期中提升卷（1-3章）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2025-2026学年北师大版七年级数学下册期中提升卷 测试范围:第1章第3章概率初步 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列事件是必然事件的是（   ） A．一年有367天 B．走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋 C．两个负数相乘，积是正数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 2．如图，点在直线上，，，则下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C． D．与互补 3．下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 5．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 6．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）    A．1 B． C． D． 7．若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 8．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知和分别为十位数字和个位数字，，根据图2中现有数据进行推断，下列说法一定正确的是（） A． B． C．这个两位数为 D．的运算结果小于3000 9．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 10．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如果多项式是个完全平方式，那么常数的值为___________． 12．一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，固定三角板不动，绕着点C转动三角板一周，已知M是边与所在直线的交点，当的度数为________时，． 13．如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 14．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______． 15．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为______． 16．如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是______． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（用简便方法计算）． 18．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 19．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 20．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求的度数． 21．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_____，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（_____） A．数形结合    B．分类讨论    C．类比推理    D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 (2)若，，则_____． (3)若，求的值 【知识迁移】 (4)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，则的长度为_____． 22．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 23．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． 24．台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版七年级数学下册期中提升卷 测试范围:第1章第3章概率初步 一、单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列事件是必然事件的是（   ） A．一年有367天 B．走到苹果树下，被成熟的苹果砸中脑袋 C．两个负数相乘，积是正数 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类、随机事件、有理数乘法等知识点，掌握相关事件的定义是解题的关键．根据必然事件的定义并结合各选项描述以及数学原理和常识进行判断即可． 【详解】解：A． 一年最多366天，367天不可能发生，属于不可能事件，不符合题意； B． 苹果可能掉落，但不必然砸中人，属于随机事件，不符合题意； C． 根据有理数乘法法则，两负数相乘结果必为正数，是必然事件，符合题意； D． 射击结果可能命中或脱靶，属于随机事件，不符合题意． 故选C． 2．如图，点在直线上，，，则下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C． D．与互补 【答案】D 【分析】根据垂线定义，得出，根据余角的定义，余角的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与互余，与互余， 无法说明与互补，故D错误，符合题意． 3．下列说法正确的个数有（    ） ①内错角相等； ②相等的角是对顶角； ③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，对选项一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：①内错角不一定相等，只有两直线平行，内错角才相等，故原说法错误； ②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故原说法错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故原说法错误； 综上可得：说法正确的0个． 故选：A 【点睛】本题考查了内错角的定义、对顶角的定义、垂线的性质、点到直线的距离的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． 4．已知，，其中m，n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件中的底数4和8转化为底数为2的幂，再利用幂的运算法则对所求式子变形，代入已知条件即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 5．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【答案】D 【分析】本题通过大量重复试验中频率的稳定值来估计概率．随着试验次数的增加，频率逐渐趋近于概率．观察大样本量的数据，其频率稳定在0.95附近，因此可估计发芽概率为0.95． 【详解】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右． 根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率． 因此，发芽概率约为0.95，对应选项D． 故选：D． 6．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【详解】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）=． 故选D． 【点睛】本题考查概率公式和等腰三角形的判定，解题关键是熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商． 7．若展开后不含x的一次项，且常数项为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则把展开，再根据展开后不含x的一次项，且常数项为，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项，且常数项为， ∴，， 由得：， 把代入得：， ∴． 8．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图1所示的“竖式表格算法”，图1表示，运算结果为7569．图2表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知和分别为十位数字和个位数字，，根据图2中现有数据进行推断，下列说法一定正确的是（） A． B． C．这个两位数为 D．的运算结果小于3000 【答案】C 【分析】根据题目中给出的计算方法，结合整式的乘法，逐一计算判断即可． 【详解】解：根据题意，得或， 故A不符合题意； 根据题意，得或， 故B不符合题意； 根据题意，得，，故， 故这个两位数为， 故C正确，符合题意； 根据，得，根据题意，得，故或， 根据题意，得或， 由m，d都是正整数， 故或， 故这个两位数为或56 或， 故D不符合题意． 9．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质；根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据等腰三角形两底角相等得，然后根据两直线平行，同旁内角互补，建立等式即可求出与之间的数量关系. 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴. 故选：B. 10．把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的顺序和法则是解题的关键． 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，根据图1和图2得出和，再利用得到，再表示出，代入计算即可． 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如果多项式是个完全平方式，那么常数的值为___________． 【答案】11或 【分析】根据完全平方公式的结构特征，建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：多项式是完全平方式， 是的平方，，根据完全平方公式的结构，可得 ， 当时，解得； 当时，解得． 12．一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，固定三角板不动，绕着点C转动三角板一周，已知M是边与所在直线的交点，当的度数为________时，． 【答案】或 【分析】分在上方、在下方两种情况进行求解即可． 【详解】解：如图，当在上方时， ∵， ∴； 如图，当在下方时， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或时，． 13．如图，已知，比的余角大，过点作射线，使，则的度数为________． 【答案】或 【分析】设，则，根据题意列方程求出，然后分两种情况：①当射线在内部；②当射线在外部，分别求出的度数即可． 【详解】解：设，则， 依题意得：， 解得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①当射线在内部时， ； ②当射线在外部时， ； 综上所述，的度数为或． 14．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是______；第36个领先数是______． 【答案】 39 439 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，令，，，…，，…，是领先数，且，根据定义得，，，，是解题的关键． 【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且， 由题意可知，最小的领先数是11，即， 由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 则， ∵， 要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1， 则只需保证，为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ∴， 即是领先数，同理，，，…，是领先数， 现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得： ，，，， ∴，，，， ∴，，，， 则， 故答案为：39，439． 15．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8．每人每次随机出一张自己的卡片，并比较卡片上数字的大小，当所有卡片出完后，甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了求概率. 根据题意列出甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况，再由概率公式计算即可． 【详解】解：甲出1一定输，所以甲最多有3次卡片上的数字大于乙， 若有3次卡片上的数字大于乙，就只有一种组合； 若有2次卡片上的数字大于乙有三类，分别列举如下： ①出3和出5的赢，其余输：； ②出3和出7的赢，其余输：；；； ③出5和出7的赢，其余输：；；；；；；； 综上，甲有3次卡片上的数字大于乙有1种情况，有2次卡片上的数字大于乙有11种情况，故甲至少有2次卡片上的数字大于乙的情况共有种， 而所有情况为种， 甲至少有2次卡片上的数字大于乙的概率为． 故答案为：． 16．如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择月日至月日中的某一天到达该市，并连续停留天．则此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 先求出天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优良的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：由图可知，当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量均为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 当号到达时，停留的日子为、、号，此时为，天空气质量为优； 此人在该市停留期间有且至少有天空气质量优良的概率为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分,共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（用简便方法计算）． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)4． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： = = = ． 18．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)，14 (2)，2 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入的值计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入的值计算即可． 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解： ； 当时，原式． 19．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用推平行线法作平行线，再根据三角板有直角，作垂线段； （2）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：根据垂线段最短，可得比短，所以最长的是． 20．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】先求出的度数，则可得的度数，再求出和的度数，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由对顶角相等得：， ∴． 21．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_____，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（_____） A．数形结合    B．分类讨论    C．类比推理    D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 (2)若，，则_____． (3)若，求的值 【知识迁移】 (4)如图②，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，则的长度为_____． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）图中大正方形的面积可用“边长的平方”和“各部分面积之和”两种不同的方法来表示，通过数形结合的数学思想验证一个乘法公式；（2）根据（1）中得到的等式计算即可；（3）设，，则，，，根据（1）中得到的等式计算的值即可；（4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分的面积得，根据的面积得，计算出，从而求出的值． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积用“边长的平方”表示为，用“各部分面积之和”表示为，利用数形结合的数学思想验证了公式． （2）解：，， ， ； （3）解：设，，则，，， ， ， ； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ，， ， 整理得：， ， ， ， 或（舍去）， ． 22．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可； （3）先证明，，再结合，即可证明． 【详解】（1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． 【答案】(1) (2) (3)③ 【分析】（1）观察表格数据可知，随着摸球次数的增大，摸到白球的频率在附近摆动并趋于稳定，故可估计当很大时，摸到白球的频率将会接近； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； （2）解：根据题意得盒子里白球有：（个）； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意． 24．台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $