(八)离散型随机变量及其分布列、正态分布- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(湘教版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (八)离散型随机变量及其分布列、正态分布 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)=,e一，则 e 2√π A.4=2,o=1 B.=1,o=√2 C.=1,o=2 D.=1,6=4 2.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.3,设Y=2X一2025，则D(Y)= A.0.4 B.0.7 C.0.84 D.-2024.16 3已知随机变量的分布列为P(5=)=2,k=1,23,4,5,6其中C为常数，则 P(≥5)= A员 B月 C 4.离散型随机变量X的分布列如表，则P(X=0)= X -1 0 1 1 3 1-2q 30-9+3 A司 c号 D 5.若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停 止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为（≠0），制作次数为X, 若X的数学期望E(X)>子，则p的取值范围为 A(o,) B(品) c.(o,2) D.( 6.高三某班有的学生数学成绩优秀，从该班随机选出5名学生，记其中数学成绩优秀 的学生人数为X,则P(X=k)取最大值时k的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 数学（湘教版）选择性必修第二册第1页（共4页）》 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.在某市的一次高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布 N(41,o1),N(2o2),V(3,o),其正态分布密度曲线如图所示，则 A.1=2>3 B.1<=3 C.01=62<03 D.61=02>03 8.泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的 次数，其分布列为P(X=)=行e2(=0.1,2…),其中e为自然对数的底数入是 泊松分布的均值.当二项分布的n很大(n≥2000)，而p很小（≤0.05）时，泊松分布 可作为二项分布的近似，且入取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有 10000个核苷酸对，当采用0.05J/m紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧 啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y, P(Y=k)表示经该种紫外线照射后产生个嘧啶二体的概率.已知Y近似服从泊松 分布，且当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡.下列说法正确的有 A.λ=5 B.P(Y≥2)=1-5e5 C.大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为e5 D.经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知随机变量X~N(4,o2),P(X≥-2)+P(X≥4)=1，且P(X≤-3)=0.3，则 P(-3<X<5)= 10.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现在门大炮同时对某一目标各射击一 次，则当n=10时，恰好击中目标3次的概率为 (精确到0.001)；如果使目 标至少被击中一次的概率超过95%，则至少需要 门大炮.（参考数据： 0.33×0.77≈0.002224,1g2≈0.3010,1g7≈0.8451)（本题第一空2分，第二空3分） 高二同步周测卷八 数学（湘教版）选择性必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低 碳”项目供选择：项目一是新能源汽车，根据市场调研，若投资到该项目上，到年底可 能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为，号：项日二是通 信设备，根据市场调研，若投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，号·六设项目一、项目二投资 的收益分别为5万元和52万元. (1)分别写出随机变量⑤和2的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投 资项目，并说明理由. 12.(本小题满分15分) 某校为了解高二学生每天作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对 他们每天完成各科作业的总时长进行了调查，统计结果如表所示： 时长（小时） [0,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4] 人数 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每名学生完成各科作业的时长互不影响. (1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的 概率； (2)从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，记这3人中有Y人可以在3 小时内完成各科作业，求Y的数学期望； (3)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，记这3 人中有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望 数学（湘教版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题 13.(本小题满分20分) 某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和 复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百的学生可以参加复赛.已知该市共 有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛 成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图， 忄频率/组距 0.032 8828 883 0.005 030405060708090100预赛成绩/分 (1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于70分的学 生中随机抽取2人，求至少有1人的预赛成绩为优良的概率； (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z近似服从正态 分布N(,σ2)，其中μ可近似为样本中100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据 用该组区间的中点值作代表)，σ2=214.若小明的预赛成绩为96分，利用该正态分 布，估计小明是否有资格参加复赛？ (3)复赛规则如下：①复赛题目由A,B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答 或答错得0分，答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A,B两类问题的答题 顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问 题.已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为 0.6,答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲 应选择先回答哪类问题？并说明理由 附：若随机变量Z~V(μ，o),则P(u一o≤Z≤μ十o)≈0.6827，P(μ一2o≤Z≤十 2o)≈0.9545，P(u-3o≤Z≤u+3o)≈0.9973；√214≈15. 高二同步周测卷八 数学（湘教版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) V ② ③④ Θ 档次系数 1 选择题 5 概率密度函数 易 0.80 2 选择题 5 两点分布 易 0.75 3 选择题 5 利用分布列求概率 / 易 0.70 4 选择题 利用分布列求参 中 0.60 5 选择题 5 由数学期望求参 的 0.45 二项分布概率的最值 6 选择题 问题 务 0.30 7 选择题 6 正态分布密度曲线 易 0.75 8 选择题 与数学文化有关的二 项分布问题 L 难」 0.28 9 填空题 5 由正态分布密度曲线 0.69 的对称性求概率 L 中 二项分布与不等式的 10 填空题 5 综合 浓 0.45 随机变量的分布列，利 11解答题 13 用期望与方差进行方 / / / 分 0.65 案决策 12 解答题 15 超几何分布与二项分 布的综合 L 分 0.45 正态分布，概率与统计 13 解答题 20 L 少 0.35 的综合 ·83· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 昏考答案及解析 一、选择题 6e5,故B错误；由题可知当Y=0时，大肠杆菌会存 1.B【解析】由概率密度函数f(x)=e2- 活，所以大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率 2 5 为PY=0)=ei=e5,故C正确： 2X√2元ex(),得=1，o=2.故选B, 1 50+1 2.C【解析】因为随机变量X服从两点分布， PYt+1)-PY=)=ei-若e5- P(X=1)=0.3,所以D(X)=0.3×(1-0.3)= []e=(年-)是，当0e<4 「5+157 0.21,又Y=2X-2025,所以D(Y)=D(2X- 2025)=2D(X)=4×0.21=0.84.故选C. 时，P(Y=k十1)-P(Y=k)>0,当k=4时， P(Y=k十1)-P(Y=k)=0,当k>4时， 3.A【解析】由题可得（子十名十言十克十高十 P(Y=k十1)一P(Y=k)<0,故当k=4或5时， )c=1,解得C=器P(≥5)=P(=5)十 P(Y=k)取最大值，故D错误.故选AC. 三、填空题 P(=6)=器×（得+）=分放选A 9.0.4【解析】因为P(X≥-2)十P(X≥4)=1，所 以P(X≥4)=P(X<-2),则=1，因为P(X≤ 4.B【解析】由题可得子十1-29十3对-g十号=1，即 -3)=0.3,所以P(-3<X<5)=1-2×0.3=0.4. 10.0.2679【解析】10门大炮同时对某一目标各射 (3g-1)(3g-2)=0解得g=号或g=号，当9 击一次，设击中目标的次数为X,则X~B(10,0.3), 故恰好击中目标3次的概率为C1。×0.33× 号时1-24<0，不符合题意q=子∴P(X=0) (1一0.3)7≈0.267.n门大炮同时对某一目标各射 击一次，击中0次的概率为(1一0.3)”=0.7，则至 =1-2g=3,故选B. 少击中一次的概率为1一0.7"，则1一0.7">95%， 5.C【解析】由题意知X的可能取值为1,2,3，则 即nlg0.7<1g0.05,解得n>lg0.05=1lg2≈ P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)= 1g0.71g7-1 (1-p)2,所以E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+ -1一0.3010≈8.4，又n∈N”,所以如果使目标至 0.8451-1 3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+ 少被击中一次的概率超过95%，至少需要9门 3>子，解得p>号或<号，又pE(0,1,所以p∈ 大炮. 四、解答题 (0,号)故选C 11.解：(1)随机变量的分布列如表， 6.B【解析】由题知X~B(5,),P(X=) 400 -100 (保)由-X 号 c()广()≥c()》() (3分) 得 ©（宁广(）g()'（() 随机变量的分布列如表. 500 300 0 得号<≤号，又k∈N,所以k=1.故选B 二、选择题 P 3 1 5 3 15 7,BC【解析】由正态分布密度曲线的性质可知：< 2=1=02<03.故选BC. (6分) 8.AC【解析】因为n-10000>2000,p=0.0005< 0.05,所以此时泊松分布满足二项分布的近似条件， (2)由1)可得E()=400×号+(-10)×号= 3 则λ=10000×0.0005=5，故A正确；P(Y≥2) 200(万元)， 1-PY=0)PY=1)=1e- ie5-1 E()=500X号+(-30)X号+0X言 5 =200(万 ·84· 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 元) (8分) ×0.016=33, (2分) 则D()=(400-20):×号+(-100-200)°× 所以从样本中预赛成绩不低于70分的学生中随机 抽取2人，至少有1人的预赛成绩为优良的概率为 =60000， 2 1是-品 (4分) D(2)=(500-200)2×3+(-300-200y2× 1 (2)由频率分布直方图得4=35×0.05十45×0.1+ 5 3 55×0.2+65×0.32+75×0.16+85×0.12+95× 0-20yr×3-14000, (10分) 0.05=65, 由E()=E(),D(年)<D(2),说明项目一 g=√/214≈15，则95=十2G, (7分) 项目二获利的期望值相等，但项目一的获利更稳定， 则P(Z>95)=P(Z>十2。) 所以该投资公司投资项目一更合理. (13分) -1-P(4-2aZ≤L+2a2≈0.02275<8000 300 2 12.解：(1)从该校高二学生中随机选取1人，该生可以 0.03, 在3小时内完成各科作业的概率为P=3+4十33 100 又96>95，所以小明有资格参加复赛， (9分) 号 (3)若学生甲先回答A类问题，记他的累计得分 (3分) 为X, (2)由题意得Y~B(3,子)， 则X的可能取值为0,30,100， P(X=0)=0.2, 所以EY)=3X号-号 (6分) P(X=30)=0.8×0.4=0.32, P(X=100)=0.8×0.6=0.48, (12分) (3)样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内” 所以X的分布列为： 的学生有3十4=7人， X 0 30 100 其中可以在2小时内完成的有3人， 所以X~H(7,3,3), (8分) P 0.2 0.32 0.48 则P(X=0)号-者PX=1)e- C 5 则E(X)=0×0.2+30×0.32+100×0.48=57.6. C%C4=12 (14分) P(X=2)= C=1 C =号，P(X=3)=号= 若学生甲先回答B类问题，记他的累计得分为Y, (12分) 则Y的可能取值为0,70,100， 所以X的分布列为： P(Y=0)=0.4, P(Y=70)=0.6×0.2=0.12, 0 1 P(Y=100)=0.6×0.8=0.48, (17分) 所以Y的分布列为： 18 12 1 35 3 35 35 Y 0 70 100 8 P 0.4 0.12 0.48 E(X)=0X35+1X3 +2x12 1 9 35 3×35= (或 则E(Y)=0×0.4十70×0.12+100×0.48=56.4， (15分) (19分) E(X)>E(Y), 13.解：(1)由频率分布直方图知，抽取的100人中预赛 所以为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回 成绩不低于80分的人数为100×10×(0.012+ 答A类问题. (20分) 0.005)=17, 预赛成绩不低于70分的学生人数为17+100×10 ·85·