【从课本到奥数】小升初重点专题：长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册苏教版

【从课本到奥数】小升初重点专题：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册苏教版 一、选择题 1．下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 2．把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体滑虚线切成两个立体图形，下图中（    ）的切法增加的表面积最小。 A． B． C． D． 3．下面叙述正确的是（    ）。 A．求制作一节长方体下水管要用多少铁皮是求长方体5个面的面积。 B．长方体中只要能看到相邻的两个面是正方形，这个长方体就是正方体。 C．表面积相等的长方体和正方体，体积也相等。 D．眼药水的包装盒上印有“净含量 20ml”的字样，“20ml”是包装盒的容积。 4．一个输液瓶内有100mL药液，输液时要将输液瓶倒置，如果每分钟输液2.5mL，输液12分钟后瓶内所剩药液情况如图，这个输液瓶的容积是（   ）mL。 A．100 B．120 C．130 D．150 5．将一个长宽高分别为21厘米、15厘米和9厘米的长方体“切成”完全相同的三个小长方体后，表面积的和比原来长方体的表面积最多增加(    )平方厘米． A．1260 B．540 C．2400 D．639 6．用下面的长方体木料截取一个最大的正方体，最多可以截(　　)个这样的正方体． A．15 B．16 C．17 D．18 7．一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。 这个铁块的体积是（    ）。 A．300 B．400 C．600 D．800 8．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ）。 A．5 B．4 C．3 D．1 二、填空题 9．一个长方体的底面是一个正方形，高是3.6dm，它的体积是14.4dm3，则长方体的表面积是( )dm2。 10．将一块棱长为10dm的正方体钢坯铸造成一个底面积是25dm2的长方体钢坯，铸造成的长方体钢坯的高是( )dm。 11．用36个棱长是的小正方体拼成一个表面积尽可能小的长方体，这个长方体的表面积是( )。 12．将一个棱长为4cm的正方体，分割成棱长为1cm的小正方体，则表面积增加了( )cm2。 13．一根长方体木料，横截面是边长为2dm的正方形，正好可以锯成若干个同样的正方体，这时表面积增加了16dm²，这根长方体木料原来的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 14．一个长方体正好分成两个完全一样的小正方体，每个小正方体的表面积是原来长方体表面积的． 15．一个长方体，若将它的长增加4cm，则体积增加80c；若将它的宽增加4cm，则体积增加128c；若将它的高增加3cm，则体积增加120c．原长方体的体积是( )c，表面积是( )c． 16．琉璃是中国五大名器之首，历史悠久，制作工艺繁杂。一个棱长是8cm的正方体琉璃摆件，从它一个面的正中间向对面挖去一个底面边长是1cm的正方形的小长方体（如图），这个琉璃摆件的表面积增加了( )。 三、解答题 17．计算图中大球和小球的体积。（单位：厘米） 18．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 19．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？ （2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？ （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。 20．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？ 21．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？ 22．我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《【从课本到奥数】小升初重点专题：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册苏教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D A A B D 1．A 【分析】根据三棱柱的展开图的特点进行解答即可。 【详解】A．是三棱柱的平面展开图； B．是三棱锥的平面展开图； C．是四棱锥的平面展开图； D．作为三棱柱的平面展开图，一侧多了一个底，另一侧则少了一个底。 故选：A。 【点睛】此题考查学生的空间想象力。 2．C 【分析】不论是哪一种切法，都是增加两个长方形的面，比较长方形的面积大小，即可确定哪一种切法增加的表面积最小。 【详解】A．增加两个长方形的面，长方形的长是8厘米，宽是6厘米，（平方厘米）； B．增加两个长方形的面，长方形的长是8厘米，宽是4厘米，（平方厘米）； C．增加两个长方形的面，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，（平方厘米）； D．增加两个长方形的面，长方形的长大于8厘米，宽是6厘米，增加的面积大于96平方厘米； 表面积增加最少的是增加48平方厘米，故答案选：C。 【点睛】本题考查的是立体几何的切割问题，每切一刀，都会增加两个面。 3．B 【分析】A．水管两头是空的，所以铁皮的面积是求长方体4个面的面积； B．因为相邻的两个面是正方形，则长、宽、高都相等，长、宽、高都相等的长方体是正方体； C．表面积相等的长方体和正方体，体积不一定相等； D．“净含量 20ml”是指眼药水的体积。 【详解】据分析知： A．铁皮的面积是求长方体4个面的面积，故A说法错误； B．因为相邻的两个面是正方形，则长、宽、高都相等，长、宽、高都相等的长方体是正方体，故B说法正确； C．表面积相等的长方体和正方体，体积不一定相等，故C说法错误； D．“净含量 20ml”是指眼药水的体积，故D说法错误。 故答案选：B 【点睛】掌握有关长方体、正方体体积、容积、表面积等知识是解决此题的关键。 4．D 【分析】首先求出12分钟输了多少mL，100ml减去12 分钟输出的部分，可以求出还剩下多少mL没有输。把输液瓶倒过来，没有药液部分的容积是80mL，剩下没有输的药液加上80mL就是这个输液瓶的容积。 【详解】2.5×12＝30（mL） 100－30＋80 ＝70＋80 ＝150（mL） 这个输液瓶的容积是150mL。 故答案为：D 【点睛】此题考查的是容积的意义及应用。 5．A 【详解】略 6．A 【详解】略 7．B 【分析】正方体容器空余部分的体积＝长方体铁块高6厘米的体积，空余体积÷6，求出铁块底面积，铁块底面积×高＝铁块体积。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（立方厘米） 300÷6×8＝400（立方厘米） 故答案为：B 【点睛】关键是掌握长方体和正方体体积公式，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 8．D 【分析】根据正方体的特征可知，相对的面不相邻；因为骰子只能向前，不能后退，所以有四种翻转路径，分四种情况讨论。 【详解】如图： 路径一：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到位置②处，2点在下，则5点在上；滚动到③处，3点在下，则4点在上。 路径二：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到④处，3点在下，则4点在上；滚动到③处，2点在下，则5点在上。 路径三：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到③处，4点在下，则3点在上。 路径四：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到①处，5点在下，则2点在上；滚动到②处，4点在下，则3点在上；滚动到③处，1点在下，则6点在上。 所以最后朝上的可能性有3、4、5、6点，而不会出现1、2点。 故答案为：D 【点睛】本题考查正方体的特征，学生可以动手进行实物操作，培养学生的空间观念。 9．36.8 【分析】长方体的体积等于底面积乘高，根据高和体积可以求出底面积，然后求出底面的边长，计算四个侧面的面积，加上两个底面的面积，即为长方体的表面积。 【详解】（dm2） 正方形面积是4，那么边长是2厘米； （dm2） 所以长方体的表面积是36.8dm2。 【点睛】本题考查的是长方体的表面积和体积，当长方体中有两个面是正方形时，其余的四个面是完全一样的长方形。 10．40 【分析】把正方体钢坯铸造成长方体钢坯，体积不变，用正方体的体积除以长方体的底面积，求得长方体的高。 【详解】10×10×10 ＝100×10 ＝1000（dm3） 1000÷25＝40（dm） 所以铸造成的长方体钢坯的高是40dm。 【点睛】求解本题的关键是体积不变，另外对于任何柱体的体积，都可以用底面积乘高来表示。 11．66 【分析】因为两个小正方体拼成一个长方体会减少2个重合的面，因此，为了拼成表面积尽可能小的长方体，就不能拼成一排，而是充分叠加，结合正方体的个数36个，可知能拼成一个近似的正方体。正方体的体积＝棱长3，与36最接近的立方数是33＝27，即可先拿27个小正方体拼成一个大正方体。此时还余下36－27＝9（个）小正方体，9÷3＝3（排），且这3排可以拼成一列长方体，与原来的正方体一块拼成一个长方体。则拼成的长方体长、宽、高分别为4厘米、3厘米、3厘米，再套用长方体表面积公式计算即可。 【详解】由分析得： （36－3×3×3）÷3 ＝9÷3 ＝3（排） 3＋1＝4（厘米） （3×4＋4×3＋3×3）×2 ＝33×2 ＝66（平方厘米） 【点睛】主要考查了正方体的切拼，结合正方体自身特点，在纸上一边画，一边按正方体特点来计算，关键是理解最接近36的立方数是27，再合理分配余下的小正方体。 12．288 【分析】利用正方体体积公式求出正方体的体积，可计算出能分割为几个小正方体，最后求出小正方体的表面积之和，即可得出答案。 【详解】棱长为4cm的正方体的体积为：（cm3），小正方体体积为： （cm3），故这个正方体能分割成小正方体的个数为：（个）。 这些小正方体的表面积之和为：（cm2）， 正方体的表面积为：（cm2）； 故表面积增加：（cm2）。 【点睛】本题主要考查的是正方体的体积和表面积，解题的关键是需要利用体积先算出分割出小正方体的个数，再进一步求解。 13． 56 24 【解析】略 14． 【分析】正方体的棱长为a，那么原来长方体的长是2a，宽和高都是a，计算出表面积，并计算出正方体的表面积是原来长方体表面积几分之几． 【详解】长方体的表面积：2a×a×4+ a×a×2=10 a² 正方体的表面积6a² 所以小正方体的表面积是原来长方体表面积的6a²÷10 a²=0.6= 【点睛】本题考查长方体与正方体的表面积．先找出长方体长宽高和正方体的棱长，然后根据公式计算． 15． 160 184 【详解】80÷4＝20（平方厘米） 128÷4＝32（平方厘米） 120÷3＝40（平方厘米） 表面积：（20＋32＋40）×2 ＝92×2 ＝184（平方厘米） 体积：（abh）2＝20×32×40 （abh）2＝25600 所以：abh＝160（立方厘米） 答：原来长方体的体积是160立方厘米，表面积是184平方厘米． 故答案为160、184． 16．30 【分析】由图可知，从正方体的一个面的正中间向对面挖去一个底面边长是1cm的正方形的小长方体，表面积增加了4个侧面的面积，同时减少了2个底面的面积，用增加的4个侧面的面积减去减少的2个底面的面积即为增加的表面积。 【详解】8×1×4－1×1×2 ＝32－2 ＝30（cm2） 17．50立方厘米；25立方厘米 【分析】观察图2，2个大球和1个小球完全浸没在水里后，2个大球和1个小球的体积之和＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为5厘米，宽为5厘米，高为5厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，可求出2个大球和1个小球的体积之和；观察图3，接着放入5个小球，5个小球完全浸没在水里后，5个小球的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为5厘米，宽为5厘米，高为（10－5）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式，可求出5个小球的体积，除以5求出1个小球的体积，再代入前面的关系式中，求出1个大球的体积。据此解答。 【详解】5×5×5＝125（立方厘米） 5×5×（10－5） ＝25×5 ＝125（立方厘米） 125÷5＝25（立方厘米） （125－25）÷2 ＝100÷2 ＝50（立方厘米） 答：大球的体积是50立方厘米，小球的体积是25立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决问题。 18．256平方厘米 【分析】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。 【详解】长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是256平方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 19．（1）300立方厘米 （2）2厘米；304平方厘米 （3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 【分析】（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，那么这个收纳盒的长为（20－2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为5厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，计算出结果即可； （2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于16厘米的一半，并且长度取整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，代入数据正确计算即可； （3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20－2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。 【详解】（1）20－5×2 ＝20－10 ＝10（厘米） 16－5×2 ＝16－10 ＝6（厘米） 10×6×5 ＝60×5 ＝300（立方厘米） 答：围成的长方体收纳盒的容积是300立方厘米。 （2）16÷2＝8（厘米） 减去的小正方形的边长还可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。 例如，减去的小正方形的边长是2厘米。 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 20×16－2×2×4 ＝320－16 ＝304（平方厘米） 答：减去的小正方形的边长还可以是2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长方体收纳盒的表面积是304平方厘米。 （3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a 或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可） 【点睛】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找出长、宽、高再解答。（写出一个即可） 20．17厘米 【分析】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。 【详解】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。 25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）] 625－125＝9375－125×[－10] 500＝9375－125＋1250 500＝10625－125 500＋125＝10625－125＋125 625＝10625 625÷625＝10625÷625 ＝17 答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。 21．不会溢出；15厘米 【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度； 用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。 【详解】容器内水的体积： 30×16×10 ＝480×10 ＝4800（立方厘米） 放入铁块后水深： 4800÷（30×16－16×10） ＝4800÷（480－160） ＝4800÷320 ＝15（厘米） 15＜21 答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。 22．（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5 【分析】（1）①割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），可求出泳池体积为3500÷2＝1750（立方米）。 （2）在空的泳池内以均匀的注水速度往池内注水，则首先填满⑴①中割去部分，则填满该部分时恰好达到1.6－1.2＝0.4米水深，填满该部分前，随着水位上升，其水所占体积的高度和底面积随着时间增长都增大，该部分水的体积变化呈逐渐增大的趋势，又因为选项C填满该部分的过程即高度达到0.4米前呈逐渐增大的趋势，且深度变化不断放缓，所以答案应该是选项C。 （3）由⑴②得泳池体积为1750立方米，填满冰池需要1750÷140＝12.5（小时），所以a表示的数是12.5小时。 【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2 ＝1250×2.8÷2 ＝3500÷2 ＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 【点睛】本题考查了长方体的体积（容积）公式的实际运用，学会通过统计图获取并分析数据，解决实际的问题。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $