空间中的动态问题典例讲解课件-2027届高三数学一轮复习

空间中的动态问题典例讲解 “动态”问题是高考立体几何问题具有创新意识的题型,它渗透了 一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,注 重多想少算，强调思维能力与创新能力的考查.解决动态几何问题的 关键是要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见动. 2 例1（1）（多选题）在正三棱柱中， ， 点满足，其中， ，则( ) A.当时， 的周长为定值 B.当时，三棱锥 的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得 平面 √ √ 类型一 动点轨迹问题 3 [解析] 对于A，如图①，当 时， ,即,所以 ， 故点在棱上，此时 的周长为 ， 当点为 的中点时，的周长为， 当点在点 处时，的周长为 ，故周长不为定值， 故选项A错误； 4 对于B,如图②，当时， , 即，所以,故点在棱上， 因为平面 ，所以直线上的点到 平面 的距离相等， 又 的面积为定值，所以三棱锥 的体积为定值， 故选项B正确； 对于C，如图③，当时，取, 的中点 分别为，，连接，,, , ， 因为,即 ,所以, 则点在线段上， 当点在 处时，， , 又，所以 平面 ， 又 平面，所以 ，即， 同理，当点在处， ，故选项C错误； 对于D，如图④，当 时，取的中点， 的中点，连接 ,,, 因为,即 ， 所以，则点在线段上， 当点 在点处时，取的中点，连接, ， 因为 平面， 平面 ，所以， 在正方形中， ， 又，, 平面 ，故 平面， 又 平面 ，所以， 在正方形中， ， 又，， 平面 ， 所以 平面， 因为过定点 与定直线 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点，使得 平面 ，故选项D正确.故选 . （2）[2025·湖南娄底押题卷] 在棱长为2的正方体 中，为棱的中点，为侧面 内（包含边界）的动点，且 ，则动点的轨迹长度为____；当线段 取最小值时，三 棱锥的外接球的半径 _ ___. 9 [解析] 如图①，以为原点， ，，所在 直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 则, , . 设,, ，则, . 由题意得 ，则， 又因为， ，所以. 设,分别为, 的中点，连接， 则易得线段为动点 的轨迹，轨迹的长度为 . ，则当时，线段 取得 最小值，此时，则点在平面 内的射影为点, 取的中点 ，则 . 如图②，设三棱锥 的外接球的球心为，连接, , ,. 由题意知，为 的外接圆圆心，,, ， 则 ， 即 ，解得，所以 . [总结反思] 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法: （1）几何法:根据平面几何的性质进行判定. （2）定义法:转化为平面上的轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用 代数法进行计算. （3）利用函数观点探求轨迹,其中可以根据空间图形的线段长度关系 取特殊值或特殊位置进行排除. 12 变式题 （多选题）[2025·广东佛山模拟]如图， 已知棱长为2的正方体 的中心 为，将四棱锥绕直线 顺时针 旋转 之后，得到新的四棱锥 ，则( ) A. B.当 时，四棱锥的顶点运动的轨迹长度为 C.当 时，平面平面 D.存在旋转的角度 ，使得,,, 四点共面 √ √ √ 13 [解析] 如图.对于A，取的中点 ，连接 ，，则, ，所以 为二面角 的平面角， 易知 ，而 ， 故A错误； 对于B，当 时,也绕着旋转 ， 由于到 的距离是正方体面对角线的一半，即 ， 因此旋转的轨迹长度是 ，故B正确； 14 对于C，当 时，把正方体的左边补成 一个全等的正方体， 则 是正方体的中心， 因此,， 又 平面， 平面，所以平面 ， 同理可得平面， 又，, 平面 ， 所以平面平面，故C正确； 对于D，连接 ，由C可知，当 时， ,， 因此四边形 是平行四边形， 因此，即， 因此,,, 四点共面，故D正确.故选 . 例2 [2025· 全国二卷] 如图，在四边形中， ， ,为的中点，点在上，, ， .将四边形沿翻折至四边形 ，使得面 与面所成的二面角为 . 类型二 翻折问题 17 （1）证明：平面 . 证明：由题意知， 又 平面 , 平面， 所以平面 ， 同理可得平面, 又,, 平面，所以平面平面， 又 平面,所以 平面 . 18 （2）求面与面 所成的二面角的正 弦值. 解：由题意知且， 可知 即为面与面 所成二面 角的平面角，故 . 不妨设，在平面内， 过点作 的垂线，垂足为， 易得 平面，，, . 过点作的平行线，交于点，易得 , ,两两垂直， 19 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，,, , ,， 可得, ， 设平面的法向量为 ， 则取 , 则 . 20 ,， 设平面 的法向量为 ， 则 取,则,,1 . 设面与面所成的二面角为 ，则 ， 故，即面与面 所成的二面角的正弦值为 . [总结反思] 解答翻折问题的关键在于画好翻折前后的平面图形与立体图形,抓住 两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤 其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直 关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的 重要依据. 22 变式题（1）[2025·江西九江十校联考]如图， 在矩形中，，在 上且，将沿折起到 ， 使得 平面，点在线段上，若平面， 则 的值为 ( ) A. B. C. D. √ 23 [解析] 如图，作交于，连接 ， 则四边形是平行四边形， ， . 由， 平面 ， 平面，可得平面. 又平面 ，，, 平面， 所以平面平面 . 因为平面 平面，平面 平面 ， 所以，因此 . 故选C. 24 （2）（多选题）如图①，正方形的中心为 ，边长为4，将其 沿对角线折成直二面角，如图②，设为 的中 点，为 的中点，则下列结论正确的有( ) 25 A.点到平面的距离为 B.三棱锥外接球的体积为 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的表面积为 √ √ 26 [解析] 对于B，因为， 均为直角 三角形， ，为 的中 点，所以为三棱锥 外接球的球心， 其半径为 ， 所以外接球的体积为 ，所以B错误； 27 对于C，如图，过作于，连接， 则 平面， 所以 为直线与平面所成的角， 又， ， 所以，且为 的中点， 所以 ， 故 ，所以 ，所以C正确； 28 对于A，设到平面的距离为 ， 由 ，得 ， 由 ， 得 ，所以， 所以 到平面的距离 ，所以A正确； 对于D，过作于， 则旋转体的表面积是以为底面半径， 以 为高的圆锥的侧面积的两倍， 易知为的中点，所以 , ，， 所以旋转体的表面积为 ，所以D错误.故选 . 例3（1）[2025·河南周口期末] 如图，正四棱 台 的上底面边长为2，下底 面边长为4，高为3，为棱的中点，点， 分别在棱， 上（含端点），若 ，则线段 长度的最小值为____. 类型三 最值、范围问题 31 [解析] 设， 分别为上、下底面的中心，连接， 以为原点，，, 的方向分别为,, 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ． 设，，其中 ， ，所以， ， 故， 所以 ，则． 又，所以 ， 又，所以当时，取得最小值 . 32 （2）[2025·河北张家口期末] 如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为3,为 的中 点，若,，则 的 取值范围是__________. 33 [解析] 连接，因为正三棱柱 的底面边 长为2，为的中点，所以, ． 过点作轴//，以 为原点，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则,,, ， 则,． 设 ， ， 则, ， 34 所以, ， 所以，， 所以 ， 当时，取得最小值，当时，取得最大值 ， 所以的取值范围是 . 35 [总结反思] 在动态变化过程中产生的体积最大（小）、距离最大（小）、角的 取值范围等问题,常用的解题思路是:①直观判断:在变化过程中判断 点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解;② 函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,再 利用代数方法求目标函数的最值. 36 变式题（1）如图，直三棱柱 中， ，点为侧面 上的任 意一点，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 37 [解析] 分别取，的中点，，连接, ，以为原点， ，，所在直线分别为,, 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，设 ，其中，， 因为 为正三角形，所以， 则，， 所以 ， ， 所以. 当，且 或时，取得最大值4， 当，且时， 取得最小值2， 所以的取值范围为 .故选C. 38 （2）[2025·浙江台州期末]已知正方体 的棱长为 1，为上的动点，，分别是底面和侧面 上的动 点，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 39 [解析] 如图，分别作关于平面 和平面 对称的线段,，点 对称后的点 分别记为, ， 则， 以 为原点，，，所在直线分别为,,轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则,,, ， 故, , ， 又, 是异面直线, 上的点， 所以 的最小值为异面直线,的距离. 设与直线, 都垂直的向量为， 则 取，则， 所以异面直线 ,的距离， 易知当 为的中点，，均为 的中点时， 取得最小值 .故选C. 【备选理由】例1是动点轨迹问题; 例1 ［配例1使用］（多选题）[2026·广西示范性高中期中]在棱长为 1的正方体中，为棱的中点，点 在侧面 内运动，则下列结论正确是( ) A.若，则动点 的轨迹是线段 B.若，则动点 的轨迹是圆的一部分 C.若，则动点 的轨迹是椭圆的一部分 D.若点到与的距离相等，则动点 的轨迹是双曲线的一部分 √ √ 教 师 备 用 习 题 42 [解析] 对于A，如图①，连接，，,， 易得 平面， 又 平面，所以， 又 ，，， 平面， 所以 平面 ， 又 平面，所以，同理可得， ， 又，， 平面，所以 平面 ， 若，则 平面， 又 侧面，所以动点 的轨迹是平面与侧面 的交线段 ，故A正确； 教 师 备 用 习 题 43 对于B，如图②，连接， 因为 平面， 平面 ， 所以，所以是直角三角形， 又， ，所以， 即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆弧 ，故B正确； 教 师 备 用 习 题 对于C，以为坐标原点，，， 所在直线 分别为,, 轴，建立空间直角坐标系，如图③, 则，，， ， 则， ， 设，所以 ， 因为，所以 ,,， 即 ， 得， 所以动点 的轨迹是双曲线的一部分，故C错误； 教 师 备 用 习 题 45 对于D，到 的距离为， 到的距离为， 又点到与 的距离相等，所以， 又, ，故，，故， 故D错误.故选 . 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例3使用］[2026·江苏镇江期末] 已知直三棱柱 中，侧面为正方形，， ， 分别为和的中点，为棱上的点， ． 【备选理由】 例2是动态变化过程中的最值问题; （1）证明： 平面 . 教 师 备 用 习 题 47 证明：因为三棱柱 是直三棱柱， 所以 底面，所以 . 因为，，所以 ， 又， 平面， 平面 ，所以 平面 . 教 师 备 用 习 题 48 （2）证明： . 教 师 备 用 习 题 49 证明：由（1）知，， 两两垂直， 以为坐标原点，以，， 所在直线分别 为,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，， ． 设 ． 因为， ， 所以，所以 ． 教 师 备 用 习 题 50 （3）当为何值时，平面与平面 的夹角的正弦值最小？ 并求此最小值． 教 师 备 用 习 题 51 解：， ， 设平面的法向量为 ， 所以即 令，则 . 易知平面的一个法向量为 . 设平面与平面的夹角为 ， 则 ． 教 师 备 用 习 题 52 因为， 所以当 取得最大值时， 取得最小值, 可知， 当 时，取得最小值 ， 此时取得最大值， 则 的最小值为，此时 ． 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例2使用］[2025·河南名校模拟] 如图①，在半径为2的扇形 中，，是弧上的动点（不含，），过 点作 ，交于点.当的面积取得最大值时，将扇形 沿着折起到扇形，使得平面 平面 （如图②）. （1）求图②中 的长度. 【备选理由】 例3是折叠与探究性问题相结合的问题. 教 师 备 用 习 题 54 解：因为，，所以， . 设，则 . 在中，由正弦定理得 ，即， 所以 ，所以 . 教 师 备 用 习 题 55 因为，所以 ， 所以当，即时， 取得最大值， 此时 ，所以的长度为 . 教 师 备 用 习 题 （2）求图②中直线与 所成角的余弦值. 教 师 备 用 习 题 57 解：如图，以为坐标原点，以所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， ， 所以， . 设直线与所成的角为 ， 则, ， 所以直线与所成角的余弦值为 . 教 师 备 用 习 题 58 （3）探究在图②中的线段上是否存在点，使得四面体 内 切球的半径为 ？并说明理由. 教 师 备 用 习 题 59 解：不存在，理由如下： 由（2）知 ， ， 则 ， , 所以 ， ， ， 教 师 备 用 习 题 60 所以四面体的表面积为 . 设四面体的内切球的半径为 ， 则四面体的体积 ，解得 ， 因为，所以 ， 所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为 . 教 师 备 用 习 题 1.在正方体中，动点 在面及其边界上运动， , ，则动点 的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 62 [解析] 方法一：设正方体 的棱长为1， 如图，以点为坐标原点， ，，所在直线分别为，， 轴 建立空间直角坐标系，则， . 设点 ， 所以 ，， 则 , ， 化简得 ， 所以动点 的轨迹为抛物线的一部分.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 63 方法二：由题意知线段的轨迹是以 为轴的圆锥的侧面， 为其中一条母线所在的直线，且与底面 平行， 又平行于母线的平面截圆锥的侧面所得曲线为抛 物线的一部分，所以动点 的轨迹为抛物线的一部分.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 64 2.平面 的斜线交平面 于点，过定点的动直线与直线 垂 直，且交平面 于点，那么动点 的轨迹是( ) A.线段 B.直线 C.圆 D.抛物线 [解析] 过点且与垂直的平面有且仅有一个，设为 ， 则直线 在平面 内. 因为点是平面 与平面 的公共点，平面 与平面 只有一条交线， 所以动点的轨迹是一条直线， 且是过点垂直于 的平面与平面 的交线.故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 65 3.[2025·江西新八校二联]已知正方体 的棱长为1， 点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点 的 轨迹所形成区域的面积是( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 66 [解析] 在棱长为1的正方体 中， ，则 ， 而，所以在上的投影向量的模为 ， 因此点在与垂直的平面内，且点 到该平面的距离为. 如图，在正方体 中，连接，，， 易得 平面 ，点 到平面的距离为. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 67 取,, 的中点分别为,,，连接，， ，易得平面 平面， 则 平面，且点到平面 的距离为， 所以点 的轨迹所形成区域为等边三角形， 故 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.（多选题）如图，正方体的棱长为2，点 为底 面的中心，点为侧面 内（不含边界）的动点，则 ( ) A. B.存在一点，使得 C.三棱锥的体积为 D.若，则面积的最小值为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 69 [解析] 以点为坐标原点，，， 所在 直线分别为，， 轴建立如图所示的空间直角 坐标系，则，， ， ，，， 设点 ，其中， . 对于A选项，，， 则 ，所以，故A正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 70 对于B选项， ， 若，则，解得 ， 不符合题意，所以不存在点，使得， 故B错误； 对于C选项， ，点到平面的距离为2， 所以 ，故C正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对于D选项，，若 ，则 ，可得， 由可得 ， ，当且仅当时，等号成立， 因为 平面， 平面，所以 ， 所以 ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.[2025·十堰5月模拟]如图，已知正方体 的棱长为3,为 的三等分 点且靠近点，在侧面 内作边长为1的 正方形，是侧面 内一动点，且 点到平面的距离与线段 的长度相等， 则当点运动时， 的最小值是( ) A.12 B.13 C.14 D.17 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 73 [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 过作，垂足为. 设 ，则，,， 且, . 由，得 ， 化简得 ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值13.故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 74 6.（多选题）[2025·山西晋中三模]如图①，在长方形 中， ，，，分别为，的中点，连接， ，分 别交于点，，将沿直线折起到 的位置，如图 ②，则下列说法正确的是( ) 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 75 A.在翻折的过程中，恒有 平面 B.若为直线上一点，则点到直线的最短距离为 C.当二面角的大小为时， D.当平面 平面时，三棱锥 的外接球的表面积为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 76 [解析] 因为在长方形中，，，， 分别为 ，的中点，所以，，易知 ， 又，所以，则， ， 所以，所以，同理可得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 77 对于A，由上述分析可知在翻折的过程中，， ，因为 ，， 平面，所以 平面 ，故A正确； 对于B，因为，，所以为， 的公垂线段， 所以点到直线的最短距离为 ，易知 ，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 78 对于C， ，因为二面角的大小为， 所以, ，所以 ，所以，故C错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对于D，因为 和都是直角三角形，且为公共边， 所以 的中点为其所在三角形的外心，也是三棱锥 外接球 的球心，所以外接球半径， 所以外接球的表面积， 故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.已知正方体的棱长为1,以顶点为球心， 为半 径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 _ ____. [解析] 如图，球面与正方体的六个面都相交，所 得的交线分为两类：一类在顶点 所在的三个面上， 即平面、平面和平面 上； 另一类在不过顶点的三个面上，即平面 、 平面和平面上. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 81 在平面 上，交线为弧且在过球心 的大圆上， 因为，所以 ， 同理，所以， 故弧 的长为 ，而这样的弧共有三条. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 在平面上，交线为弧 且在到球心的距离为1 的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为，半径为， 所以弧 的长为 ，这样的弧共有三条. 所以所得的曲线长为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.已知正三棱柱的所有棱长均为2，为棱 上的动 点，则到平面 的最大距离为____. [解析] 如图，取的中点，连接 ， 因为三棱柱为正三棱柱， 所以， 平面， 又 平面，所以 ，所以以为原点， 过点且平行于的直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 84 因为正三棱柱 的所有棱长均为2， 所以,,， 设，则 ， 所以, ,. 当时， ，设平面 的法向量为， 则 令，则， 设到平面 的距离为，则; 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当 时，设平面的法向量为 ， 则 令 ，则， 设到平面的距离为 ， 则 ， 所以当时，取得最大值 . 因为，所以到平面 的最大距离为. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.[2026·辽宁葫芦岛调研] 已知正三棱柱 的底面边长为 ，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点 是该正三棱柱表面 上的动点，则 的取值范围是______. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 87 [解析] 设底面三角形内切圆的半径为 ， 则，解得 . 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径，即为1， 设内切球的球心为，易知球心在正三棱柱的中心处，且 ， 所以 . 又点是该正三棱柱表面上的动点， 所以 的最小值为内切球半径，的最大值为， 所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 88 $