解】解：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 13. 线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标与点相同为； 设点的横坐标为， ∴， ∵点在点右侧，， ∴， 解得， 故点的坐标为， 故答案为：． 14. 若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，原式化简为，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵且a，b，c均不为0， ∴ ∴原式 . 15. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过_____秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为________． 【答案】 ①. 4 ②. 400 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图像及应用，二元一次方程组的应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键．根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方体铁块的体积，设注水的速度为，圆柱的底面积为，结合题意建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得，12秒时，水槽内水面的高度为，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为； 没有立方体时，水面上升从到，所用的时间为：秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满； 根据题意：正方体的体积为：， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意得：， 解得， 水槽的底面面积为． 故答案为：4；400． 16. 对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“创新数”，将一个“创新数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“创新数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和，，所以，．根据定义：______；若“创新数”（，，x，y都是正整数），也是“创新数”，且能被8整除．则满足条件的n的最大值为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“创新数”和的定义，计算可得；，根据n是“创新数”可得，，再根据能被8整除可得，能被8整除，故满足条件的只有：，和，两种情况，最后用是“创新数”验证确定x、y的值，代入即可得到n的最大值． 【详解】解：，去掉千位上的数字得到，去掉百位上的数字得到，去掉十位上的数字得到，去掉个位上的数字得到，这四个新三位数的和，，所以，； ，去掉千位上的数字得到的数是，去掉百位上的数字得到的数是，去掉十位上的数字得到的数是，去掉个位上的数字得到的数是，这四个新三位数的和，，所以，， 是“创新数”， ， ，能被8整除， 能被8整除， ，，x，y都是正整数且， 当时，，不是“创新数”，舍去； 当时，，是“创新数”，满足题意， 则， 满足条件的n的最大值为． 三、解答题（本大题共9个小题，17题8分，18题8分，其余每小题10分，共86分）． 17. 解答下列各题： （1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）原式分别化简立方根、零指数幂、绝对值、负整数指数幂后再加减合并即可得到结果； （2）先将分式方程整理后去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验分母是否为零，即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 整理原方程，得， 方程两边同时乘最简公分母，得， 整理得， 解得， 经检验，当时，， 所以原分式方程的解为． 18. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②等边对等角；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论． 【小问1详解】 解：补全的图形如图所示； 【小问2详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴， ∴（等边对等角）． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形． 19. 先化简，再求值：，其中x是使不等式组成立的非负整数． 【答案】； 【解析】 【分析】先解不等式组，求得不等式组的非负整数解，再化简所要求的式子，然后选择使分式有意义的值代入即可求解． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式的解集为， ∴非负整数解为， ， ∵要使分式有意义， ∴，，即，， ∴当时，原式． 20. 一次函数（a为常数，且） （1）若将该直线向下平移2个单位长度后过点，求a的值； （2）当时，函数有最大值10，请求出a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移规则求出新的函数解析式，待定系数法求出的值即可； （2）分和两种情况，结合一次函数的性质，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，平移后的解析式为， 把点代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：当时，则随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 当时，则随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最大值，为，解得； 综上：. 21. 列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 【答案】（1）A款人形机器人120台，B款人形机器人80台 （2）150台 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程和分式方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设该厂每月生产B款人形机器人x台，A款人形机器人台，根据题意列出方程求解即可； （2）设改造后，B款人形机器人每月增产y台，A款人形机器人每月增产3y台，根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该厂每月生产B款人形机器人x台，A款人形机器人台． ， 解之得：， ∴． 答：该厂每月生产A款人形机器人120台，B款人形机器人80台． 【小问2详解】 解：设改造后，B款人形机器人每月增产y台，A款人形机器人每月增产3y台． ， 解之得：， 经检验知：是原方程的解，且符合题意． ， 答：改造后每月可生产A款人形机器人150台． 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点． （1）求出直线的函数解析式； （2）若点是直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）先根据求出A、B两点坐标，从而求出点M，用待定系数法求解即可； （2）先求得，再利用，得到，求得或，据此计算即可求出坐标． 【小问1详解】 解：∵函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， ∵点是直线上一点， ∴或， ∴点的坐标为或． 23. 如图，在长方形中，，，点E、点F分别为边、边上的点，，动点M从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点C运动，到达点C时停止．设运动的时间为x秒（），的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若直线与函数y的图象有2个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积以及点的位置，分类讨论，列出函数表达式即可求解； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，， 当时，点M在上， ， 则； 当时，点M在上，如图， ，，， ∴ ； ∴y关于x的函数表达式为 【小问2详解】 解：列表 描点连线，如图所示， 性质：当时，取得最大值；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：如图 当时，直线与函数y的图象有1个交点； 当时，直线与函数y的图象有2个交点； 当时，直线与函数y的图象有1个交点； ∴直线与函数y的图象有2个交点，m的取值范围为． 24. 阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． （2）已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． （3）已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】（1）A与B互为“关联分式”，关联值 （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【小问1详解】 解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； 【小问2详解】 解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 25. 如图，在中，，，点是平面内一点，满足． （1）延长交直线于点，过点作交直线于点． ①如图1，若，且，求的长； ②如图2，延长交直线于点，连接，若，求证：； （2）如图3，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）①；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①首先证明，推出是等腰直角三角形，可得结论； ②如图2中，过点A作于点H，交于点T，证明，推出，证明，推出，再证明，可得结论； （2）如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．证明点M在线段的垂直平分线上，设垂足为Q，当线段的垂直平分线时，的值最小，设交于点J（如图3-2中），求出，，可得结论． 【小问1详解】 解：①如图1中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，而， ， ， ； ②证明：如图2中，过点作于点，交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即, ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图3-1中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，． ， ， ，， ， ， ， ， 点M在线段的垂直平分线上， 设垂足为Q，当时，的值最小， 设交于点J（如图3-2中）， ∵，， ， ∵， ，， ， ，， ∵，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质、勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $