专题03：数的认识·因数和倍数【十三大考点】-2026年小升初数学复习讲练测（通用版）

的×巴 作 少年易老学唯成， 1 未觉池馆春草梦， 小升初典型例题系列·专题讲义 诗酒趁年 北宋·苏轼《望江南·超然台 。 休对故人思故国 ,且将新火试新茶 一寸光阳不可轻。 价前梧反已秋声。 6×肥 小升初典型例题系列·专题讲义 2026年小升初数学典型例题系列 专题03：数的认识·因数和倍数【十三大考点】 凸【第一篇】专题解读篇 本专题是专题03：数的认识·因数和倍数。本部分内容包括因数与倍数、奇 数与偶数、质数与合数、最大公因数与最小公倍数的认识及综合应用，内容较多， 综合性较强，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，一共划分为十三个考点， 欢迎使用。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 …4 【典型例题1】因数与倍数的认识.… .4 【典型例题2】求因数与倍数… 【典型例题3】因数与倍数的特征 盒【考点二】2、5、3的信数特征 盒【考点三】奇数与偶数 .6 会【考点四】奇数与偶数的运算性质 .6 【典型例题1】运算性质… 【典型例题2】实际应用 【考点五】质数与合数 .8 【典型例题1】质数与合数的认识.9 【典型例题2】质数与合数的分解组合 【典型例题3】质数与合数的综合应用.… .9 【考点六】连续偶数或奇数的和9 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与猜数问题…10 少年易老学唯成， 2/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 【考点八】分解质因数 11 【典型例题1】分解质因数… 12 【典型例题2】因数的个数…… .12 【考点九】公因数与最大公因数…。 1 【考点十】公倍数与最小公倍数… ..13 【考点十一】三种特殊情况求最大公因数与最小公倍数 ...14 【典型例题1】情况一… .15 【典型例题2】情况二 15 【典型例题3】情况三… /【考点十二】最大公因数与两种生活实际问题……… 【典型例题1】分线段问题 【典型例题2】分长方形问题… 盒【考点十三】最小公倍数与三种生活实际问题 【典型例题1】日期或时段问题… ..18 【典型例题2】同余数问题 .19 【典型例题3】同差问题 .20 价I【第三篇】知识总览篇 知识点 内容 易错警示 1.一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它 本身。 2.一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大 因数、倍数 的倍数」 1,一个数的最大因数 3.个位上是02、4、6、8的非零自然数是2的倍数；个位上是0或5的 与最小倍数相等。 非零自然数是5的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍 2.两个不同的质数 数，这个数就是3的倍数。 定互质，但是互质 的两个数不一定都 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数 奇数、偶数 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数 是质数。 质数只有两个因数，最小的质数是2,2也是唯一的偶质数：合数至少 质数、合数 有三个因数，最小的合数是4：1既不是质数也不是合数 【第四篇】奥型例题篇 少年老学唯成， 3/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6× 小升初典型例题系列·专题讲义 会【考点一】因数与倍数。 ⊙ 【方法点拨】 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因 数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.因数与倍数的特征。 (1)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本 身。 (2)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 3.求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 4。求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。 【奥型例题1】因数与倍数的认识。 4×7=28,那么28是4和7的( ),4和7是28的( ) 【奥型例题2】求因数与倍数。 写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( ) 倍数：( 【奥型例题3】因数与倍数的特征。 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( ),最大是 ( ) 【对应练习1】 因为15÷5=3，所以，5是15的( ),15是5的( 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( 【对应练习3】 少年易老学唯成， 4/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 ×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A一5的最小倍数；B一最小的自然数； C一5的最大因数；D一既是4的倍数，又是4的因数； E-所有因数是1、2、3、6； F一所有因数是1,3；G一只有一个因数。 这个号码是( )。 会【考点二】2、5、3的倍数特征。 ⊙ 【方法点拨】 1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.2、5、3倍数特征之间的联系： 2、3的 个位上是0,2,4,6,8，且各个数位 倍数 上的数字之和是3的倍数。 3、5的 个位上是0,5，且各个数位上的数 倍数 字之和是3的倍数。 个位上是0，且各个数位上的数字 2、 3、5 之和是3的倍数。 的倍数 【奥型例题】 1.127至少增加( )才是3的倍数，至少减少( )才是5的倍数， 最少增加( )才是2的倍数。 2.如果三位数67o既是2的倍数，又是5的倍数，口可以填( )；如果 它既是2的倍数，又是3的倍数，口最大可以填( )。 3.用0、2、6、1中的三个数字组成三位数，组成的最小的偶数是 少年易老学唯成， 5/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧五已秋声。 6× 小升初典型例题系列·专题讲义 组成的最大的3的倍数是( ),组成2、3、5最小的倍数是 ( ) 【对应练习1】 413至少加上( )后是3的倍数，至少加上( )后是5的倍数，至 少加上( )后同时是2、3、5的倍数。 【对应综习2】 一个三位数43口，如果既是3的倍数也是5的倍数，口里应填( )；如果 既是2的倍数也是3的倍数，口里最大填( )。 【对应练习3】 写出由2、5、8组成的能被3整除的最小三位数( ),能被5整除的最 小三位数( ),能被2和3同时整除的最大三位数( ) 令【考点三】膏数与偶数。 ⊙ 【方法点拨】 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2-1表示。 3.整数：像-3、-2、-1、0、1、2、3、…都是整数。 4.自然数：像0、1、2、3、4、…都是自然数。 【奥型例题】 1~20中，最大的奇数是( ),最小的偶数是( )。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( ),偶数有( 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1100中所有奇数的和是( )(填 奇数或偶数”)。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( ),最小的偶数是( )。 会【考点四】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 少年易老学唯成， 6/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 ×肥 小升初典型例题系列·专题讲义 奇数与偶数的基本性质： (1)奇数十偶数=（奇数）(4)奇数×偶数=（偶数） (2)奇数+奇数=（偶数）(5)奇数×奇数=（奇数） (3)偶数十偶数=（偶数）(6)偶数×偶数=（偶数） (7)相邻两个自然数的和是（奇数），相邻四个自然 数的和是（偶数）。 (8)奇数一偶数=（奇数） 奇数一奇数=（偶数） 偶数一奇数=（奇数） 偶数一偶数=（偶数） 【奥型例题1】运算性质。 若m是一个奇数，n是一个偶数，那么4m+3n一定是( )数。（填奇” 或偶） 【对应练习1】 任何一个偶数加1后都是( ),任何一个奇数减1后都是( (填奇数或偶数”) 【对应练习2】 48名学生要分成甲、乙两组，如果甲组人数为奇数，则乙组人数为( 数。（填奇或偶) 【对应练习3】 1+2+3+..+999+1000+1001的和是( )(填奇数或偶数)。 【典型例题2】实际应用。 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次 (往返算2次)最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 少年易老学难成， 7/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 ×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南 岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 (1)摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ (2)摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知 小船最初在南岸。 (1)摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 (2)淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 令【考点五】质数与合数。 ⊙【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的： 1.质数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例 如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数。 少年易老学唯成， 8/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 竹前梧互已秋声。 小升初典型例题系列·专题讲义 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题1】质数与合数的认识。 在1,2,14,25,16,29,12,31,91,87这些数中，合数有( ),质 数有( ),奇数有( ),偶数有( ) 【典型例题2】质数与合数的分解组合。 在括号里填上适当的质数。 15=( )( )20=( )+( )+( 【奥型例题3】质数与合数的综合应用。 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同 的因数，个位是偶数，这个数最大是( ) 【对应练习1】 在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( ),偶数有( ) 质数有( ),合数有( ) 【对应缘习2】 在括号里填上合适的质数。 26=( )+( )=( )+( )=( )+ ( ) 【对应练习3】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位 上的数是最大的一位数，这个数是( ) 会【考点六】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先 少年易老学难成， 9/ 一寸光帆不可轻。 未觉池馆春草梦， 竹前梧互已秋声。 6×肥 小升初典型例题系列·专题讲义 求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【奥型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇 数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知 小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与清数问 题。 【方法点拨】 猜数问题综合性较强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义 及一些特殊数。 【典型例题】 小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二 少年易老学难成， 10/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 竹前梧互已秋声。 休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。 —北宋·苏轼《望江南·超然台作》 2026年小升初数学典型例题系列 专题03：数的认识·因数和倍数【十三大考点】 【第一篇】专题解读篇 本专题是专题03：数的认识·因数和倍数。本部分内容包括因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数、最大公因数与最小公倍数的认识及综合应用，内容较多，综合性较强，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 4 【典型例题1】因数与倍数的认识 4 【典型例题2】求因数与倍数 4 【典型例题3】因数与倍数的特征 5 【考点二】2、5、3的倍数特征 6 【考点三】奇数与偶数 10 【考点四】奇数与偶数的运算性质 11 【典型例题1】运算性质 12 【典型例题2】实际应用 13 【考点五】质数与合数 15 【典型例题1】质数与合数的认识 16 【典型例题2】质数与合数的分解组合 16 【典型例题3】质数与合数的综合应用 16 【考点六】连续偶数或奇数的和 16 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与猜数问题 18 【考点八】分解质因数 19 【典型例题1】分解质因数 19 【典型例题2】因数的个数 20 【考点九】公因数与最大公因数 21 【考点十】公倍数与最小公倍数 23 【考点十一】三种特殊情况求最大公因数与最小公倍数 26 【典型例题1】情况一 27 【典型例题2】情况二 29 【典型例题3】情况三 30 【考点十二】最大公因数与两种生活实际问题 31 【典型例题1】分线段问题 31 【典型例题2】分长方形问题 32 【考点十三】最小公倍数与三种生活实际问题 34 【典型例题1】日期或时段问题 34 【典型例题2】同余数问题 36 【典型例题3】同差问题 37 【第三篇】知识总览篇 【第四篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 因数与倍数的特征。 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 3. 求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 4. 求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。 【典型例题1】因数与倍数的认识。 ，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。据此解题。 【详解】4×7＝28，那么28是4和7的倍数，4和7是28的因数。 【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【典型例题2】求因数与倍数。 写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( )    倍数：( ) 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 【分析】根据求一个数的因数方法可得，先写出12的乘数：12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，则12的因数即乘数；根据求一个数的倍数方法可得，从自身开始，用1，2，3……去乘,可以得到；据此填空即可。 【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12； 12的倍数有：12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，……； 则12的50以内的所有倍数有：12、24、36、48。 【典型例题3】因数与倍数的特征。 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。 【对应练习1】 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为15÷5＝3，所以，5是15的因数，15是5的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是解答本题的关键。 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点二】2、5、3的倍数特征。 【方法点拨】 1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系： 【典型例题】 1．127至少增加( )才是3的倍数，至少减少( )才是5的倍数，最少增加( )才是2的倍数。 【答案】 2 2 1 【分析】3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字加起来能够被3整除则这个数也能被3整除。 5的倍数特征：一个数的末尾是0或者5，则这个数能被5整除。 2的倍数特征：一个数的末尾是0、2、4、6、8，则这个数就能被2整除。 127各个数位上的数加起来和是10，当加上2等于12的时候能被3整除，这个数就能被3整除。127的末尾是7，当减去2的时候末尾是5，则就能被5整除；当末尾加上1时末尾是8，则就能被2整除。 【详解】 则127至少增加2才是3的倍数； 则127至少减少2才是5的倍数； 则最少增加1才是2的倍数。 2．如果三位数67□既是2的倍数，又是5的倍数，□可以填( )；如果它既是2的倍数，又是3的倍数，□最大可以填( )。 【答案】 0 8 【分析】既是2的倍数又是5的倍数，说明这个数的个位是0； 既是2的倍数又是3的倍数，说明这个数的个位可能是0、2、4、6、8且各个位数的数字之和能被3整除，据此解答。 【详解】670÷2＝335；670÷5＝134 如果三位数67□既是2的倍数，又是5的倍数，□可以填0； 6＋7＋8＝21，21÷3＝7 所以，如果它既是2的倍数，又是3的倍数，□最大可以填8。 3．用0、2、6、1中的三个数字组成三位数，组成的最小的偶数是( )，组成的最大的3的倍数是( )，组成2、3、5最小的倍数是( )。 【答案】 102 621 120 【分析】偶数是能被2整除的整数。偶数的个位可能是0、2、4、6或8。要想组成最小的偶数，且是三位数，应选择0、1、2这三个数，则个位是2，十位是0，百位是1。 3的倍数的数字特征：这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。要想组成最大的3的倍数，且是三位数，应选择2、6、1这三个数，则个位是1，十位是2，百位是6。 2、3、5的倍数的数字特征：这个数的末尾数字是0，而且各个数位上的数字之和是3的倍数。要想组成2、3、5最小的倍数，且是三位数，应选择1、2、0这三个数，则个位是0，十位是2，百位是1。 【详解】组成的最小的偶数是102；组成的最大的3的倍数是621；组成2、3、5最小的倍数是120。 【对应练习1】 413至少加上( )后是3的倍数，至少加上( )后是5的倍数，至少加上( )后同时是2、3、5的倍数。 【答案】 1 2 7 【分析】一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数；个位上0或5的数，是5的倍数；个位上0、2、4、6、8的数是2的倍数。 【详解】4＋1＋3＝8 8＋1＝9 9是3的倍数，413至少加上（1）是3的倍数。 413＋2＝415 415个位上是5，是5的倍数，所以413至少加上（2）后是 5的倍数。 既是2的倍数，又是5的倍数，个位只能是0，且满足各个数位上的数字相加的和是3的倍数， 413＋7＝420 4＋2＋0＝6 420个位是0，是2和5的倍数，各个数位上的和是6，是3的倍数。 413至少加上（7）后同时是2、3、5的倍数。 【对应练习2】 一个三位数43□，如果既是3的倍数也是5的倍数，□里应填( )；如果既是2的倍数也是3的倍数，□里最大填( )。 【答案】 5 8 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；既是3的倍数也是5的倍数特征：个位数是0或5，且各个数位上的数字和是3的倍数；既是2的倍数也是3的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8，且各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。 【详解】4＋3＋0＝7 4＋3＋5＝12 12是3的倍数，所以435既是3的倍数也是5的倍数，□里应填5； 4＋3＋8＝15 15是3的倍数，所以如果43□既是2的倍数也是3的倍数，□里最大填8。 【对应练习3】 写出由2、5、8组成的能被3整除的最小三位数( )，能被5整除的最小三位数( )，能被2和3同时整除的最大三位数( )。 【答案】 258 285 852 【分析】能被3整除的多位数各个数位上的数字之和也能被3整除，能被5整除的多位数个位是5或0，能被2整除的多位数个位数是偶数，据此解答。 【详解】2＋5＋8＝7＋8＝15，所以由由2、5、8组成的三位数均能被3整除，且2＜5＜8，所以最小的是258；能被5整除，则个位是5，2＜8，所以能被5整除的最小三位数285；2、8均是偶数且8＞2，所以能被2和3同时整除的最大三位数百位是8、个位是2，所以这个三位数是852。 【点睛】熟记被2、3、5整除的数的规律是解本题的关键。 【考点三】奇数与偶数。 【方法点拨】 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的数叫做奇数。根据偶数、奇数的意义解答即可。 【详解】1～20中奇数中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇数是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是2。 【点睛】整数按是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数，不是奇数就是偶数。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【分析】根据题意，首先写出100以内13的倍数，然后根据在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。 【详解】100以内13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、39、65、91；偶数：26、52、78。 【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【分析】不能被2整除的整数叫奇数，能被2整除的整数叫偶数；100是偶数，100以内最大的奇数就是比100少1的数；1～100中有50个奇数，50个偶数，偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。 【详解】根据分析，100以内最大的奇数是99；1～100中所有奇数的和是偶数。 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1，据此解答。 【详解】分析可知，自然数里最小的奇数是1，最小的偶数是0。 【点睛】本题主要考查奇数、偶数的认识，掌握奇数、偶数的意义是解答题目的关键。 【考点四】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的基本性质： 【典型例题1】运算性质。 若m是一个奇数，n是一个偶数，那么4m＋3n一定是( )数。（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此解答。 【详解】m是一个奇数，所以4m表示偶数×奇数＝偶数； 又因为n是一个偶数，所以3n表示奇数×偶数＝偶数； 所以4m＋3n 表示偶数＋偶数＝偶数。 【点睛】本题应根据数的奇偶性原理来解答，结合题意具体分析即可。 【对应练习1】 任何一个偶数加1后都是( )，任何一个奇数减1后都是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇数 偶数 【分析】根据奇数和偶数的定义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；奇数和偶数的性质：奇数和奇数的和与差都是偶数；偶数加、减偶数的和或差都是偶数；奇数与偶数的和与差都是奇数；据此解答即可。 【详解】任何一个偶数加1后都是奇数，任何一个奇数减1后都是偶数。 【点睛】此题考查的目的是理解奇数与偶数的意义以及奇数与偶数的性质。 【对应练习2】 48名学生要分成甲、乙两组，如果甲组人数为奇数，则乙组人数为( )数。（填“奇”或“偶”） 【答案】奇 【分析】根据“奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数”可知，48是偶数，把它分成两个数的和，如果其中一个是奇数，另一个也是奇数，由此求解。 【详解】因为48＝甲组人数＋乙组人数，48是偶数，甲组人数是奇数，因为奇数＋奇数＝偶数，所以乙组人数为奇数。 【点睛】解决本题关键是明确：奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数。 【对应练习3】 1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001的和是( )（填奇数或偶数）。 【答案】奇数 【分析】1～1001中共有500个偶数，501个奇数。根据奇数和偶数的运算性质，任意个偶数相加的和为偶数，奇数个奇数相加的和为奇数，偶数加奇数等于奇数，据此解答。 【详解】1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001＝500个偶数＋501个奇数＝偶数＋奇数＝奇数，即它们的和为奇数。 【点睛】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解题的关键。 【典型例题2】实际应用。 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁； 因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁。 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 【考点五】质数与合数。 【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的： 1.质数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题1】质数与合数的认识。 在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 解析：14，25，16，12，91，87；2，29，31；1，25，29，31，91，87；2，14，16，12 【典型例题2】质数与合数的分解组合。 在括号里填上适当的质数。 15＝( )×( )    20＝( )＋( )＋( ) 解析：3     5     2     7     11 【典型例题3】质数与合数的综合应用。 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 解析：9218 【对应练习1】 在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 解析：17、13、9、1、33；6、2、34；17、13、2；6、9、34、33 【对应练习2】 在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 解析：3；23；7；19；13；13 【对应练习3】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的一位数，这个数是( )。 解析：249 【考点六】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【答案】73、75、77 【分析】用“225÷3＝75”，求出中间的那个奇数，又因为两个连续的奇数相差“2”，进而分别求出另外2个奇数即可。 【详解】 答：这三个奇数分别是73、75、77。 【点睛】解答此题的关键是求出中间的那个奇数，然后根据两个连续的奇数的特征来解答。 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【答案】11、13、15、17、19 【分析】相邻的奇数之间相差2，用五个连续的奇数的和÷5，求出中间奇数，进而推算出其它奇数。 【详解】75÷5＝15 15－2＝13 13－2＝11 15＋2＝17 17＋2＝19 答：这五个奇数分别是11、13、15、17、19。 【点睛】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【答案】49、50、51；29、31、33 【分析】相邻两个自然数相差1，连续的奇数相差2，据此分析。 【详解】150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝51 93÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33 答：三个自然数分别是49、50、51，三个连续奇数各是29、31、33。 【点睛】关键是熟悉自然数和奇数的排列特点，不是2的倍数的数叫奇数。 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】15岁 【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。 【详解】39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊15岁。 【点睛】利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为2是解答题目的关键。 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与猜数问题。 【方法点拨】 猜数问题综合性较强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。 【典型例题】 小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 解析：249119 【对应练习1】 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？ 解析：5212019 【对应练习2】 “天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？ 解析：2016年 【对应练习3】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 解析：9127456 【考点八】分解质因数。 【方法点拨】 1.分解质因数。 指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意。 ①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 【典型例题1】分解质因数。 把下列各数分解质因数。 111        375 【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般从简单的质数试着分解。 【详解】111＝3×37 375＝3×5×5×5 【典型例题2】因数的个数。 已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有( )个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据A＝2×2×3×3，求出A的值，再根据求一个数因数的方法，写出A所有的因数，最后数出因数的个数即可。 【详解】A＝2×2×3×3＝36 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9个因数。 故答案为：D 【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，而且又有因数5，这个这个三位数最大是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 990 990＝2×3×3×5×11 【分析】同时是2、3和5的倍数的特征是，个位上必须是0，且各位上的数字之和是3的倍数；据此解答。 【详解】一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，而且又有因数5，这个三位数最大是990， 把990分解质因数： 990＝2×3×3×5×11。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握同时是2、3和5的倍数的特征，以及分解质因数的方法。 【对应练习2】 已知A=3×7×10，则A一共有( )个因数。 A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【详解】试题分析：A的因数包括1和它的质因数，以及质因数相乘的积；据此找出即可． 解：A=3×7×10=2×3×5×7， 则A的因数有：1、2、3、5、7、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、5×7=35、2×3×5=30、 2×3×7=42、2×5×7=70、3×7×5=105、2×3×5×7=210，共16个； 故选C． 点评：此题也可以运用规律解答：把给定的数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求因数的个数． 【对应练习3】 把111111分解质因数是( )。 【答案】111111＝3×7×11×13×37 【详解】略 【考点九】公因数与最大公因数。 【方法点拨】 1.最大公因数。 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2.求两个数的最大公因数。 （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数。 36和48                    11和13             21，42和70 【答案】12；1；7 【分析】根据求两个（或两个以上）数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数互为质数，那么它们的最大公因数是1；据此解答。 【详解】36和48 36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 则36和48的最大公因数是：2×2×3＝12； 11和13 11和13互为质数，所以11和13的最大公因数是：1； 21，42和70 21＝3×7 42＝2×3×7 70＝2×5×7 则21，42和70的最大公因数是：7。 【对应练习1】 找出下列每组数的最大公因数。 5和36        24和72     14、26和32 【答案】1；24；2 【分析】两数互质，最大公因数是1；两数成倍数关系，最大公因数是较小数；全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】5和36是互质数，5和36的最大公因数是1； 72÷24＝3，24和72的最大公因数是24； 14＝2×7 26＝2×13 32＝2×2×2×2×2 14、26和32的最大公因数是2。 【对应练习2】 写出下面每组数的最大公因数。 15和25                7和15            22和33            35和28 【答案】5；1；11；7 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 两数互质，最大公因数是1，据此求出各组数的最大公因数。 【详解】15＝3×5、25＝5×5 15和25的最大公因数是5； 7和15是互质数，7和15的最大公因数是1； 22＝2×11、33＝3×11 22和33的最大公因数是11； 35＝5×7、28＝2×2×7 35和28的最大公因数是7。 【对应练习3】 写出每组数的最大公因数。 12和18       72和48        78和117        23和32 【答案】6；24；39；1 【分析】当两个数为互质数时，这两个数的最大公因数是1； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数； 其它情况可以用分解质因数找两个数的最大公因数。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 【详解】（1）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是2×3＝6； （2）72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 72和48的最大公因数是2×2×2×3＝24； （3）78＝2×3×13 117＝3×3×13 78和117的最大公因数是3×13＝39； （4）23和32是互质数，所以23和32的最大公因数是1。 【考点十】公倍数与最小公倍数。 【方法点拨】 1.最小公倍数。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数。 （1）列举法；（2）短除法。 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72    36和60    76和80 【答案】216；180；1520 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 可以用短除法进行计算，把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】 3×3×3×8＝216 27和72的最小公倍数是216； 2×2×3×3×5＝180 36和60的最小公倍数是180； 2×2×19×20＝1520 76和80的最小公倍数是1520。 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                8和14                11和34 【答案】60；56；374 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 两数成倍数关系，最小公倍数是较大数；两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】60÷10＝6，10和60的最小公倍数是60； 8＝2×2×2、14＝2×7 2×2×2×7＝56 8和14的最小公倍数是56； 11×34＝374 11和34的最小公倍数是374。 【对应练习2】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24                 15和25                  11和19 【答案】最大公因数6；最小公倍数72；最大公因数5；最小公倍数75；最大公因数1；最小公倍数209 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【详解】（1） 18和24的最大公因数：2×3＝6 18和24的最小公倍数：2×3×3×4＝72 （2） 15和25的最大公因数：5 15和25的最小公倍数：5×3×5＝75 （3）11和19的最大公因数：1 11和19的最小公倍数：11×19＝209 【对应练习3】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12         4和13        7和49           24和15 【答案】12；52；49；120 【分析】最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积；若两个数互为倍数关系，则较大的数就是它们的最小公倍数；若两个数是互质数，则最小公倍数就是它们的乘积。据此计算即可。 【详解】因为12÷3＝4，所以3和12互为倍数关系，所以3和12的最小公倍数是12； 因为4和13互质，所以4和13的最小公倍数是4×13＝52； 因为49是7的倍数，所以7和49的最小公倍数是49； 因为24＝2×2×2×3 15＝3×5 所以24和15的最小公倍数是2×2×2×3×5＝120。 【考点十一】三种特殊情况求最大公因数与最小公倍数。 【方法点拨】 1. 质因数求最大公因数和最小公倍数。 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 2. 互质数求最大公因数与最小公倍数。 （1）公因数只有1的两个数，叫做互质数。 （2）当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 3. 倍数关系求最大公因数与最小公倍数。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题1】情况一。 1. 如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析： A和B公因数只有3，所以3就是最大公因数； A＝2×3×5 ＝6×5 ＝30 B＝3×7＝21 最小公倍数：30×21÷3 ＝630÷3 ＝210 2. 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A＝2×5×N B＝3×5×N A和B的最大公因数是：5N＝35； N＝35÷5＝7 A和B的最小公倍数是：2×3×5×N； 当N＝7时，2×3×5×7＝210； 所以，A和B的最小公倍数是210。 【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。 【对应练习1】 M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：21     462 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此可知2×m＝14，根据等式的性质2，两边同时÷2，即可求出m的值。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】2×m＝14 解：2×m÷2＝14÷2 m＝7 2×3×5×7＝210 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是7，a和b的最小公倍数是210。 【点睛】关键是理解最大公因数和最小公倍数的意义，掌握最大公因数和最小公倍数的求法。 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 4 120 【分析】由题意可知，B＝2×3m＝2m×3，则A和B的最大公因数是2m，A和B的最小公倍数是2m×3×5，据此解答。 【详解】A＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，则2m是两个数的最大公因数，m＝8÷2＝4，A和B的最小公倍数是2×4×3×5＝120，所以m＝4，A和B的最小公倍数是120。 【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的求法，根据两个数的最大公因数求出m的值是解答题目的关键。 【典型例题2】情况二。 b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1     bt 【对应练习1】 两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1     它们的乘积 【对应练习2】 如果a，b的公因数只有1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 解析：1     ab 【对应练习3】 如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），则a和b是两个相邻的自然数，它们的公因数只有1，所以a和b互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数的求法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 【典型例题3】情况三。 如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】若两个数是倍数关系，则较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。据此填空即可。 【详解】因为a＝3b，所以a÷b＝3 则a和b的最大公因数是b；最小公倍数是a。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确互为倍数关系的特殊求法是解题的关键。 【对应练习1】 如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b 【分析】若两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数。 【详解】因为a＝2b，所以a÷b＝2；则a和b成倍数关系； a和b的最小公倍数是a，a和b的最大公因数是b。 因此如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是a，最大公因数是b。 【点睛】本题考查最大公因数和最小公倍数，明确两个数成倍数关系，则较大数就是它们的最小公倍数，较小数就是它们的最大公因数是解题的关键。 【对应练习2】 如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 C B 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】由分析可知：如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是C，最大公因数是B。 【点睛】本题主要考查了求最大公因数和最小公倍数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 【对应练习3】 如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 B A 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；据此解答。 【详解】如果A＝7B 则A和B是倍数关系，那么A和B的最大公因数是B，最小公倍数是A。 【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数的求法。 【考点十二】最大公因数与两种生活实际问题。 【方法点拨】 1. 分线段问题。 （1）分析每小段的长度和每条线段长度的关系； （2）短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 2. 分长方形问题。 （1）分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； （2）短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形 【典型例题1】分线段问题。 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 解析： 56＝2×2×2×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×2＝8 每段最长是8分米， （56＋48）÷8 ＝104÷8 ＝13（段） 答：每段最长是8分米，一共能剪成13段。 【典型例题2】分长方形问题。 选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？ 解析： 28＝2×2×7 12＝2×2×3 2×2＝4（厘米） 28×12÷（4×4） ＝336÷16 ＝21（张） 正方形的边长是4厘米，一共可以裁成21张。 【对应练习1】 有两根彩带，一根长45厘米，另一根长60厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？ 解析： 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 45和60的最大公因数是：3×5＝15。 即每根短彩带最长是15厘米。 （45÷15）＋（60÷15） ＝3＋4 ＝7（根） 答：每根短彩带最长是15厘米，一共可以剪成7根。 【对应练习2】 把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？ 解析： 48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（厘米） 48×36÷（12×12） ＝1728÷144 ＝12（个） 答：至少可以裁成12个正方形，每个正方形的边长是12厘米。 【对应练习3】 李伯伯家挖了一个长15分米，宽10分米，深8分米的长方体水池。 （1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的蓝色地砖？ （2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要10块同样大小的白色瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不计） 解析： （1） 15和10的最大公因数为5，所以蓝色地砖的边长最大是5分米。 （15×10）÷（5×5） ＝150÷25 ＝6（块） 答：蓝色地砖的边长最大是5分米，一共需要6块这样的蓝色地砖。 （2）（15×8＋10×8）×2 ＝（120＋80）×2 ＝200×2 ＝400（平方分米） 400平方分米＝4平方米 4×10＝40（块） 答：这个水池一共需要40块这样的白色瓷砖。 【考点十三】最小公倍数与三种生活实际问题。 【方法点拨】 1. 日期或时段问题。 日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 2. 同余数问题。 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上 3. 同差问题。 差相同时，加上差得到整除。 【典型例题1】日期或时段问题。 1. 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 解析： 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数就是：2×2×2×3＝24。 即过24分钟两路车第二次同时发车。 答：这两路公共汽车同时发车后，过24分钟两路车第二次同时发车。 2. 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 解析： 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 4月25日＋48天＝6月12日 答：下一次都到图书馆是6月12日。 【对应练习1】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 解析： 5、8、10的最小公倍数：5×2×1×4×1＝40 所以，再经过40分钟1路、2路、15路车第二次同时发车。 6时＋40分钟＝6时40分 答：它们第二次同时发车是6时40分。 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 解析： 5和4的最小公倍数为：4×5=20， 3＋20=23 所以，下次遇到是在5月23日。 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 解析： 3＋1＝4（天） 4＋1＝5（天） 因为4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是；4×5＝20。 即20天后，爸爸和妈妈同时休息。 5＋20＝25（日） 即3月25日爸爸和妈妈会再次同时休息。 3月有31天，31－25＝6（天） 20－6＝14（日） 即4月14日爸爸和妈妈会再次同时休息。 答：3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有3天，分别是3月5日，3月25日，4月14日。 【典型例题2】同余数问题。 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 解析： 8＝2×2×2 14＝2×7 8和14的最小公倍数是2×7×2×2＝56 56＋1＝57（个） 答：这筐苹果至少有57个。 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 解析： 5×6＋3 ＝30＋3 ＝33（人） 答：这个舞蹈队至少有33人。 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 解析： 4×7＋3 ＝28＋3 ＝31（个） 答：这箱苹果至少有31个。 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 解析： 9×11＋1 ＝99＋1 ＝100（棵） 答：这批树苗至少有100棵。 【典型例题3】同差问题。 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 解析： 由题可知，这些糖果加上1块就变为了8和6的公倍数，通过短除法求出最小公倍数为24，则这些糖果最少有23块。 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数； 解析： （人） （人） 所以这个班至少有52人。 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 解析： 4和6的最小公倍数是12； （颗） 所以这些糖果至少有10颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 解析： 4×5×7－3 ＝140－3 ＝137（个） 答：这些贝壳至少有137个。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 休对故人思故国，且将新火试新茶。诗酒趁年华。 —北宋·苏轼《望江南·超然台作》 2026年小升初数学典型例题系列 专题03：数的认识·因数和倍数【十三大考点】 【第一篇】专题解读篇 本专题是专题03：数的认识·因数和倍数。本部分内容包括因数与倍数、奇数与偶数、质数与合数、最大公因数与最小公倍数的认识及综合应用，内容较多，综合性较强，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，一共划分为十三个考点，欢迎使用。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 4 【典型例题1】因数与倍数的认识 4 【典型例题2】求因数与倍数 4 【典型例题3】因数与倍数的特征 4 【考点二】2、5、3的倍数特征 5 【考点三】奇数与偶数 6 【考点四】奇数与偶数的运算性质 6 【典型例题1】运算性质 7 【典型例题2】实际应用 7 【考点五】质数与合数 8 【典型例题1】质数与合数的认识 9 【典型例题2】质数与合数的分解组合 9 【典型例题3】质数与合数的综合应用 9 【考点六】连续偶数或奇数的和 9 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与猜数问题 10 【考点八】分解质因数 11 【典型例题1】分解质因数 12 【典型例题2】因数的个数 12 【考点九】公因数与最大公因数 12 【考点十】公倍数与最小公倍数 13 【考点十一】三种特殊情况求最大公因数与最小公倍数 14 【典型例题1】情况一 15 【典型例题2】情况二 15 【典型例题3】情况三 15 【考点十二】最大公因数与两种生活实际问题 16 【典型例题1】分线段问题 16 【典型例题2】分长方形问题 17 【考点十三】最小公倍数与三种生活实际问题 18 【典型例题1】日期或时段问题 18 【典型例题2】同余数问题 19 【典型例题3】同差问题 20 【第三篇】知识总览篇 【第四篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 因数与倍数的特征。 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 3. 求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 4. 求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。 【典型例题1】因数与倍数的认识。 ，那么28是4和7的( )，4和7是28的( )。 【典型例题2】求因数与倍数。 写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( )    倍数：( ) 【典型例题3】因数与倍数的特征。 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习1】 因为15÷5＝3，所以，5是15的( )，15是5的( )。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【考点二】2、5、3的倍数特征。 【方法点拨】 1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系： 【典型例题】 1．127至少增加( )才是3的倍数，至少减少( )才是5的倍数，最少增加( )才是2的倍数。 2．如果三位数67□既是2的倍数，又是5的倍数，□可以填( )；如果它既是2的倍数，又是3的倍数，□最大可以填( )。 3．用0、2、6、1中的三个数字组成三位数，组成的最小的偶数是( )，组成的最大的3的倍数是( )，组成2、3、5最小的倍数是( )。 【对应练习1】 413至少加上( )后是3的倍数，至少加上( )后是5的倍数，至少加上( )后同时是2、3、5的倍数。 【对应练习2】 一个三位数43□，如果既是3的倍数也是5的倍数，□里应填( )；如果既是2的倍数也是3的倍数，□里最大填( )。 【对应练习3】 写出由2、5、8组成的能被3整除的最小三位数( )，能被5整除的最小三位数( )，能被2和3同时整除的最大三位数( )。 【考点三】奇数与偶数。 【方法点拨】 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n-1表示。 3.整数：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4.自然数：像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【考点四】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的基本性质： 【典型例题1】运算性质。 若m是一个奇数，n是一个偶数，那么4m＋3n一定是( )数。（填“奇”或“偶”） 【对应练习1】 任何一个偶数加1后都是( )，任何一个奇数减1后都是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【对应练习2】 48名学生要分成甲、乙两组，如果甲组人数为奇数，则乙组人数为( )数。（填“奇”或“偶”） 【对应练习3】 1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001的和是( )（填奇数或偶数）。 【典型例题2】实际应用。 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【考点五】质数与合数。 【方法点拨】 质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的： 1.质数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只要两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意：0、1既不是质数，也不是合数。 【典型例题1】质数与合数的认识。 在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87这些数中，合数有( )，质数有( )，奇数有( )，偶数有( )。 【典型例题2】质数与合数的分解组合。 在括号里填上适当的质数。 15＝( )×( )    20＝( )＋( )＋( ) 【典型例题3】质数与合数的综合应用。 一个四位数，最高位是3的倍数，百位上是最小的质数，十位是所有整数共同的因数，个位是偶数，这个数最大是( )。 【对应练习1】 在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 【对应练习2】 在括号里填上合适的质数。 26＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 【对应练习3】 一个三位数，百位上的数既是质数又是偶数，十位上的数是最小的合数，个位上的数是最大的一位数，这个数是( )。 【考点六】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与猜数问题。 【方法点拨】 猜数问题综合性较强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。 【典型例题】 小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？ 【对应练习1】 东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？ 【对应练习2】 “天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？ 【对应练习3】 洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。 聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？ 【考点八】分解质因数。 【方法点拨】 1.分解质因数。 指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意。 ①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径； ②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。 【典型例题1】分解质因数。 把下列各数分解质因数。 111        375 【典型例题2】因数的个数。 已知A＝2×2×3×3，那么A的因数一共有( )个。 A．4 B．6 C．8 D．9 【对应练习1】 一个三位数既是2的倍数，又是3的倍数，而且又有因数5，这个这个三位数最大是( )，把它分解质因数是( )。 【对应练习2】 已知A=3×7×10，则A一共有( )个因数。 A．6 B．12 C．16 D．20 【对应练习3】 把111111分解质因数是( )。 【考点九】公因数与最大公因数。 【方法点拨】 1.最大公因数。 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 2.求两个数的最大公因数。 （1）列举法；（2）短除法 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示。 【典型例题】 求下面各组数的最大公因数。 36和48                    11和13             21，42和70 【对应练习1】 找出下列每组数的最大公因数。 5和36         24和72      14、26和32 【对应练习2】 写出下面每组数的最大公因数。 15和25                7和15            22和33            35和28 【对应练习3】 写出每组数的最大公因数。 12和18        72和48         78和117         23和32 【考点十】公倍数与最小公倍数。 【方法点拨】 1.最小公倍数。 几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2.求最小公倍数。 （1）列举法；（2）短除法。 3.短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。 注意：求两个数的最小公因数用中括号表示。 【典型例题】 求下面每组数的最小公倍数。 27和72    36和60     76和80 【对应练习1】 求下面各组数的最小公倍数。 10和60                8和14                11和34 【对应练习2】 求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24                 15和25                  11和19 【对应练习3】 求下面各组数的最小公倍数。 3和12         4和13        7和49           24和15 【考点十一】三种特殊情况求最大公因数与最小公倍数。 【方法点拨】 1. 质因数求最大公因数和最小公倍数。 求两数的最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积。 2. 互质数求最大公因数与最小公倍数。 （1）公因数只有1的两个数，叫做互质数。 （2）当两个数是互质关系时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 3. 倍数关系求最大公因数与最小公倍数。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 【典型例题1】情况一。 1. 如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2. 把自然数A和B分解质因数得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因数是35，则A和B的最小公倍数是( )。 【对应练习1】 M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然数且m不等于0），如果a与b的最大公因数是14，则m是( )，a和b的最小公倍数是( )。 【对应练习3】 如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因数是8，那么m＝( )，A和B的最小公倍数是( )。 【典型例题2】情况二。 b和t是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习1】 两个连续的自然数（均不为0），它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习2】 如果a，b的公因数只有1，那它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【对应练习3】 如果a－1＝b（a、b分别为非零的自然数），那么a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【典型例题3】情况三。 如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然数，那么a和b的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。 【对应练习1】 如果a＝2b（a、b均为大于9的整数），则a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【对应练习2】 如果自然数C是B的5倍，则B与C的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【对应练习3】 如果A＝7B，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【考点十二】最大公因数与两种生活实际问题。 【方法点拨】 1. 分线段问题。 （1）分析每小段的长度和每条线段长度的关系； （2）短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是每个小段的长度还是求一共可以分成多少个小段。 2. 分长方形问题。 （1）分析每个小正方形的边长和大长方形的长、宽之间的关系； （2）短除法求最大公因数。 注意：要看清题目问的是小正方形的边长还是求一共可以分成多少个小正方形 【典型例题1】分线段问题。 用下面的两种彩带包装礼品盒。现在要把它们剪成同样长的小段且没有剩余，每段最长是多少分米？一共能剪成几段？ 【典型例题2】分长方形问题。 选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？ 【对应练习1】 有两根彩带，一根长45厘米，另一根长60厘米。现在要把它们剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成几根？ 【对应练习2】 把一块长48厘米，宽36厘米的长方形硬纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸板没有剩余。至少可以裁成多少个正方形？每个正方形的边长是多少厘米？ 【对应练习3】 李伯伯家挖了一个长15分米，宽10分米，深8分米的长方体水池。 （1）现在要用边长是整分米数的蓝色正方形地砖把这个水池的底面铺满（使用的地砖必须都是整块），蓝色地砖的边长最大是几分米？一共需要多少块这样的蓝色地砖？ （2）如果把水池内壁的四周贴上白色瓷砖，每平方米需要10块同样大小的白色瓷砖，那么这个水池一共需要多少块这样的白色瓷砖？（蓝色地砖的厚度忽略不计） 【考点十三】最小公倍数与三种生活实际问题。 【方法点拨】 1. 日期或时段问题。 日期问题也是典型的公倍数问题，注意分析有没有到下个月，以及每个月最后一天是几号。 2. 同余数问题。 余数相同时，减去余数得到整除，遇到有剩余且剩余的数量一样多时，先求最小公倍数，再把剩余的加上 3. 同差问题。 差相同时，加上差得到整除。 【典型例题1】日期或时段问题。 1. 我市7路和10路公共汽车的起点站都在汽车西站。这两路公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车第二次同时发车？ 7路：每隔6分钟发一次车10路：每隔8分钟发一次车 2. 甲、乙、两人到图书馆去借书，甲每12天去一次，乙每16天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【对应练习1】 1路车每5分钟发一次车，2路车每8分钟发一次车，15路车每10分钟发一次车。6时，1路、2路、15路车第一次同时发车，它们第二次同时发车是几时几分？ 【对应练习2】 小明和小红都喜欢去图书馆看书，小明每5天去一次，小红每4天去一次，5月3日，他们一起到了图书馆，下次遇到是在几月几日? 【对应练习3】 爸爸和妈妈都不是按双休日休息，爸爸每工作3天轮休1天，妈妈每工作4天轮休1天，3月5日爸爸妈妈同时休息。按此计算，3，4两个月爸爸和妈妈同时休息的有几天？分别是哪几天？ 【典型例题2】同余数问题。 现在有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给14个人，结果都剩下1个。这筐苹果至少有多少个？ 【对应练习1】 庆祝“建党100周年”文艺汇演节目排练中，舞蹈队形排列不管是5人一队，还是6人一队，都多3人。这个舞蹈队至少有多少人？ 【对应练习2】 把一箱苹果平均分给一些小朋友，不管是每人分4个苹果，还是每人分7个苹果，都多3个。这箱苹果至少有多少个？ 【对应练习3】 五年级三班买来一批树苗，分给同学们种植。每组同学分9棵，余1棵：每组同学分11棵，也余1棵。这批树苗至少有几棵？ 【典型例题3】同差问题。 有一些糖果，平均分给8个人多7块，平均分给6个人多5块，这些糖果最少有多少块? 【对应练习1】 某班同学排队，排成7排多3人，排成8排少4人。这个班至少有( )人。 加上4人后，总人数既是7的倍数，也是8的倍数； 【对应练习2】 把一些糖果平均分给4个小朋友或6个小朋友都少2颗，这些糖果至少有( )颗。 【对应练习3】 一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；7个7个地数，最后少3个。这些贝壳至少有多少个？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的×巴 作 少年易老学唯成， 1 未觉池馆春草梦， 小升初典型例题系列·专题讲义 诗酒趁年 北宋·苏轼《望江南·超然台 。 休对故人思故国 ,且将新火试新茶 一寸光阳不可轻。 价前梧反已秋声。 6×肥 小升初典型例题系列·专题讲义 2026年小升初数学典型例题系列 专题03：数的认识·因数和倍数【十三大考点】 凸【第一篇】专题解读篇 本专题是专题03：数的认识·因数和倍数。本部分内容包括因数与倍数、奇 数与偶数、质数与合数、最大公因数与最小公倍数的认识及综合应用，内容较多， 综合性较强，建议作为小升初复习基础内容进行讲解，一共划分为十三个考点， 欢迎使用。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数 …4 【典型例题1】因数与倍数的认识.… .4 【典型例题2】求因数与倍数… 【典型例题3】因数与倍数的特征 盒【考点二】2、5、3的信数特征 盒【考点三】奇数与偶数 .10 会【考点四】奇数与偶数的运算性质 【典型例题1】运算性质… 【典型例题2】实际应用 【考点五】质数与合数 【典型例题1】质数与合数的认识. 16 【典型例题2】质数与合数的分解组合 16 【典型例题3】质数与合数的综合应用. ..16 连续偶数或奇数的和… 【考点七】因数、倍数、奇数、偶数、质数、合数综合与猜数问题…18 少年易老学唯成， 2/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 【考点八】分解质因数 19 【典型例题1】分解质因数… .20 【典型例题2】因数的个数…… 20 【考点九】公因数与最大公因数…。 .…21 【考点十】公倍数与最小公倍数… .24 【考点十一】三种特殊情况求最大公因数与最小公倍数 .27 【典型例题1】情况一… .27 【典型例题2】情况二 .29 【典型例题3】情况三… 【考点十二】最大公因数与两种生活实际问题…… .32 【典型例题1】分线段问题 .32 【典型例题2】分长方形问题… 32 盒【考点十三】最小公倍数与三种生活实际问题 .35 【典型例题1】日期或时段问题… ...35 【典型例题2】同余数问题 .37 【典型例题3】同差问题 .38 价I【第三篇】知识总览篇 知识点 内容 易错警示 1.一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它 本身。 2.一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大 因数、倍数 的倍数。 1,一个数的最大因数 3.个位上是02、4、6、8的非零自然数是2的倍数；个位上是0或5的 与最小倍数相等。 非零自然数是5的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍 2.两个不同的质数 数，这个数就是3的倍数。 定互质，但是互质 的两个数不一定都 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数 奇数、偶数 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数 是质数。 质数只有两个因数，最小的质数是2,2也是唯一的偶质数：合数至少 质数、合数 有三个因数，最小的合数是4：1既不是质数也不是合数 【第四篇】奥型例题篇 少年老学唯成， 3/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6× 学 小升初典型例题系列·专题讲义 会【考点一】因数与倍数。 ⊙ 【方法点拨】 1.因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：aXb=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因 数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.因数与倍数的特征。 (1)一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本 身。 (2)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 3.求一个数的因数的方法：列乘法或除法算式。 4.求一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非0自然数。 【奥型例题1】因数与倍数的认识。 4×7=28,那么28是4和7的( ),4和7是28的( 【答案】 倍数 因数 【分析】a×b=c(a、b、c均为非0自然数)，那么a和b是c的因数，c是a 和b的倍数。据此解题。 【详解】4×7=28，那么28是4和7的倍数，4和7是28的因数。 【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。 【奥型例题2】求因数与倍数。 写出12的所有因数和50以内的所有倍数： 因数：( 倍数：( 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 【分析】根据求一个数的因数方法可得，先写出12的乘数：12=1×12,12= 2×6,12=3×4,则12的因数即乘数；根据求一个数的倍数方法可得，从自身 少年易老学唯成， 4/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 竹前梧互已秋声。 6×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 开始，用1,2,3.…去乘，可以得到；据此填空即可。 【详解】12的因数有：1、2、3、4、6、12： 12的倍数有：12×1=12,12×2=24,12×3=36,12×4=48， 则12的50以内的所有倍数有：12、24、36、48。 【奥型例题3】因数与倍数的特征。 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( ),最大是 ( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解 答即可。 【详解】24的最大因数是24,8的最小倍数是8,24÷8=3，即24是8的倍 数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是 8,最大是24。 【对应练习1】 因为15÷5=3，所以，5是15的( ),15是5的( 【答案】 因数 倍数 【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的 倍数，除数和商是被除数的因数，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 因为15÷5=3，所以，5是15的因数，15是5的倍数。 【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。 【对应缘习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是 它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法 是解答本题的关键。 时年易老学唯成， 5/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6×肥 小升初典型例题系列·专题讲义 【对应缘习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A一5的最小倍数；B一最小的自然数； C一5的最大因数；D一既是4的倍数，又是4的因数； E一所有因数是1、2、3、6； F一所有因数是1,3；G一只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除(b≠0)，a就叫做b 的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1， 最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身， 最小的自然数是0,1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4： 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1,3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 令【考点二】2、5、3的倍数特征。 ⊙ 【方法点拨】 1.个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征： 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.2、5、3倍数特征之间的联系： 少年易老学唯成， 6/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 竹前梧互已秋声。 6× 小升初典型例题系列·专题讲义 2、3的 个位上是0,2,4,6,8，且各个数位 倍数 上的数字之和是3的倍数。 3、5的 个位上是0,5，且各个数位上的数 倍数 字之和是3的倍数。 个位上是0，且各个数位上的数字 2、3、5 之和是3的倍数。 的倍数 【奥型例题】 1.127至少增加( )才是3的倍数，至少减少( )才是5的倍数， 最少增加( )才是2的倍数。 【答案】 2 2 1 【分析】3的倍数的特征：一个数的各个数位上的数字加起来能够被3整除则 这个数也能被3整除。 5的倍数特征：一个数的末尾是0或者5，则这个数能被5整除。 2的倍数特征：一个数的末尾是0、2、4、6、8，则这个数就能被2整除。 127各个数位上的数加起来和是10，当加上2等于12的时候能被3整除，这个 数就能被3整除。127的末尾是7，当减去2的时候末尾是5，则就能被5整 除；当未尾加上1时末尾是8，则就能被2整除。 【详解】1+2+7=10 10+2=12 127+2=129 129÷3=43 则127至少增加2才是3的倍数； 127-2=125 125÷5=25 则127至少减少2才是5的倍数； 127+1=128 少年易老学唯成， 7/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 128÷2=64 则最少增加1才是2的倍数。 2.如果三位数67口既是2的倍数，又是5的倍数，口可以填( )；如果 它既是2的倍数，又是3的倍数，口最大可以填( 【答案】 0 8 【分析】既是2的倍数又是5的倍数，说明这个数的个位是0： 既是2的倍数又是3的倍数，说明这个数的个位可能是0、2、4、6、8且各个 位数的数字之和能被3整除，据此解答。 【详解】670-2=335；670÷5=134 如果三位数67口既是2的倍数，又是5的倍数，口可以填0； 6+7+8=21,21÷3=7 所以，如果它既是2的倍数，又是3的倍数，口最大可以填8。 3.用0、2、6、1中的三个数字组成三位数，组成的最小的偶数是 ),组成的最大的3的倍数是( ),组成2、3、5最小的倍数是 ( )。 【答案】 102 621 120 【分析】偶数是能被2整除的整数。偶数的个位可能是0、2、4、6或8。要想 组成最小的偶数，且是三位数，应选择0、1、2这三个数，则个位是2，十位 是0，百位是1。 3的倍数的数字特征：这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数。要想组成 最大的3的倍数，且是三位数，应选择2、6、1这三个数，则个位是1，十位 是2，百位是6。 2、3、5的倍数的数字特征：这个数的末尾数字是0，而且各个数位上的数字之 和是3的倍数。要想组成2、3、5最小的倍数，且是三位数，应选择1、2、0 这三个数，则个位是0，十位是2，百位是1。 【详解】组成的最小的偶数是102；组成的最大的3的倍数是621；组成2、 3、5最小的倍数是120。 【对应练习1】 413至少加上( )后是3的倍数，至少加上( )后是5的倍数，至 少年易老学唯成， 8/ 一寸光刚不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。 6×巴 小升初典型例题系列·专题讲义 少加上( )后同时是2、3、5的倍数。 【答案】 2 7 【分析】一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数；个 位上0或5的数，是5的倍数；个位上0、2、4、6、8的数是2的倍数。 【详解】4+1+3=8 8+1=9 9是3的倍数，413至少加上(1)是3的倍数。 413+2=415 415个位上是5，是5的倍数，所以413至少加上(2)后是5的倍数。 既是2的倍数，又是5的倍数，个位只能是0，且满足各个数位上的数字相加 的和是3的倍数， 413+7=420 4+2+0=6 420个位是0，是2和5的倍数，各个数位上的和是6，是3的倍数。 413至少加上(7)后同时是2、3、5的倍数。 【对应练习2】 一个三位数43口，如果既是3的倍数也是5的倍数，口里应填( )；如果 既是2的倍数也是3的倍数，口里最大填( )0 【答案】 5 8 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0 或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；既是3的倍数也是5的 倍数特征：个位数是0或5，且各个数位上的数字和是3的倍数；既是2的倍 数也是3的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8，且各个数位上的数字和是3 的倍数；据此解答。 【详解】4+3+0=7 4+3+5=12 12是3的倍数，所以435既是3的倍数也是5的倍数，口里应填5； 4+3+8=15 15是3的倍数，所以如果43口既是2的倍数也是3的倍数，口里最大填8。 少年易老学唯成， 9/ 一寸光帆不可轻。 未觉池馆春草梦， 竹前梧互已秋声。 6×肥 小升初典型例题系列·专题讲义 【对应缘习3】 写出由2、5、8组成的能被3整除的最小三位数( ),能被5整除的最 小三位数( ),能被2和3同时整除的最大三位数( ) 【答案】 258 285 852 【分析】能被3整除的多位数各个数位上的数字之和也能被3整除，能被5整 除的多位数个位是5或0，能被2整除的多位数个位数是偶数，据此解答。 【详解】2+5+8=7+8=15，所以由由2、5、8组成的三位数均能被3整除， 且2<5<8，所以最小的是258；能被5整除，则个位是5,2<8，所以能被5 整除的最小三位数285；2、8均是偶数且8>2，所以能被2和3同时整除的最 大三位数百位是8、个位是2，所以这个三位数是852。 【点睛】熟记被2、3、5整除的数的规律是解本题的关键。 令【考点三】奇数与偶数。 ⊙)【方法点拨】 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数)，习惯用2表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2-1表示。 3.整数：像-3、-2、-1、0、1、2、3、…都是整数。 4.自然数：像0、1、2、3、4、…都是自然数。 【典型例题】 1~20中，最大的奇数是( ),最小的偶数是( 【答案】 19 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的数叫做奇数。根据 偶数、奇数的意义解答即可。 【详解】1~20中奇数中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇 数是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是2。 【点睛】整数按是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整 数，不是奇数就是偶数。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( ),偶数有( )。 少年易老学唯成， 10/ 一寸光阳不可轻。 未觉池馆春草梦， 价前梧反已秋声。