题号猜押06 重庆中考数学10题和16题（代数证明与阅读材料）（重庆专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押06重庆中考数学10题和16题 押题预测 考点1代数正明 1.(2026重庆江津中学一模)己知整式M=a。+ax+a2x2+…+a-x"+anx“,其中n,4,a1,…,a ,an为正整数，且a,<a1<a2<…<an-1<an,且a,·a1·a2…a-1an=A,下列说法正确的个数是() ①若多项式M可以为二次三项式，则A的最小值为6： ②若A=12,满足条件的整式M的个数为6： ③当A=10且n=1时，记满足条件的整式分别为M1,M2,.,Mm,则关于x的方程 M+以，+W=18的解为x=1或=或x=- A.3 B.2 C.1 D.0 2.(2026重庆南开中学一模)已知整式M:anx”+a-x"-+…+ax+a。,其中n为正整数，a,an1,, a均为整数，且满足an>a->…>a>a,,记：k=a+a-1+…+a+a,k为偶数.下列说法： ①若n=1,a1=-4,则满足条件的整式M共有2个，其中有1个单项式： ②若k=26,且函数y=M的图象与x轴有交点，则满足条件的整式M共有8个； ③若n=4,a,>0(i=0,1,2,3,4),a4≤7，则满足条件的整式M共有9个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知整式M:a,x”+a-x-+…+a,x+a,其中n,an为正整数，a1,…,a，a为整数且1≤a≤3 (i=0,1,2…n),若M中各项系数之和为A,M中各项次数之和为B,满足A·B=6,下列说法： ①符合条件的n的最大值为3： ②当n=2时，满足条件的所有整式M的和为28x2; ③若a≤a1≤a2≤…≤am,则满足条件的整式M共有13个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.己知整式A:a。+ax+a2x2+…+anx”,其中a为自然数，n,a,a2,,an为正整数，且 n+a0+41+a2+…+an=7.下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式： ②当n=3时，满足条件的所有整式A的和为4x3+4x2+4x; ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共6个. 其中正确的个数是()个 A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2026重庆巴蜀中学一模)己知整式M=a,x"+a-x"-+…+a1x+a,(an≠0)，其中n为正整数，a (i为整数，0≤i≤n)均为整数，a,<a1<<am-<an,记P=a后+am-2+…+a,2+a6，且P≤20，下列说 法中，正确的个数为() ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当n=2,P=20时，所有满足条件的整式M之和的最小值为 10 ③当n=4时，满足条件的整式M共有12种. A.0 B.1 C.2 D.3 考点2阅读材料 1.(2026重庆南开中学.一模)我们规定，若一个四位正整数M=abcd的各个数位数字互不相同，且满足 千位数字比百位数字大4，则称这个四位数为“差四数”.例如：四位数7306，因为7-3=4，所以7306是“差 四数”.按照这个规定，最小的“差四数”是一·一个“差四数”M=abcd,记F(M)=abc+dcb，,若 F(M)被33整除，且PM是完全平方数，则所有满足条件的正整数M的和是」 33a 2.(2026重庆铜梁一中.一模)一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百 位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数4136,4=1+3且6=2×3， 4136是“融合数”，如数5186，：5≠1+3,5186不是“融合数”，则最小的“融合数”为；将“融合数” N的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数'，记 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F(N)=N-N' 9，将数'的千位数字去掉后得到的三位数记为，若F(N+m'能被9整除，则满足条件的 所有N的值的和为 3.(2026重庆鲁能巴蜀中学.一模)我们规定：一个各数位数字均不为零且互不相等的四位数M=abcd, 若满足b+a=100,则称这个四自然数为百合数，记FM=ad+bc,GM=,例如：四位数 5347,因为53+47=100，所以5347是“百合数”；四位数4257，因为42+57=99≠100，所以4257不是“百 合数”.按照这个规定，最小的“百合数”是；一个“百合数”N=1000s+100t+10p+20+9(其中 9飞1391SP≤飞9≤9，目，p,9均为整数)·若是整数，则所有足条件的 的值之和为 4.(2026重庆八中.一模)如果一个四位数M=abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数 字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”.将一个三位数记作M1,M的十位数字作为三位 数M,的百位数字，三位数M,的十位数字是0，M,的个位数字与M的个位数字相同，记Q(M)=M-M, 10 例如：四位数1634，：1+6≠8,1634不是“能源数”.又如：四位数5349,5+3=8,5349是“能源数”， Q5349=5349409=494.若A是最小的能源数，则Q(A)是，若对于能源数M,Q(M能 10 被1整除，记GM-c-a+4,则当G(M)为整数时，“能源数M的最大值是一 c-b 5.(2026重庆巴蜀中学.一模)一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与 个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”.将M的千位与个位数字调换位置，百位 与十位级字调换位置，每到个箭的数M,记FM-0,则F3968=一，若联腹数 N=1000a+100b+150c+d-298(a,b,c,d均为整数，且1≤a≤9,0≤b≤8,3≤c≤4,0≤d≤7)， 记N的各个数位上的数字之和为G(N),若G(N)为完全平方数，且F(N为整数，则满足条件的所有N的 2b+1 值之和为 通关特训 1.(2026重庆育才中学中考模拟)己已知整式M:anx+an-x"-+…+a,x+a。,其中n为正整数，an为自然 数，a,a1,0m-2,an1均为整数，若满足a+a1+a2+…+an=n2，-3≤a≤a1≤…≤an≤3，下列说法： ①满足条件的M中只有2个单项式： 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②n的最大值为3； ③当n=2时，满足条件的M有9个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2026重庆铜梁一中.一模)已知关于x的整式P。=amx+am-x-+…+ax+a,其中m为正整数，a,为 自然数，a,42,，am为正整数，且满足m+am+am-1+…+a1+a=7.下列说法： ①当m=3,x=1时，所有满足条件的整式的值的总和为15； ②若规定a,a,a2,,am均为正整数，则m的可能取值有3种； ③若L。=(1+3x)”，则0s的所有奇次项系数之和为4(-2m 2 其中正确的个数为()· A.0 B.1 C.2 D.3 3.己知整式M:ax”+a-x-+…+ax+a,其中n为正整数，an,an1,,a1,a均为不等于0的整数. 若a+a后，+…+a+a≤3n,下列说法： ①满足条件的整式M中只有2个一次二项式： ②当n=2时，满足条件的整式M中，有6个多项式使得a2+a1+a=0成立； ③当n=3时，所有满足条件的整式M的和为0. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2026重庆古南中学一模)己知整式M=anx”+a-x-+…+ax+a,其中n为自然数， an≥an-…≥a1≥ao,其中an为正整数，a,a1,,an均为整数，若n0a·0。=6,下列说法①没有满 足条件的单项式(：②，=2时，M有最小值-：③所有满足条件的整式有10个。正确的个数有《） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.己知整式M=anx"+a-x"+…+a,x+a,其中n,an是正整数，a,41,,a1为整数，且 a。<a,<…<an-1<an.记P=an+a-+…+a,+a且P≤2n,下列说法正确的个数有() ①在所有满足条件的整式M中，单项式共有2个： 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当m=2且P=2n时，所有满足条件的整式M之和的最小值为-43 48 ③当n=3时，满足条件的整式共有15个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(2026重庆万州二中.一模)已知整式M:a。+a,x+…+a-x"-+anx”,其中n为自然数，a,a,an1, a,均为正整数，且a,<a1…a-1<an,下列说法：①当n=2,a2=5,且a,为奇数时，则满足条件的所有整 式M的和为10x2+6x+3;②若an=4且a为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有3个；③当an=5时， 满足条件的所有整式M有18个.其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 7.(2026重庆鲁能巴蜀中学.一模)已知整式M:a。+ax+a2x2+…+anx,其中a为自然数， n,a1,a2,,an为正整数，且a+a1+a2+…+an=5.下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且只有1个单项式： ②若a,>a-1(i为正整数)，则满足条件的所有整式M有6个： ③若a1·a2·a3·.·an=4,则满足条件的所有整式M的和为5x3+15x2+20x+10. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 8.己知整式M:anx”+an-x-+…+ax+a。,其中n为非负整数，系数均为正整数，且整式M满足 a,>a-1>…>a1>a,对于任意k=1,2,,n,都有a,能被ak-整除，若M最高次项系数为8，下列说 法： ①当n=2时，满足条件的M有且仅有3个； ②当n=3时，满足条件的M有且仅有2个； ③所有可能的M共有8个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 9.(2026重庆育才中学中考模拟)对于一个四位数M,若满足将M的千位数字作为两位数N的十位数字， 将M的个位数字作为两位数N的个位数字，且两位数N等于M的百位数字与十位数字的平方差，则称M 为“方距数.若“方距数M的百位数字为9，十位数字为3，则M=；若A=abcd为“方距数，规定： 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P4④=号，G-6+c+ ,F(4)为整数，G(A)为完全平方数，满足条件的A的值是 b+c 10.(2026重庆巴蜀中学.一模)数字9”在中文里与长久、永恒等概念紧密相连，而“重九”（即：99）更是 被视为吉祥的数字，代表着幸福、顺遂和成功.我们规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数 M·如果将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A,再将M的千位数字和百位数字去掉后得到 一个两位数B,若满足：A+B=99,那么称这个四位数为“重九数”，则最小的“重九数”为；对于“重 M荐将干位与个位交换，十位与百位交换，得到男一个四位数M,设FM+M若M 一个“重九数”，且F(M)能被6整除，则所有满足条件的“重九数”中，最大数与最小数的差为。 11.两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“友好数”.例如：37 和82，它们各数位上的数字之和分别是3+7,8+2，：3+7=8+2=10，.37和82互为“友好数”.又如： 123和51，它们各数位上的数字之和分别是1+2+3,5+1,1+2+3=5+1=6，.123和51互为“友好数”. 103的所有两位数的“友好数”中最大的是 ;若两个不同的三位数m=100a+40+b,n=200+10c (1≤a≤5,0≤b≤5,0≤c≤9，且a、办、e为整数)互为友好数，且m-n是11的倍数，记P-,求 P的所有值的和是 12.(2026重庆八中.一模)一个四位自然数M=abcd,若满足a+c=b+d=10,则称这个四位数为“灵动 数”，例如：四位数3674，因为3+7=6+4=10，所以3674为“灵动数”，按照这个规定，最小的“灵动数” 是 ;一个“灵动数”M=abcd,将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置， 得到一个新的数M'=badc,记FM)=M-M', 391，G(M)=M+M.若GM-206 11 FM 能被3整除，ac+bd 13 为整数，则满足条件的M的值是 13.(2026重庆育才中学一模)对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数 字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小k(k为正整数)，则称该数为“k元数”.对“k元数”M, 将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数M',规定：FM)=M+M.若 11 四位数N=1n27是一个“5元数”，则F(N)的值为 ·若P是一个“2元数”，且2F(P)被P的各个数位 上的数字之和除，余数是2，则满足条件的P的最大值为 14.规定：若一个四位数M=1000a+100b+10c+d各个数位上的数字互不相等且均不为零，千位数字的平 方加上百位数字等于十位数字与个位数字组成的两位数，即a2+b=10c+d,则称这样的四位数M为平方 和数”.例如：四位数4521，因为42+5=21，所以4521是“平方和数”.按照这个规定，最小的平方和数” ·若“平方和数”M能被7整除，且k2=10a+b+10c+d+15(k为整数)，则满足条件的四位数M 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是 l5.(2026重庆万州二中.一模)一个四位自然数M=abcd满足各数位上的数字均不为0，且a+b=c-d, 称这个四位数为“平衡数”.例如：四位数3591，：3+5=9-1,3591是“平衡数”.最大的平衡数”是一： bcd是一个平衡数，设FM=。C，且FM-bd+1Oa能被7整除，则满足条件的M 值是一· 26.(2026重庆育才中学一模)一个四位自然数M=abcd(其中a,b,c,d均为整数，且1≤a,b, ,d≤9)，若满足a+d=b+c=13,则称M为亲和数”，如：四位数4679，：4+9=6+7=13，.4679 是“亲和数”； (1)已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的2倍，百位数字比千位数字大4，则这个“亲和数”为 (2)一个“亲和数”M=abcd,将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数N,记Q(M)=M-N, 111 QM)+5a+b-4被11整除，3ad+bc被13除余2，则满足条件的M的值为· 7/7 题号猜押06 重庆中考数学10题和16题 考点1 代数证明 1．（2026·重庆江津中学·一模）已知整式，其中，，，…，，为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若多项式可以为二次三项式，则的最小值为6； ②若，满足条件的整式的个数为6； ③当且时，记满足条件的整式分别为，，…，，则关于的方程的解为或或． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：验证①：若为二次三项式，则，需3个不同正整数满足， 最小的3个不同正整数为，且， 的最小值为，①正确； 验证②：，由题为正整数，按分类讨论： 当时，需两个不同正整数满足， 可得或或，共3个整式； 当时，需三个不同正整数满足， 可得或，共2个整式； 当时，最小的个不同正整数乘积为，无满足条件的整式； 总个数为， ②错误； 验证③：当，，找不同正整数满足，得 或 对应，，方程为，分段讨论： 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 当时，原方程化为，解得，不满足要求，舍去； 当时，原方程化为，解得，符合条件，是解； 方程的解为或，不存在这个解，③错误， 综上，正确的说法只有1个． 2．（2026·重庆南开中学·一模）已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法： ①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式； ②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个； ③若，，，则满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：当，，是偶数， 故是偶数，由，故， 故满足条件的整式共有3个，，其中有1个单项式， 故①错误； 当，， 当时，，由， 故，；或，； 且函数，的图象与轴有交点， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 可得， 由，故异号，符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由，， 故， 符合题意的函数有，，，， 此时这些函数对应的4个整式都符合要求； 当时， 由， 且，故， 符合题意的函数有，，，，，，，， 此时这些函数对应的8个整式都符合要求； ，都不符合要求； 则满足条件的整式共有20个 故②错误； 当，，， 且是偶数，则有， 则，为整数， 故只能取， 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为偶数，故必须是奇数，故，此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 当时，，且为偶数， 故是偶数， 当时，此时三数和为偶数，故必须是偶数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，此时三数和为奇数，故必须是奇数，故 此时符合要求的整式M有1个； 当时，，且为偶数， 故是奇数， 当时，此时三数和为奇数，故必须是偶数，不存在； 共7个，故③错误. 3．已知整式，其中n，为正整数，，…，，为整数且（）．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足．下列说法： ①符合条件的n的最大值为3； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③若，则满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵所有满足， ∴所有系数都不为0， ∴各项次数之和，， ∵，A是整数和， ∴，且B是6的正因数； 验证①：若，则，不是整数，不成立， 若，则，，成立， ∴n的最大值为，故①正确； 验证②：当时，， ∴，即， ∴的解为，，，，，，，，，，，，，，共有14组解， ∴所有整式的和为 ，故②正确； 验证③：当时，，，， ∴的解为，共1个， 当时，，，， ∴的解为，，，，共4个， 当时，，，， ∴的解为，，，，，，，，共8个， 当时，，，不是整数，不符合题意， ∴， ∴总共有（个），故③正确， 综上，正确的个数是3． 4．已知整式，其中为自然数，n，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共6个． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：验证①：∵为自然数，n，，，…，为正整数， ∴当时，则有，即， ∴当，时，整式A为，当时，整式A不可能为单项式， 当时， ∵，，，为正整数， ∴整式A不可能为单项式， ∴满足条件的所有整式A有且仅有1个单项式，故①正确； 验证②：当时，，即， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式A的和为，故②错误； 验证③：∵多项式为二次三项式， ∴， ∴且， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， ∵， ，当时，， ， ∴，两种都满足条件， 当时，， ∴的解为，， ∴对应的整式A为，， ∵，， ∴，都满足条件， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵， ∴满足条件， 当时，不存在符合条件的整式， 综上，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共有5个，故③错误， ∴正确的个数是1个． 5．（2026·重庆巴蜀中学·一模）已知整式（），其中n为正整数，（i为整数，）均为整数，，记，且，下列说法中，正确的个数为（    ） ①在所有满足条件的整式M中，有且只有4个单项式； ②当，时，所有满足条件的整式M之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式M共有12种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①∵是单项式，则只有一个非零系数， ∵，故仅，其余． 当时，，不满足，排除； 当时，仅，则，满足， ∴，， ∴正整数或2或3或4，共4个单项式，故①正确； ②当，时，，， ∵（i为整数，）均为整数，，且， ∴或或 ∴或或 ∴所有满足条件的整式M之和为 ∵ ∴抛物线开口向上 ∴二次函数的最小值为，故②正确； ③当时，，， ∵（i为整数，）均为整数，， ∴或或或或或或或或或或或， ∴满足条件的整式M共有12种，故③正确． 综上，正确个数为3． 考点2 阅读材料 1．（2026·重庆南开中学·一模）我们规定，若一个四位正整数的各个数位数字互不相同，且满足千位数字比百位数字大4，则称这个四位数为“差四数”．例如：四位数7306，因为，所以7306是“差四数”．按照这个规定，最小的“差四数”是______．一个“差四数”，记，若被33整除，且是完全平方数，则所有满足条件的正整数M的和是______． 【答案】 4012 【详解】解：四位正整数为“差四数”，则，当时， a最小，且为，由四位正整数的各个数位数字互不相同， 最小为1，此时d最小为2，故最小的“差四数”为4012； 根据题意，得“差四数”的千位数字a满足， 根据题意，得 ， 被33整除，且， 故一定被11整除，且， 故， ， ， 被33整除，且， 一定是3的倍数， 根据题意，得，，a、b、c、d互不相同（即b、c能同时取最大值）， ， ， ， ， ， ， 是完全平方数， 是完全平方数， 之间的完全平方数只有4和9， 或， 或， 或 或， 或， 或， 或， 故符合题意的M为和， 故． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______． 【答案】 【来源】重庆市铜梁区铜梁一中2025-2026学年九年级下学期一模数学试题 【分析】本题主要考查整式的加减，列代数式，根据“融合数”的定义可得出各数位上最小的数，分别求出、、及，根据能被9整除，即可得解． 【详解】解：设这个四位数为，则，，当最小为时，最小为；最小为时，最小为， ∴最小的“融合数”为； 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵ ∴能被整除， 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取或，取，取或，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； ∴该情况下为； 当取时，能被整除， 则可取，取，取，不满足题意要求； 当取时，能被整除， 则可取，取，取， ∴该情况下为； 综上，满足条件的的值总和为 故答案为：；． 3．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·一模）我们规定：一个各数位数字均不为零且互不相等的四位数，若满足，则称这个四位自然数为“百合数”．记，．例如：四位数5347，因为，所以5347是“百合数”；四位数4257，因为，所以4257不是“百合数”．按照这个规定，最小的“百合数”是________；一个“百合数”（其中，且s，t，p，q均为整数）．若是整数，则所有满足条件的N的值之和为________． 【答案】 1387 3962 【详解】解：由题意知，要使“百合数”最小，则千位数取， ∵，四位数且各数位数字均不为零且互不相等， ∴当时，则，此时不符合题意， 当时，则，此时符合题意， ∴最小的“百合数”是1387； 由可得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵“百合数”，其中，且s，t，p，q均为整数， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， 要使为整数， 此时分情况讨论： ①当时，，此时，，， ∴满足要求； ②当时，，此时，，， ∴满足要求； ③当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ④当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ⑤当时，，不存在对应的t，p，q值，舍去； ⑥当时，，此时，，， ∴，由于t，q重复，故不满足要求， ∴满足条件的N的值之和为：． 4．（2026·重庆八中·一模）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之和为8，那么称这个四位数M为“能源数”．将一个三位数记作，M的十位数字作为三位数的百位数字，三位数的十位数字是0，的个位数字与M的个位数字相同，记，例如：四位数1634，，不是“能源数”．又如：四位数5349，，是“能源数”，．若A是最小的“能源数”，则是________；若对于“能源数”M，能被11整除，记，则当为整数时，“能源数”M的最大值是_______． 【答案】 152 6298 【详解】解：由题意得，，且和， ∵A是最小的“能源数”， ∴千位最小取1， ∵， ∴， ∴十位最小取2，个位最小取3， ∴最小能源数， 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴ ， ∵要让能被11整除， ∴必须也能被11整除， ∵， ∴的范围是，是的非零数字， ∴当，时， ， 当，时， ， ∴， ∴在到8之间，能被11整除的数有0、、、、、、， ∴当时，则， ∴，； 当时，则， ∴（舍去），时（舍去）； 当时，则， ∴时， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时（舍去）， 当时，则， ∴时（舍去），时， 当时，则， ∴时， ∴当，时，， ， ∴“能源数”M为； 当，时，， ∴“能源数”M为； 当，时，， （不是整数，舍去）； 当，时，， ， ∴“能源数”M为， ∴， ∴最大的“能源数”为时， ∴． 5．（2026·重庆巴蜀中学·一模）一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“骐骥数”．将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则________，若“骐骥数”（a，b，c，d均为整数，且，，，），记N的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有N的值之和为________． 【答案】 【详解】解：，调换后，则： 已知，且，所有数位数字互不相等且不为0： 若：，十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若：，设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 骐骥数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ 数位和，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴，即为整数， 又∵结合数位互不相等， 当，时，数位为，符合条件，； 当，时，数位为，符合条件，； 所有满足条件的的和为 1．（2026·重庆育才中学·中考模拟）已知整式M：，其中n为正整数，为自然数，均为整数，若满足，，下列说法： ①满足条件的M中只有2个单项式； ②n的最大值为3； ③当时，满足条件的M有9个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】2026年重庆育才中学九年级中考模拟试题数学试卷 【分析】根据题目给定的条件，逐个分析三个说法，利用不等式枚举验证得到各说法的正误． 【详解】解：①∵为自然数，均为整数， ∴当为单项式时，此时都为0，故， 又∵，为自然数， ∴，满足条件的中只有一个单项为，故①错误； ②∵，， ∴的最大值为， ∴， 解得正整数， 当时，可取，此时满足，为自然数，且， ∴可以取到， ∴n的最大值为3，故②正确； ③当时，， ∵， ∴，分两种情况： 当时，符合的组合有，共5个； 当时，符合的组合有，共2个； 合计个，不是9个，故③错误． 综上，正确的说法只有②． 2．（2026·重庆铜梁一中·一模）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【来源】重庆市铜梁区铜梁一中2025-2026学年九年级下学期一模数学试题 【详解】解：对于①：当时， ∵， ∴， ∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵为自然数， ∴或， 当 时，， ∴，此时当时，， 当 时，， 正整数解共有，，三种，这三种情况对应的的值均为， ∴所有满足条件的整式的值的总和为，故①错误； 对于②：∵，，，，均为正整数， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，，共有种可能取值，故②正确； 对于③： ∵， ∴， 设的所有奇次项系数之和为，所有偶次项系数之和为， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 得， ∴，故③正确； 综上，正确的说法有个． 3．已知整式：，其中为正整数，，，…，，均为不等于0的整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中只有2个一次二项式； ②当时，满足条件的整式中，有6个多项式使得成立； ③当时，所有满足条件的整式的和为0． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①当是一次二项式时，，且，，均为非零整数， 由条件得 ， ∵非零整数的平方最小为，若任意一个系数绝对值，则平方，总和必大于， ∴，，共有个不同的一次二项式，故①错误． ②当时，得，且都为非零整数，满足， 若任意一个系数绝对值，则平方；若三个系数绝对值都为，平方和为，但三个奇数的和为奇数，不可能等于偶数， ∴只能有一个系数绝对值为，另两个系数绝对值为，平方和为，满足条件， 当绝对值为的系数是正数时，另两个系数为负数，共有种不同情况；当绝对值为的系数是负数时，另两个系数为正数，共有种不同情况， 一共个满足条件的多项式，故②正确． ③ 当时，若整式满足条件， 则整式的所有系数也都是非零整数，且，也满足条件， ∵，所有满足条件的整式可两两配对，因此所有满足条件的整式的和为，故③正确． 综上，正确的说法共个． 4．（2026·重庆古南中学·一模）已知整式，其中为自然数，，其中为正整数，，，，均为整数，若，下列说法没有满足条件的单项式；时，有最小值；所有满足条件的整式有个．正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：∵，，为自然数，为正整数， ∴取1，2，3，6， 若是单项式，则除最高次项外其余系数均为0，乘积， 因此没有满足条件的单项式，①正确． 当时，， ∴， 所有满足的有：或或， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为； 当时，，最小值为， ∴时，有最小值为，正确； 枚举所有满足条件的整式： 时，，满足条件的整式有，，共个； 时，由得：满足条件的整式有个； 时，，即，满足条件的整式有，，，共个； 时，，即，满足条件的整式有，，，，共个， 总共有个，错误． 综上，正确的说法有个． 5．已知整式，其中，是正整数，，，…，为整数，且．记且，下列说法正确的个数有（   ） ①在所有满足条件的整式中，单项式共有2个； ②当且时，所有满足条件的整式之和的最小值为； ③当时，满足条件的整式共有个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：单项式即或且仅最高次项非零（其余系数为）， 但需满足： 若（一次单项式）：，单项式要求，此时需，且，故或，对应单项式，； 若（二次单项式）：要求，但不成立，矛盾； 若：单项式要求，无法满足，矛盾； 若（常数单项式）：，为正整数，，无符合条件的。 因此满足条件的单项式为，，共2个，故结论①正确； 当 时，，需满足： ， 枚举所有符合条件的三元组 ： ：，， 即，符合条件的解为：、； ：，， 即， 符合条件的解为：、； ：，， 即， 符合条件的解为：、； ：，， 即， 该情况下无解； 符合条件的解有、、、、、， ∴所有符合条件的整式为： 、、、、、， 计算所有整式的和： ， 这是一个二次函数，最小值在处，代入得： ，故结论②正确； 当 时，，需满足： ， 枚举所有符合条件的四元组 ： ：，， 即，符合条件的解为：、、、共4种； ：，， 即，符合条件的解为：、、、、、共6种； ：，， 即，符合条件的解为：、、、、共5种； ：，， 即，符合条件的解为：共1种； ：，， 即，无符合条件的解； 综上，共有种满足条件的整式，故结论③错误； ∴正确的结论有①②，共两个． 6．（2026·重庆万州二中·一模）已知整式：，其中为自然数，，，，均为正整数，且，下列说法：①当，，且为奇数时，则满足条件的所有整式的和为；②若且为偶数时，满足条件的所有整式有且仅有个；③当时，满足条件的所有整式有个．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①∵，，为奇数，且，，为正整数， ∴只能取（时无符合条件的），可取或， ∴满足条件的整式为和， ∴和为，故说法①正确； ②，即最大系数为，需包含，且最小系数为偶数， ∴时，有：，符合条件，共1个； 时，有：，符合条件，共1个； 时，有：，符合条件，共1个； 时，无符合条件的整式； 总个数为，故说法②正确； ③∵， ∴当时，有：，共个， 当时，有：，，，，共个， 当时，有：，，，，，，共个， 当时，有：，，，，共个， 当时，有：，共个， 当时，共有项，只有个数字能选择，不符合条件， ∴时，满足条件的所有整式共有（个），故③错误； 综上所述：正确的个数是． 7．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·一模）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且只有1个单项式； ②若（i为正整数），则满足条件的所有整式M有6个； ③若，则满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：验证①：∵为正整数，为自然数， 当时，要为单项式则， ∴，即， ∴，有唯一单项式； 当时，至少存在两个正整数，至少有两项，此时必为多项式，不可能是单项式，故①正确； 验证②：当时，满足，，解为，共3个， 当时，满足，，解为，共2个， 当时，最小和为，无解， ∴总共有（个），故②错误； 验证③：当时，，解为，此时，仅此一个； 当时，，解为，此时、、， 当时，，解为，此时、、， 当时，最小和大于5，无解， ∴所有整式相加得：，故③错误， 综上所述，只有1个说法正确． 8．已知整式M：，其中n为非负整数，系数均为正整数，且整式M满足，对于任意，2，…，n，都有能被整除，若M最高次项系数为8，下列说法： ①当时，满足条件的M有且仅有3个； ②当时，满足条件的M有且仅有2个； ③所有可能的M共有8个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：当时， 整式为，仅1个． 当时， 整式为​， 需满足：（正整数），8能被整除， 可取：1、2、4，共3个． 当时， 整式为​， 需满足：，8能被整除，能被整除， 可取4、2、1： 当时，可取1、2，此2个 当时，​可取1，此1个 当时，无满足的正整数，此0个 共个，故①正确． 当时， 整式为， 需满足：，8能被整除，能被整除，能被整除， 可取4、2、1： 当时，仅有系数链为的情况满足条件， 当时，，无​，此0个 当时，无​，此0个 仅1个，故②错误． 当时，系数序列的长度至少为5． 而满足题意的从8开始的最长系数序列为，长度为4． 故时不存在满足条件的． 由时1个，时3个，时3个，时1个，时0个， 总计个，故③正确． 综上，①和③正确． 故选：C． 9．（2026·重庆育才中学·中考模拟）对于一个四位数M，若满足将M的千位数字作为两位数N的十位数字，将M的个位数字作为两位数N的个位数字，且两位数N等于M的百位数字与十位数字的平方差，则称M为“方距数”．若“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3，则______；若为“方距数”，规定：，，为整数，为完全平方数，满足条件的A的值是______． 【答案】 【来源】2026年重庆育才中学九年级中考模拟试题数学试卷 【详解】解：∵“方距数”M的百位数字为9，十位数字为3， ∴可设“方距数”M为， 根据“方距数”的定义可知， ∴， ∴； ∵为“方距数”， ∴，，，且为整数，都是的整数，， ∴， ， ∵为整数，为完全平方数， ∴为9的倍数，， ∴当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； 当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； 当时，，故，故，此时，是的倍数，故此时符合题意； 当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； 当时，，故，故，此时，不是的倍数，故舍去； ∴综上，． 10．（2026·重庆巴蜀中学·一模）数字“9”在中文里与长久、永恒等概念紧密相连，而“重九”（即：99）更是被视为吉祥的数字，代表着幸福、顺遂和成功．我们规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．如果将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，再将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，若满足：，那么称这个四位数为“重九数”，则最小的“重九数”为_____；对于“重九数”，若将千位与个位交换，十位与百位交换，得到另一个四位数，设，若是一个“重九数”，且能被6整除，则所有满足条件的“重九数”中，最大数与最小数的差为_____． 【答案】 1188 7425 【详解】解：设，则, 当M是“重九数”时，即，则有， 当时，，是最小的“重九数”； 由题意得， ， ∵能被6整除， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 由题意为整数，则为2的倍数，其中， 当时，，则b必为奇数，要使最大，则， 此时，即最大“重九数”为8712； 当时，，则b必为偶数，要使最小，则， 此时，即最小“重九数”为1287； 所以最大与最小“重九数”的差为． 11．两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是，，∵，∴37和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是，，∵，∴123和51互为“友好数”．103的所有两位数的“友好数”中最大的是________；若两个不同的三位数，（，，，且a、b、c为整数）互为友好数，且是11的倍数，记，求P的所有值的和是________． 【答案】 【详解】解：∵中，， ∴103的所有两位数的“友好数”有：13，31，22，40， ∴103的所有两位数的“友好数”中最大的是40， ∵，（，，，且a、b、c为整数）， ∴中各数位上的数字和为：，中各数位上的数字和为：， ∵、互为友好数， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是11的倍数，且是整数，， ∴，， ∴时，，则， ∴或， 检验：当时，；当时，，不符合题意，舍去； ∴， ∴P的所有值的和是， 故答案为：①，② ． 12．（2026·重庆八中·一模）一个四位自然数，若满足，则称这个四位数为“灵动数”，例如：四位数3674，因为，所以3674为“灵动数”，按照这个规定，最小的“灵动数”是________；一个“灵动数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若能被3整除，为整数，则满足条件的M的值是________． 【答案】 4169 【详解】解：由题意可知，，，，且， 则最小的“灵动数”是； 由题意可知，新的数也是“灵动数”， ， ， ， ， ， 能被3整除， 能被3整除， 能被3整除， 为整数， 是的倍数， 是正整数， 的可能取值为5和18， 或或或或， 当，时，，不能被3整除，不符合题意； 当，时，，不能被3整除，不符合题意； 当，时，，不能被3整除，不符合题意； 当，时，，能被3整除，符合题意； 当，时，无意义，不符合题意； ，， 满足条件的M的值是． 13．（2026·重庆育才中学·一模）对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“5元数”，则的值为______．若是一个“2元数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是2，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 【详解】解：四位数是一个“5元数”， ， 解得：， ，， ， ； 设，则， 是一个“2元数”， ， ， 被的各个数位上的数字之和除，余数是2， 能被的各个数位上的数字之和整除 ， 为整数，即为整数， 各个数位上的数字互不相等且均不为0， ， 为100的因数， 符合条件的有或或， 若要最大，则取，且，， ， 若要最大，且各个数位上的数字互不相等且均不为0， 则，， 满足条件的的最大值为． 14．规定：若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，千位数字的平方加上百位数字等于十位数字与个位数字组成的两位数，即，则称这样的四位数M为“平方和数”．例如：四位数4521，因为，所以4521是“平方和数”．按照这个规定，最小的“平方和数”是_______．若“平方和数”M能被7整除，且（k为整数），则满足条件的四位数M是_______． 【答案】 2913 3514 【详解】解：由于四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，要使最小，则要尽可能小， 当时，，则， 是两位数， ， 解得， 时，，即、，不符合要求， 则不成立， 当时，，则， 是两位数， ， 解得， 时，，即、，不符合要求， 时，，即，不符合要求； 时，，即、，不符合要求； 时，，即、，此时各数位数字互不相等且不为零， 因此，最小的“平方和数”是； ， ， M能被7整除， 为整数， 为整数， ， ， ， ， ， ， ， 是完全平方数，、为整数，且， ， ， 解得， ，且为两位数， 且， ， 是整数， 的取值为3、4、5、6、7、8、9， 当时，，时，，时，，时，， 时，，时，，时，， 则其中或时，为整数， 当时，，即、，此时， 当时，，不符合要求， 因此，满足条件的四位数M是． 15．（2026·重庆万州二中·一模）一个四位自然数满足各数位上的数字均不为0，且，称这个四位数为“平衡数”．例如：四位数3591，，是“平衡数”．最大的“平衡数”是______；若是一个“平衡数”，设，且能被7整除，则满足条件的M的最小值是______． 【答案】 7191 1241 【详解】解：， ， ，，，， 要使“平衡数”最大，即a要取最大值， 当，时，a取最大值7， 最大的“平衡数”是7191； 是一个“平衡数”， ， ， ， 能被7整除， 能被7整除， 当M取最小值时，a取最小1， 则能被7整除， ， 能被7整除， 最小取2， ， 当时，c取最小值4， 取最小值1241． 26．（2026·重庆育才中学·一模）一个四位自然数（其中，，，均为整数，且，，，），若满足，则称为“亲和数”，如：四位数，∵，∴是“亲和数”； （1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的倍，百位数字比千位数字大，则这个“亲和数”为______． （2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，被整除，被除余2，则满足条件的的值为______． 【答案】 【详解】解：设“亲和数”， ∵个位数字等于十位数字的倍，百位数字比千位数字大， ∴，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴这个“亲和数”为； ∵一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数， ∴， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵被整除，，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∵被除余， ∴被整除， ∴ ， ∴当时，解得，不符合题意，舍去， 当时，解得， 此时，， ∴， ∴的值为； 当时，解得，不符合题意，舍去， 当时，解得，不符合题意，舍去， 综上可得：的值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $